Polígonos

polígono irregular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores no son iguales entre sí. Los polígonos irregulares no tienen todos sus lados iguales. Sus vértices podrían no estar inscritos en una circunferencia. Estos polígonos irregulares tienen la ventaja de que no se necesita un compás para construirlos como es el caso de los polígonos regulares, sólo se necesita una regla para conectar los puntos para formar el polígono irregular con lados diferentes pero un punto no puede conectarse más de dos puntos porque si no se estarían formando dos polígonos juntos o continuos.

lasificación de los polígonos irregulares[editar]

Los polígonos irregulares, al igual que los polígonos regulares, se clasifican con el mismo nombre de acuerdo a la cantidad de lados que tengan: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.

Clasificación de polígonos según el número de lados
Nombre	nº lados
triángulo, trígono	3
cuadrilátero, tetrágono, cuadrángulo	4
pentágono	5
hexágono	6
heptágono	7
octógono u octágono	8
eneágono o nonágono	9
decágono	10
endecágono o undecágono	11
dodecágono	12
tridecágono	13
tetradecágono	14
pentadecágono	15
hexadecágono	16
heptadecágono	17
octodecágono	18
eneadecágono	19
isodecágono, icoságono	20
triacontágono	30
tetracontágono	40
pentacontágono	50
hexacontágono	60
heptacontágono	70
octocontágono	80
eneacontágono	90
hectágono	100
chiliágono	1.000
miriágono	10.000
decemiriágono	100.000
hectamiriágono, megágono	1.000.000

Perímetro de un polígono irregular[editar]

El perímetro es igual a la suma de la longitud de cada lado del polígono irregular.

Área de un polígono irregular[editar]

La Triangulación de un polígono se utiliza para calcular el área de cualquier polígono irregular. Entonces, debemos utilizar los métodos de triangulación para descomponer el polígono irregular en triángulos o cuadriláteros conocidos pequeños sin perder la forma del polígono irregular original. Por lo tanto, el área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos o cuadriláteros. ${\displaystyle ATP=\sum _{i=1}^{n}T_{n}}$

${\displaystyle ATP}$ = Área Total del polígono irregular.

${\displaystyle T_{n}}$ = El área del triángulo ${\displaystyle n}$ disyunto del polígono original.

${\displaystyle n}$ = La cantidad máxima de triángulos que pueden resultar de ese polígono irregular.

 monótono respecto a una recta L si cualquier línea ortogonal a L corta al polígono a lo sumo en dos puntos.¹​²​³​ Un polígono se considera fuertemente monótono si lo es respecto a cualquier recta del plano, y simplemente monótono si lo es de respecto de alguna recta del plano.

Los dos polígonos superiores son monótonos, según el número de cortes del polígono en una dirección (verde: un corte, azul: dos cortes, rojo: tres o más)

polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son iguales entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el término regular (pentágono regular, hexágono regular, octágono regular, etc). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.

Elementos de un polígono regular[editar]

• Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
• Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
• Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.
• Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
• Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
• Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
• Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.
• Semiperímetro, SP: es la semisuma del perímetro.
• Sagita, S: parte del radio comprendida entre el punto medio del lado y el arco de circunferencia. La suma de la apotema: a más la sagita: S, es igual al radio: r.

Propiedades de un polígono regular[editar]

• Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma medida.
• Los polígonos regulares son equiangulares, puesto que todos sus ángulos interiores tienen la misma medida.
• Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia.

Ángulos de un polígono regular[editar]

Central[editar]

• Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono como sigue:

${\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi }{n}}\;}$ en radianes

Interior[editar]

• El ángulo interior, ${\displaystyle \beta \,}$, de un polígono regular mide:

${\displaystyle \beta =180^{\circ }\cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \beta =\pi \cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;}$ en radianes

• La suma de los ángulos interiores, ${\displaystyle \sum \beta \;}$, de un polígono regular es de:

${\displaystyle \sum \beta =180^{\circ }\cdot {(n-2)}\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \sum \beta =\pi \cdot {(n-2)}\;}$ en radianes

Exterior[editar]

• El ángulo exterior, ${\displaystyle \gamma \;}$, de un polígono regular es de:

${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-\beta ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \gamma =\pi -\beta ={\frac {2\pi }{n}}\;}$ en radianes

• La suma de los ángulos exteriores, ${\displaystyle \sum \gamma \,}$, de un polígono regular es:

${\displaystyle \sum \gamma =360^{\circ }\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \sum \gamma =2\pi \;}$ en radianes

Galería de polígonos regulares[editar]

• 

  Triángulo equilátero(Triángulo regular) (3)
 
• 

  Cuadrado (cuadriláteroregular) (4)
 
• 

  Pentágono regular (5)
 
• 

  Hexágono regular (6)
 
• 

  Heptágono regular (7)
 
• 

  Octágono regular (8)
 
• 

  Eneágono regular (9)
 
• 

  Decágono regular (10)
 
• 

  Undecágono regular (11)
 
• 

  Dodecágono regular (12)
 
• 

  Tridecágono regular (13)
 
• 

  Tetradecágono regular (14)

Observación: A medida que crece el número de lados de un polígono regular, se asemeja más a una circunferencia.

Área de un polígono regular[editar]

Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

En función del perímetro y la apotema[editar]

El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

${\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}}$

[ocultar]Demostración

Partiendo del triángulo que tiene por base un lado L, del polígono y altura su apotema a , el área de este triángulo, es: ${\displaystyle A_{t}={\frac {L\cdot a}{2}}\;}$ Un polígono de n lados, tiene n de estos triángulos, por lo tanto el área del polígono será: ${\displaystyle A_{p}={\frac {L\cdot a}{2}}\cdot n\;}$ Sabiendo que la longitud de un lado L, por el número n de lados, es el perímetro P, tenemos: ${\displaystyle A_{p}={\frac {P\cdot a}{2}}\;}$

En función del número de lados y la apotema[editar]

Sabiendo que:

${\displaystyle A_{p}={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}}$

Además ${\displaystyle \delta ={\frac {\pi }{n}}\ }$, ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).

Observando la imagen, es posible deducir que:

${\displaystyle L=2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

Sustituyendo el lado:

${\displaystyle A_{p}={\frac {\left(2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right)\cdot n\cdot a}{2}}}$

Finalmente:

${\displaystyle A_{p}=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.

En función del número de lados y el radio[editar]

Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:

${\displaystyle L=2r\sin({\delta })\;}$

${\displaystyle a=r\cos({\delta })\;}$

donde el ángulo central es:

${\displaystyle \alpha =2\delta ={\frac {2\pi }{n}}\;}$

sabiendo que el área de un polígono es:

${\displaystyle A_{p}={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;}$

y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:

${\displaystyle A_{p}={\frac {2r\sin({\delta })\cdot n\cdot r\cos({\delta })}{2}}\;}$

ordenando tenemos:

${\displaystyle A_{p}={\frac {nr^{2}\cdot 2\sin({\delta })\cos({\delta })}{2}}\;}$

sabiendo que:

${\displaystyle 2\sin({\delta })\cos({\delta })=\sin({2\delta })\;}$

resulta:

${\displaystyle A_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\alpha })}{2}}\;}$

o lo que es lo mismo:

${\displaystyle A_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;}$

Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.

En función de la longitud y el número de lados[editar]

Y si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcularlo de la siguiente manera:

${\displaystyle A_{p}=n\cdot {\frac {L\cdot a}{2}}}$

Sea ${\displaystyle \varphi }$ el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r":

${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi -\alpha }{2}}\ ={\frac {\pi -{\frac {2\pi }{n}}}{2}}\ ={\frac {\pi }{2}}\;{\frac {(n-2)}{n}}}$

El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a}{\frac {L}{2}}}={\frac {2a}{L}}}$

Despejando la apotema tenemos:

${\displaystyle a={\frac {L\cdot \tan \varphi }{2}}}$

Sustituimos la apotema por su valor:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}A_{p}=n\cdot {\cfrac {L\cdot a}{2}}\\\\a={\cfrac {L\cdot \tan \varphi }{2}}\\\\\varphi ={\cfrac {\pi }{2}}\;{\cfrac {(n-2)}{n}}\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad A_{p}=n\cdot {\cfrac {L^{2}}{4}}\cdot \tan \left({\cfrac {\pi }{2}}\;{\cfrac {(n-2)}{n}}\right)}$

Se puede ver en el dibujo que ${\displaystyle \tan(\delta )={\frac {1}{\tan(\varphi )}}}$ y la fórmula puede escribirse también como ${\displaystyle A_{p}={\frac {n\cdot L^{2}}{4\cdot \tan \left({\frac {180^{o}}{n}}\right)}}}$.

Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del lado podemos calcular su superficie.

Diagonales de un polígono regular[editar]

Número de diagonales[editar]

Para determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de nvértices realizaremos el siguiente razonamiento:

• De un vértice cualquiera partirán (n – 3) diagonales, donde n es el número de vértices, dado que no hay ningún diagonal que le una consigo mismo ni con ninguno de los dos vértices contiguos.
• Esto es válido para los n vértices del polígono.
• Una diagonal une dos vértices, por lo que aplicando el razonamiento anterior tendríamos el doble de diagonales de las existentes.

Según el razonamiento tendremos que:

${\displaystyle N_{d}={\frac {n(n-3)}{2}}}$

Longitud de la diagonal más pequeña[editar]

La diagonal más pequeña de un polígono regular es la que une dos vértices alternos, para determinar su longitud, partimos del ángulos central y del radio, el radio que pasa por el vértice intermedio, corta a la diagonal en el punto A, este radio y la diagonal son perpendiculares en A.

Esto es el triángulo VAC es rectángulo en A, por tanto:

${\displaystyle \sin({\alpha })={\frac {\frac {d}{2}}{r}}}$

que resulta:

${\displaystyle \sin({\alpha })={\frac {d}{2r}}}$

de donde deducimos que:

${\displaystyle d=2r\sin({\alpha })\,}$

Sabiendo el valor del ángulo central:

${\displaystyle d=2r\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}$

La diagonal más pequeña de un polígono regular, solo depende del radio y del número de lados, siendo tanto mayor cuanto mayor sea el radio y disminuyendo de longitud cuando aumenta el número de lados del polígono.

Longitud de las diagonales[editar]

En General la longitud de las diagonales de un polígono regular viene dada por la relación de recurrencia

${\displaystyle d_{k}^{2}=L^{2}+d_{k-1}^{2}+2\cdot L\cdot d_{k-1}\cdot \cos {\left({\frac {k+1}{n}}\pi \right)}}$

${\displaystyle L=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

${\displaystyle d_{1}=4\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\right)}$

${\displaystyle d_{2}=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {1+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)}}}$

${\displaystyle d_{3}^{2}=4\cdot r^{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)\left(2+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)+2{\sqrt {1+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)}}\cos \left({\frac {4\cdot \pi }{n}}\right)\right)}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle d_{k}=r\cdot {\sqrt {2\left(1-\cos \left({\frac {2\left(k+1\right)\pi }{n}}\right)\right)}}}$

${\displaystyle d_{k}=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\left(k+1\right)\pi }{n}}\right)}$