Polígonos

heptágono es un polígono con siete lados, siete ángulos y siete vértices.

Propiedades[editar]

Un heptágono tiene catorce diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono, ${\displaystyle D=n(n-3)/2}$; siendo el número de lados ${\displaystyle n=7}$, tenemos:

${\displaystyle D={\frac {7(7-3)}{2}}=14}$

La suma de todos los ángulos internos de cualquier heptágono es 900 grados o ${\displaystyle 5\pi }$ radianes.

Heptágono regular[editar]

Ventana heptagonal en los jardines Yuyuan de Shanghái (China).

En un heptágono regular, aquel cuyos lados y ángulos son iguales, los lados se unen formando un ángulo de aproximadamente 128,57º o exactamente 5π/7 radianes. Cada ángulo externo del heptágono regular mide aproximadamente 51,43º ó exactamente 2π/7 radianes.

El perímetro P de un heptágono regular puede calcularse multiplicando la longitud t de uno de sus lados por siete (el número de lados n del polígono).

${\displaystyle P=n\cdot t=7\ t}$

El área A de un heptágono regular con lados de longitud t sería:

${\displaystyle A={\frac {7(t^{2})}{4\ tan({\frac {\pi }{7}})}}\simeq 3,6339\ t^{2}}$

donde ${\displaystyle \pi }$ es la constante pi y ${\displaystyle tan}$ es la función tangente calculada en radianes.

Si se conoce la longitud de la apotema a del polígono, otra alternativa para calcular el área es:

${\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}={\frac {7(t)\ a}{2}}}$

Es el polígono regular de menor número de lados que no se puede construir con regla y compás.

Un heptágono es un polígono de siete lados (L₁, L₂, L₃, L₄, L₅, L₆ y L₇). Los lados confluyen dos a dos en siete puntos, llamados vértices.

Elementos del heptágono

En un heptágono se pueden diferenciar los siguientes elementos:

• Vértices (V): puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 7 vértices.
• Lados (L): segmentos que unen dos vértices consecutivos del heptágono y que delimitan su perímetro. Tiene 7 lados.
• Diagonal (D): segmento que une dos vértices no consecutivos. En un heptágono convexo hay 14 diagonales (¿por qué hay catorce diagonales?).
• Ángulos interiores (α): ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el que confluyen. Hay 7 ángulos interiores. Los ángulos interiores del heptágono suman 900º (¿por qué suman 900º?).
• Ángulos exteriores (β): ángulo formado por un lado con la prolongación exterior del lado consecutivo. Hay 7 ángulos exteriores.

Tipos de heptágono

Según las características de los lados y ángulos del heptágono, éstos se clasifican en dos tipos:

• Heptágono regular: figura geométrica con siete lados y ángulos iguales (todos sus ángulos interiores son de 128,6º, resultado de dividir 900º entre 7 ángulos).
• Heptágono irregular: figura geométrica cuyos siete lados y ángulos no son iguales entre sí.

Área del heptágono

ANUNCIOS

El cálculo del área de un heptágono es diferente dependiendo de si el heptágono es regular o irregular.

Área del heptágono regular

El área del heptágono regular es un medio del perímetro por la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.

Al ser su perímetro siete veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:

Como la apotema del heptágono regular se calcula con esta fórmula:

Donde α es el ángulo interior del heptágono. Así, la fórmula del área del heptágono se puede expresar así:

En la que, agrupando las constantes, con aproximación a tres decimales, se queda así:

Área del heptágono irregular

El cálculo del área de un heptágono irregular requiere de métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el heptágono en siete triángulos y calcular el área sumando las siete áreas de los triángulos.

Podemos calcular el área del heptágono irregular mediante dos procedimientos alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss.

Triangulación del heptágono irregular

Sea H un heptágono irregular. Se desea calcular su área (A).

El método de triangulación consiste en dividir el heptágono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en siete triángulos y el área del heptágono será la suma del área de esos siete triángulos.

1. Se divide el heptágono en siete triángulos (T₁, T₂, T₃, T₄, T₅, T₆ y T₇) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del heptágono y que todos confluyen en un mismo punto interior del heptágono.

2. Se miden las alturas (h₁, h₂,…, h₇) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del heptágono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.

3. Se calculan las áreas de los siete triángulos. El área del primer triángulo es:
   
   
   Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros seis triángulos.
4. Sumamos las siete áreas y obtenemos el área del heptágono irregular:
   
   

Determinante de Gauss

Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss.

Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.

Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.

Sean los vértices del heptágono: (x₁,y₁), (x₂,y₂),…, (x₇,y₇). La fórmula es la siguiente:

Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del heptágono irregular.

Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavoscomo en los convexos.

Perímetro del heptágono

La fórmula del perímetro del heptágono es diferente dependiendo si el heptágono es regular o irregular.

Perímetro del heptágono regular

El heptágono regular tiene sus siete lados iguales. Por lo tanto, su perímetro es siete veces uno de sus lados:

Perímetro del heptágono irregular

El heptágono irregular es un polígono cuyos siete lados no son iguales entre sí.

Por tanto, su perímetro será la suma de la longitud de sus siete lados.

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