Polígonos

golígono (técnicamente llamado "isógono serial de 90 grados) es cualquier polígono con todos los ángulos rectos, cuyos longitud de los lados son una secuencia de números enteros. Los golígonos fueron inventados y nombrados por Lee Sallows, y popularizados por A.K. Dewdney en la columna de Scientific American (Smith) de 1990. Hay variaciones de la definición de golígonos que implican permitir que los lados se crucen, usando secuencias diferentes a números enteros consecutivos, y considerando ángulos distintos a 90º.

En cualquier golígono, todos los lados horizontales tienen la misma paridad, así como también pasa en los lados verticales. Por lo tanto, el número n de lados debe permitir la solución en un sistema de ecuaciones.

${\displaystyle \pm 1\pm 3\cdots \pm (n-1)=0}$

${\displaystyle \pm 2\pm 4\cdots \pm n=0.}$

De esto se desprende que n debe ser múltiplo de 8.

El número de soluciones a este sistema de ecuaciones puede ser calculado eficientemente usando funciones generadoras (Secuencia A007219 en OEIS) pero encontrar el número de soluciones que corresponde a un polígono cuyos lados no se cruzan parece ser más difícil.

Solo hay un golígono de 8 lados (mostrado en la imagen); con el cual se puede embaldosar el plano mediante una rotación en 180º. Esto se verifica usando el criterio de Conway.

hectágono es un polígono de 100 lados, aunque visualmente se asemeja a una circunferencia. En un hectágono regular, la suma de todos los ángulos interiores es 17 640 grados. El área "A", siendo a la longitud de la arista, viene dada por:

${\displaystyle A=25a^{2}\cot {\frac {\pi }{100}}\simeq 795.513a^{2}}$

 heptadecágono es un polígono de 17 lados y 17 vértices.

Propiedades[editar]

Un heptadecágono tiene 119 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para deteminar el número de diagonales de un polígono, ${\displaystyle D=n(n-3)/2}$; siendo el número de lados ${\displaystyle n=17}$, tenemos:

${\displaystyle D={\frac {17(17-3)}{2}}=119}$

La suma de todos los ángulos internos de cualquier heptadecágono es 2700 grados ó ${\displaystyle 15\pi }$ radianes.

Heptadecágono regular[editar]

Un heptadecágono regular es el que tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos internosiguales. Cada ángulo interno del heptadecágono regular mide aproximadamente 158,82º o exactamente ${\displaystyle 15\pi /17}$rad. Cada ángulo externo del heptadecágono regular mide aproximadamente 21,18º ó exactamente ${\displaystyle 2\pi /17}$ rad.

Para obtener el perímetro P de un heptadecágono regular, multiplíquese la longitud t de uno de sus lados por diecisiete (el número de lados n del polígono).

${\displaystyle P=n\cdot t=17\ t}$

Dada la longitud t de uno de sus lados, el área A de un heptadecágono regular es:

${\displaystyle A={\frac {17(t^{2})}{4\tan({\frac {\pi }{17}})}}\simeq 22,7355\ t^{2}}$

donde ${\displaystyle \pi }$ es la constante pi y ${\displaystyle \tan }$ es la función tangente calculada en radianes.

Si se conoce la longitud de la apotema a del polígono, otra alternativa para calcular el área es:

${\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}={\frac {17(t)\ a}{2}}}$

Aspecto algebraico[editar]

La ecuación x¹⁷ = 1, contiene las 17 raíces décimoséptimas de la unidad. Fuera de 1, las demás raíces son complejas y raíces primitivas. En un círculo unitario del plano complejo estas raíces están en los vértices de un heptadecágono.

Nota histórica[editar]

Como anhelo, Gauss quería grabar en su lápida un polígono regular de 17 lados, sin embargo el artesano encargado se negó debido a la complejidad de su confección y que además no se diferenciaría de un círculo. Cabe destacar que Gauss demostró que el polígono regular de 17 lados es construible con regla y compás, ahí su anhelo.