viernes, 17 de marzo de 2017

Estudios y ejercicios de Física aplicada

Formulas vectoriales potencialmente incorrectas


1 Enunciado

De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de ejemplos de cálculo de dimensiones, R es una distancia y \vec{r} el vector de posición; t es el tiempo:
(a) \vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}
(b) \vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\vec{a}
(c) \frac{\vec{L}}{R} = \vec{F}t-\vec{v}
(d) (\vec{r}\times\vec{p})\vec{L} = R(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}
(e) \frac{\vec{F}-\vec{p}/t}{m} = \frac{\vec{r}-\vec{v}t}{t^2-t}
(f) \frac{1}{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{r^2}
(g) L = \vec{r}\times\vec{p}
(h) \frac{W}{t} = \vec{F}\times\left(\vec{v}-\frac{R}{t}\right)

2 Caso (a)

La ecuación
\vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}
es obviamente incorrecta ya que no está definida la división por un vector. Por tanto, el segundo miembro es absurdo.
Fórmula incorrecta.

3 Caso (b)

En el caso de la expresión
\vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\vec{a}
el primer miembro posee significado. Sin embargo, en el segundo miembro encontramos el producto vectorial de \vec{p}\cdot\vec{a} por \vec{a}, pero \vec{p}\cdot\vec{a} es una cantidad escalar, no vectorial y por tanto no puede multiplicarse vectorialmente por nada.
Fórmula incorrecta.

4 Caso (c)

Para la fórmula
\frac{\vec{L}}{R} = \vec{F}t-\vec{v}
tenemos que el primer miembro es un vector y en el segundo miembro tenemos la diferencia de dos vectores, que es una expresión admisible. Por tanto, esta expresión no es incorrecta desde el punto de vista vectorial.
No basta, no obstante, con esto. Debemos comprobar que también es dimensionalmente correcta. El primer miembro tiene dimensiones
\left[\frac{\vec{L}}{R}\right] = \frac{ML^2T^{-1}}{L} = MLT^{-1}
En el segundo miembro tenemos
\left[\vec{F}t\right] = (MLT^{-2})T = MLT^{-1}        \left[\vec{v}\right]=LT^{-1}
Estas dimensiones no son coincidentes (en la segunda falta la masa), por lo que la ecuación es incorrecta.
Fórmula incorrecta.

5 Caso (d)

En la identidad
(\vec{r}\times\vec{p})\vec{L} = R(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}
¿qué tipo de operación aparece en el primer miembro? Tenemos un vector (\vec{r}\times\vec{p}) seguido de otro sin ningún signo de producto entre ellos. No es un producto escalar, que lleva un punto, ni uno vectorial (que lleva una cruz o una cuña). Por tanto, el primer miembro carece de significado. No es ni un escalar ni un vector.
Parecería que en el segundo miembro se da el mismo caso, ya que no hay punto o cruz entre (\vec{r}\cdot\vec{p}) y \vec{p}, pero no es así, porque el producto escalar es un número, no un vector, y el producto de un escalar por un vector no lleva punto, siendo el resultado un vector.
Fórmula incorrecta.

6 Caso (e)

Para la fórmula
\frac{\vec{F}-\vec{p}/t}{m} = \frac{\vec{r}-\vec{v}t}{t^2-t}
no hay que esforzarse mucho para encontrar un error: en el denominador del segundo miembro aparece una expresión dimensionalmente incorrecta pues resta un tiempo del cuadrado de un tiempo, lo que no es admisible.
Fórmula incorrecta.

7 Caso (f)

En la igualdad
\frac{1}{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{r^2}
tenemos de nuevo la división por un vector, lo que no está definido.
Fórmula incorrecta

8 Caso (g)

La ecuación
L = \vec{r}\times\vec{p}
es claramente incorrecta pues iguala un escalar (el módulo del momento cinético, pues no lleva flecha) con un vector, lo que incumple la homogeneidad.
Fórmula incorrecta

9 Caso (h)

Por último, el caso
\frac{W}{t} = \vec{F}\times\left(\vec{v}-\frac{R}{t}\right)
está doblemente mal: iguala un escalar a un vector, pero dicho vector se compone además de la suma de un vector y un escalar, no siendo admisible ninguna de las dos operaciones.
Fórmula incorrecta
En resumen, todas las fórmulas del enunciado están mal.

Frigorífico alimentado por un generador

1 Enunciado

En una casa de campo se tiene un frigorífico cuya temperatura interior es de 3 °C siendo la exterior de 27 °C. En el estado estacionario, a través de las paredes circula un flujo de calor de 5.4kWt. El COPR del frigorífico vale 3. Para hacer funcionar la nevera se usa un generador de gasoil que tiene un rendimiento del 30% y en el cual el combustible alcanza la temperatura de 1500K. El poder calorífico del gasoil empleado es de 36 MJ por cada litro de combustible.
  1. Calcule el flujo de trabajo (potencia) necesario para mantener en funcionamiento la máquina frigorífica.
  2. Halle el flujo de calor que debe producirse en la combustión dentro del generador para generar la potencia que necesita la máquina frigorífica.
  3. Calcule el consumo de gasoil, en litros, a lo largo de un día para mantener el sistema en funcionamiento.
  4. Determine la producción de entropía por segundo en el generador, en la máquina frigorífica del refrigerador y en la cámara frigorífica, así como la producción total de entropía por segundo.

2 Introducción

Los cálculos de este problema, como veremos, son muy simples. La principal dificultad está en tener claro dónde entra y dónde sale el calor y el trabajo.
El sistema se compone de tres partes:
Una cámara frigorífica (CF)
en la cual entra desde el exterior (porque está más caliente) un flujo de calor \dot{Q}^{CF}_\mathrm{in}, cuyo valor conocemos (5.4 kW).
Una máquina frigorífica (MF)
para mantener la temperatura interior, ese calor debe ser extraído, de lo cual se encarga la máquina frigorífica (compresor, condensador,…). Esta máquina toma ese calor y expulsa de nuevo al exterior aunque, de acuerdo con el enunciado de Clausius, para hacerlo requiere una cierta cantidad de trabajo. Tenemos entonces que
\dot{Q}^{CF}_\mathrm{out}=\dot{Q}^{MF}_\mathrm{in}\qquad \qquad \dot{Q}^{MF}_\mathrm{out} = \dot{Q}^{MF}_\mathrm{in}+\dot{W}^{MF}_\mathrm{in}
Una máquina térmica (MT)
El trabajo para hacer funcionar la máquina frigorífica no sale de la red eléctrica, sino que la proporciona un generador de gasoil. Éste funciona como una máquina térmica en la cual el calor se toma de la combustión y parte se emplea en realizar el trabajo requerido y parte se va en calor de desecho. Tenemos entonces
\dot{W}^{MF}_\mathrm{in}=\dot{W}^{MT}_\mathrm{out}\qquad \qquad \dot{Q}^{MT}_\mathrm{in} = \dot{Q}^{MT}_\mathrm{out}+\dot{W}^{MT}_\mathrm{out}
Esquemáticamente, sería lo siguiente:
Archivo:esquema-gen-frig.png

3 Potencia

Para mantener el estado estacionario, el calor que entra en la cámara frigorífica desde el exterior debe ser compensado por el que sale de ella gracias a la máquina frigorífica
\dot{Q}^{CF}_\mathrm{out}=\dot{Q}^R_\mathrm{in}
Por tanto, el flujo de calor que entra en la máquina frigorífica es
\dot{Q}^R_\mathrm{in}=5.4\,\mathrm{kW}
El coeficiente de desempeño de un refrigerador, por definición, es igual a
\mathrm{COP}_R=\frac{\dot{Q}^R_\mathrm{in}}{\dot{W}_\mathrm{in}}
y por tanto, la potencia necesaria para hacer funcionar el refrigerador es
\dot{W}^{R}_\mathrm{in}=\frac{\dot{Q}^R_\mathrm{in}}{\mathrm{COP}_R}=\frac{5.4}{3}\mathrm{kW}=1.8\,\mathrm{kW}

4 Flujo de calor

La potencia del apartado anterior es suministrada por un generador
\dot{W}^{R}_\mathrm{in}=\dot{W}^{MT}_\mathrm{out}
siendo el rendimiento un 30%, por tanto,
\frac{\dot{W}^{MT}_\mathrm{out}}{\dot{Q}^{MT}_\mathrm{in}}=0.30\qquad\Rightarrow\qquad \dot{Q}^{MT}_\mathrm{in}=\frac{1.8}{0.3}=6.0\,\mathrm{kW}

5 Consumo de combustible

El resultado anterior indica que se precisan 6 kJ/s de calor. A lo largo de un día se necesitarán
Q^{MT}_\mathrm{in}=6\mathrm{kW}\times 24\times 3600\,\mathrm{s} = 518.4\,\mathrm{MJ}
Si cada litro aporta 36MJ el consumo será
C = \frac{518.4\,\mathrm{MJ}}{36\,\mathrm{MJ}/\mathrm{l}}=14.4\,\mathrm{l}

6 Producción de entropía

El resumen de todos los flujos y temperaturas es el de la siguiente figura:
Archivo:gen-frig.png
Salvo el flujo de trabajo del generador a la máquina frigorífica, todos los demás son flujos de calor.

6.1 En el generador

El generador toma cada segundo 6kJ a 1500K y expulsa (6-1.8)kJ = 4.2kJ a 300K por tanto su producción de entropía es
\dot{S}^{MT}_\mathrm{gen}=\left(-\frac{6000}{1500}+\frac{4200}{300}\right)\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}=10\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}

6.2 En la máquina frigorífica

La máquina frigorífica extrae 5.4kW a 276K y vierte (5.4+1.8)kW = 7.2kW a 300K. Por tanto genera la entropía
\dot{S}^{R}_\mathrm{gen}=\left(-\frac{5400}{276}+\frac{7200}{300}\right)\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}=4.43\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}

6.3 En la cámara frigorífica

En la cámara salen 5.4kW del ambiente a 300K y entran en la cámara a 276K, por lo que en la cámara se genera
\dot{S}^{CF}_\mathrm{gen}=\left(-\frac{5400}{300}+\frac{5400}{276}\right)\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}=1.56\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}

6.4 Producción total de entropía

Sumamos las tres contribuciones anteriores
\dot{S}_\mathrm{gen}=\left(10.0+4.43+1.56\right)\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}=16\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}


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