viernes, 17 de marzo de 2017

Estudios y ejercicios de Física aplicada

Flujo de líquido por una tubería

1 Enunciado

Por el interior de una tubería cilíndrica de radio a fluye un líquido con una velocidad, dependiente de la distancia al eje, ρ, como
\mathbf{v} = v_0\left(1-\frac{\rho^2}{a^2}\right)\mathbf{u}_{z}
El líquido posee una densidad de carga uniforme ρ0, de forma que la densidad de corriente es \mathbf{J} = \rho_0\mathbf{v}. En el exterior del tubo no hay corriente.
  1. Calcule la intensidad de corriente que atraviesa una sección por la tubería.
  2. Si se desea que por la superficie del tubo circule una corriente superficial \mathbf{K}, de forma que la corriente total sea nula, ¿cuánto debe valer \mathbf{K}?

2 Intensidad de corriente

La intensidad de corriente es igual al flujo de la densidad de corriente a través de una superficie abierta atravesada por ésta. En este sistema la superficie más adecuada es una sección circular de la tubería, perpendicular a su eje.
En coordenadas cilíndricas esta superficie es z = z0 = cte, lo que nos da la intensidad
I = \int_S \mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_0^{2\pi}\int_0^a \left(v_0\left(1-\frac{\rho^2}{a^2}\right)\mathbf{u}_{z}\right)\cdot\left(\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_z\right)
El producto escalar vale la unidad, pues la corriente y el vector normal a la superficie son vectores paralelos. La integral en \varphi nos da un factor 2π, mientras que la integral en ρ es una polinómica. La corriente vale entonces
I = 2\pi\rho_0v_0 \int_0^a \left(\rho-\frac{\rho^3}{a^2}\right)\,\mathrm{d}\rho = \frac{\pi\rho_0v_0a^2}{2}

3 Corriente superficial

Si existe una corriente de retorno uniforme
\mathbf{K}=K_0\mathbf{u}_z\,
sobre la superficie del tubo, la intensidad de corriente asociada a esta densidad es
I_1 = \int_\Gamma \mathbf{K}\cdot\mathbf{n}_1\,\mathrm{d}l
siendo Γ una curva atravesada por la corriente superficial y \mathbf{n}_1 un vector unitario normal a la curva Γ y tangente a la superficie por la que fluye la corriente. En nuestro caso lo más simple es tomar Γ como una circunferencia que corta al tubo (el borde del círculo que hemos considerado antes con la corriente de volumen). Para esta curva
\mathrm{d}l = \rho\,\mathrm{d}\varphi=a\,\mathrm{d}\varphi        \mathbf{n}_1=\mathbf{u}_z\,
y nos queda una intensidad de corriente sobre la superficie
I_1 = \int_0^{2\pi}\left(K_0\,\mathbf{u}_z\right)\cdot\left(\mathbf{u}_z\,a\,\mathrm{d}\varphi\right) = 2\pi a K_0
Si esta corriente debe cancelar la que fluye por el interior de la tubería, su valor debe ser
I_1 = -I\,   \Rightarrow   2\pi a K_0 = -\frac{\pi\rho_0v_0a^2}{2}   \Rightarrow   \mathbf{K} = -\frac{\rho_0v_0a}{4}\,\mathbf{u}_z
Esta corriente, por supuesto, fluye en sentido opuesto a la que va el interior de la tubería.



Flujo de un campo vectorial

1 Introducción

2 Flujo de un campo uniforme en una sección ortogonal

Consideremos en primer lugar el caso de una tubería de sección S por la cual fluye agua con la misma velocidad v en todos sus puntos. Nos preguntamos por el caudal de la tubería, esto es, por la cantidad de agua (en volumen) que atraviesa una sección de la tubería en la unidad de tiempo. En un intervalo dt la cantidad de agua que atraviesa S es aquella que se encuentra a una distancia menor de v\,\mathrm{d}t.
\mathrm{d}\tau = S v\,\mathrm{d}t   \Rightarrow    \Phi = \frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t} = vS
El caudal es igual al producto de la velocidad del líquido por la sección de la tubería. A mayor velocidad o mayor sección, mayor caudal. Este caudal es el flujo del campo vectorial \mathbf{v} a través de la sección S.

3 Flujo de un campo uniforme en una sección oblicua

Supongamos ahora la misma tubería, y la misma velocidad uniforme del líquido, pero tomando una sección oblicua de la tubería. El caudal que atraviesa esta nueva sección debe ser el mismo que antes, sin embargo, esta cantidad no puede ser igual a vS pues ahora S es mayor que antes.
Para extender la fórmula anterior a este caso observamos que no toda la velocidad atraviesa la superficie. Si en cada punto de la superficie descomponemos la velocidad en su componente normal a la superficie y su componente tangencial a ella, solo la primera contribuye al flujo, ya que la componente tangencial corresponde a que el líquido “resbale” sobre la superficie. Por tanto el flujo de agua a través de la superficie es
\Phi = v_n S = v S \cos\theta = \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}S=\mathbf{v}\cdot\mathbf{S}
siendo θ el ángulo que forman la velocidad y el vector normal a la superficie y \mathbf{S}=S\mathbf{n} el vector superficie asociado a la sección de la tubería.

4 Flujo general de un campo a través de una superficie

4.1 Definición

La fórmula anterior tiene una extensión inmediata al caso de que tengamos una distribución no uniforme de velocidades (o de un campo vectorial, en general). Por ejemplo, el flujo real de un líquido en el interior de un capilar o tubo estrecho sigue un perfil parabólico (perfildePoiseuille). También podemos tener que la superficie a través de la cual se calcula el flujo no sea una sección plana.
En este caso general, simplemente hay que dividir la superficie en elementos diferenciales (que sí son planos), calcular el flujo a través de cada elemento y sumar todas las contribuciones.
Así se define el flujo de un campo vectorial \mathbf{v} a través de una superficie abierta S como
\mathrm{d}\Phi = \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}   \Rightarrow   \Phi = \int_S\mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}
De esta definición hay que destacar:
  • El flujo es una aplicación que actúa sobre campos vectoriales.
  • El resultado es una cantidad escalar.
  • El flujo tiene un signo.
    • Es positivo si la hay más campo atravesando la superficie en el sentido de la normal a la superficie.
    • Es negativo si el campo va predominantemente en sentido contrario a \mathbf{n}.
  • Si el campo \mathbf{v} posee dimensiones físicas, las unidades de Φ son las de \mathbf{v} multiplicado por una superficie.

4.2 Ejemplo

Por ejemplo, sea el campo
\mathbf{r}=x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{z}_z
vamos a hallar el flujo a través de un cuadrado de lado a situado a una altura z = a con una esquina sobre el eje Z y lados paralelos a los ejes. Para este cuadrado
\mathrm{d}\mathbf{S}=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathbf{u}_z     0 < x < a\quad 0 < y < a
y el flujo vale
\Phi = \int_0^a \int_0^a \left(x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+a\mathbf{z}_z\right)\cdot\left(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathbf{u}_z\right) = \int_0^a \int_0^a a\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = a^3

5 Flujo a través de una superficie cerrada

5.1 Definición

De manera análoga puede definirse el flujo a través de una superficie cerrada \partial\tau que es la frontera de un volumen τ, como la integral
\Phi = \oint_{\partial\tau}\mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}
En el caso de una superficie cerrada, el convenio es que la normal a la superficie se toma siempre hacia el exterior.
Por este convenio, el flujo a través de una superficie cerrada puede entenderse como la cantidad de campo que “escapa” del volumen.
  • Si este flujo es positivo, se dice que el volumen τ contiene una cantidad neta de manantiales.
  • Si este flujo es negativo, el volumen τ contiene una cantidad neta de sumideros.
  • Si el flujo es nulo, en τ hay tantos manantiales como sumideros

5.2 Ejemplo

Consideremos ahora el flujo del campo
\mathbf{r}=x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{z}_z
a través de una superficie cúbica de arista 2a centrado en el origen y con lados paralelos a los ejes.
Por la simetría del sistema, el flujo a través de cada cara tendrá el mismo valor ΦC
\Phi_T = 6\Phi_C\,
A su vez, de nuevo por simetría, la contribución de cada cara es el cuádruple de la de un cuadrado como el que se vio en un apartado anterior.
ΦC = 4Φi
Por tanto
ΦT = 24a3

5.3 Campo solenoidal

Artículo completo: Campo solenoidal
Si el flujo de un campo \mathbf{F} a través de cualquier superficie cerrada es nulo, entonces se dice que \mathbf{F} es solenoidal.
Un campo solenoidal se caracteriza porque sus líneas de campo no pueden ser tener extremos, ya que de tenerlos, el flujo alrededor de uno de ellos sería no nulo.
Un ejemplo real de campo solenoidal lo da el campo magnético \mathbf{B} que para cualquier superficie cerrada verifica
\oint_{\partial\tau} \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=0

Cálculo de flujo


1 Enunciado

Para el campo vectorial
\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}\,
calcule su flujo a través de las siguientes superficies cerradas:
  1. Un cubo de arista a, con un vértice en el origen y aristas a\mathbf{u}_{x}, a\mathbf{u}_{y} y a\mathbf{u}_{z}.
  2. Un cilindro circular de altura h y radio R, con el eje Z como eje y sus bases situadas en z = 0 y z = h.
  3. Una esfera de radio R en torno al origen de coordenadas.
En cada caso, halle el flujo por integración directa y por aplicación del teorema de Gauss.

2 Solución

2.1 Superficie cúbica

Para el flujo a través de un cubo, descomponemos la integral en seis partes, una por cada cara.

2.1.1 Cara inferior

Cara inferior
Para la cara inferior (z = 0), el campo en estos puntos vale
\mathbf{A}(z=0) = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}
y el vector diferencial de superficie dirigido al exterior
\mathrm{d}\mathbf{S} = -\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathbf{u}_{z}
Al ser ortogonales estos dos vectores el flujo elemental vale
\Phi_1 = \int \mathbf{A}{\cdot}\mathrm{d}{\mathbf{S}} = \int_0^a \int_0^a 0\,\mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y} = 0

2.1.2 Cara superior

Cara superior
En la cara superior (z = a) el vector \mathbf{A} vale
\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+a\mathbf{u}_{z}
y el diferencial de superficie
\mathrm{d}{\mathbf{S}}= \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathbf{u}_{z}
y resulta el flujo elemental
\Phi_2 = \int_0^a\int_0^a a\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}= a^3

2.1.3 Cara trasera

Cara trasera
Para la cara del fondo (x = 0)
\mathbf{A}(x=0) = -y\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}         \mathrm{d}{\mathbf{S}} = -\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{x}
con lo que el flujo elemental es
\Phi_3 = \int_0^a\int_0^a y \,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}= \frac{a^3}{2}

2.1.4 Cara frontal

Cara frontal
Para la cara frontal (x = a)
\mathbf{A} = (a-y)\mathbf{u}_{x}+(a+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}         \mathrm{d}{\mathbf{S}} = \mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{x}   \Rightarrow   \Phi_4 = \int_0^a\int_0^a (a-y)\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z} = \frac{a^3}{2}

2.1.5 Cara izquierda

Cara izquierda
Para la cara izquierda (y = 0)
\mathbf{A} = x\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}         \mathrm{d}{\mathbf{S}} = -\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{y}   \Rightarrow   \Phi_5 = -\int_0^a\int_0^a x\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z} = -\frac{a^3}{2}

2.1.6 Cara derecha

Cara derecha
Para la cara derecha (y = a)
\mathbf{A} = (x-a)\mathbf{u}_{x}+(x+a)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}        
\mathrm{d}{\mathbf{S}} = \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{y}   \Rightarrow   \Phi_6 = \int_0^a\int_0^a (x+a)\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z} = \frac{3a^3}{2}

2.1.7 Flujo total

Sumando las seis contribuciones tenemos el flujo total
\Phi = 0+a^3 + \frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{2}+\frac{3a^3}{2} = 3a^3

2.1.8 Aplicación del teorema de Gauss

Este mismo cálculo, por aplicación del teorema de Gauss queda
\nabla{\cdot}\mathbf{A} = 1+1+1 = 3        \Phi = \int_0^a\int_0^a\int_0^a 3\, \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z} = 3a^3 = 3\tau
Dado que la divergencia es una constante, su integral de volumen es simplemente el producto de esta constante (3) por el volumen del dominio.

2.2 Superficie cilíndrica

Si la superficie de integración es un cilindro circular alrededor del eje Z, es conveniente pasar a coordenadas cilíndricas. En este sistema el campo \mathbf{A} se escribe:
\mathbf{A} = \rho\mathbf{u}_{\rho}+\rho\mathbf{u}_{\varphi}+z\mathbf{u}_{z}
Las tres integrales que componen el flujo son
Imagen:cilindro-completo.gif    =    Imagen:cilindro-cara1.gif    +    Imagen:cilindro-cara2.gif    +    Imagen:cilindro-cara3.gif

2.2.1 Base inferior

En la base inferior (z = 0) tenemos
\mathbf{A} = \rho\mathbf{u}_{\rho}+\rho\mathbf{u}_{\varphi}         \mathrm{d}{\mathbf{S}} = -\rho\,\mathrm{d}{\rho}\,\mathrm{d}{\varphi}\,\mathbf{u}_{z}   \Rightarrow   \Phi_1 = -\int_0^R\int_{-\pi}^\pi \!\! 0\,\rho\,\mathrm{d}{\rho}\,\mathrm{d}{\varphi} = 0

2.2.2 Cara lateral

En la cara lateral (ρ = R)
\mathbf{A} = R\mathbf{u}_{\rho}+R\mathbf{u}_{\varphi}+z\mathbf{u}_{z}        \mathrm{d}{\mathbf{S}} = R\,\mathrm{d}{\varphi}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{\rho}   \Rightarrow   \Phi_2 = \int_0^h\int_{-\pi}^\pi \!\! R^2\,\mathrm{d}{z}\,\mathrm{d}{\varphi} = 2\pi R^2 h

2.2.3 Base superior

Por último, en la base superior (z = h)
\mathbf{A} = \rho\mathbf{u}_{\rho}+\rho\mathbf{u}_{\varphi}+h\mathbf{u}_{z}         \mathrm{d}{\mathbf{S}} = \rho\,\mathrm{d}{\rho}\,\mathrm{d}{\varphi}\,\mathbf{u}_{z}   \Rightarrow   \Phi_3 = \int_0^R\int_{-\pi}^\pi \!\! h\,\rho\,\mathrm{d}{\rho}\,\mathrm{d}{\varphi} = \pi R^2 h

2.2.4 Flujo total

Resulta el flujo total
\Phi = 0 + 2\pi R^2 h + \pi R^2 h = 3\pi R^2 h\,

2.2.5 Aplicación del teorema de Gauss

Por aplicación del teorema de Gauss sería
\Phi = 3\tau = 3\pi R^2 h\,

2.3 Superficie esférica

2.3.1 Cálculo directo

Por último para la esfera de radio R centrada en el origen expresamos este campo en esféricas
\mathbf{A} = r\mathbf{u}_{r}+r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi}
y calculamos su flujo sobre la superficie $r=R$
\mathbf{A} = R\mathbf{u}_{r}+R\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi}        \mathrm{d}{\mathbf{S}}=R^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}{\theta}\,\mathrm{d}{\varphi}\,\mathbf{u}_{r}   \Rightarrow   \Phi = \int_{-\pi}^\pi \int_0^\pi R^3\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}{\theta}\,\mathrm{d}{\varphi} = 4\pi R^3

2.3.2 Aplicación del teorema de Gauss

Empleando el teorema de Gauss, este mismo flujo se halla como
\Phi = 3\tau = 3\left(\frac{4\pi}{3}R^3\right) = 4\pi R^3
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