Cuatro triángulos perspectivos
triángulos 208 .- ................................................:http://amontes.webs.ull.es/pdf/ejtr2486.pdf
Sean ABC un triángulo, Γa la circunferencia que pasa por B y C y es tangente internamente a la circunferencia inscrita y similarmente, las circunferencias Γb y Γc. Designamos porPa el punto de contacto de Γa y la circunferencia inscrita; similarmente, sean Pb y Pc. Sea Qa el punto de concurrencia de las tangentes a la circunferencia inscrita en Pb y Pc; y similarmente, Qb y Qc. Finalmente, sea Ta el punto de intersección de las rectas BPc y CPb; similarmente se definen Tb y Tc.
• El centro de perspectividad de los triángulos ABC y PaPbPc es el centro X479.
• El centro de perspectividad de los triángulos ABC y QaQbQc es el centro X57.
• El centro de perspectividad de los triángulos ABC y TaTbTc es el centro X55.
• El centro de perspectividad de los triángulos PaPbPc y QaQbQc es el centro X3598 (Primer punto de Liu).
• El centro de perspectividad de los triángulos PaPbPc y TaTbTc es el centro X3599 (Segundo punto de Liu).
• El centro de perspectividad de los triángulos QaQbQc y TaTbTc es el centro:
con (6,9,13)-número de búsqueda en ETC: -0.064037209873896799747666
• El centro de perspectividad de los triángulos ABC y QaQbQc es el centro X57.
• El centro de perspectividad de los triángulos ABC y TaTbTc es el centro X55.
• El centro de perspectividad de los triángulos PaPbPc y QaQbQc es el centro X3598 (Primer punto de Liu).
• El centro de perspectividad de los triángulos PaPbPc y TaTbTc es el centro X3599 (Segundo punto de Liu).
• El centro de perspectividad de los triángulos QaQbQc y TaTbTc es el centro:
(a(a^4-4a^3(b+c)+2a^2(3b^2-2bc+3c^2)-4a(b-c)^2(b+c)+(b-c)^2(b^2+6bc+c^2))) /(b+c-a)^2: ... : ... ).
con (6,9,13)-número de búsqueda en ETC: -0.064037209873896799747666
Propiedades del punto de De Longchamps
Definition of De Longchamps point
Let the given triangle have vértices A, B, and C, opposite the respective sides a, b, and c, as is the standard notation in triangle geometry. In the 1886 paper in which he introduced this point, de Longchamps initially defined it as the center of a circle Γ orthogonal to the three circles Γa, Γb, and Γc, where Γa is centered at A with radius a and the other two circles are defined symmetrically. De Longchamps then also showed that the same point, now known as the de Longchamps point, may be equivalently defined as the orthocenter of the anticomplementary triangle triangle of ABC, and that it is the reflection of the orthocenter of ABC around the circumcenter
Reference:
de Longchamps, G. (1886), "Sur un nouveau cercle remarquable du plan du triangle", Journal de Mathématiques spéciales, 2. Sér. (in French) 5: 57-60. See especially section 4, "détermination du centre de Γ", pp. 58-59.
Let the given triangle have vértices A, B, and C, opposite the respective sides a, b, and c, as is the standard notation in triangle geometry. In the 1886 paper in which he introduced this point, de Longchamps initially defined it as the center of a circle Γ orthogonal to the three circles Γa, Γb, and Γc, where Γa is centered at A with radius a and the other two circles are defined symmetrically. De Longchamps then also showed that the same point, now known as the de Longchamps point, may be equivalently defined as the orthocenter of the anticomplementary triangle triangle of ABC, and that it is the reflection of the orthocenter of ABC around the circumcenter
Reference:
de Longchamps, G. (1886), "Sur un nouveau cercle remarquable du plan du triangle", Journal de Mathématiques spéciales, 2. Sér. (in French) 5: 57-60. See especially section 4, "détermination du centre de Γ", pp. 58-59.
Sea ABC un triángulo y Φa la cónica circunscrita con tangentes en B y C perpendiculares a BC. Similarmente se definen las cónicas circunscritas Φb y Φc.
Denotamos por A', B', C' los cuartos puntos de intersección de Φb y Φc, Φc y Φa, Φa y Φb, respectivamete.
La tangente en B a Φb vuelve a cortar a Φa en Ba. La tangente en C a Φc vuelve a cortar a Φa en Ca. Similarmente se definen los puntos Cb, Ab y Ac, Bc.
En coordenadas baricéntricas:
Φa : a²yz+SCzx+SBxy=0, Φb : SCyz+b²zx+SAxy=0, Φc : SByz+SAzx+c²xy=0.
Cuarto punto de intersección de la cónicas circunscritas Φb y Φc, tripolo de la recta determinada por sus perspectores E=(SC:b²:SA) y F=(SB:SA:c²):
Denotamos por A', B', C' los cuartos puntos de intersección de Φb y Φc, Φc y Φa, Φa y Φb, respectivamete.
La tangente en B a Φb vuelve a cortar a Φa en Ba. La tangente en C a Φc vuelve a cortar a Φa en Ca. Similarmente se definen los puntos Cb, Ab y Ac, Bc.
En coordenadas baricéntricas:
Φa : a²yz+SCzx+SBxy=0, Φb : SCyz+b²zx+SAxy=0, Φc : SByz+SAzx+c²xy=0.
Cuarto punto de intersección de la cónicas circunscritas Φb y Φc, tripolo de la recta determinada por sus perspectores E=(SC:b²:SA) y F=(SB:SA:c²):
Las rectas AA', BB', CC' concurren en el punto de De Longchamps, X20.
La tangente, SBy+SCz=0, en A a Φa vuelve a cortar a Φb en
Ab=(SBSC^2 : -SC(SA(SB-SC)+SBSC) : SB(SA(SB-SC)+SBSC)),
y a Φc en
Ac=(SB^2SC : -SC(SA(SB-SC)-SBSC) : SB(SA(SB-SC)-SBSC).
Los puntos Bc, Ba, Ca y Cb, se definen cíclicamente.
Los puntos Ab, Ac, Bc, Ba, Ca y Cb están en una misma cónica, de centro:
con (6,9,13)-número de búsqueda en ETC: 0.4464942066184852070174993, y está alineado (Peter Moses) con los centros del triángulo:
X112, X376, X577, X1249, X1294, X3163, X3184.
El triángulo delimitado por las rectas BaCa, CbAb, AcBc es perspectivo con ABC con centro de perspectividad el punto de De Longschamps.
El triángulo delimitado por las rectas BcCb, CaAc, AbBa es perspectivo con ABC con centro de perspectividad el punto
El triángulo delimitado por las rectas BcCb, CaAc, AbBa es perspectivo con ABC con centro de perspectividad el punto
con (6,9,13)-número de búsqueda en ETC: 7.114153709376457534791226568
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