geometría - aplicaciones

Punto de reflexión de Parry y otros asociados

Sean ABC un triángulo, d_a, d_b, d_c tres rectas paralelas a través de A, B, C, respectivamente, y d'_a, d'_b, d'_c las reflexiones de d_a, d_b, d_c en BC, CA, AB, respectivamente.

Si las recta d_a, d_b, d_c son paralelas a la recta de Euler de ABC, las rectas d'_a, d'_b, d'_c concurren en X₃₉₉ (punto de reflexión de Parry)

( a^2(a^8 - 4a^6(b^2+c^2) + a^4(6b^4+b^2c^2+6c^4) + a^2(-4b^6+b^4c^2+b^2c^4-4c^6) + (b^2-c^2)^2(b^4+4b^2c^2+c^4) : ... : ...)

Cuando las rectas d_a, d_b, d_c giran alrededor de A, B, C, permaneciendo paralelas, la recta de Euler de A'B'C' pasa por un punto fijo Q, cuyas coordenadas baricéntricas han sido calculadas por J. F. García Capitán, Hyacinthos message 15827 (November 19, 2007). 

El eje radical de las circunferencias circunscrita y de Euler de A'B'C' pasa por un punto fijo Y, cuando las rectas d_a, d_b, d_c giran alrededor de A, B, C, permaneciendo paralelas.

Y = (a^10(b^2+c^2)
-a^8(3b^4+4b^2c^2+3c^4)
+a^6(2b^6+5b^4c^2+5b^2c^4+2c^6)
+2a^4(b^8-3b^6c^2+b^4c^4-3b^2c^6+c^8)
-a^2(b^2-c^2)^2(3b^6-4b^4c^2-4b^2c^4+3c^6)
+(b^2-c^2)^6: ... : ...)

con número de búsqueda en ETC: -12.444306554956166449865828

Los puntos Y y Q son antipodales en la circunferencia que describe el punto de intersección la recta de Euler de A'B'C' y el eje radical de las circunferencias circunscrita y de Euler de A'B'C'. Esta circunferencia pasa por X₃₉₉.

Perpendiculares a cevianas y lugares geométricos

 Sean ABC un triángulo, I su incentro y P un punto. La perpendicular por P a AI corta a AB y AC en A_b y A_c, respectivamente. Se denota por r₁ el eje radical de las circunferencias circunscritas a los triángulos ABC y AA_bA_c.
Los ejes radicales r₂ y r₃ se definen de forma cíclica. 

El lugar geométrico de los puntos P tales que el triángulo ABC es perspectivo con el triángulo A'B'C', delimitado por los ejes radicales r₁, r₂ y r₃, está formado por la hipérbola equilátera que pasa por el incentro (hipérbola de Feuerbach) y por la cúbica circunscrita a ABC de ecuación baricéntrica:
x (c (a - b) (a - b + c) y^2 + b (a - c) (a + b - c) z^2) +
y (a (b - c) (a + b - c) z^2 + c (b - a) (-a + b + c) x^2) +
z (b (c - a) (-a + b + c) x^2 + a (c - b) (a - b + c) y^2 ) - 2 a b c x y z = 0.

Cuando P se mueve sobre la hipérbola de Feuerbach el centro de perspectividad Q de los triángulos ABC y A'B'C' recorre la cúbica generalizada de Lemoine K(X1)=K360.

  Sean ABC un triángulo y P un punto. La perpendicular por P a AP corta a AB y AC en A_b y A_c, respectivamente. Se denota por r₁ el eje radical de las circunferencias circunscritas a los triángulos ABC y AA_bA_c. 
Los ejes radicales r₂ y r₃ se definen de forma cíclica. 

El lugar geométrico de los puntos P tales que el triángulo ABC es perspectivo con el triángulo A'B'C', delimitado por los ejes radicales r₁, r₂ y r₃, está formado por la circunferencia circunscrita a ABC y por la cúbica de Darboux K004

Cuando P se mueve sobre la circunferencia circunscrita los ejes radicales r₁, r₂ y r₃ son concurrentes en un punto Q, que describe la isocúbica no pivotalnK(X(577),X(394),X(3))=cK(#X(3),X(394)) (conico-pivotal isocubic, Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert.- Special Isocubics in the Triangle Plane, §8), que tiene al circuncentro como punto aislado y pasa por X₈₇₈ (que corresponde a P=X₉₈, punto de Tarry).
La "cónica de contacto" de cK(#X(3),X(394)) es la cónica circunscrita de Johnson.