GEOMETRÍA - FRACTALES

 conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales y el más estudiado. Se conoce así en honor al matemático Benoît Mandelbrot, que investigó sobre él en la década de los setenta del siglo XX.

Este conjunto se define así, en el plano complejo:
Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por recursión:

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El Conjunto de Mandelbrot

Definición y caracterización

El conjunto de Mandelbrot M se define como el conjunto de parámetros cÎC para los que el conjunto de Julia asociado a f_c=z²+c es conexo.

Esta definición no es adecuada para computar imágenes del conjunto de Mandelbrot. Para este fin es mucho más útil la caracterización dada por el siguiente teorema.

Teorema. M coincide con el conjunto de parámetros del plano complejo para los que la órbita (f_c^k(0)) está acotada. Esto equivale a que f_c^k(0) no tiende a infinito.

Como consecuencia del Teorema anterior se obtiene que M se encuentra acotado de la siguiente manera:

1. M está contenido en la bola de radio 2 (puesto que c=-2 está en M, esta acotación es óptima),
2. M intersección con R es el intervalo [-2,1/4].

Un algoritmo para obtener imágenes del conjunto de Mandelbrot

El teorema anterior es la base para obtener computacionalmente imágenes del conjunto de Mandelbrot. Para ello se consideran dos números r y k₀ , ambos del orden de 100, y para cada c computamos términos de la sucesión f_c^k(0). Si los k₀ primeros términos verifican todos que |f_c^k(0)|0 con |f_c^k(0)|>r se interrumpe la computación para ese c y se determina que c está fuera de M.
Si representamos en negro los puntos para los que la órbita del origen permanece acotada, y los puntos para los que esta órbita se sale de la bola de radio r se representan de diferentes colores según el momento de la "salida" (que estaría relacionado con la velocidad con que la órbita se va a infinito), se obtienen las representaciones usuales del conjunto de Mandelbrot.

Estas representaciones sugieren que su estructura es altamente compleja.

El conjunto de Mandelbrot tiene entre otras la propiedad de que contiene copias reducidas del mismo a todas las escalas. Si ampliamos, por ejemplo, la zona del cuadrante superior derecho se obtiene una ampliación en la que aparecen copias pegadas en el borde

Si en esta ampliación ampliamos la parte central se obtiene una nueva ampliación en la que aparecen nuevas copias

Ampliando nuevamente se obtienen más detalles

entre los cuales se encuentran mas copias pequeñas del conjunto de Mandelbrot

Y si ampliamos en zonas donde aparentemente no hay copias de éstas

aparece algún punto negro que, tras un número suficiente de ampliaciones se transforma en una copia a escala muy reducida del conjunto de Mandelbrot

El conjunto de Mandelbrot es conexo

A pesar de su complejidad se tiene el siguiente resultado.

Teorema [Douday y Hubbard]. M es conexo.

No se sabe si M es localmente conexo, aunque se cree que sí lo es.

Conjuntos de Julia en el conjunto de Mandelbrot

Una propiedad del conjunto de Mandelbrot es que los diferentes tipos de conjuntos de Julia se reparten en diferentes regiones del conjunto M.

1. f_c tiene un punto fijo atractivo si y solo si c pertenece al interior de la cardioide de ecuación z=1/2e^iq (1-1/2e^iq, 0<q£2p. Además, los conjuntos de Julia asociados a estos parámetros son curvas cerradas simples.
2. f_c tiene un dos-ciclo atractivo si y solo si |c+1|<1 2-ciclo="" 3.="" 3="" a="" adem="" adosado="" asociados="" atractivo="" c="" cantidad="" cardioide="" cerradas="" componentes="" conexas="" conjuntos="" contienen="" curvas="" de="" del="" disco="" disjuntas="" dos="" el="" en="" es="" est="" estas="" esto="" estos="" formadas="" genes.="" julia="" la="" las="" li="" los="" mayor="" metros="" n="" numerable="" par="" por="" preim="" principal.="" puntos="" que="" s="" si="" simples="" son="" sus="" todas="" una="" uniones="" y="">
3. En los dos círculos siguientes en tamaño se encuentran los parámetros asociados a conjuntos de Julia para los que la dinámica presenta un ciclo de orden 3 atractivo y cuyos conjuntos de Julia son uniones de una cantidad numerable de curvas cerradas simples disjuntas 4 a 4 y con la propiedad de que donde se tocan 2 se toca también una tercera. Estas curvas están formadas por las componentes conexas que contienen a los tres puntos del 3-ciclo atractivo y por todas sus preimágenes. Los puntos de contacto son todas las preimágenes de uno de los puntos fijos de f_c.
4. Y así sucesivamente...

El periodo de los conjuntos de Julia de cada uno de los círculos adosados a la cardioide principal coincide con el número de ramificaciones (contando el pie) de la antena principal adosada a él.