Fasor

1 Fórmula de Euler

Existe una forma expresar el movimiento armónico simple. La fórmula de Euler establece una relación entre la exponencial de un número imaginario y las funciones trigonométricas

$\mathrm{e}^{\mathrm{j}x} = \cos(x)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(x)$ $\mathrm{j}=\sqrt{-1}$

o, equivalentemente,

$\cos(x) = \mathrm{Re}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}\right)$ $\mathrm{sen}(x) = \mathrm{Im}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}x}\right)$

2 Vectores rotatorios

Si consideramos que el exponente en la fórmula de Euler es proporcional al tiempo, el resultado es un vector rotatorio en el plano complejo
$\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t} = \cos(\omega t)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(\omega t)$

La parte real de este número complejo rotatorio, esto es, su proyección sobre el eje de abscisas, representa una oscilación cosenoidal. La parte imaginaria oscila igualmente, pero como un seno, esto es, desfasada un cuarto de periodo.

3 Amplitudes complejas (fasores)

La solución general del movimiento armónico simple, en función de las condiciones iniciales, es

$x = x_0\cos(\omega t) + b\,\mathrm{sen}(\omega t)=x_0\cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)$

y, en función de la amplitud y la fase

$x = A\cos(\omega t+\varphi)\,$ $A=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}$ $\varphi=-\mathrm{arctg}\frac{b}{a}=-\mathrm{arctg}\frac{v_0}{\omega x_0}$

Aplicando la fórmula de Euler a la expresión anterior

$x = A \cos(\omega t + \varphi) = \mathrm{Re}\left(A \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t + \varphi)}\right) = \mathrm{Re}\left(\tilde{x}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)$

donde

$\tilde{x}=A\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi}$

es la llamada amplitud compleja o fasor de la variable

x

. El movimiento armónico simple se puede ver entonces como la proyección sobre el eje real de un vector que gira en el plano complejo y cuyo valor en el instante

t = 0

es la amplitud compleja $\tilde{x}$ .

Se define entonces, en general, la amplitud compleja o fasor $\tilde{f}$ de una cantidad oscilante

f (t)

como aquel número complejo constante que cuando se multiplica por

e jω t

y se halla la parte real del producto, resulta la cantidad

f (t)

$f(t) = \mathrm{Re}\left(\tilde{f}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)$

Este número complejo tiene por módulo la amplitud de las oscilaciones y por argumento la constante de fase

$\tilde f = \left|\tilde{f}\right|\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi}$

Aplicando de nuevo la fórmula de Euler obtenemos la parte real y la imaginaria del fasor de la posición

$\tilde{x}= A\cos(\varphi)+\mathrm{j}A\,\mathrm{sen}(\varphi)=a-\mathrm{j}b=x_0-\frac{v_0}{\omega}\mathrm{j}$

esto es, la amplitud compleja queda completamente determinada por las condiciones iniciales del movimiento.

4 Derivación e integración de fasores

La gran ventaja de la definición de los fasores es que simplifican enormemente las derivadas e integrales.

4.1 Velocidad en un MAS

Si derivamos la expresión fasorial obtenemos la velocidad instantánea de una partícula en un MAS
$v = \dot{x}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\mathrm{Re}\left(\tilde{x}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)\right)$

La derivada de una parte real es la parte real de la derivada, y $\tilde{x}$ es una cantidad constante, por lo que

$v = \mathrm{Re}\left(\tilde{x}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)\right) = \mathrm{Re}\left(\mathrm{j}\omega\tilde{x}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)$

Esto es, la velocidad también se puede escribir en forma fasorial

$v(t) = \mathrm{Re}\left(\tilde{v}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)$

donde

$\tilde{v}=\mathrm{j}\omega \tilde{x}$

es decir, para calcular el fasor de la derivada de una magnitud, solo necesitamos multiplicar el fasor de dicha magnitud por

jω

. El uso de fasores transforma las derivadas en multiplicaciones.

En función de las condiciones iniciales el fasor de la velocidad es

$\tilde{v}=\mathrm{j}\omega\left(x_0-\mathrm{j}\frac{v_0}{\omega}\right) = v_0+\mathrm{j}\omega x_0$

Podemos comprobar que efectivamente este fasor produce la velocidad como función del tiempo

$\mathrm{Re}\left((v_0+\mathrm{j}\omega x_0)(\cos(\omega t)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(\omega t))\right)=-\omega x_0\,\mathrm{sen}(\omega t)+v_0\cos(\omega t) = v(t)$

El resultado es la derivada temporal de la posición.

En el plano complejo, el fasor de la velocidad está girado 90° respecto al de la posición, como resultado de la multiplicación por la velocidad imaginaria.

4.2 Aceleración en un MAS

La misma regla algebraica la podemos aplicar al cálculo de la aceleración. Su fasor será igual al de la velocidad multiplicado por

jω

$\tilde{a}=\mathrm{j}\omega\tilde{v}=(\mathrm{j}\omega)^2\tilde{x}=-\omega^2\tilde{x}$

Gráficamente el fasor de la aceleración está girado 90° respecto al de la velocidad y por tanto posee sentido opuesto al de la posición.

5 Integración de fasores

La regla inversa a la de la derivación se aplica a la hora de integrar. Si se sabe que tanto una magnitud como su primitiva son funciones oscilantes, el fasor de la primitiva es simplemente el fasor de la magnitud dividido por

jω

. Así

$\tilde{x}=\frac{\tilde{v}}{\mathrm{j}\omega}=-\frac{\tilde{a}}{\omega^2}$

6 Aplicación al caso de un oscilador forzado

Un ejemplo en el que la solución empleando fasores es mucho más simple que la que usa funciones trigonométricas es el caso de un oscilador armónico con rozamiento sometido a una fuerza oscilante.

Suponemos un oscilador armónico unidimensional, de constante

k

, masa

m

y coeficiente de rozamiento viscoso

b

. Se trata de ver cómo se mueve este oscilador cuando se encuentra sometido a una fuerza

$F(t)=F_0\cos(\omega t)=\mathrm{Re}\left(\tilde{F}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)$ $\tilde{F}=F_0$

La ecuación de movimiento para la partícula es

$ma=-kx-bv+F_0\cos(\omega t)\,$

o, en términos de la posición,

$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx = F_0\cos(\omega t)$

Tras un periodo transitorio inicial, el movimiento de la partícula se reduce a oscilaciones siguiendo a la fuerza, con la misma frecuencia, pero con un posible desfase

$x=A\cos(\omega t + \varphi)\,$

Para encontrar la amplitud y desfase de este movimiento oscilatorio, escribimos la ecuación la ecuación en forma fasorial, reemplazando las derivadas por multiplicaciones por

jω

. Nos queda la ecuación algebraica

$-m\omega^2\tilde{x} +\mathrm{j}b\omega\tilde{x}+k\tilde{x}=\tilde{F}$

De aquí despejamos el fasor de la posición

$\tilde{x}=\frac{\tilde{F}}{(k-m\omega^2)+\mathrm{j}\omega b}$

Esta ecuación nos da la amplitud de las oscilaciones

$A = |\tilde{x}| = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + \omega^2 b^2}}$

y el desfase respecto a la fuerza aplicada

$\varphi =\arg\left(\tilde{x}\right) = -\mathrm{arctg}\left(\frac{\omega b}{k-m\omega^2}\right)$

La Función exponencial. Los fasores

1. Introducción

2. Definición de fasor

· Aplicación interactiva

3. Diferenciación con fasores

4. Integración con fasores

5. Ejemplo de análisis con fasores

6. Referencias

7. Test

1. Introducción

En esta página vamos a ver qué son los fasores. Su definición y explicación y cómo se pueden utilizar para analizar circuitos en vez de utilizar las expresiones de las funciones senoidales directamente. Se presentará una aplicación interactiva en la que se puede ver cómo se puede pasar de una función senoidal a su representación fasorial.

2. Definición y explicación

Los fasores nos van a permitir trabajar con las funciones senoidales de una forma más fácil en algunas ocasiones como al integrar y al derivar.

Como

se puede ver el voltaje con la expresión:

con

y una corriente con la expresión

con

, donde

Definición de fasor: es una cantidad compleja que se emplea para representar funciones del tiempo que varían de forma senoidal.

es un número complejo con:

módulo: la amplitud de la magnitud que representa.
fase: la fase de dicha magnitud en t=0.

El fasor se relaciona con las funciones senoidales a través de la siguiente expresión:

Para poder usarlo en las ecuaciones integro-diferenciales se necesita ver cómo responden a esas operaciones.

Aplicación interactiva sobre fasores.

Desde este apartado se puede acceder a una aplicación interactiva que a partir de los parámetros de una función senoidal, hace una representación de ésta, y calcula el fasor y la fase. Los parámetros que la aplicación permite introducir son:

F_m: es la amplitud de la forma de onda.
La frecuencia de la función senoidal, expresada en radianes por segundo.
La fase de la forma de onda, pudiéndose elegir tanto un valor en radianes como en segundos.

Una vez que se han introducido los parámetros deseados por el usuario basta con pulsar la tecla Enter para que la aplicación dibuje la forma de onda resultante y calcule los nuevos resultados.

Aplicación interactiva.

3. Diferenciación con fasores

Si tenemos una función g(t) con su parte real x(t) y su parte imaginaria y(t), y definimos la función:

diferenciando f(t):

Si diferenciamos g(t) y luego tomamos la parte real:

Al final:

Las relaciones que tenemos en la diferenciación son:

4. Integración con fasores

Con la función h(t) definida como la integración de f(t):

Las relaciones que hay en la integración se pueden ver a continuación:

Por lo tanto, se pueden resolver las ecuaciones integro-diferenciales que aparecen en régimen permanente senoidal mediante la utilización de fasores. Esto se debe a que las derivadas y las integrales se transforman en multiplicaciones y divisiones por

y así estas ecuaciones se convierten en algebraicas mediante fasores.