Cinemática

Regresión lineal

En esta página, se describe el procedimiento de ajuste de los datos experimentales a una línea recta denominado regresión lineal, que se usa en el laboratorio en varias situaciones:

Para calcular la velocidad en una experiencia de movimiento rectilíneo
Para calcular la constante elástica de un muelle, colocando pesas en un platillo que cuelga de su extremo libre y midiendo la deformación del muelle
etc.

El programa interactivo al final de esta página, está diseñado para que sea usado, en el Laboratorio de Física para cualquier experiencia que lo requiera. Nos proporciona los valores de:

La pendiente a de la recta de regresión y el error cometido Da
La ordenada en el origen b
El índice de correlación r. Este índice mide el grado de ajuste de los datos experimentales a la recta

Descripción

Supongamos que estamos midiendo la posición de un móvil en función del tiempo en un movimiento rectilíneo. Si el móvil está libre de fuerzas, esperamos que la relación entre la posición del móvil y el tiempo sea lineal x=x₀+vt. Donde x₀ es la posición del móvil en el instante t=0.

Si medimos las posiciones del móvil x₁ y x₂ en los instantes t₁ y t₂, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de las que podemos determinar las cantidades desconocidas x₀ y v. Ahora bien, esta afirmación solamente es cierta en un experimento ideal libre de errores.
Si efectuamos n medidas de la posición del móvil, el aspecto de la representación gráfica de nuestras medidas puede ser parecido al de la figura más abajo, los puntos de color azul representan los datos experimentales. La relación entre las ordenadas y y las abscisas x de dichos puntos es solamente aproximada, debido a los errores de cada una de las medidas.
Si tomamos únicamente dos puntos para definir la recta el resultado tendría un importante error. Para una mejor estimación de la recta y por tanto, de las magnitudes buscadas, se deberán utilizar las n medidas tomadas.
Supongamos una magnitud física y, relacionada con otra x, mediante la función y=ax+b. Una recta de pendiente a cuya ordenada en el origen es b. Las desviaciones ede los valores de y, véase la figura, serán

e₁=y₁-(ax₁+b)
e₂=y₂-(ax₂+b)
...................
e_i=y_i-(ax_i+b)
...................
e_n=y_n-(ax_n+b)

Sea E(a,b) la suma de los cuadrados de todas estas desviaciones
E(a,b)=(y₁-ax₁-b)²+(y₂-ax₂-b)²+...(y_i-ax_i-b)²+...+(y_n-ax_n-b)²

Los valores que minimizan a E(a,b) son aquellos para los que

Se obtiene así, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a y b cuya solución es

Expresiones más elaboradas nos permiten determinar el error de a, Da y el error de b, Db

La pendiente de la recta se escribirá a±Da, y la ordenada en el origen b±Db. Véase las reglas para expresar una medida y su error de una magnitud.
El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables X e Y. El coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula.

El coeficiente de correlación puede valer cualquier número comprendido entre -1 y +1.

Cuando r=1, la correlación lineal es perfecta, directa.

Cuando r=-1, la correlación lineal es perfecta, inversa

Cuando r=0, no existe correlación alguna, independencia total de los valores X e Y

El modelo de pronóstico de regresión lineal permite hallar el valor esperado de una variable aleatoria a cuando b toma un valor específico. La aplicación de este método implica un supuesto de linealidad cuando la demanda presenta un comportamiento creciente o decreciente, por tal razón, se hace indispensable que previo a la

selección de este método exista un análisis de regresión que determine la intensidad de las relaciones entre las variables que componen el modelo.

¿Cuándo utilizar un pronóstico de regresión lineal?

El pronóstico de regresión linealsimple es un modelo óptimo para patrones de demanda con tendencia

(creciente o decreciente), es decir, patrones que presenten una relación de linealidad entre la demanda y el tiempo.

Existen medidas de la intensidad de la relación que presentan las variables que son fundamentales para determinar en qué momento es conveniente utilizar regresión lineal.

Análisis de regresión

El objetivo de un análisis de regresión es determinar la relación que existe entre una variable dependiente y una o más variables independientes. Para poder realizar esta relación, se debe postular una relación funcional entre las variables. Cuando se trata de una variable independiente, la forma funcional que más se utiliza en la práctica es la relación lineal. El análisis de regresión entonces determina la intensidad entre las variables a través de coeficientes de correlación y determinación.

Coeficiente de correlación [r]

El coeficiente de correlación, comúnmente identificado como r o R , es una medida de asociación entre las variables aleatorias X y Y, cuyo valor varía entre -1 y +1.

El cálculo del coeficiente de correlación se efectúa de la siguiente manera:

Dónde t hace referencia a la variable tiempo y x a la variable demanda.

Modelo de Regresión Lineal Simple

Fórmulas

Pronóstico del período t

Intersección de la línea con el eje

Pendiente (positiva o negativa)

Período de tiempo

Donde ...

Promedio de la variable dependiente (Ventas o Demanda)

Promedio de la variable independiente (Tiempo)

Donde ...

Ejemplo de aplicación de un pronóstico de Regresión lineal Simple

La juguetería Gaby desea estimar mediante regresión lineal simple las ventas para el mes de Julio de su nuevo carrito infantil "Mate". La información del comportamiento de las ventas de todos sus almacenes de cadena se presenta en el siguiente tabulado.