De izquierda a derecha, sucesivos pasos de la construcción geométrica del conjunto de Cantor. Para ilustrar la definición numérica se destacan cuatro puntos del conjunto (0, 2/3, 1 y 1/4) y su expresión en base 3.
El conjunto de Cantor, llamado así por ser introducido por Georg Cantor[1] en 1883, es un destacado subconjunto fractal del intervalo real [0, 1], que admite dos definiciones equivalentes:
* la definición numérica: es el conjunto de todos los puntos del intervalo real [0,1] que admiten una expresión en base 3 que no utilice el dígito 1.
* la definición geométrica, de carácter recursivo, que elimina en cada paso el segmento abierto correspondiente al tercio central de cada intervalo.
* la definición geométrica, de carácter recursivo, que elimina en cada paso el segmento abierto correspondiente al tercio central de cada intervalo.
Además de una curiosidad matemática, contradice una intuición relativa al tamaño de objetos geométricos: es un conjunto de medida nula, pero no es vacío ni numerable.
Contenido
Contenido
* 1 Construcción geométrica
* 2 Propiedades
o 2.1 Medida
o 2.2 Cardinalidad
o 2.3 Propiedades topológicas
o 2.4 Autosimilaridad
* 3 Generalizaciones
o 3.1 En dimensión uno
o 3.2 En otras dimensiones
* 4 Referencias
* 2 Propiedades
o 2.1 Medida
o 2.2 Cardinalidad
o 2.3 Propiedades topológicas
o 2.4 Autosimilaridad
* 3 Generalizaciones
o 3.1 En dimensión uno
o 3.2 En otras dimensiones
* 4 Referencias
Construcción geométrica
Se construye de modo recursivo dando los siguientes pasos:
* El primer paso es tomar el intervalo [0, 1].
* El segundo paso es quitarle su tercio interior, es decir el intervalo abierto (1/3; 2/3).
* El tercero es quitar a los dos segmentos restantes sus respectivos tercios interiores, es decir los intervalos abiertos (1/9; 2/9) y (7/9; 8/9).
* Los pasos siguientes son idénticos: quitar el tercio de todos los intervalos que quedan. El proceso no tiene fin.
* El segundo paso es quitarle su tercio interior, es decir el intervalo abierto (1/3; 2/3).
* El tercero es quitar a los dos segmentos restantes sus respectivos tercios interiores, es decir los intervalos abiertos (1/9; 2/9) y (7/9; 8/9).
* Los pasos siguientes son idénticos: quitar el tercio de todos los intervalos que quedan. El proceso no tiene fin.
La figura muestra las siete primeras etapas:
El conjunto de Cantor es el conjunto de los puntos restantes: entre ellos, es claro que los extremos de cada subintervalo pertenecen 0 y 1, 1/3 y 2/3, 1/9, 2/9, 7/9 y 8/9, 1/27…, hay una infinidad de puntos: los 1/3n están todos incluidos, con n describiendo los naturales. Pero hay mucho más, por ejemplo 1/4 es un elemento del conjunto de Cantor.
Propiedades
Medida
Sin embargo, el conjunto es pequeño cuando se considera su longitud: el intervalo inicial [0,1] mide 1, y a cada paso, se le quita un tercio, lo que hace que su longitud se multiplique por 2/3. la sucesión geométrica un = (2/3)n tiende hacia cero, Por lo tanto el conjunto de Cantor es de medida nula. Esto implica, en particular, que el conjunto de Cantor no puede contener ningún intervalo de medida no nula.
Cardinalidad
Podemos demostrar el siguiente resultado paradójico: el conjunto de Cantor está en biyección con el segmento [0, 1], es decir, tiene tantos elementos como él.
Para demostrar eso, vamos a construir una función suprayectiva desde el conjunto de Cantor (llamémosle C) al conjunto de los reales [0, 1]. De esta forma, la cardinalidad de C ha de ser no menor que la de [0, 1]. Por otra parte, como C es un subconjunto de [0, 1], C además ha de tener una cardinalidad no mayor. Por tanto se concluye que las cardinalidades de C y [0, 1] han de ser iguales.
La función suprayectiva la construiremos así: Si se considera la escritura en base tres de los números, se nota que, al quitar siempre el segundo tercio de todos los segmentos, se suprime exactamente los números que tienen un 1 en su escritura trienal: el intervalo (1/3; 2/3) corresponde a los números que empiezan por 0,1 (menos el 1/3 que también se puede escribir 0, 02222222222….. en base tres); el intervalo (1/9;2/9) corresponde a los números que empiezan por 0,01, el (7/9;8/9) por 0,21 y así sucesivamente.
La suprayección se construye así: a cada número escrito con sólo ceros y dos se le hace corresponder el número en base dos obtenido remplazando todos sus dos por unos. Por ejemplo, 0,2002 en base tres (que vale 2/3 + 2/81 = 56/81) tiene como imagen 0,1001 en base dos (que vale 1/2 + 1/16 = 9/16).
Se obtiene así todos los números en base dos que empiezan por 0,… y que tienen ceros o/y unos después de la coma: ¡es el intervalo [0,1] entero!
Se obtiene así todos los números en base dos que empiezan por 0,… y que tienen ceros o/y unos después de la coma: ¡es el intervalo [0,1] entero!
Propiedades topológicas
El conjunto de Cantor es cerrado en los reales, al ser el complemento de la unión de abiertos.[2] Al ser también acotado, por aplicación del teorema de Heine-Borel, puede afirmarse que es compacto.
Autosimilaridad
El conjunto de Cantor puede considerarse también como el atractor asociado al IFS (sistema de funciones iteradas) formado por las aplicaciones contractivas f_1(x)= \frac{x}{3} , y f_2(x)= \frac{x}{3} + \frac{2}{3} , ambas definidas sobre el compacto [0,1].[3]
Observamos que la imagen del conjunto de Cantor por la homotecia de centro 0 y razón 1/3 es una parte del propio conjunto de Cantor. Esto es una manifestación de autosimilaridad, que es una de las propiedades básicas de los fractales. Su dimensión de Hausdorff es menor que uno, concretamente Log(2)/Log(3).
Generalizaciones
En dimensión uno
En lugar de eliminar en cada paso la tercera parte central, podríamos plantearnos eliminar cualquier otro porcentaje fijo (distinto de 0% o de 100%) de la zona central. Los conjuntos resultantes siguen siendo homeomorfos al conjunto de Cantor. Sin embargo, mientras la longitud del intervalo eliminado sea mayor o igual a la tercera parte, la medida de Lebesgue del conjunto será cero; en otro caso, la medida será positiva (más específico, la medida de Lebesgue es de 1-a, donde a es la razón de longitudes entre el intervalo eliminado en el primer paso y 1/3).
Eliminando porcentajes que disminuyan progresivamente en cada paso, podemos construir conjuntos también homeomorfos al conjunto de Cantor, pero con medida de Lebesgue positiva. Un ejemplo de dicha construcción es el conjunto de Smith-Volterra-Cantor.
En otras dimensiones
En cualquier dimensión se define el producto cartesiano del conjunto de Cantor por sí mismo, que recibe el nombre de polvo de Cantor. Además, en dimensión 2 se define la alfombra de Sierpinski, y en dimensión 3 la esponja de Menger.
Polvo de Cantor en 3 D
Polvo de Cantor en 3 D
copo de nieve de Koch, también llamado estrella de Koch, es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904 en un artículo titulado "Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental".- .........................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=593c99641f5e26b898f37d6d3267de49bc5afa72&writer=rdf2latex&return_to=Copo+de+nieve+de+Koch
Problema: Mostrar una figura plana cerrada en la que se dé el paradójico hecho de que su perímetro sea infinito pero el área que encierra sea finita.
Este problema surgió a propósito de un interesante ejercicio del libro de Stewart, titulado “La trompeta del arcángel Gabriel”, referido a áreas de superficies de revolución, en el que un sólido de revolución presenta una superficie que tiene área infinita, pero que encierra un volumen finito.
Véase James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, Fifth Edition, Thomson Brooks/Cole, Belmont CA, 2003 p. 559 (Exercise 25 in Section 8.2: Area of a Surface of Revolution).
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Solución: Una figura plana cerrada que tiene perímetro infinito pero encierra un área finita es el fractal llamado copo de nieve de Sierpinski o también curva de Koch.
Tal como puede apreciarse en la Figura 1, este fractal se forma partiendo de un triángulo equilátero cuyos lados tienen longitud
      
Figura 1. Los distintos niveles del copo de nieve de Sierpinski.
En una segunda transformación, se vuelve a dividir cada uno de los segmentos obtenidos en tres segmentos de igual longitud, se retiran los segmentos del medio y se remplazan nuevamente por dos segmentos, que tienen una longitud esta vez de
   
Este proceso de transformación se continúa sucesivamente. Se entiende que el copo de nieve de Sierpinski, al que nos referimos aquí, es la figura que se obtiene cuando el número
 
El perímetro
Para encontrar el perímetro de este fractal se observan detenidamente las primeras transformaciones con el fin de encontrar una serie que las generalice.
Es importante anotar lo siguiente: cada vez que se agrega un par de segmentos en uno de los lados, el perímetro se aumenta en la longitud de uno solo de ellos puesto que el segmento del medio se retira.
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(Comentarios del profesor Aquiles Páramo)
¡Un ejemplo muy bien elegido porque es verdaderamente hermoso, Laura!
En los Comentarios adicionales
el lector hallará un programa que desarrollé en Java para ilustrar este trabajo de Laura, en el que se puede apreciar el efecto que tiene el ángulo   
Laura dibuja el fractal en el tablero al comenzar su exposición.
Esta tabla de Laura es muy esclarecedora y permite construir fácilmente la serie que se necesita.
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Entonces, la serie para hallar el perímetro
   
Se trata de una serie geométrica cuya razón es
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Aquí debemos recordar lo siguiente sobre la serie geométrica:
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El área.
Para encontrar el área de este fractal analizamos los primeros casos con el propósito de encontrar un patrón.
Figura 2: Áreas que se agregan en cada transformación
Supóngase que
     
La siguiente tabla resume estas observaciones:
Entonces el área total del copo de nieve de Sierpinski, cuando el número de transformaciones tiende a infinito, está dada por la serie:
 
Es necesario convertir esta fórmula en una expresión de la forma
   
Así pues:
 
En este caso
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Me parecen muy claros estos planteamientos sobre las áreas que se van agregando en cada una de las transformaciones del fractal.
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Por lo tanto, el área encerrada por el copo de nieve de Sierpinski es finita.
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