geometría - aplicaciones

Caracterizaciones de las cúbicas de Darboux, Lucas y Simson

  Dados un triángulo ABC y un punto P, sean M_aM_bM_c el triángulo medial y DEF el triángulo pedal de P. 
  Consideremos el lugar geométrico del punto medio de los puntos en que una recta variable, que pasa por D, corta a las rectas AB y AC.

Se trata de una hipérbola ℵ_a, que pasa por A, D, M_a con asíntotas paralelas a los lados AB y AC. El centro de ℵ_a es el punto medio de AD. Denotamos por t_a la tangente en A a la hipérbola ℵ_a 

  Si P tiene coordenadas baricéntricas (u:v:w), la ecuación de ℵ_a y de t_a son:
  Similarmente, se definen las tangentes t_b y t_b a las correspondientes hipérbolas ℵ_b y ℵ_c.

El triángulo A'B'C' delimitado por las tangentes t_a, t_b y t_c es perspectivo con ABC si y solo si P está sobre la circunferencia circunscrita o sobre la cúbica de Darboux.
El centro de perspectividad Q de ABC y A'B'C', cuando P recorre la cúbica de Darboux está sobre la cúbica de Lucas.

Ocurre que, en este caso, los vértices D, E, F del triángulo pedal de P está en las rectas AA', BB', CC'.

  Parejas de centros {P,Q}, P en la cúbica de Darboux y Q en la cúbica de Lucas: 
{X₁,X₇}, {X₃,X₂}, {X₄,X₄}, {X₂₀,X₆₉}, {X₄₀,X₈}, {X₆₄,X₂₅₃}, {X₈₄,X₁₈₉}, {X₁₄₉₀,X₃₂₉}, {X₁₄₉₈,X₂₀}, {X₃₃₄₅,X₁₀₃₄}, {X₃₃₄₆,X₁₀₃₂}. 

Cuando P queda sobre la circunferencia circunscrita a ABC, los vértices de su triángulo pedal quedan sobre la recta de Simson s(P) de P, y las tres tangentes t_a, t_b yt_c concurren en el tripolo de s(P), sobre la cúbica de Simson.