Cinemática
Movimiento de la cinta de una casete
Una casete es una caja de plástico que dispone de dos pequeñas ruedas en las que se enrolla y desenrolla respectivamente una cinta magnética. Dispone de un cabezal que graba o reproduce el sonido en la cinta, tal como se muestra en la figura.
La casete
El radio inicial de las ruedas sin cinta es r0=1.11 cm, y la velocidad de la cinta cuando pasa por el cabezal es constante e igual a v=4.76 cm/s. La cinta tarda un tiempo T en reproducirse completamente. Este tiempo depende de la longitud total de la cinta l=v·T. El espesor de la cinta h es muy pequeño, y su valor lo determinaremos más adelante.
En el instante inicial t=0.
- El radio de la rueda izquierda es r0=1.11 cm
- El radio de la rueda derecha es R0=2.46 cm, para una cinta de duración T=46.4 minutos
La cinta se desenrolla de la rueda derecha y se enrolla en la izquierda. En un instante determinado t, la relación entre la velocidad lineal constante v de la cinta y las velocidades angulares de rotación de las ruedas serán
- El radio de la rueda izquierda será r1 y su velocidad angular ω1=v/r1
- El radio de la rueda derecha será r2 y su velocidad angular ω2=v/r2
Aunque la velocidad v de la cinta es constante, las velocidades angulares ω1 y ω2 de las ruedas no lo son ya que sus radios r1 y r2 cambian con el tiempo
En cada vuelta 2π, la rueda izquierda incrementa su radio en h, el espesor de la cinta. Cuando la rueda izquierda gira un ángulo dθ1, su radio se habrá incrementado en dr1.
La rueda derecha habrá girado un ángulo dθ2, su radio habrá disminuido en dr2
Integramos estas dos ecuaciones entre el instante t=0, y en el instante t, teniendo en cuenta que en el instante t=0,
- el radio de la rueda izquierda es r1=r0
- el radio de la rueda derecha es r2=R0
En el instante t=T la cinta se ha reproducido completamente.
- el radio de la rueda izquierda es r1=R0
- el radio de la rueda derecha es r2=r0
Si medimos los radios r0 y R0, el tiempo T, y la velocidad v podemos despejar el espesor h de la cinta de la primera o de la segunda ecuación. Si la duración de la cinta es deT=46.4 minutos.
Los ángulos girados por las dos ruedas se calculan integrando ω1, y ω2, respecto del tiempo t.
En el instante t=T, r1=R0 y r2=r0, el ángulo total girado por ambas ruedas es el mismo,
El contador del reproductor de la casete
Una experiencia que se puede llevar a cabo con la ayuda de un cronómetro es la de establecer una relación entre la lectura n del contador del reproductor de la casete y el tiempo ttranscurrido. Vamos a comprobar que esta relación no es lineal
Supongamos que en el instante t=0, el radio de la rueda izquierda es r0, el contador se pone a cero. En el instante final T, el radio de la rueda izquierda es R0, y la lectura del contador es N.
La lectura n del contador en el instante t es directamente proporcional al ángulo girado por la rueda izquierda θ1 hasta dicho instante.
Eliminando la constante de proporcionalidad k entre las dos ecuaciones
Despejando el tiempo t
Supongamos que en el instante inicial t=0, el radiode la rueda izquierda es r0=1.11 cm, el radio de la rueda derecha es R0=2.46 cm, y la lectura del contador es n=0. Cuando la cinta está completamente enrollada en la rueda izquierda ha trascurrido un tiempo de T=46.4 minutos, la lectura del contador es N=744.
t=0.0019·n2+2.33·n
En la figura, se representa t en función de n. Se sugiere al lector que analice el comportamiento de su reproductor de casete y complete una tabla como la siguiente, y represente los datos en una gráfica semejante a la figura anterior.
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y=a0+a1x+a2x2
El disco compacto CD
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Un disco compacto CD tiene 6 cm de radio, 1.2 mm de espesor con un agujero central de 7.5 mm de radio. La información digital se graba en una espiral de Arquímedes de paso h constante
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La pista más cercna al eje tiene un radio R0=23 mm y la más alejada Rf=58 mm, h=1.6μm es la separación entre pistas. El número de pistas (vueltas) es, por tanto.
El tiempo total que se emplea en leer a velocidad (lineal) constante la totalidad de las pistas del disco es T=72 min.
En la figura, por razón de claridad se representa un CD con solo N=10 pistas, separadas h=3.5 mm.
Longitud de una espiral de Arquímedes
Vamos a obtener la longitud s de una espiral de Arquímedes por tres métodos distintos, uno exacto y dos aproximados. El primer método nos permite practicar el cálculo integral en particular, las funciones senh, seno hiperbólico y cosh, coseno hiperbólico.
- Cálculo excato
En coordenadas polares
x=r·cosθ
y=r·senθ
y=r·senθ
dx=cosθ·dr-rsenθ·dθ
dy=senθ·dr-rcosθ·dθ
dy=senθ·dr-rcosθ·dθ
En el caso de la espiral de Arquímedes
Para calcular la longitud de la espiral se integra entre θ=0, y θ=2πN, donde N es el número de pistas.
Para resolver la integral del tipo
se hace el cambio de variable
u=a·senht, du=acosht
Deshaciendo el cambio de variable
La función integrando es
El resultado final de la longitud de la espiral de Arquímedes es
Introduciendo los datos en el resultado final
- Cálculo aproximado
Obtenemos una solución aproximada de la integral, si nos damos cuenta que el primer término debajo de la raíz cuadrada h2/(4π2) es muy pequeño en comparación con el segundo.
La longitud de la espiral de Arquímedes se puede obtener aún más rápidamente, calculando el radio medio Rm=(R0+Rf)/2=40.5 mm de las pistas y multiplicando la longitud de la pista media por el número N de pistas considerando que tienen el mismo radio Rm
s=N·2πRm=5566.5 m
Velocidad angular de rotación
La velocidad de lectura es constante, v=s/T
Sin embargo, la velocidad angular de rotación cambia, la velocidad angular inicial es
ω0=v/R0=56.0 rad/s y la velocidad angular final es ωf=v/Rf=22.2 rad/s
La velocidad angular de rotación en función del ángulo θ es
Integrando
En el instante t=72·60=4320 s que se completa la lectura del CD
Derivando con respecto del tiempo obtenemos la expresión de la velocidad angular ω en función del tiempo t.
Donde ω0=v/R0 es la velocidad angular inicial, para t=0
En la figura, se muestra la variación de la velocidad angular ω con el tiempo t.
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