Polígonos

Los polígonos cóncavos son aquellos que al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180 grados ( ${\displaystyle \pi }$ radianes). En un polígono cóncavo al menos una de sus diagonales es exterior al polígono. Los polígonos estrellados son polígonos cóncavos. En todo polígono cóncavo hay al menos dos vértices que al ser unidos por un segmento, este corta uno o más lados. Los polígonos de tres lados (triángulos) son los únicos polígonos que no pueden ser cóncavos, debido a que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180 grados ó ${\displaystyle \pi }$ radianes.

Elementos[editar]

• Ángulo entrante: es el ángulo cuya medida es mayor que 180º
• Diagonal: Cualquier segmento que une dos vértices no consecutivos.
• Desde el vértice de un ángulo entrante es posible una descomposición en figuras convexas de menor número de lado, si es posible en triángulos.
• Punto interior: Es aquel punto que es interior a uno de polígonos convexos que resulta de una descomposición, mediante una diagonal o diagonales que parten del vértice de un ángulo entrante.
• Interior: Es el conjunto de todos los puntos interiores.
• Región poligonal: Es la unión del polígono y su interior.
• Punto exterior: Es un punto que no está en la región poligonal. El conjunto de todos los puntos exteriores es el exterior del polígono.

Propiedades[editar]

Triangulación en abanico de un polígono con un único vértice cóncavo, mediante las diagonales del mismo.

• Por cada ángulo entrante hay al menos una diagonal que contiene puntos del exterior del polígono, excepto sus extremos.
• Un polígono cóncavo de ${\displaystyle n}$ vértices, de los cuales sólo uno es entrante, admite una al menos una Triangulación en abanico en ${\displaystyle n-2}$ triángulos trazando diagonales desde el vértice entrante.
• Un polígono cóncavo de ${\displaystyle n}$ lados puede tener a lo sumo una cantidad de ángulos entrantes a lo sumo igual a ${\displaystyle n/2}$.
• Cualquier polígono cóncavo tiene, por lo menos, dos lados, tal que la prolongación de cualquiera de ellos determina dos semiplanos y divide al polígono en dos partes, de modo que cada semiplano contiene sólo una de las dos partes del polígono.

Aplicación[editar]

Ligando con la geometría computacional, es posible optimizar o situar un punto o más en la región poligonal, que permitan una mayor vigilancia del ambiente cuyo contorno es un polígono cóncavo.

polígono equiangular es un tipo de polígono cuyos ángulos de vértice son iguales. Si las longitudes de los lados son también iguales, entonces es un polígono regular. Los polígonos isogonales son polígonos equiangulares que alternan lados de dos longitudes.

El único triángulo equiangular es el triángulo equilátero. Los rectángulos, incluyendo el cuadrado, son los únicos cuadriláteros equiangulares (figuras de cuatro lados).¹​

Para un n-ágono equiangular, cada ángulo interno es de 180 (1-2/n)°; esto es el conocido como teorema del polígono equiangular.

El teorema de Viviani se mantiene para polígonos equiangulares:²​

La suma de distancias de un punto del interior a los lados de un polígono equiangular no depende de la ubicación del punto, y es un invariante del polígono.

Un rectángulo (cuadrilátero equiangular) con longitudes de lado enteras puede ser recubierto por cuadrados unidad, y un hexágono equiangular con longitudes de lado enteras puede ser recubierto por triángulos equiláteros unidad. Algunos, pero no todos los dodecagonos equiláteros pueden ser enladrillados por una combinación de cuadrados unidad y triángulos equiláteros; el resto puede ser enladrillado por estas dos formas junto con rombos con ángulos de 30 y 150 grados.¹​

Un polígono cíclico es equiangular sí y solo sí los lados alternos son iguales (esto es, los lados 1, 3, 5, ... miden igual, y los lados 2, 4, ... tienen igual medida). Así, si n es impar, un polígono cíclico es equiangular sí y solo sí es regular.³​

Para p primo, cada p-gono equiangular de lados enteros es regular. Además, cada p-gono equiangular de lados enteros p^k-gon tiene simetría rotacional de grado p.⁴​

Un polígono equiangular que es también equilátero (tiene todos los lados de igual longitud) es un polígono regular.

polígono equilátero es un polígono cuyos lados miden lo mismo.

Ejemplos[editar]

• Triángulo equilátero. Un triángulo equilátero es también equiangular (todos los ángulos miden lo mismo).

• Cuadrilátero equilátero. Un cuadrilátero equilátero es un rombo, estos incluyen a los cuadrados.

Propiedades[editar]

• Un polígono equilátero que además es equiangular (todos sus ángulos miden lo mismo), es un polígono regular.
• Un polígono equilátero que además es cíclico (con sus vértices sobre una circunferencia), es un polígono regular.
• Todos los cuadriláteros equiláteros son convexos, pero esto ya no es cierto para polígonos de más lados.