condiciones de frontera de Cauchy en ecuaciones diferenciales ordinarias o en ecuaciones diferenciales parciales imponen valores específicos a la solución de una ecuación diferencial que se toma de la frontera del dominio y de la derivada normal a la frontera. Esto es igual a imponer dos tipos de condiciones: la condición de frontera de Dirichlet y la condición de frontera de Neumann. Su nombre hace honor al prolífero matemático francés del siglo XIX Augustin Louis Cauchy.- ......................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=708b87a82da2b3f86c489a47b2723a948e7e9bab&writer=rdf2latex&return_to=Condici%C3%B3n+de+frontera+de+Cauchy
MODELO MATEMÁTICO
El modelo matemático que se presenta en este trabajo ha sido ampliamente utilizado para el estudio del problema de identificación en ([1], [3], [4], [5]); en él la cabeza humana ha sido modelada por medio de capas conductoras con conductividad constante y diferente en cada capa. La actividad eléctrica del cerebro es registrada en el cuero cabelludo por medio del EEG. Se considera para la modelación que el EEG es producido por grandes conglomerados de neuronas que se activan simultáneamente. A estos conglomerados se les conoce como generadores o fuentes bioeléctricas ([4], [6]). Adicionalmente, se supone que las corrientes que pueden producirse en la región Ω se deben únicamente a la actividad eléctrica del cerebro y pueden ser de dos tipos: óhmicas e impresas. Las primeras se deben al movimiento de cargas iónicas a través del fluido extracelular en el cerebro y las segundas a las corrientes de difusión a través de las membranas neuronales ([6]) las cuales se denotan por J p y son las de interés en el problema de identificación, ya que el soporte de estas puede darnos información sobre la ubicación espacial de la zona afectada. Tomando en cuenta lo anterior, se demuestra que el estudio del Problema Inverso Electroencefalográfico (PIE) puede ser realizado a través del siguiente problema de valores en la frontera ([1], [4], [5], [7]):
donde Ω = 
1 U Ω2 representa a la cabeza, Ω1 el cerebro, Ω2 el resto de las capas que componen la cabeza (líquido intracraneal, cráneo, cuero cabelludo), σ1 y σ2 son las conductividades de Ω1 y Ω2 las cuales se suponen constantes (ver figura 1), ƒ = div Jp/σ1 es llamada la fuente, ui = u|Ω1 i = 1,2 y u representa al potencial eléctrico en Ω. El símbolo Δ representa al operador laplaciano, que también se simboliza como ∇2. Obsérvese que en este caso podremos recuperar sólo una parte de la fuente bioeléctrica Jp. Las condiciones de frontera (3)-(4) son llamadas de transmisión y la condición de frontera (5), se obtiene al considerar que la conductividad de ΩC es cero (la conductividad del aire). De las fórmulas de Green se deduce la siguiente condición de compatibilidad
1 U Ω2 representa a la cabeza, Ω1 el cerebro, Ω2 el resto de las capas que componen la cabeza (líquido intracraneal, cráneo, cuero cabelludo), σ1 y σ2 son las conductividades de Ω1 y Ω2 las cuales se suponen constantes (ver figura 1), ƒ = div Jp/σ1 es llamada la fuente, ui = u|Ω1 i = 1,2 y u representa al potencial eléctrico en Ω. El símbolo Δ representa al operador laplaciano, que también se simboliza como ∇2. Obsérvese que en este caso podremos recuperar sólo una parte de la fuente bioeléctrica Jp. Las condiciones de frontera (3)-(4) son llamadas de transmisión y la condición de frontera (5), se obtiene al considerar que la conductividad de ΩC es cero (la conductividad del aire). De las fórmulas de Green se deduce la siguiente condición de compatibilidad
En el caso en que sólo se consideren fuentes corticales, su presencia se refleja sobre la condición de frontera asociada con la igualdad de flujos de corriente. Si denotamos por jp a la densidad de corriente cortical entonces dicha condición de frontera toma la forma:
Se denomina a jp · n1 fuente cortical y satisface una condición de compatibilidad similar a la (6). Sin embargo, si consideramos simultáneamente tanto fuentes corticales como volumétricas esta condición se convierte en 
. El caso de fuentes corticales ha sido estudiado en [8] y se busca la solución como la suma de un potencial de capa doble definido S1 más uno de capa simple definido sobre S2. En este caso la densidad dipolar definida sobre S1 puede representar la actividad de neuronas piramidales y, por lo tanto, brindar información sobre la zona activa de la corteza cerebral. Sin embargo, en ese trabajo sólo se consideraron fuentes que pueden representarse por funciones de cuadrado integrable y no por funciones generalizadas con las cuales representan las fuentes dipolares. Este caso debe estudiarse matemáticamente con detalle para asegurar la existencia de soluciones de este problema además de interpretarse apropiadamente el planteamiento matemático para que dichas soluciones tengan un sentido en el problema real. La discusión sobre este tema no se aborda en este trabajo por lo que no se considera la presencia de fuentes corticales.
. El caso de fuentes corticales ha sido estudiado en [8] y se busca la solución como la suma de un potencial de capa doble definido S1 más uno de capa simple definido sobre S2. En este caso la densidad dipolar definida sobre S1 puede representar la actividad de neuronas piramidales y, por lo tanto, brindar información sobre la zona activa de la corteza cerebral. Sin embargo, en ese trabajo sólo se consideraron fuentes que pueden representarse por funciones de cuadrado integrable y no por funciones generalizadas con las cuales representan las fuentes dipolares. Este caso debe estudiarse matemáticamente con detalle para asegurar la existencia de soluciones de este problema además de interpretarse apropiadamente el planteamiento matemático para que dichas soluciones tengan un sentido en el problema real. La discusión sobre este tema no se aborda en este trabajo por lo que no se considera la presencia de fuentes corticales.
Al problema (1)-(5) se llama Problema de Contorno Electroencefalográfico (PCE).
Definición 1. Se llama Problema Directo Electroencefalográfico al problema que consiste en hallar la solución u(x) del PCE cuando se conoce f (x) = div Jp/ σ1.
Definición 2. El Problema inverso asociado al PCE consiste en dada una función V definida sobre S, encontrar f(x) de manera que para la solución u(x) del problema directo correspondiente a dicha f(x), se cumpla que u\s = V.
SIMPLIFICACIÓN DEL PROBLEMA A UNA REGIÓN
Problemas que permiten la simplificación
Para resolver el Problema Inverso Electroencefalográfico, primero se desacopla el problema (1)-(5) en los dos problemas siguientes:
Primer problema. Resolver el problema de Cauchy en la región anular Ω2 dado V sobre S2:
Segundo problema. Después de hallar u2 en el primer problema por medio de los datos de Cauchy sobre S2usando las condiciones de transmisión (3)-(4) el PIE se reduce a hallar ƒ a través del problema:
donde 
La condición de transmisión (4) correspondiente a la igualdad de los flujos de corriente, lleva a que
Para reducir a una región, consideremos el Tercer problema. Para el estudio del problema (8) tomamos los siguientes dos problemas:
Notemos que u1 = û + ū si elegimos ƒ en (11) a través del dato adicional:
La solución del problema (10) se toma ortogonal a las constantes, con lo cual es única. Debido a que ψ es conocida a partir de los datos de Cauchy, el problema (10) puede separarse del resto y sólo considerarse para el estudio del problema de identificación, al problema (11)-(12), el cual corresponde al caso del PIE para una sola región con una condición de contorno de Neumann nula y que llamaremos Problema Inverso Electroencefalográfico Simplificado (PIES). Nótese que la condición de compatibilidad sobre ψ para el problema (10) es la dada por (9). Llamaremos al problema (11), Problema de Contorno Electroencefalográfico Simplificado (PCES).
El desarrollo de esta sección es válido para regiones generales con frontera suficientemente suave que incluyen el caso de las geometrías que pueden aproximar con mayor precisión a la geometría de la cabeza de un paciente específico. En la sección siguiente se desarrollan los tres problemas anteriores para el caso en el que la cabeza se modela por medio de esferas concéntricas, a fin de ilustrar cómo funciona la propuesta realizada en esta sección.
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