Cinemática

Tiro parabólico y movimiento circular uniforme

Descripción

Un paraguas de radio R está mojado y gira alrededor de su eje fijo con velocidad angular ω, en el plano vertical. Las gotas de agua se dispersan desde los extremos de las varillas con la misma velocidad v₀=ωR pero con distinta dirección. El vector velocidad inicial tiene una dirección tangente a la circunferencia tal como se muestra en la figura.

La gota de agua situada en la posición

x₀=R·cosθ
y₀=R·senθ

se desprende del extremo de la varilla con una velocidad inicial v₀=ωR formando un ángulo α=θ+π/2 con la horizontal.

La posición de la gota de agua en función del tiempo es:

x= x₀+v₀ ·cosα·t
y= y₀+ v₀ ·senα·t-gt²/2

o bien,

x= R·cosθ-v₀ ·senθ·t
y= R·senθ+v₀·cosθ·t-gt²/2

Alcance máximo

Si el suelo está a una distancia h por debajo el origen. El alcance de una gota que sale de la posición θ se calcula poniendo en las ecuaciones del movimiento y=-h.

x= R·cosθ-v₀ ·sen(θ)·t
-h= R·senθ+v₀·cos(θ)·t-gt²/2

Dado el ángulo θ, calculamos el tiempo de vuelo t, en la segunda ecuación y lo sustituimos en la primera para calcular el alcance x.

Ahora bien, nuestra tarea será determinar la posición inicial, o el ángulo θ_m, de la gota o gotas que llegan más lejos. Como vemos en la figura, hay dos ángulos para los cuales el alcance es máximo e igual a x_m.

El alcance x es una función del tiempo de vuelo t y del ángulo θ en la primera ecuación, y el tiempo de vuelo t es una función del ángulo θ, en la segunda ecuación. No parece a primera vista, una tarea sencilla, expresar x en función del ángulo θ, y despejar θ en la ecuación que nos da la condición de extremo dx/dθ=0. Realizaremos el cálculo de los ángulos θ_m siguiendo el procedimiento descrito en el artículo citado en las referencias.

Expresamos las ecuaciones del tiro parabólico en forma vectorial

r(t)=r₀+v₀·t+gt²/2

donde

r=xi+yj,
r₀=Rcosθ·i+ Rsenθ·j,
v₀= -v₀senθ·i+v₀cosθ·j
g=-g·j

Dibujamos los tres vectores r₀,v₀·t, gt²/2, y el vector suma r, tal como se muestra en la parte izquierda de la figura. En la parte derecha, observamos dos triángulos rectángulos OAB y OBC con la hipotenusa OB común, se cumplirá que

De este modo, podemos expresar x solamente en función del tiempo t.

El extremo (máximo) de x se calcula derivando x con respecto a t.

El alcance x_m para el instante t_m es

Calculamos el ángulo θ_m de la gota cuyo punto de impacto es (-x_m, -h). Como vemos en la parte derecha de la figura θ_m=π-α-β.

Calculamos el ángulo θ_m de la gota cuyo punto de impacto es (x_m, -h).

Como vemos en la parte derecha de la figura θ_m=2π-(α-β)=2π-α+β.

Altura máxima

La gota que se lanza en la posición θ=0, se mueve verticalmente hacia arriba,

v_y=v₀-gt
y=v₀·t-gt²/2

alcanzando una altura máxima y cuando v_y=0, cuyo valor es

Hay otras gotas que alcanzan una altura mayor, la que alcanza la altura máxima sale de la posición angular θ_m que vamos a calcular

La componente vertical de la velocidad de la gota que sale de la posición angular θ

v_y= v₀·cos(θ) -gt
y= R·senθ+v₀·cos(θ)t-gt²/2

La máxima altura se alcanza cuando v_y=0, y su valor es

El ángulo θ, para el cual y es un extremo se obtiene dy/dθ=0

Una solución es cosθ=0, con θ=π/2, que es cuando la gota sale horizontalmente. La solución buscada es

La altura máxima que alcanza la gota que parte de esta posición es

y su abscisa es x_m=0, tal como vemos en la figura, más abajo

Ecuación de la envolvente.

Como vemos en la figura, la envolvente (en color azul) es una parábola simétrica respecto del eje Y, su ecuación es y=ax²+b. Calculamos a y b sabiendo que la parábola pasa por el punto (0, y_m), y pasa por el punto (x_m, -h). Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

La ecuación de la envolvente, para el caso

, es la parábola

Torpedo a la caza de un submarino

la trayectoria que sigue un torpedo disparado desde el origen cuando persigue a un submarino que se mueve con velocidad constante V a lo largo de la trayectoria rectilínea y=H. El torpedo se mueve con velocidad constante v, pero su dirección apunta siempre hacia el submarino, tal como se muestra en la figura.

Ecuación del movimiento del torpedo

En el triángulo rectángulo de la figura, la base es la diferencia entre el desplazamiento del submarino V·t y la del torpedo x. La altura es la diferencia H-y. Como la dirección de la velocidad del torpedo es la línea recta que pasa por la posición del torpedo y la del submarino en el instante t, tendremos que

o de forma alternativa

Diferenciando ambos miembros con respecto del tiempo

Teniendo en cuenta que dv_y/dt=dv_y/dy·dy/dt=v_y·dv_y/dy

Integramos ambos miembros, sabiendo que el torpedo parte del origen y=0, y su velocidad inicial es v_y=v, dirigida a lo largo del eje Y.

Para resolver la integral de la derecha, se hace el cambio de variable z=1/v_y

Deshaciendo el cambio de variable y evaluando ambas integrales en los límites inferior y superior, se obtiene.

Elevando ambos miembros al cuadrado y despejando v_y

Resolvemos la ecuación diferencial de primer orden

con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, el torpedo parte del origen, y=0.

Alternativamente, integramos de nuevo para obtener la ordenada y del torpedo en función del tiempo t.

Para ello, hacemos el cambio de variable z=1-y/H.

Esta es una ecuación implícita de la ordenada y en función del tiempo t.

Una vez obtenida la ordenada y en función del tiempo t, se calcula la abscisa x, mediante la relación deducida al principio de esta página.

Sustituimos el tiempo t y obtenemos la ecuación de la trayectoria

Distintos casos

Cuando la velocidad del torpedo es mayor que la del submarino, v>V.

Cuando y=H ó z=0 se produce el impacto del torpedo y la posible destrucción del submarino.

La posición del punto de impacto es

que es positivo solamente si v>V. La velocidad v del torpedo tiene que ser necesariamente mayor que la velocidad V del submarino para que haya impacto.

El instante t en el que se produce es

Cuando la velocidad del torpedo es menor que la del submarino, v.

El torpedo y el submarino se aproximan hasta una distancia mínima y luego se alejan.

El mínimo se obtiene derivando L respecto de z e igualando a cero.

Haciendo algunas operaciones obtenemos

Cuando la velocidad del submarino y del torpedo es la misma, V=v.

La componente Y de la velocidad del torpedo vale

Hacemos el cambio de variable z=1-y/H para integrar

La ecuación de la trayectoria es

Cuando v→V, la distancia entre el submarino L_min y el torpedo tiende a H/2, como puede comprobarse fácilmente

Ejemplo.

Cuando la velocidad v del torpedo es menor que la del submarino V=1. Por ejemplo, v=0.8.

La distancia de máximo acercamiento es

En la posición

z=0.415, y=0.585

En el instante

La abscisa x se obtiene a partir de la ecuación de la trayectoria