Estrofoide de Jerabek
Sean ABC un triángulo, P un punto y DEF su triángulo circunceviano. Denotamos por Ab el centro de la circunferencia que pasa por D y es tangente a AB en B, y por Ac el centro de la circunferencia que pasa por D y es tangente a AC en C.
Similarmente, se definen los puntos Bc, Ba y Ca, Cb.
Similarmente, se definen los puntos Bc, Ba y Ca, Cb.
Las rectas AbAc, BcBa y CaCb no son concurrentes y el triángulo A'B'C' delimitado por ellas es perspectivo con ABC si y solo si P queda en la estrofoide de Jerabek(K039).
Si (u:v:w) son las coordenadas baricentricas de P se tiene que:
Ab = (-a^2b^2(a^2-b^2+c^2)w : -a^4c^2v-(b^2-c^2)^2(c^2v+b^2w)+ a^2(b^2+c^2)(2c^2v+b^2w) : 2a^2b^2c^2w),
Ac = (-a^2c^2(a^2+b^2- c^2)v : 2a^2b^2c^2v : -a^4b^2w-(b^2-c^2)^2(c^2v+ b^2w)+a^2(b^2+c^2)(c^2v+2b^2w))
La recta AbAc es:
(a^4b^2c^2vw+(b^2-c^2)^2(c^2v+b^2w)^2- a^2(b^2+c^2)(c^2v+b^2w)^2)x + (-a^2b^2w(c^4v-b^4w+ b^2(a^2w+c^2(-v+w))))y + (-a^2c^2v(a^2c^2v+(b^2- c^2)(c^2v+b^2w)))z=0.
• La estrofoide de Jerabek es la imagen de la hipérbola de Jerabek en la inversión respecto a la circunferencia circunscrita.
• La coordenadas baricéntricas del foco de la estrofoide de Jerabek son:
Ab = (-a^2b^2(a^2-b^2+c^2)w : -a^4c^2v-(b^2-c^2)^2(c^2v+b^2w)+ a^2(b^2+c^2)(2c^2v+b^2w) : 2a^2b^2c^2w),
Ac = (-a^2c^2(a^2+b^2- c^2)v : 2a^2b^2c^2v : -a^4b^2w-(b^2-c^2)^2(c^2v+ b^2w)+a^2(b^2+c^2)(c^2v+2b^2w))
La recta AbAc es:
(a^4b^2c^2vw+(b^2-c^2)^2(c^2v+b^2w)^2- a^2(b^2+c^2)(c^2v+b^2w)^2)x + (-a^2b^2w(c^4v-b^4w+ b^2(a^2w+c^2(-v+w))))y + (-a^2c^2v(a^2c^2v+(b^2- c^2)(c^2v+b^2w)))z=0.
Las rectas AbAc, BcBa y CaCb son concurrentes si y solo si P queda en una séxtica con puntos dobles en los vértices de ABC
Notificación de Bernard Gibert:
Los triángulos ABC y A'B'C' son ortológicos si y solo si P está sobre la estrofoide de Jerabek. En este caso, el centro de ortología de ABC respecto a A'B'C'describe la estrofoide de Ehrmann (K025).
Alguna información sobre la estrofoide de Jerabek
• Una estrofoide de foco F, de punto doble D y eje d0 (pasando por D) es el lugar geométrico de los puntos M de una recta variable d pasando por F y tal que PM=PD, donde Pes el punto de intersección de la recta d0 con d
• Una estrofoide de foco F, de punto doble D y eje d0 (pasando por D) es el lugar geométrico de los puntos M de una recta variable d pasando por F y tal que PM=PD, donde Pes el punto de intersección de la recta d0 con d
La estrofoide de Jerabek (K039) tiene punto doble el circuncentro, foco el inverso en la circunferencia circunscrita de X263 y eje la recta que une el circuncentro con X49.
• La estrofoide de Jerabek es la imagen de la hipérbola de Jerabek en la inversión respecto a la circunferencia circunscrita.
• La coordenadas baricéntricas del foco de la estrofoide de Jerabek son:
con número de búsqueda en ETC: -0.286262733091678965975303639
• La ecuación baricéntrica de su asíntota de la estrofoide de Jerabek es:
(b^2-c^2)(a^4SA^4- 2a^2SBSCSA^3-((b^2-c^2)^4+2SBSC(SB^2+SC^2))SA^2- 2a^2SBSC((b^2-c^2)^2-SBSC)SA-(b^2-c^2)^2SB^2SC^2)x/(a^2SA) + ... =0.
Cuyo punto del infinito:
(a^2(a^6(b^2+c^2)-3a^4(b^4+c^4)+ a^2(3b^6-b^4c^2-b^2c^4+3c^6)-(b^4-c^4)^2): ... : ... ),
con número de búsqueda en ETC: 1.022945264181160305475445435.
La asíntota vuelve a cortar a la estrofoide de Jerabek en el punto S con primera coordenada baricéntrica:
(a^2SA(a^2(SA^2-SBSC)-(b^2-c^2)^2SA) / (a^4SA^4- 2a^2SBSCSA^3-((b^2-c^2)^4+2SBSC(SB^2+SC^2))SA^2- 2a^2SBSC((b^2-c^2)^2-SBSC)SA-(b^2- c^2)^2SB^2SC^2), con número de búsqueda en ETC: 7.9946323139539709651682014
• La estrofoide de Jerabek es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares, trazadas desde el circuncentro a las tangentes a la parábola de directriz el eje d0 de la estrofoide y de foco F', la reflexión del circuncentro en el inverso (respecto a la circunferencia circunscrita) F del antipodal X265 del circuncentro en la hipérbola de Jerabek.
Esta parábola pasa por X647 (centro de perspectividad del triángulo ABC y el triángulo tangencial de la hipérbola de Jerabek) y dirección del eje dada por el punto del infinito X924.
Las coordenadas de su foco son:
F' = (a^2(a^2-b^2-c^2) (a^8-a^6(b^2+c^2) + a^4b^2c^2 - a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) + (b^2-c^2)^2(b^4-b^2c^2+c^4)) : ... :...).
con número de búsqueda en ETC: -7.354888360379703466465294356
• La ecuación baricéntrica de su asíntota de la estrofoide de Jerabek es:
(b^2-c^2)(a^4SA^4- 2a^2SBSCSA^3-((b^2-c^2)^4+2SBSC(SB^2+SC^2))SA^2- 2a^2SBSC((b^2-c^2)^2-SBSC)SA-(b^2-c^2)^2SB^2SC^2)x/(a^2SA) + ... =0.
Cuyo punto del infinito:
(a^2(a^6(b^2+c^2)-3a^4(b^4+c^4)+ a^2(3b^6-b^4c^2-b^2c^4+3c^6)-(b^4-c^4)^2): ... : ... ),
con número de búsqueda en ETC: 1.022945264181160305475445435.
La asíntota vuelve a cortar a la estrofoide de Jerabek en el punto S con primera coordenada baricéntrica:
(a^2SA(a^2(SA^2-SBSC)-(b^2-c^2)^2SA) / (a^4SA^4- 2a^2SBSCSA^3-((b^2-c^2)^4+2SBSC(SB^2+SC^2))SA^2- 2a^2SBSC((b^2-c^2)^2-SBSC)SA-(b^2- c^2)^2SB^2SC^2), con número de búsqueda en ETC: 7.9946323139539709651682014
• La estrofoide de Jerabek es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares, trazadas desde el circuncentro a las tangentes a la parábola de directriz el eje d0 de la estrofoide y de foco F', la reflexión del circuncentro en el inverso (respecto a la circunferencia circunscrita) F del antipodal X265 del circuncentro en la hipérbola de Jerabek.
Esta parábola pasa por X647 (centro de perspectividad del triángulo ABC y el triángulo tangencial de la hipérbola de Jerabek) y dirección del eje dada por el punto del infinito X924.
Las coordenadas de su foco son:
F' = (a^2(a^2-b^2-c^2) (a^8-a^6(b^2+c^2) + a^4b^2c^2 - a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) + (b^2-c^2)^2(b^4-b^2c^2+c^4)) : ... :...).
con número de búsqueda en ETC: -7.354888360379703466465294356
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