Física

Cinemática

Movimiento relativo de rotación uniforme

La fuerza de Coriolis es la responsable de la rotación del plano del péndulo de Foucault, la circulación del aire alrededor de los centros de baja o alta presión, la desviación de la trayectoria de proyectiles de largo alcance, la rotación del agua cuando sale por el desagüe de la bañera, etc.
La fuerza centrífuga es responsable del cambio en el módulo y en la dirección de la aceleración de la gravedad a distintas latitudes.
Las fuerzas reales como la fuerza que ejerce un muelle, la fuerza de atracción gravitatoria, las fuerzas eléctricas o magnéticas son las que describen las interacciones entre los cuerpos. Las fuerzas de inercia solamente se observan en sistemas de referencia acelerados, para distinguirlas de las fuerzas reales se denominan también fuerzas ficticias o pseudofuerzas.
La introducción de este tipo de fuerzas junto con las reales facilita la resolución de los problemas de Mecánica en los sistemas de referencia en movimiento relativo de rotación uniforme como la Tierra.
Las fórmulas que relacionan la velocidad v’ y de la aceleración a’ medidas en el sistema no inercial con la velocidad v y aceleración a medidas en el sistema inercial son las siguientes


Su justificación la podemos encontrar en algunos libros de texto

Movimiento rectilíneo y uniforme

Vector posición

Una partícula P se mueve a lo largo del eje X con velocidad constante v, sabiendo que en el instante inicial t=0, se encuentra en la posición x₀, determinar la trayectoria en el sistema no inercial que gira con velocidad angular constante w en el sentido de las agujas del reloj.
Sistema inercial
La posición de la partícula P en función del tiempo es
x=x₀+vt
y=0.El vector posición es r=xi
La trayectoria de la partícula es rectilínea

Sistema no inercialx’=x·cos(w t) y’=x·sen(w t) El vector posición es r= x·cos(w t)i’+ x·sen(w t)j’

Si la partícula parte del origen en el instante t=0, x=v·t. La distancia r de la partícula al origen en el instante t es

El ángulo girado por el sistema no inercial al cabo de un cierto tiempo t es θ=ω·t

La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es Que es una espiral de Arquímedes, tal como puede verse en el applet más abajo. Esta es la espiral que describe la cinta de una casete de espesor d al enrollarse, o la trayectoria que sigue una aguja en un disco.

Vector velocidad

Sistema inercial
La velocidad v de la partícula P es constante
v=vi
Sistema no inercial
Derivando respecto del tiempo obtenemos la velocidad de la partícula medida en el sistema no inercial

Vamos a comparar este resultado con el que nos proporciona la fórmula

Con
v=vi
w =-w k
r=xi
se obtiene
v’=vi+w xj

Ahora, relacionamos los vectores unitarios i, j, del sistema de referencia OXY inercial con los vectores unitarios i’, j’ del sistema OX’Y’ no inercial

Obtenemos de nuevo, el vector velocidad v’

Vector aceleración

Sistema inercial
La velocidad v de la partícula P es constante en módulo y dirección
a=0
Sistema no inercial
Derivando las componentes de la velocidad con respecto del tiempo obtenemos la aceleración a’ medida en el sistema no inercial.

Veamos ahora mediante la fórmula

Los datos que tenemos son

a=0, el movimiento es uniforme en el sistema de referencia inercial
w =-w k
r= x·cos(w t)i’+ x·sen(w t)j’
v’=(v·cos(w t)- x·w ·sen(w t))i’+(v·sen(w t)+ x·w ·cos(w t))j’

Calculamos cada aceleración separadamente
Aceleración de Coriolis
-2w ´ v’=-2(-w k)(v_xi’+v_yj’)=-2w v_yi’+2w v_xj’
=-2w (v·sen(w t)+ x·w ·cos(w t))i’+2w (v·cos(w t)- x·w ·sen(w t))j’

En la figura, se muestra que la aceleración de Coriolis es siempre perpendicular a la velocidad v'. A la izquierda, se muestra el producto vectorial en el espacio, y a la derecha la misma representación en el plano.
Aceleración centrífuga
-w ´ (w ´ r)
con  r= x·cos(w t)i’+ x·sen(w t)j’
-w ´ (w ´ r)=-(-w k) ´ (w ·x·sen(w t)i’-w ·x·cos(w t)j’)
=w²·x·cos(w t)i’+w²·x·sen(w t)j’

En la figura, se muestra el resultado del triple producto vectorial. La aceleración centrífuga tiene dirección radial.
Sumando las dos contribuciones volvemos a obtener la aceleración a’ medida en el sistema no inercial
a’=(-2w ·v·sen(w t)- w²·x·cos(w t))i’+(2w ·v·cos(w t)- w²·x·sen(w t))j’

Simulación del péndulo de Foucault

En 1851 Jean Leon Foucault colgó un péndulo de 67 metros de largo de la cúpula de los Inválidos en Paris. Un recipiente que contenía arena estaba sujeto al extremo libre, el hilo de arena que caía del cubo mientras oscilaba el péndulo señalaba la trayectoria. Demostró experimentalmente que el plano de oscilación del péndulo giraba 11º 15’ cada hora. El experimento de Foucault es una prueba efectiva de la rotación de la Tierra. Aunque la Tierra estuviera cubierta de nubes, este experimento hubiese demostrado que tiene un movimiento de rotación.
En esta simulación, el movimiento de péndulo se sustituye por el Movimiento Armónico Simple de un punto P.
x=Acos(w_pt)
Donde w_p es la frecuencia angular de oscilación de este imaginario péndulo.
Se dibuja la trayectoria en el sistema no inercial OX’Y’ aplicando la transformación
x’=x·cos(w t)=Acos(w_pt)·cos(w t)
y’=x·sen(w t)=Acos(w_pt)·sen(w t)
Donde w es la velocidad angular de rotación
En la figura, se muestra el ángulo girado por el plano de oscilación del "péndulo" durante el periodo de una oscilación. El péndulo parte de A y regresa a B, para iniciar una nueva oscilación. El ángulo girado es Dq =w ·P. Siendo P=2p/w_p el periodo de una oscilación

El ángulo girado por el plano de oscilación del péndulo en una hora, es el producto de Dq  por el número de oscilaciones que da el péndulo en una hora.
Dq·60·60/P=w ·60·60=15º a la hora
Teniendo en cuenta que la velocidad angular de rotación w de la Tierra es de 360º en 24 h.

Para un lugar de latitud λ, el ángulo girado por el plano de oscilación del péndulo en una hora vale 15º·sen λ. La razón estriba en que el vector velocidad angular de rotación w forman un ángulo 90º-λ con la dirección perpendicular al plano local, tal como se ve en la figura.Recuérdese que la aceleración de Coriolis responsable de este fenómeno es el producto vectorial -2w ´ v.

Sabiendo que la latitud de Paris es de aproximadamente 49º, el plano de oscilación del péndulo de Foucault gira a razón de 11.3º cada hora.
Caso particular w=w_p
Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son
x’=Acos(w·t)·cos(w t)=(A/2)(1+cos(2w ·t))
y’=Acos(ω·t)·sen(w t)=(A/2)sen(2w ·t)

Eliminamos el tiempo t de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria y obtenemos la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (A/2, 0) y de radio A/2.