geometría - aplicaciones

Lugares geométricos y triángulos circuncevianos

Sean ABC un triángulo, P un punto y A'B'C' su triángulo circunceviano.
Denotamos:
A_b el centro de la circunferencia pasando por C' y tangente a AB en B,
A_c el centro de la circunferencia pasando por B' y tangente a AC en C.
Similarmente se definen los puntos B_c,B_a y C_a,C_b.
Sean además M_a, M_b, M_c los puntos medios de los segmentos A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b.

•  El lugar geométrico de los puntos P tales que el triángulo delimitado por las rectas A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b es nodegenerado y perspectivo con ABC es la cúbica de Neuberg, K001 = pK(X6, X30),

Σ abc xyz

(a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2-2a^4)x(c^2y^2-b^2z^2)= 0.

•  El lugar geométrico de los puntos P tales que las rectas A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b son concurrentes es una séxtica con puntos dobles en los vértices de ABC, pasa por los centros X₂, X₃ y X₁₁₃₉ y por los puntos, O_a, O_b, O_c, donde las cevianas del circuncentro vuelven a corta a al cúbica de Neuberg.

Cuando P=X₁₁₃₉ (conjugado isogonal del punto de reflexión de Parry, X₃₉₉), las rectas A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b son paralelas, con punto del infinito X₅₂₃, isogonal conjugado del foco de la parábola de Kiepert. 
Otros puntos comunes con la cúbica de Neuberg son O_a, O_b, O_c: O_c=(a^2S_A:b^2S_B:2S_AS_B), ...

•  El lugar geométrico de los puntos P tales que los triángulos ABC y M_aM_bM_c son ortológicos es es la cúbica de Thomson, K002 = pK(X6, X2),

Σ abc xyz

x(c^2y^2-b^2z^2)= 0.

Si P recorre la cúbica de Thomson, el centro ortológico Q de M_aM_bM_c con respecto a ABC recorre la cúbica imagen de la cúbica de Darboux mediente la homotecia de centro el circuncentro y razón 1/2.

Algunos centros ortológicos R de ABC con respecto a M_aM_bM_c de puntos P en la cúbica de Thomson: {X₁, X₈₀}, {X₃, X₁₂₉₄}, {X₄, X₂₆₅}, {X₆, X₆₇₁}, {X₅₇, X₃₂₅₄}

•  El lugar geométrico de los puntos P tales que las mediatrices de los segmentos A_bA_c, B_cB_a, C_aC_b son concurrentes es una nónica con puntos cuadruples en los vértices de ABC, pasa por los centros X₁, X₂, X₃, X₁₃, X₁₄, X₁₁₁₃, X₁₁₁₄, y X₁₁₃₈ y por los pies de las cevianas del circuncentro.