Generador

1 Introducción

Consideremos un circuito cerrado, por el cual fluye una corriente estacionaria. La potencia desarrollada por unidad de volumen por un campo eléctrico es de la forma $\mathbf{J}{\cdot}\mathbf{E}$ , siendo el balance neto

$P=\int \mathbf{J}{\cdot}\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau$

En el estado estacionario, la energía es una constante y esta integral debe ser nula. En las regiones donde hay corrientes óhmicas, esta potencia es siempre positiva, por lo que el sistema pierde energía (como sabemos, en forma de calor). Descomponiendo la integral en las regiones óhmicas y en el resto tendremos que

$\int_\mathrm{resto}\!\!\!\!\!\!\mathbf{J}{\cdot}\mathbf{E}\,\mathrm{d}\tau=-\int \sigma E^2\,\mathrm{d}\tau < 0$

Este balance implica que debe haber algún punto a lo largo del circuito en el que la densidad de corriente vaya en la dirección opuesta al campo eléctrico. Es estos puntos, el movimiento de las cargas no será producido por el propio campo electrostático, sino por algún otro agente de origen no eléctrico o, si es eléctrico, no irrotacional, que mueva las cargas y aporte la energía perdida. Un campo eléctrico irrotacional es conservativo y no puede dar cuenta de estas pérdidas.

Otra forma de llegar a la misma conclusión es notar que, en una situación estacionaria, el campo eléctrico es irrotacional y, por tanto, sus líneas de campo son abiertas. La densidad de corriente, en cambio, es solenoidal y (para un circuito cerrado) posee líneas de campo cerradas. Se deduce que en algún punto a lo largo del circuito, deben tener orientaciones contrarias.

2 Definición de generador

Un generador es entonces un dispositivo que puede producir una corriente eléctrica ejerciendo una fuerza no electrostática sobre las cargas eléctricas. Debe ser no electrostática pues un campo electrostático no puede producir trabajo neto sobre una curva cerrada y por tanto no puede mantener una corriente en un circuito cerrado. Como ejemplos de estas fuerzas tenemos fuerzas magnéticas, químicas o mecánicas, e incluso eléctricas (no estáticas).

Esta fuerza mueve a las cargas situadas en el interior del generador, separándolas y creando la aparición de un polo positivo (o ánodo) y uno negativo (o cátodo).

La naturaleza de las fuerzas no eléctricas sobre las cargas eléctricas dentro de los generadores puede ser muy diversa. Aquí es suficiente para nuestro propósito explicar cualitativamente los tres tipos más comunes de estas fuerzas.

Generador Van de Graaff en el museo de la Ciencia de Boston

Fuerzas mecánicas: El ejemplo más sencillo es el constituido por las fuerzas mecánicas, en las que se basa el llamado generador de Van de Graaf. Éste consiste en una banda de goma aislante que se carga por fricción o por precipitación de cargas. La banda transporta la carga fijada a su superficie hasta una cúpula metálica conductora. De esta forma se produce una separación de la carga. Si esta cúpula se uniera por algún conductor a tierra, se produciría una corriente óhmica en sentido contrario al arrastre por la banda de goma. Este mismo principio explica la electrización de los jugadores de baloncesto en un día seco.

Pilas químicas: Históricamente, el primer conjunto de fuentes de fuerzas electromotrices, capaces de producir corrientes de suficiente intensidad, y por un período significativo de tiempo, fueron las células químicas. Básicamente consisten en lo siguiente: consideremos un cuerpo metálico inmerso en una solución conductora del mismo componente químico. El cuerpo metálico se denomina electrodo y la solución electrolito. En una delgada capa de contacto entre electrodo y electrolito, actúan sobre las cargas eléctricas ciertas fuerzas. Estas fuerzas tienen diferente magnitud e incluso diferentes direcciones para distintos pares de electrodos y electrolitos. Por tanto, si dos electrodos de diferente material se sumergen en el mismo electrolito, estas fuerzas actuarán desde un electrodo hacia el electrolito, y desde el electrolito hacia el otro electrodo. Si los electrodos están conectados por conductores metálicos, actuarán como una bomba hidráulica que empuja las cargas eléctricas en la misma dirección.

Fuerzas magnéticas: Una carga en movimiento en el seno de un campo magnético experimenta una fuerza magnética dada por la ley de Lorentz. Un ejemplo de aplicación de fuerzas magnéticas para producir corrientes continuas lo constituye el geenrador homopolar o disco de Faraday.

Inducción: Un campo magnético variable en el tiempo, de acuerdo con la ley de Faraday produce un campo eléctrico no irrotacional, capaz de mantener cargas en movimiento a lo largo de un circuito. En este principio se basan la mayoría de los generadores industriales, como alternadores y dinamos.

En conclusión, sobre las cargas eléctricas libres actúan, en cualquier punto, simultáneamente fuerzas eléctricas y fuerzas no eléctricas. Las primeras son debidas al campo eléctrico originado por la distribución de cargas, pero las últimas no son producidas por dichas cargas.

Las fuerzas no eléctricas son llamadas usualmente fuerzas externas, de forma que se verifica, para cada una de las cargas,

$\mathbf{F}_\mathrm{total} = q \mathbf{E} + \mathbf{F}_\mathrm{ext}$

Ahora bien, $\mathbf{F}_\mathrm{ext}$ puede representarse como el producto de

q

por un cierto campo efectivo $\mathbf{E'}$ . Hay que hacer hincapié en que $\mathbf{E}'$ no define ningún campo electrostático, puesto que no es debido a cargas eléctricas estacionarias. De ahí,

$\mathbf{F}_\mathrm{total} = q (\mathbf{E} + \mathbf{E}')$

Igualmente se tendrá, para la densidad de corriente, si es aplicable la ley de Ohm,

$\mathbf{J}=\sigma(\mathbf{E}+\mathbf{E}')$

El campo eléctrico $\mathbf{E}'$ existe únicamente en el interior de las fuentes o generadores, mientras que el campo electrostático real $\mathbf{E}$ , debido a la distribución de cargas, existe dentro de las fuentes y fuera de ellas. Donde existe, el campo efectivo $\mathbf{E}'$ debe ir en dirección opuesta a $\mathbf{E}$ .

3 Definición de fuerza electromotriz

La acción neta de las fuerzas no electrostáticas que actúan en los generadores se mide con la fuerza electromotriz, cuya unidad es el voltio y definida como

$\mathcal{E} = \oint \frac{\mathbf{F}}{q}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} = \oint (\mathbf{E}+\mathbf{E}'){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}$

esto es, la integral a lo largo de una curva cerrada de la fuerza total por unidad de carga. En términos físicos, representa el trabajo por unidad de carga para hacer que una carga de prueba diera una vuelta completa al circuito.

Esta fuerza total incluye al campo electrostático $\mathbf{E}$ como al campo efectivo $\mathbf{E}'$ . Sin embargo, dado que el campo electrostático es conservativo, se cumple

$\mathcal{E} = \oint (\mathbf{E}+\mathbf{E}'){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=\overbrace{\oint \mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}}^{=0}+\oint \mathbf{E}'{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=\oint \mathbf{E}'{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}$

es decir, el valor neto de la fuerza electromotriz depende solo de la fuerza externa no electrostática que actúa sobre las cargas.

4 Relación con el voltaje

Dado que la fuerza electromotriz es un voltaje, nos preguntamos popr su relación con la diferencia de potencial entre los polos del generador

$\Delta V = V_P-V_N = \int_P^N \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$

que es la cantidad que se mide desde el exterior con un voltímetro. En lo que sigue siempre consideramos

Δ V

como la diferencia de potencial entre el polo positivo y el negativo.

4.1 En circuito abierto

Supongamos un generador en circuito abierto, esto es, no hay nada conectado a sus polos, y no hay corriente pasando por su interior.

En este caso la fuerza externa separa a las cargas, apareciendo una densidad de carga positiva en el ánodo y negativa en el cátodo. El proceso de acumulación se detiene cuando la fuerza electrostática debido a esta densidad de carga anula completamente la acción de la fuerza externa, de manera que dentro del generador

$\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{E}')=\mathbf{0}\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}+\mathbf{E}'$

Fuera del generador hay campo electrostático (que se extiende a todo el espacio, no solo al interior del generador, pero la fuerza no electrostática es nula.

En este caso podemos calcular la fuerza electromotriz a lo largo de una curva cerrada

Γ

que pasa por el interior entrando por el polo negativo y saliendo por el positivo, y por el exterior sigue un camino arbitrario de P a N. En particular, si tenemos un voltímetro conectado a los bornes, con el polo positivo del voltímetro conectado al polo positivo del generador, tomamos el camino que pasa por el interior del voltímetro. Resulta

$\mathcal{E} = \oint(\mathbf{E}+\mathbf{E}'){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathrm{ext}\ P}^N (\mathbf{E}+\overbrace{\mathbf{E}'}^{=\mathbf{0}}){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} + \int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathrm{int}\ N}^P (\overbrace{\mathbf{E}+\mathbf{E}'}^{=\mathbf{0}}){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_{P}^N \mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} =V_P-V_N=\Delta V$

esto es, la fuerza electromotriz coincide con la diferencia de potencial entre los polos en circuito abierto. Esto proporciona un procedimiento de medida de la f.e.m. Basta con emplear un voltímetro conectándolo a los polos del generador, sin que haya corriente circulando por el generador.

4.2 En circuito cerrado

Cuando se cierra el circuito, parte de la carga del polo positivo fluye hacia el negativo (y viceversa) a través de la conexión 8que, puede ser una resistencia, un motor, o cualquier otro elemento o elementos).

Al haber una cierta recombinación de carga, el campo electrostático se ve reducido y ya no llega a compensar exactamente a la fuerza no electrostática, de forma que ahora se tiene, dentro del generador

$\mathbf{E}+\mathbf{E}'\neq\mathbf{0}\,$

En primera aproximación, podemos admitir que esta suma será una cantidad proporcional a la corriente que pasa por el generador. Si no hay corriente (circuito abierto), es nula, y si sí la hay, cuanta más corriente, más recombinación de carga y menor campo eléctrico.

$\mathbf{E}+\mathbf{E}'\propto I\,$

Esta relación de proporcionalidad deja de ser cierta cuando la corriente que pasa por el generador es muy intensa (lo que ocurre en cortocircuito).

Si colocamos de nuevo un voltímetro (sin desconectar el generador del circuito al que está alimentando, y volvemos a calcular la f.e.m. a lo largo de una curva que pasa por la fuente y el voltímetro obtenemos

$\mathcal{E} = \oint(\mathbf{E}+\mathbf{E}'){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathrm{ext}\ P}^N (\mathbf{E}+\overbrace{\mathbf{E}'}^{=\mathbf{0}}){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} + \int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathrm{int}\ N}^P (\overbrace{\mathbf{E}+\mathbf{E}'}^{\propto I}){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} =\Delta V + Ir$

o, equivalentemente,

$\Delta V = \mathcal{E}-Ir$

Resistencia interna: La cantidad $r$ que aparece en la ecuación anterior es la resistencia interna del generador. Esta cantidad, que se mide en ohmios, no representa en general, una resistencia óhmica (esto es, debida a los choques con moléculas), ya que en el interior de un generador no se cumple en general la ley de Ohm, ni para el campo electrostático ni para la suma $\mathbf{E}+\mathbf{E}'$ . Lo que mide $r$ es la proporcionalidad entre esta suma y la corriente que pasa por el generador (y que puede deberse a efectos mecánicos, magnéticos o químicos). No obstante, dada su analogía formal con la ley de Ohm, no hay problema en tratar a la resistencia interna como una más del circuito.

Por tanto, en circuito cerrado, la d.d.p. entre los polos es igual a la fuerza electromotriz (medible en circuito abierto, según indicamos) menos la caída de tensión en el propio generador.

5 Potencia de un generador

Si un generador realiza un trabajo $\mathcal{E}$ por cada carga que recorre el circuito completo y este trabajo se realiza solo dentro del generador, el trabajo realizado por para mover una carga

d q

que atraviesa el generador será

$\mathrm{d}W_g = \mathcal{E}\,\mathrm{d}q$

Si esta carga entra en el generador en un intervalo

d t

, el trabajo realizado en la unidad de tiempo, esto es, la potencia, será

$P_g = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}=\mathcal{E}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=\mathcal{E}I$

Esta es la potencia desarrollada por el generador, pero no toda ella se consume en el circuito. Sustituyendo la relación entre la fuerza electromotriz, la diferencia de potencial y la corriente obtenemos aplicando la expresión de la potencia para un sistema de electrodos

$P=\sum_iI_iV_i=I_PV_P+I_NV_N = I(V_P-V_N) = I\,\Delta V = I\mathcal{E} - I^2r\,$

El primer miembro término si es la potencia entregada al circuito, pero vemos que a la potencia desarrollada por el generador hay que descontar el término

I 2 r

que corresponde al consumo de energía en el propio generador.

6 Modelo circuital de generador

6.1 Fuente de tensión

De la relación

$\mathcal{E}=Ir+\Delta V\,$

podemos interpretar un generador real como asociación de dos elementos ideales puestos en serie:

Una fuente de tensión ideal que proporciona una tensión $V_0=\mathcal{E}$ en todo momento y sin resistencia interna.
Una resistencia interna óhmica $r$ .

Hay que recordar que ninguno de estos dos elementos existe por separado. Conjuntamente constituyen el modelo circuital de un elemento real.

La resistencia interna puede contabilizarse entre las demás del circuito. Así, supongamos que entre los bornes del generador se encuentra una resistencia

R

. De acuerdo con la ley de Ohm se cumplirá entre los extremos de la resistencia

$V_P-V_N=IR\,$

Igualando esto a la d.d.p. entre los polos del generador y despejando obtenemos la intensidad

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

que sería la corriente si la fuente fuera ideal y en el exterior hubiera una asociación en serie de la resistencia externa y la interna.

Para este mismo caso la tensión a la salida del generador sería

$\Delta V = \frac{\mathcal{E}R}{R+r}$

que es proporcional a la fuerza electromotriz, pero no igual a ella (salvo en el caso ideal).

6.2 Fuente de intensidad

La relación entre la corriente, la tensión y la f.e.m. puede reescribirse en la forma

$I = \frac{\mathcal{E}}{r}-\frac{\Delta V}{r}$

Llamando

$I_0=\frac{\mathcal{E}}{r}$ $g=\frac{1}{r}$

nos queda

$I= I_0-g\,\Delta V = I_0+g\,(V_N-V_P)\,$

que podemos leer como la asociación en paralelo de dos elementos:

Una fuente de intensidad ideal, que proporciona una corriente fija $I 0$ en todo instante.
Una conductancia interna $g$ .

Así pues, podemos definir una fuente de intensidad ideal como un generador real que tiene una resistencia interna muy grande (idealmente infinita) pero que también tiene una f.e.m. muy grande. Matemáticamente

$r\to\infty\qquad \mathcal{E}\to\infty\qquad\qquad \frac{\mathcal{E}}{r}\to I_0\ \mbox{finito}$

En términos de este modelo la potencia entregada al circuito es

$I\,\Delta V = I_0\,\Delta V-g(\Delta V)^2\,$

que se interpreta como que una fuente de intensidad real desarrolla una potencia

$P_g=I_0\,\Delta V$

pero consume internamente una potencia

g (Δ V) 2

7 Ejemplos

7.1 Generador de Van de Graaf

7.2 Espira móvil

El modelo más sencillo de generador magnético es el formado por un conductor que se mueve en el seno de un campo magnético. En este caso, sobre cada carga del conductor se ejerce una fuerza magnética

$\mathbf{F}_m=q(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,$

de forma que la fuerza total sobre cada carga la da la ley de Lorentz

$\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,$

En el caso de campos estacionarios el término $\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ desempeña el papel de campo efectivo $\mathbf{E}'$ y es el responsable de que se produzca una corriente si la espira es cerrada

7.2.1 En circuito abierto

Artículo completo: Barra que se mueve en un campo uniforme

Una barra que se mueve en el interior de un campo magnético uniforme sería el caso más simple de generador en circuito abierto. El campo efectivo sería

$\mathbf{E}'=\mathbf{v}\times\mathbf{B}=(v\mathbf{u}_x)\times(B_0\mathbf{u}_z)=-vB_0\mathbf{u}_y$

Esta fuerza externa empuja a las cargas positivas y negativas en sentidos opuestos, de forma que aparece un polo positivo en el extremo inferior y uno negativo en el superior. La separación de carga se detiene cuando se alcanza el equilibrio en la barra

$\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}=\mathbf{0}\,$

de forma que el campo eléctrico en los puntos de la barra es

$\mathbf{E}=-\mathbf{v}\times\mathbf{B}=vB_0\mathbf{u}_y$

y la f.e.m., igual a la diferencia de potencial entre los extremos de la barra en circuito abierto

$\mathcal{E}=\Delta V = V_P-V_N =\int_P^N \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=vaB_0$

Ley de Lorentz

1 Fuerza sobre cargas puntuales

1.1 Ley de Lorentz

Según se ve en el tema de Electrostática en el vacío, la fuerza eléctrica sobre una carga puntual en reposo viene dada por

$\mathbf{F}=q\mathbf{E}(\mathbf{r})$

Sin embargo, si dicha carga se encuentra en movimiento, la experiencia muestra que se ve sometida a una fuerza adicional. Esta fuerza, que llamaremos fuerza magnética, verifica que es:

Proporcional a la carga
Proporcional al módulo de su velocidad
Perpendicular a la velocidad

Con estas condiciones, la fuerza magnética debe ser de la forma

$\mathbf{F}_m=q\mathbf{v}\times\mathbf{B}(\mathbf{r})$

siendo $\mathbf{B}$ un nuevo campo, conocido como campo magnético. La fuerza total sobre una carga puntual es entonces

$\mathbf{F}=q\left(\mathbf{E}(\mathbf{r})+\mathbf{v}\times\mathbf{B}(\mathbf{r})\right)$

Esta expresión, que es válida en general, tanto para situaciones estáticas como dinámicas, se denomina Fuerza de Lorentz.

1.2 Trabajo magnético nulo

Una propiedad característica de la fuerza magnética sobre una carga magnética es que no realiza trabajo, por siempre normal a la velocidad.

$W = \int \mathbf{F}_m\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\int(q\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot(\mathbf{v}\mathrm{d}t)= q\int\mathbf{v}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,\mathrm{d}t)=0$

y por tanto permanece constante la energía cinética de una carga que se mueve en un campo magnético.

En términos de las componentes intrínsecas de la aceleración, tenemos que la fuerza es siempre normal a la velocidad y por tanto la aceleración tangencial es siempre nula

$\mathbf{F}_m=q\mathbf{v}\times\mathbf{B}\perp\mathbf{v}$ $\Rightarrow$ $a_t=0\,$

Si la aceleración tangencial es nula, la celeridad (módulo de la velocidad) permanece constante

$0=a_t=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$ $\Rightarrow$ $v=|\mathbf{v}|=\mathrm{cte}$

Una celeridad constante implica una energía cinética constante.

Esto quiere decir que una carga puntual que se mueve en el seno de un campo magnético podrá cambiar de dirección de la velocidad (esto es, su movimiento sí será acelerado), pero no se moverá ni más rápido ni más lento en ningún momento.

Hay que destacar que esta conclusión, que el campo magnético no realiza trabajo, es sólo cierta para una carga puntual sometida a la fuerza de Lorentz. Si tenemos una corriente eléctrica (formada por millones de partículas en movimiento) o un dipolo magnético (que también experimenta fuerzas magnéticas) no es cierto que la energía cinética permanezca constante. De hecho, los frenos magnéticos se basan en la disminución de la energía cinética por acción de un campo magnético.

1.3 Unidades del campo magnético

De la expresión de la fuerza magnética resulta que, en el SI, $\mathbf{B}$ se mide en

$[B] = \frac{{[F]}}{{[q][v]}} = \frac{{\left( {1\,{\rm{N}}} \right)}}{{\left( {1{\rm{C}}} \right)\,\left( {1{\rm{m}}/{\rm{s}}} \right)}} = \frac{{1\,{\rm{N}}}}{{{\rm{A}}\cdot{\rm{m}}}} = 1\,{\rm{T}}$

A esta unidad se la denomina Tesla, en honor del científico e ingeniero Nikola Tesla.

1.4 ¿Y los imanes?

El concepto de campo magnético suele asociarse sobre todo con los imanes. Sin embargo, las experiencias de Øersted de 1820 mostraron que: Las corrientes eléctricas producen fuerzas magnéticas sobre los imanes.

A partir de ahí, Ampère por un lado y Biot y Savart por otro, postularon la expresión simétrica:

Los imanes producen fuerzas magnéticas sobre las corrientes eléctricas

Y por tanto

Las corrientes eléctricas producen fuerzas magnéticas entre sí

Ampère postuló además que también las fuerzas magnéticas entre imanes son interacciones entre corrientes. Puesto que las corrientes eléctricas no son más que conjuntos de cargas en movimiento:

El magnetismo se reduce a la interacción entre cargas

1.5 La regla de la mano derecha

Es indispensable al estudiar el campo magnético: Si el índice apunta según v y el corazón según B, el pulgar indica la fuerza.

2 Movimiento de una carga en un campo magnético

¿Cómo se conocen las propiedades de la fuerza magnética indicadas anteriormente? Una posibilidad es estudiando el movimiento de una carga en un campo uniforme.

Supongamos un campo magnético $\mathbf{B} = B \mathbf{u}_z$ , y una carga q que penetra en el campo con velocidad inicial v0. Tenemos tres casos:

2.1 Velocidad inicial paralela

En este caso la fuerza inicial es nula

$\left.m\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \mathbf{F} = q\mathbf{v}_0\times\mathbf{B}=\mathbf{0}$

La velocidad no cambia ni entonces ni más tarde, por lo que el movimiento es rectilíneo y uniforme paralelo a

B

2.2 Velocidad inicial perpendicular

Como la fuerza es perpendicular a $\mathbf{B}$ , se cumple que $\mathbf{v}\perp\mathbf{B}$ en todo instante.

Escribiendo la 2ª ley de Newton en componentes intrínsecas

$m\left(\mathbf{a}_t + \mathbf{a}_n\right) = q(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\qquad \left(\perp\mathbf{v}\right)$

La fuerza es puramente normal a $\mathbf{v}$ , por lo que la aceleración tangencial es nula

$a_t = \frac{\mathrm{d}\left|\mathbf{v}\right|}{\mathrm{d}t} = 0$ $\Rightarrow$ $\left|\mathbf{v}\right| = \left|\mathbf{v}_0\right| =\mathrm{cte}$

y, al ser la celeridad constante

$a_n = \frac{v_0^2}{R} = \frac{qv_0B}{m}$ $\Rightarrow$ $R = \frac{{m{v_0}}}{{qB}} = \mathrm{cte.}$

Resultan una celeridad y un radio de curvatura constantes, por tanto el movimiento es circular y uniforme alrededor del campo magnético.

2.3 Velocidad inicial arbitraria

Descomponiendo el movimiento en los dos casos anteriores, resulta una superposición de un movimiento circular alrededor del campo, combinado con uno rectilíneo paralelo a éste.

El resultado es un movimiento helicoidal uniforme

3 Fuerza sobre una distribución de corriente

Normalmente las cargas eléctricas no están aisladas, sino agrupadas por millones formando una distribución de corriente. La fuerza neta sobre la distribución será la resultante de las fuerzas individuales

$\mathbf{F}_\mathrm{m} = \sum_{q_i} q_i\left(\mathbf{v}_i\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_i)\right)$

Como en otras ocasiones, no resulta factible hallar la fuerza mediante el sumatorio, ya que para empezar desconocemos la posición y la velocidad de cada partícula, ni siquiera sabemos cuántas hay. Por ello, es necesario pasar a una descripción macroscópica. Supongamos que tenemos un volumen τ, en el interior del cual hay una distribución de corriente de volumen J. La fuerza neta sobre la distribución es

$\mathbf{F}_\mathrm{m} = \int_\tau \mathbf{J} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau$

El mismo razonamiento que para una distribución volumétrica se puede aplicar a una superficial, resultando la fuerza

$\mathbf{F}_\mathrm{m} = \int_\tau \mathbf{K} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}S$

3.1 Demostración

En lugar de sumar las cargas en cualquier orden, dividimos el volumen en elementos

Δτ

, y sumamos primero dentro de cada elemento

$\mathbf{F}_\mathrm{m}= \sum_{q_i} q_i\left(\mathbf{v}_i\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_i)\right)=\sum_{\Delta\tau}\left(\sum_{q_i\in\Delta \tau}q_i\left(\mathbf{v}_i\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_i)\right)\right)$

Hacemos la aproximación de que, dentro de un elemento, todas las cargas ven el mismo campo promedio y se puede sacar como factor común

$\mathbf{F}_\mathrm{m}= \sum_{\Delta\tau}\left(\sum_{q_i\in\Delta \tau}q_i\left(\mathbf{v}_i\times\mathbf{B}(\mathbf{r}_i)\right)\right)\simeq \sum_{\Delta\tau}\left(\sum_{q_i\in\Delta \tau}q_i\left(\mathbf{v}_i\right)\right)\times\mathbf{B}(\mathbf{r})$

El sumatorio de las cargas por las velocidades equivale a la densidad de corriente por el elemento de volumen

$\mathbf{F}_\mathrm{m}\simeq \sum_{\Delta\tau}\left(\sum_{q_i\in\Delta \tau}q_i\left(\mathbf{v}_i\right)\right)\times\mathbf{B}(\mathbf{r})=\sum_{\Delta\tau}\Delta\tau\,\mathbf{J}\times\mathbf{B}(\mathbf{r})$

Y, considerando los elementos como de tamaño diferencial, resulta finalmente la integral

$\mathbf{F}_\mathrm{m} = \int_\tau \mathbf{J} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau$

Aunque en el proceso hemos realizado algunas aproximaciones, en el límite $\Delta\tau\to 0$ se convierten en identidades.

4 Fuerza sobre una corriente lineal

El caso importante de la fuerza sobre una corriente filiforme puede deducirse de la expresión para una distribución volumétrica. El resultado es que si tenemos una corriente

I

circulando a lo largo de una curva

Γ

(abierta o cerrada) la fuerza magnética sobre la corriente es

$\mathbf{F}_\mathrm{m}=I\int_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B}$

4.1 Demostración

Una corriente filiforme no es más que una corriente de volumen en el interior de un tubo. Podemos tomar como elemento de volumen un segmento de ese tubo, cumpliéndose $\mathrm{d}\tau = \mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ (volumen igual a base por altura), por lo que

$\mathbf{F}_\mathrm{m} = \int_\tau \mathbf{J} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau = \int_\Gamma \int_S \mathbf{J} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$

En un cable, tanto la densidad de corriente $\mathbf{J}$ como el desplazamiento $\mathrm{d}\mathbf{r}$ son vectores que apuntan a lo largo del cable, $\mathbf{J} = J\mathbf{u}$ , $\mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}l\mathbf{u}$ . Por tanto, en la expresión anterior pueden intercambiarse

$\mathbf{F}_\mathrm{m} =\int_\Gamma \int_S \mathbf{J} \times \mathbf{B}\,\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_\Gamma \int_S J\left(\mathbf{u} \times \mathbf{B}\right)\left(\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathbf{u}\right)\,\mathrm{d}l = \int_\Gamma \int_S \left( \mathrm{d}\mathbf{r} \times\mathbf{B}\right)\left(\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathbf{J}\right)$

La integral sobre una sección del cable de la densidad de corriente no es otra cosa que la intensidad de corriente

I

, que es la misma a todo lo largo del cable. Por tanto

$\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int_S \left(\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\mathbf{J}\right)\int_\Gamma \left( \mathrm{d}\mathbf{r} \times\mathbf{B}\right)=I\int_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r} \times\mathbf{B}$

4.2 Espira sumergida totalmente en un campo

Supongamos una espira cerrada por la que circula una corriente

I

, completamente inmersa en un campo magnético uniforme $\mathbf{B}_0$ . ¿Cuánto vale la fuerza sobre la espira?

Al ser el campo uniforme, se puede extraer de la integral (¡ojo al orden!)

$\mathbf{F}_\mathbf{m}= I\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r} \times \mathbf{B} = I\left( \oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\right) \times \mathbf{B}_0 = \mathbf{0}$

La integral sobre una curva cerrada de dr, es Δr, el desplazamiento entre el punto inicial y el final, que se anula para una curva cerrada.

4.3 Espira sumergida parcialmente en un campo

¿Cuánto vale la fuerza sobre una espira cerrada, si ésta se encuentra sólo parcialmente dentro del campo magnético?

La integral se descompone en dos tramos

$\mathbf{F}_\mathrm{m} = I\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B} = I\int_{\mathbf{r}_i}^{\mathbf{r}_f}\mathrm{d}\mathbf{r} \times \mathbf{B}_0 + I\int_{\mathbf{r}_f}^{\mathbf{r}_i}\mathrm{d}\mathbf{r} \times \mathbf{0} = I\left(\mathbf{r}_f-\mathbf{r}_i\right) \times \mathbf{B}_0$

El resultado sólo depende del desplazamiento entre el punto de entrada y de salida en el campo, no de la forma de la espira.

4.4 Fuerza sobre un segmento rectilíneo

Para el caso frecuente de un segmento rectilíneo de extremos $\mathbf{r}_i$ y $\mathbf{r}_f$ , inmerso en un campo magnético uniforme $\mathbf{B}_0$ , la fuerza magnética se reduce a

$\mathbf{F}_\mathrm{m} = I\left(\mathbf{r}_f - \mathbf{r}_i\right) \times \mathbf{B}_0$

5 Momento de la fuerza

No todo se reduce a la fuerza sobre una corriente. Para una distribución de corriente, la integral de la ley de Lorentz nos da la resultante de las fuerzas aplicadas a los dos distintos elementos. Pero, incluso en el caso de un sólido rígido, el conocimiento de la resultante no es suficiente para determinar el movimiento de un sistema.

En el caso de un sistema rígido, debemos determinar el momento de las fuerzas aplicadas

$\mathbf{M}=\sum_i \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i$

En el caso de un a distribución continua, este sumatorio se sustituye por una integral, en la que podemos sustituir la fuerza de Lorentz

$\mathbf{M}=\int \mathbf{r}\times\mathrm{d}\mathbf{F}=\int\mathbf{r}\times\left(\mathbf{J}\times\mathbf{B}\right)\,\mathrm{d}\tau$

En la integral anterior es importante ser muy cuidadoso con el orden de los términos y los paréntesis.

Para el caso particular de un conductor filiforme, el momento de la fuerza es

$\mathbf{M}=I\int_\Gamma \mathbf{r}\times\left(\mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B}\right)$

5.1 Ejemplo: espira cuadrada en campo uniforme

Una espira en un campo uniforme experimenta una fuerza nula, pero ello no implica que no se mueva por efecto del campo. Al aplicarse en diferentes partes del circuito, el campo produce un momento (un par de fuerzas) que genera rotación. En la figura, el par lo forman las fuerzas $\mathbf{F}_1$ y $\mathbf{F}_3$ .

Supongamos que la espira posee lado

a

, está recorrida por una corriente

I

y el vector normal al plano de la espira forma un ángulo

θ

con el campo magnético.

En lugar de una integral podemos usar el sumatorio, considerando la fuerza sobre cada segmento de la espira, empleando la fórmula expuesta anteriormente

$\mathbf{F}_m=I(\mathbf{r}_f-\mathbf{r}_i)\times\mathbf{B}_0$

Si tomamos como eje Z el señalado por el campo magnético y como eje Y el de las varillas horizontales, las cuatro fuerzas valen

Sobre el lado superior

$\mathbf{F}_1=I(a\mathbf{u}_y)\times\left(B_0\mathbf{u}_z\right)=IaB_0\mathbf{u}_x$

Sobre el lado del fondo

$\mathbf{F}_2=I(a(-\cos\theta\mathbf{u}_x-a\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_z)\times\left(B_0\mathbf{u}_z\right)=IaB_0\cos\theta\mathbf{u}_y$

Sobre el lado inferior

$\mathbf{F}_3=I(-a\mathbf{u}_y)\times\left(B_0\mathbf{u}_z\right)=-IaB_0\mathbf{u}_x$

Sobre el lado del frente

$\mathbf{F}_4=I(a(\cos\theta\mathbf{u}_x+a\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_z)\times\left(B_0\mathbf{u}_z\right)=-IaB_0\cos\theta\mathbf{u}_y$

La resultante de las fuerzas es naturalmente nula

$\mathbf{F}_m=(\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_3)+(\mathbf{F}_2+\mathbf{F}_4)=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}$

El momento de las fuerzas 2 y 4 se anula también ya que vector de posición del punto de aplicación de cada una (el centro de la varilla) es paralelo a la fuerza en ese segmento

$\mathbf{r}_2=\frac{a}{2}\mathbf{u}_y$ $\Rightarrow$ $\mathbf{M}_2=\mathbf{r}_2\times\mathbf{F}_2=\mathbf{0}$

Para los lados 1 y 3, teniendo en cuenta que las fuerzas en ellos son iguales y opuestas

$\mathbf{M}=\mathbf{M}_1+\mathbf{M}_3=\mathbf{r}_1\times\mathbf{F}_1+\mathbf{r}_3\times\mathbf{F}_3=(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_3)\times\mathbf{F}_1$

Sustituyendo las posiciones

$\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_3=a\cos\theta\mathbf{u}_x+a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_z$ $\Rightarrow$ $\mathbf{M}=Ia^2B_0\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_y$

Si introducimos el vector momento magnético de la espira

$\mathbf{m}=IS\mathbf{n}=Ia^2\mathbf{n}$

este momento de la fuerza lo podemos escribir

$\mathbf{M} = \mathbf{m}\times\mathbf{B}$

La dirección y el sentido del momento de la fuerza (en el de $+\mathbf{u}_y$ , en este ejemplo), indica el eje y el sentido de giro que tiende a efectuar la espira. La espira intenta orientarse de forma que su vector momento magnético quede alineado con el campo aplicado.

El momento sobre una espira de corriente es la base de los amperímetros analógicos: Se hace pasar la corriente que se quiere medir por el interior de un campo. La medida del par que produce $\mathbf{B}$ permite conocer la corriente.

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viernes, 17 de marzo de 2017

Estudios y ejercicios de Física aplicada