Ejemplos de triángulos perspectivos y ortológicos
Sean ABC un triángulo, P un punto y A'B'C' el triángulo pedal de P.
Adoptamos las siguientes notaciones:
Ab y Ac son las proyecciones ortogonales de A' sobre PB' y PC', respectivamente.
A3+ es la intersección de la paralela por B' a AC con la paralela por Ac a A'B'.
A3- es la intersección de la paralela por B' a AC con la paralela por A' a B'Ac.
Es decir, la circunferencia de centro en B' y radio A'Ac interseca a la paralela por B' a A'Ac en los dos puntos A3+ y A3-.
A2+ es la intersección de la paralela por C' a AB con la paralela por Ab a A'C'.
A2- es la intersección de la paralela por C' a A'B con la paralela por A' a C'Ab.
M1+ y M1- son los puntos medios de A2+A3+ y A2-A3-, respectivamente.
Adoptamos las siguientes notaciones:
Ab y Ac son las proyecciones ortogonales de A' sobre PB' y PC', respectivamente.
A3+ es la intersección de la paralela por B' a AC con la paralela por Ac a A'B'.
A3- es la intersección de la paralela por B' a AC con la paralela por A' a B'Ac.
Es decir, la circunferencia de centro en B' y radio A'Ac interseca a la paralela por B' a A'Ac en los dos puntos A3+ y A3-.
A2+ es la intersección de la paralela por C' a AB con la paralela por Ab a A'C'.
A2- es la intersección de la paralela por C' a A'B con la paralela por A' a C'Ab.
M1+ y M1- son los puntos medios de A2+A3+ y A2-A3-, respectivamente.
Similarmente y de forma cíclica, se definen los puntos:
B3+, B1+, C1+, C2+, B3-, B1-, C1-, C2- y M2+, M2-, M3+, M3-.
(b^2-c^2)SBSBx + a^2SBy + a^2SCz =0 y cíclicamente.
Casos en que los triángulos ABC y M1-M2-M3- son simultáneamente perspectivos y ortológicos:
• P=X4
B3+, B1+, C1+, C2+, B3-, B1-, C1-, C2- y M2+, M2-, M3+, M3-.
1. El lugar geométrico de los puntos P tales que las mediatrices de los segmentos A2+A3+, B3+B1+, C1+C2+ son concurrentes es una quártica circunscrita a ABC.
Información sobre esta cuártica:
Pasa por el circuncentro y ortocentro. Tres de sus asíntotas son perpendiculares a los lados de ABC y delimitan un triángulo perspectivo con ABC, con centro de perspectividad el foco de la parábola de Kiepert. Las ecuaciones baricéntricas de estas asíntotas (notación de Conway) son:
Pasa por el circuncentro y ortocentro. Tres de sus asíntotas son perpendiculares a los lados de ABC y delimitan un triángulo perspectivo con ABC, con centro de perspectividad el foco de la parábola de Kiepert. Las ecuaciones baricéntricas de estas asíntotas (notación de Conway) son:
La cuarta asíntota tiene como punto del infinito a X523, conjugado isogonal del foco de la parábola de Kiepert, X110.
NOTA: Si P es el circuncentro o está en el infinito, la configuración no tiene sentido. Cuando P es el ortocentro, las mediatrices de los segmentos A2+A3+, B3+B1+, C1+C2+concurren en el punto de primera coordenada baricéntrica:
NOTA: Si P es el circuncentro o está en el infinito, la configuración no tiene sentido. Cuando P es el ortocentro, las mediatrices de los segmentos A2+A3+, B3+B1+, C1+C2+concurren en el punto de primera coordenada baricéntrica:
a^2(a^6(b^2+c^2) - 3a^4(b^4+c^4) + a^2(3b^6+b^4c^2+b^2c^4+3c^6) - (b^2-c^2)^2(b^4+4b^2c^2+c^4)),
con número de búsqueda en ETC: -1.91350459625470323717507806
2. El lugar geométrico de los puntos P tales que las mediatrices de los segmentos A2-A3-, B3-B1-, C1-C2- son concurrentes es una quártica circunscrita a ABC.
Cuando P es el ortocentro, las mediatrices de los segmentos A2-A3-, B3-B1-, C1-C2- concurren en el centro de la circunferencia de Taylor, X389. Además, en este caso el triángulo M1-M2-M3- es perspectivo con ABC (centro de perspectividad el semidiano) y su circunferencia circunscrita es concéntrica con la circunferencia de Taylor.
3. El lugar geométrico de los puntos P tales que los triángulos ABC y M1+M2+M3+ son perspectivos es una cúbica circunscrita a ABC.
Estos triángulos son ortológicos si solo si P está sobre la recta de Euler.
Estos triángulos son ortológicos si solo si P está sobre la recta de Euler.
Los centros de ortología y de perspectividad de los triángulos ABC y M1+M2+M3+ correspondientes a los puntos X4 y X361 son colineales:
( Sondat's Theorem. If two triangles are mutually orthologic and perspective, the centres of orthology and perspectivity are collinear. Further, it is perpendicular to the perspectrix.
An Application of Sondat's Theorem, Ion Patrascu and Florentin Smarandache):
( Sondat's Theorem. If two triangles are mutually orthologic and perspective, the centres of orthology and perspectivity are collinear. Further, it is perpendicular to the perspectrix.
An Application of Sondat's Theorem, Ion Patrascu and Florentin Smarandache):
El centro de perspectividad de los triángulos ABC y M1+M2+M3+ es el simediano, X6.
El centro de ortología de ABC respecto a M1+M2+M3+ coordenadas baricéntricas:
El centro de ortología de ABC respecto a M1+M2+M3+ coordenadas baricéntricas:
O31 = ( SA/(a^4 - 2a^2(b^2+c^2) + b^4+6b^2c^2+c^4) : ... : ...),
con número de búsqueda en ETC: 10.2893367499920063626210307
El centro de ortología de M1+M2+M3+ respecto a ABC coordenadas baricéntricas:
El centro de ortología de M1+M2+M3+ respecto a ABC coordenadas baricéntricas:
O32 = ( 2a^10 - a^8(b^2+c^2) - 8a^6(b^4-b^2c^2+c^4) + 10a^4(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) - 2a^2(b^4-c^4)^2 - (b^2-c^2)^4(b^2+c^2): ... : ...),
con número de búsqueda en ETC: 7.3799576190510080677803629
• P=X631
• P=X631
En este caso los triángulos ABC y M1+M2+M3+ son homotéticos.
El centro de homotecia de los triángulos ABC y M1+M2+M3+ es el punto de coordenadas baricéntricas:
El centro de homotecia de los triángulos ABC y M1+M2+M3+ es el punto de coordenadas baricéntricas:
Q = ( a^2(a^4 - 2a^2(b^2+c^2) + b^4+6b^2c^2+c^4 ) : ... : ...),
con número de búsqueda en ETC: 3.08200205691896287503357243
El centro de ortología de ABC respecto a M1+M2+M3+ es el ortocentro.
El centro de ortología de M1+M2+M3+ respecto a ABC es el punto de coordenadas baricéntricas:
El centro de ortología de ABC respecto a M1+M2+M3+ es el ortocentro.
El centro de ortología de M1+M2+M3+ respecto a ABC es el punto de coordenadas baricéntricas:
Y = ( 2a^10 - 5a^8(b^2+c^2) + 4a^6(b^2-c^2)^2 - 2a^4(b^6+7b^4c^2+7b^2c^4+c^6) + 2a^2(b^2-c^2)^2(b^4+14b^2c^2+c^4) - (b^2-c^2)^4(b^2+c^2): ... : ...),
con número de búsqueda en ETC:-1.5600580790622942195564665
4. El lugar geométrico de los puntos P tales que los triángulos ABC y M1-M2-M3- son perspectivos es una cúbica circunscrita a ABC.
Estos triángulos son ortológicos si solo si P está sobre la recta de Euler.
Estos triángulos son ortológicos si solo si P está sobre la recta de Euler.
Esta cúbica pasa por el ortocentro, donde es tangente a la recta de Euler, por X1498 y el tercer punto E común con la recta de Euler tiene por coordenadas:
E = ( a^2(a^8 - 2a^6(b^2+c^2) - 12a^4b^2c^2+ 2a^2(b^2+c^2)^3 - (b^2-c^2)^2(b^4-6b^2c^2+c^4)): ... : ...),
Casos en que los triángulos ABC y M1-M2-M3- son simultáneamente perspectivos y ortológicos:
• P=X4
En este caso los triángulos ABC y M1-M2-M3- son homotéticos.
El centro de homotecia de los triángulos ABC y M1-M2-M3- es el simediano X6.
El centro de ortología de ABC respecto a M1-M2-M3- es el ortocentro.
El centro de ortología de M1-M2-M3- respecto a ABC es el punto de coordenadas baricéntricas:
El centro de homotecia de los triángulos ABC y M1-M2-M3- es el simediano X6.
El centro de ortología de ABC respecto a M1-M2-M3- es el ortocentro.
El centro de ortología de M1-M2-M3- respecto a ABC es el punto de coordenadas baricéntricas:
O42 = ( 2a^10 - 5a^8(b^2+c^2) + 4a^6(b^2+c^2)^2 - 2a^4(b^2-c^2)^2(b^2+c^2) + 2a^2(b^2-c^2)^4- (b^2-c^2)^4(b^2+c^2): ... : ...),
con número de búsqueda en ETC:-1.34146146000198321561337218
• P=E
• P=E
El centro de perspectividad de los triángulos ABC y M1-M2-M3- es el punto de coordenadas baricéntricas:
Z = ( a^2SA /(b^2+c^2-3a^2) : b^2SB /(c^2+a^2-3b^2) : c^2SC /(a^2+b^2-3c^2) ),
con número de búsqueda en ETC: -2.28208807333641855014440139
El centro de ortología de ABC respecto a M1-M2-M3-es el punto de coordenadas baricéntricas:
El centro de ortología de ABC respecto a M1-M2-M3-es el punto de coordenadas baricéntricas:
U = ( a^2/(5a^10 - 11a^8(b^2+c^2) + 2a^6(b^4+22b^2c^2+c^4) + 2a^4(5b^6-13b^4c^2-13b^2c^4+5c^6) - a^2(b^2-c^2)^2(7b^4+18b^2c^2+7c^4)+ (b^2-c^2)^4(b^2 + c^2)) : ... : ...),
con número de búsqueda en ETC:-16.11015588490167262757688
El centro de ortología de M1-M2-M3- respecto a ABC es el punto de coordenadas baricéntricas:
El centro de ortología de M1-M2-M3- respecto a ABC es el punto de coordenadas baricéntricas:
V = ( a^2(a^12(b^2+c^2) - 2a^10(2b^4+7b^2c^2+2c^4) + 5a^8(b^6+5b^4c^2+5b^2c^4+c^6) - 12a^6b^2c^2(b^4+6b^2c^2+c^4) + a^4(-5b^10+11b^8c^2+26b^6c^4+26b^4c^6+11b^2c^8-5c^10) + 2a^2(b^2-c^2)^4(2b^4-3b^2c^2+2c^4) - (b^2-c^2)^4(b^6-7b^4c^2-7b^2c^4+c^6)) : ... : ... ),
con número de búsqueda en ETC: -12.933974089689188258369107
5. El lugar geométrico de los puntos P tales que los triángulos M1+M2+M3+ y M1-M2-M3- son perspectivos es la recta de Euler. Estos triángulos son ortológicos para todo punto P del plano.
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