geometría - aplicaciones

Propiedad del centro del triángulo X₄₂₇

X(427) in ETC 

Let L_A be the line tangent to the nine-point circle at the midpoint of segment BC, and define L_B and L_C cyclically. The triangle formed by the lines L_A, L_B, L_C is homothetic to the orthic triangle, and the center of homothety is X(427). 

  Sean ABC un triángulo, A₁ y A₂ los puntos de intersección de la circunferencia circunscrita con la circunferencia A-exinscrita, F_a el punto de tangencia de la circunferencia de los nueve puntos y la circunferencia A-exinscrita. 
  Sea Γ_a la circunferencia, distinta de la A-exinscrita, que pasa por A₁ y A₂ es tangente a la circunferencia de los nueve puntos y L_a el punto de contacto. 
  Similarmente se definen los puntos F_b, F_c, L_b, L_c. 
  Las rectas F_aL_a, F_bL_b, F_cL_c concurren en X₄₂₇, sobre la recta de Euler.

El centro radical E_a de las circunferencia que pasan por A₁ y A₂ es el punto de intersección de la recta A₁A₂ y la tangente en F_a a la circunferencia de los nueve puntos. L_a es el punto de contacto de la otra tangente a la circunfeencia de los nueve puntos desde E_a. Así, la recta F_aL_a es la polar de E_a respecto a la circunferencia de los nueve puntos. 

En coordenadas baricéntricas:

E_a = ((b-c)(2a^3+a^2(b+c)+(b-c)^2(b+c)) : -(a+c)(a^3+2b^3+a^2c-b^2c-c^3+a(b^2-c^2)) : (a+b)(a^3+a^2b-b^3-bc^2+2c^3+a(-b^2+c^2))).

La ecuación de la recta F_aL_a:

(c-b)(-a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3+a^2(b+c)+a(b^2+bc+c^2))x +
(a+c)(a^2-b^2+c^2)(a^3+a^2b+b^3+ab(b-c)-b^2c+bc^2-c^3)y -
(a+b)(a^2+b^2-c^2)(a^3-b^3+a^2c+b^2c-bc^2+c^3+ac(-b+c))z=0.

Las ecuaciones de las rectas F_bL_b y F_cL_c se obtienen por permutacion cíclica. Estas tres rectas tienen punto común X_{427}:

Si consideramos las circunferencias Γ_b y Γ_c, definidas de forma similar a Γ_a, el centro radical de estas circunferencias tiene coordenadas baricéntricas:

((a^4(b+c) + 2a^3(b^2+c^2) + 2a^2(b^3+b^2c+bc^2+c^3) + 2a(b+c)^2(b^2+c^2) + (b+c)(b^2+c^2)^2)/(b^2+c^2-a^2) : ... : ...)

con (6,9,13)-número de búsqueda en ETC: -23.546702367310941758314

Homotecia con centro en el circuncentro

  Sea, ABC un triángulo, P un punto y DEF su triángulo circunceviano. 
O_a, O_b, O_c son los circuncentros de los triángulos BCP, CAP, ABP, respectivamente. 
O_d, O_e, O_f son los circuncentros de los triángulos EFP, FDP, DEP, respectivamente. 
 Las rectas O_aO_d, O_bO_e, O_cO_f concurren en el punto P', imagen de P en la homotecia de centro el circuncentro y razón 1/2.

Si (u:v:w) son las coordenadas baricéntricas del punto P, los vértices de su triángulo circunceviano son

D=(-a^2vw : v(c^2v+b^2w) : w(c^2v+b^2w)),
E=(u(c^2u+a^2w) : -b^2uw : w(c^2u+a^2w)),
F= (u(b^2u+a^2 v) : v(b^2u+a^2v) : -c^2uv).

El circuncentro de BCP es:

O_a =(-a^2(-u(b^2(u+v-w)+c^2(u-v+w))+ a^2(u^2+2vw+u(v+w))) : -(b^2-c^2)u(-c^2v+ b^2(u+v))+a^4vw+ a^2(c^2v(u-w)+b^2(u^2+uv+2uw+vw)) : a^4vw-(b^2-c^2)u(b^2w-c^2(u+w))+ a^2(b^2(u-v)w+c^2(u^2+2uv+uw+vw))).

Y el circuncentro de DFP es:
O_d=(-(b^2-c^2)^2u^2-a^4(u^2-2vw)+ 2a^2u(c^2(u+v)+b^2(u+w)) : -a^4v(u+w)- b^2(b^2-c^2)u(v+w)+ a^2(c^2v(u+w)+b^2(2uv-uw-vw)):-a^4(u+v)w+ c^2(b^2-c^2)u(v+w)+ a^2(b^2(u+v)w-c^2(uv-2uw+vw))).

Las coordenadas de los circunscentros O_b, O_c, O_e, O_f se obtienen por permutación cíclica. 

El punto de intersección de las rectas O_aO_d, O_bO_e, O_cO_f es:

P' = ( (3S^2-S_BS_C)u + a^2S_Av + a^2S_Aw : ... : ... ).

OP' : OP = 1 : 2. 

  Los triángulos O_aO_bO_c y O_dO_eO_f son simétricos, respecto a P'. Así, ellos están inscritos en una misma cónica. En el caso particular de que P sea el incentro, los vértices de su triángulo circunceviano coinciden los vértices de O_aO_bO_c; y tal cónica corta por cuarta vez a la circunferencia circunscrita en el cuarto punto de intersección con la hipérbola de Feuerbach (conjugada isogonal de la recta OI).