viernes, 17 de marzo de 2017

Estudios y ejercicios de Física aplicada

Anilla ensartada en un aro

1 Enunciado

Se tiene un aro circular de radio R situado verticalmente. Determine la velocidad que debe comunicarse a una partícula de masa m situada en el punto más bajo del aro para que sea capaz de llegar hasta el punto más alto si la partícula es:
  1. Una anilla ensartada en el aro
  2. Una bolita que desliza por el interior del aro, sin estar unida a él.
Calcule la reacción que ejerce el aro sobre la partícula en el punto más bajo y en el más alto, para los dos casos anteriores. Desprecie el rozamiento en todos los casos.

2 Anilla

En el caso de una anilla ensartada en el aro tenemos una partícula que se ve obligada a moverse a lo largo de la circunferencia. Esto constituye un ejemplo de un vínculo bilateral ya que la partícula no puede separarse de la circunferencia ni en un sentido ni en otro.
Podemos obtener la velocidad mínima para que llegue al punto más alto aplicando la ley de conservación de la energía mecánica. Puesto que la fuerza de reacción vincular no realiza trabajo, la única energía potencial es la debida al peso:
\frac{1}{2}mv^2 + mgz=\mathrm{cte}
La velocidad mínima es aquella que hace llegar a la anilla al punto más alto con velocidad nula. Tomando como origen de energía potencial el punto más bajo del aro, la conservación de la energía nos da
\frac{1}{2}mv_0^2=2mgR
con lo que la velocidad mínima es
v_0 = \sqrt{4gR}
En el punto más alto, la fuerza activa aplicada, el peso, es puramente normal a la trayectoria. La única aceleración de la partícula será normal, pero al llegar con velocidad nula, la aceleración vale cero. Por tanto se cumple
\vec{0}=m\vec{a} = m\vec{g}+\vec{F}_n
por tanto, la fuerza de reacción vincular compensa exactamente al peso
\vec{F}_n=-m\vec{g}= mg\vec{k}\qquad (z=2R)
En el punto más bajo, tanto el peso como la reacción son normales al aro, con lo que la segunda ley de Newton nos da
m\vec{a}=m\vec{g}+\vec{F}_n   \Rightarrow   \vec{F}_n=\left(m\frac{v_0^2}{R}+mg\right)\vec{k}=5mg\vec{k}\qquad (z=0)
esto es, con la anilla en movimiento, el aro debe ejercer una fuerza igual a cinco veces el peso.

3 Bola

En el segundo caso tenemos una bola que se mueve en contacto con el aro, por el interior de éste, pero sin estar unida a él. Tenemos ahora un vínculo unilateral, ya que el aro puede impedir que el radio de la trayectoria supere el valor de R, pero no puede evitar que sea menor, esto es, que la partícula puede caerse al llegar a una cierta altura, ya que no hay nada que la retenga.
Matemáticamente, esto se manifiesta en que la fuerza de reacción vincular no puede tener los dos sentidos normales, sino solo uno de ellos. Siempre debe ir dirigida hacia adentro, nunca hacia afuera.
Esto implica que el resultado del apartado anterior no es aplicable a este caso, ya que la reacción vincular en el punto más alto no podría ir dirigida hacia arriba para retener la bolita. Lo que ocurriría al comunicarle esa velocidad es que llegado a una cierta altura, la bolita se separaría del aro y caería describiendo una parábola.
Si queremos que la partícula llegue hasta arriba debemos comunicarle una velocidad tal que la fuerza de reacción vincular se dirija hacia arriba, siendo el valor mínimo de la velocidad aquél que produce una reacción vincular nula.
Puesto que ahora la partícula llega con velocidad distinta de cero, la partícula posee una aceleración normal en el punto más alto, por lo que debe cumplirse
-m\frac{v^2}{R}\vec{k}=-mg\vec{k}+\overbrace{\vec{F}_n}^{=\vec{0}}
de donde la velocidad en el punto más alto cumple
v^2 = gR\,
La velocidad en el punto inferior la obtenemos aplicando de nuevo la ley de conservación de la energía mecánica
\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2+2mgR = \frac{mgR}{2}+2mgR = \frac{5mgR}{2}
lo que nos da la nueva velocidad inicial
v_0 = \sqrt{5gR}
La reacción vincular en el punto más alto es nula, según hemos indicado
\vec{F}_n=\vec{0}\qquad (z=2R)
En el punto más bajo, de nuevo el peso y la reacción son normales al aro por lo que
m\vec{a}=m\vec{g}+\vec{F}_n   \Rightarrow   \vec{F}_n=\left(m\frac{v_0^2}{R}+mg\right)\vec{k}=6mg\vec{k}\qquad (z=0)
Ahora el aro debe ejercer una fuerza igual a seis veces el peso.

http://laplace.us.es/wiki/index.php

Anilla ensartada en dos varillas

1 Enunciado

Una pequeña anilla P se encuentra ensartada en la intersección de dos barras giratorias. Los extremos fijos de las barras distan una cantidad L y giran en el mismo sentido con la misma velocidad angular de módulo constante Ω de forma que describen los ángulos indicados en la figura:
Archivo:anilla-dos-varillas.png
  1. ¿Cuáles son las ecuaciones horarias de P?
  2. ¿Qué clase de trayectoria describe?
  3. ¿Qué tipo de movimiento realiza?

2 Ecuaciones horarias


2.1 Método 1: ángulo en P

La forma más directa de obtener las ecuaciones horarias es observando que el ángulo que forman las dos varillas en P es recto.
Para ver que es así, notamos que el ángulo que la varilla de la derecha forma con el sentido negativo del eje OX es el complementario de θ, esto es
\varphi=\frac{\pi}{2}-\theta
Por otro lado, como los ángulos de un triángulo suman π, el ángulo β que forman las varillas en P es igual a
\beta = \pi-\theta-\phi = \pi - \theta - \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \frac{\pi}{2}
Una vez que sabemos que se trata de un triángulo rectángulo, la obtención de las ecuaciones horarias es inmediata.
La distancia r = |\overrightarrow{OP}| es el cateto contiguo del triángulo, respecto al ángulo en O, por tanto
r = |\overrightarrow{OP}| = L\cos(\theta)=L\cos(\Omega t)
Una vez que tenemos esta distancia, proyectamos sobre los ejes cartesianos, para obtener las dos coordenadas
x = r\cos(\theta) = L\cos^2(\Omega t)\,        y = r\,\mathrm{sen}(\theta) = L\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)
o, en forma vectorial,
\vec{r}(t) = L\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+L\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}

2.2 Método 2: cálculo de las coordenadas

Supongamos que la idea de medir el ángulo en P no es inmediata, ¿no pueden hallarse las ecuaciones horarias de una manera más sistemática? Por supuesto que sí. Sean x e y las coordenadas cartesianas del punto P y sea r la distancia entre O y P. Se cumple
x = r \cos(\theta) = r \cos(\Omega t)\,        y = r\,\mathrm{sen}(\theta) = r\,\mathrm{sen}(\Omega t)
con r = r(t) una función que hay que determinar. Obtenemos esta función observando que la varilla de la derecha forma un ángulo Ωt con la vertical y por tanto
\frac{L-x}{y}=\mathrm{tg}(\Omega t)
Sustituyendo
\frac{L-r\cos(\Omega t)}{r\,\mathrm{sen}(\Omega t)} = \mathrm{tg}(\Omega t)   \Rightarrow   L - r\cos(\Omega t) = r \frac{\mathrm{sen}^2(\Omega t)}{\cos(\Omega t)}   \Rightarrow   r\left(\cos^2(\Omega t)+\mathrm{sen}^2(\Omega t)\right) = L \cos(\Omega t)   \Rightarrow   r = L \cos(\Omega t)\,
y una vez que tenemos r(t) tenemos las ecuaciones horarias:
\vec{r}(t) = L\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+L\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}

3 Trayectoria

Una vez que tenemos las ecuaciones horarias, ya poseemos una parametrización de la trayectoria (usando el tiempo como variable). No obstante, es de interés el determinar si esta trayectoria posee una ecuación reconocible.

3.1 Método 1: Arco capaz

Una vez que se sabe que el ángulo que forman las varillas en P es recto, es inmediato que la trayectoria es circular. Tal como se ve en el problema del arco capaz, cuando tenemos dos segmentos \overrightarrow{OP} y \overrightarrow{AP} que son siempre perpendiculares en P, entonces, si C es el punto medio entre O y A, la distancia entre C y P cumple
|\overrightarrow{CP}|=\frac{L}{2} = \mathrm{cte}
y por tanto P describe un movimiento circular sobre una circunferencia de radio L / 2 centrada en C, el punto medio de O y A

3.2 Método 2: Ecuaciones implícitas

Si no se conocen las propiedades de un arco capaz, puede identificarse la trayectoria obteniendo unas ecuaciones implícitas de ella a partir de las ecuaciones horarias
Tenemos en primer lugar que la trayectoria es plana, ya que la anilla se encuentra en todo momento en el plano OXY, esto es,
z = 0\,
Vimos anteriormente que la distancia OP cumple
\sqrt{x^2+y^2}= r = |\overrightarrow{OP}| = L\cos(\Omega t)
y que las coordenadas cartesianas del punto P valen
x = L \cos^2(\Omega t)\,        y = L\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\,
Entonces es inmediato que
x^2 +y^2 = r^2 = L^2\cos^2(\Omega t) = Lx\,
La ecuación
x^2 - L x + y^2 = 0\,        z=0\,
representa una circunferencia en el plano OXY en el que se encuentra la partícula. Obtenemos su centro y su radio completando cuadrados
x^2 - L x + \frac{L^2}{4}+y^2 = \frac{L^2}{4}   \Rightarrow   \left(x-\frac{L}{2}\right)^2+y^2 = \left(\frac{L}{2}\right)^2
por lo que el centro de la circunferencia y su radio son
\vec{r}_c = \frac{L}{2}\vec{\imath}        R = \frac{L}{2}
Por tanto, como dijimos, el punto P describe un movimiento circular de centro C y radio L/2.

3.3 Método 3: Radio de curvatura

Si no se conocen ni las propiedades del arco capaz, ni se han hallado ecuaciones implícitas, puede también determinarse que el movimiento es circular estableciendo que el movimiento es plano y que su radio de curvatura es constante.
Que la trayectoria es plana es inmediato de que la anilla se encuentre limitada al plano OXY
z = 0\,
Para hallar el radio de curvatura, según la fórmula
R = \frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|}
calculamos en primer lugar la velocidad
\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-2L\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}+L\Omega\left(\cos^2(\Omega t)-\mathrm{sen}^2(\Omega t)\right)\vec{\jmath}
Usando las funciones trigonométricas del ángulo doble esto se simplifica a
\vec{v}= L\Omega\left(-\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\imath}+\cos(2\Omega t)\vec{\jmath}\right)
La rapidez de este movimiento es
v=|\vec{v}| = L\Omega
que es una cantidad constante, por lo que el movimiento es uniforme.
Hallamos la aceleración derivando la velocidad respecto al tiempo
\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-2L\Omega^2\left(\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}\right)
Calculamos el producto vectorial de la velocidad y la aceleración
\vec{v}\times\vec{a}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -L\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t) & L\Omega\cos(2\Omega t) & 0 \\ -2L\Omega^2\cos(2\Omega t) & -2L\Omega^2\mathrm{sen}(2\Omega t) & 0 \end{matrix}\right| = 2L^2\Omega^3\vec{k}
lo que nos da el radio de curvatura
R = \frac{v^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|} = \frac{L^3\Omega^3}{2L^2\Omega^3}=\frac{L}{2}=\mathrm{cte}
Tenemos entonces que la partícula describe una trayectoria plana con radio de curvatura constante. Por tanto, su movimiento es circular.

4 Tipo de movimiento

Según hemos dicho, la velocidad la calculamos derivando el vector de posición respecto al tiempo
\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-2L\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}+L\Omega\left(\cos^2(\Omega t)-\mathrm{sen}^2(\Omega t)\right)\vec{\jmath}=L\Omega\left(-\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\imath}+\cos(2\Omega t)\vec{\jmath}\right)
La rapidez de este movimiento es
|\vec{v}| = L\Omega
que por ser constante, define este movimiento como uniforme.
Por tanto, la anilla describe un movimiento circular uniforme en el plano OXY, con centro en el punto medio entre los puntos de anclaje de las dos varillas y radio la mitad de la distancia entre estos dos puntos
\vec{r}=\frac{L}{2}\vec{\imath}        R=\frac{L}{2}
A partir de la expresión para la velocidad en un movimiento circular
\vec{v}=\vec{\omega}\times(\vec{r}-\vec{r}_c)
se obtiene que la velocidad angular de este movimiento es
\vec{\omega}=2\Omega\vec{k}
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