MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

límite directo es una forma de construir un objeto (generalmente grande) a partir de muchos objetos (generalmente más pequeños) que se juntan de una manera específica. Estos objetos pueden ser grupos , anillos , espacios vectoriales o en objetos generales de cualquier categoría . La forma en que se unen se especifica mediante un sistema de homomorfismos ( homomorfismo de grupo, homomorfismo de anillo o, en general, morfismos en la categoría) entre esos objetos más pequeños. El límite directo de los objetos.$${\ displaystyle A_ {i}}, dónde $${\ displaystyle i}se extiende sobre un conjunto dirigido $${\ displaystyle I}se denota por $${\ displaystyle \ varinjlim A_ {i}}. (Esto es un ligero abuso de notación, ya que suprime el sistema de homomorfismos que es crucial para la estructura del límite).

Los límites directos son un caso especial del concepto de colimit en la teoría de categorías . Los límites directos son duales a los límites inversos, que son un caso especial de límites en la teoría de categorías.

Definición formal [ editar ]

Primero daremos la definición de estructuras algebraicas como grupos y módulos , y luego la definición general, que se puede utilizar en cualquier categoría .

Límites directos de objetos algebraicos [ editar ]

En esta sección se entiende que los objetos consisten en conjuntos subyacentes con una estructura algebraicadada , tales como grupos , anillos , módulos (sobre un anillo fijo), álgebras (sobre un campo fijo), etc. Teniendo esto en cuenta, los homomorfismos se entienden en El ajuste correspondiente ( homomorfismos de grupo , etc.).

Dejar $${\ displaystyle \ langle I, \ leq \ rangle}Ser un conjunto dirigido . Dejar$${\ displaystyle \ {A_ {i}: i \ in I \}}Ser una familia de objetos indexados por.$${\ displaystyle I \,} y $${\ displaystyle f_ {ij} \ colon A_ {i} \ rightarrow A_ {j}} ser un homomorfismo para todos $${\ displaystyle i \ leq j} con las siguientes propiedades:

1. $${\ displaystyle f_ {ii} \,} es la identidad de $${\ displaystyle A_ {i} \,}y
2. $${\ displaystyle f_ {ik} = f_ {jk} \ circ f_ {ij}} para todos $${\ displaystyle i \ leq j \ leq k}.

Entonces la pareja $${\ displaystyle \ langle A_ {i}, f_ {ij} \ rangle} se llama un sistema directo sobre $${\ displaystyle I}.

El límite directo del sistema directo.$${\ displaystyle \ langle A_ {i}, f_ {ij} \ rangle} se denota por $${\ displaystyle \ varinjlim A_ {i}}y se define de la siguiente manera. Su conjunto subyacente es la unión desunida de la$${\ displaystyle A_ {i} \,}'s módulo una cierta relación de equivalencia $${\ displaystyle \ sim \,}:

$${\ displaystyle \ varinjlim A_ {i} = \ bigsqcup _ {i} A_ {i} {\ bigg /} \ sim.}

Aqui si $${\ displaystyle x_ {i} \ en A_ {i}} y $${\ displaystyle x_ {j} \ en A_ {j}}, entonces $${\ displaystyle x_ {i} \ sim \, x_ {j}} si hay alguna$${\ displaystyle k \ en I} con $${\ displaystyle i \ leq k} y $${\ displaystyle j \ leq k} y tal que $${\ displaystyle f_ {ik} (x_ {i}) = f_ {jk} (x_ {j}) \,}. Heurísticamente, dos elementos en la unión desunida son equivalentes si y solo si "eventualmente se vuelven iguales" en el sistema directo. Una formulación equivalente que resalta la dualidad al límite inverso es que un elemento es equivalente a todas sus imágenes bajo los mapas del sistema directo, es decir,$${\ displaystyle x_ {i} \ sim \, f_ {ij} (x_ {i})} cuando $${\ displaystyle i \ leq j}.

Naturalmente se obtiene de esta definición funciones canónicas. $${\ displaystyle \ phi _ {i} \ colon A_ {i} \ rightarrow \ varinjlim A_ {i}}enviando cada elemento a su clase de equivalencia. Las operaciones algebraicas en$${\ displaystyle \ varinjlim A_ {i} \,}Se definen de tal manera que estos mapas se convierten en homomorfismos. Formalmente, el límite directo del sistema directo.$${\ displaystyle \ langle A_ {i}, f_ {ij} \ rangle} consiste en el objeto $${\ displaystyle \ varinjlim A_ {i}} Junto con los homomorfismos canónicos. $${\ displaystyle \ phi _ {i} \ colon A_ {i} \ rightarrow \ varinjlim A_ {i}}.

Límites directos en una categoría arbitraria [ editar ]

El límite directo se puede definir en una categoría arbitraria. $${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}Por medio de una propiedad universal . Dejar$${\ displaystyle \ langle X_ {i}, f_ {ij} \ rangle} Ser un sistema directo de objetos y morfismos en $${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}(como se define arriba). Un objetivo es un par.$${\ displaystyle \ langle X, \ phi _ {i} \ rangle} dónde $${\ displaystyle X \,} es un objeto en $${\ displaystyle {\ mathcal {C}}} y $${\ displaystyle \ phi _ {i} \ colon X_ {i} \ rightarrow X} son morfismos para cada uno $${\ displaystyle i \ in I} tal que $${\ displaystyle \ phi _ {i} = \ phi _ {j} \ circ f_ {ij}}cuando $${\ displaystyle i \ leq j}. Un límite directo del sistema directo.$${\ displaystyle \ langle X_ {i}, f_ {ij} \ rangle}es un objetivo que repele universalmente $${\ displaystyle \ langle X, \ phi _ {i} \ rangle}en el sentido de que $${\ displaystyle \ langle X, \ phi _ {i} \ rangle} Es un objetivo y para cada objetivo. $${\ displaystyle \ langle Y, \ psi _ {i} \ rangle}, hay un morfismo único $${\ displaystyle u \ colon X \ rightarrow Y} tal que $${\ displaystyle u \ circ \ phi _ {i} = \ psi _ {i}}para cada i . El siguiente diagrama

entonces conmutará por todo i , j .

El límite directo se denota a menudo

$${\ displaystyle X = \ varinjlim X_ {i}}

con el sistema directo $${\ displaystyle \ langle X_ {i}, f_ {ij} \ rangle} y los morfismos canónicos. $${\ displaystyle \ phi _ {i}} siendo entendido

A diferencia de los objetos algebraicos, no todos los sistemas directos en una categoría arbitraria tienen un límite directo. Sin embargo, si lo hace, el límite directo es único en un sentido fuerte: dado otro límite directo X ′ existe un único isomorfismo X ′ → X que conmuta con los morfismos canónicos.

Ejemplos [ editar ]

• Una colección de subconjuntos. $${\ displaystyle M_ {i}}de un conjunto M se puede ordenar parcialmente por inclusión. Si la recaudación es dirigida, su límite directo es la unión.$${\ displaystyle \ bigcup M_ {i}}. Lo mismo es cierto para una colección dirigida de subgrupos de un grupo determinado, o una colección dirigida de grupos de un anillo dado, etc.
• Sea yo cualquier conjunto dirigido con un gran elemento m . El límite directo de cualquier sistema directo correspondiente es isomorfo a X _m y el morfismo canónico φ _m : X _m → X es un isomorfismo.
• Sea K un campo. Para un número entero positivo n , considere el grupo general lineal GL ( n; K ) que consiste en invertible n x n - matrices con las entradas de K . Tenemos un grupo homomorfismo GL ( n; K ) → GL ( n+1; K ) que amplía las matrices poniendo un 1 en la esquina inferior derecha y ceros en otras partes de la última fila y columna. El límite directo de este sistema es el grupo lineal general de K , escrito como GL ( K ). Un elemento de GL ( K) se puede considerar como una matriz invertible infinita que difiere de la matriz de identidad infinita en solo un número finito de entradas. El grupo GL ( K ) es de vital importancia en la teoría K algebraica .
• Sea p un número primo . Considere el sistema directo compuesto por los grupos de factores Z / p ⁿ Z y los homomorfismos Z / p ⁿ Z → Z / p ^n +1 Z inducidos por la multiplicación por p . El límite directo de este sistema consiste en todas las raíces de la unidad de orden y en el poder de p , y se denomina grupo de Prüfer Z ( p ^∞).
• Existe un homomorfismo de anillo inyectivo (no obvio) del anillo de polinomios simétricos en n variables al anillo de polinomios simétricos en n + 1 variables. La formación del límite directo de este sistema directo produce el anillo de funciones simétricas.
• Deje que F sea una C -valued gavilla en un espacio topológico X . Fijar un punto x en x . Los barrios abiertos de x forman un conjunto dirigido ordenado por inclusión ( U ≤ V si y solo si U contiene V ). El sistema directo correspondiente es ( F ( U ), r _U , V ) donde r es el mapa de restricción. El límite directo de este sistema se llama el tallo de F en x, denotado F _x . Para cada zona de U de x , el morfismo canónico F ( U ) → F _x asocia a una sección s de F sobre U un elemento s _x del tallo F _x llamado el germen de s en x .
• Los límites directos en la categoría de espacios topológicos se dan colocando la topología final en el límite directo de la teoría subyacente subyacente.

Propiedades [ editar ]

Los límites directos están vinculados a límites inversos a través de

$${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (\ varinjlim X_ {i}, Y) = \ varprojlim \ mathrm {Hom} (X_ {i}, Y).}

Una propiedad importante es que tomar límites directos en la categoría de módulos es un functor exacto . Esto significa que si comienzas con un sistema dirigido de secuencias exactas cortas$${\ displaystyle 0 \ a A_ {i} \ a B_ {i} \ a C_ {i} \ a 0} y forma límites directos, obtienes una breve secuencia exacta $${\ displaystyle 0 \ to \ varinjlim A_ {i} \ to \ varinjlim B_ {i} \ to \ varinjlim C_ {i} \ to 0}.

Construcciones y generalizaciones relacionadas [ editar ]

Observamos que un sistema directo en una categoría. $${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}Admite una descripción alternativa en términos de funtores . Cualquier conjunto dirigido$${\ displaystyle \ langle I, \ leq \ rangle}puede ser considerado como una pequeña categoría $${\ displaystyle {\ mathcal {I}}} cuyos objetos son los elementos $${\ displaystyle I} y hay unos morfismos $${\ displaystyle i \ rightarrow j} si y solo si $${\ displaystyle i \ leq j}. Un sistema directo sobre$${\ displaystyle I}es entonces lo mismo que un funtor covariante $${\ displaystyle {\ mathcal {I}} \ rightarrow {\ mathcal {C}}}. El colimit de este functor es el mismo que el límite directo del sistema directo original.

Una noción estrechamente relacionada con los límites directos son los colimits filtrados . Aquí empezamos con un funtor covariante.$${\ displaystyle {\ mathcal {J}} \ a {\ mathcal {C}}}de una categoría filtrada $${\ displaystyle {\ mathcal {J}}} a alguna categoria $${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}y formar el colimit de este functor. Uno puede mostrar que una categoría tiene todos los límites dirigidos si y solo si tiene todos los colimits filtrados, y un funtor definido en dicha categoría conmuta con todos los límites directos si y solo si conmuta con todos los colimits filtrados. ^[1]

Dada una categoría arbitraria $${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}, puede haber sistemas directos en $${\ displaystyle {\ mathcal {C}}} que no tienen un límite directo en $${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}(Considere, por ejemplo, la categoría de conjuntos finitos, o la categoría de grupos abelianos generados de manera definitiva). En este caso, siempre podemos incrustar.$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}} en una categoria $${\ displaystyle {\ text {Ind}} ({\ mathcal {C}})}en el que existen todos los límites directos; los objetos de $${\ displaystyle {\ text {Ind}} ({\ mathcal {C}})}son llamados objetos ind de $${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}.

El dual categórico del límite directo se llama el límite inverso . Como se mencionó anteriormente, los límites inversos se pueden ver como límites de ciertos funtores y están estrechamente relacionados con los límites de las categorías cofiltradas.

 producto directo de objetos ya conocidos, dando uno nuevo. Esto generaliza el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes, junto con una estructura adecuadamente definida en el conjunto de productos. Más abstractamente, se habla del producto en la teoría de categorías , que formaliza estas nociones.

Algunos ejemplos son el producto de conjuntos (ver producto cartesiano ), grupos (descritos a continuación), el producto de anillos y de otras estructuras algebraicas . El producto de los espacios topológicos es otro ejemplo.

También está la suma directa : en algunas áreas se usa de manera intercambiable, en otras es un concepto diferente.

Ejemplos [ editar ]

• Si pensamos en $${\ displaystyle \ mathbb {R}}como el conjunto de números reales, entonces el producto directo$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}} es precisamente el producto cartesiano, $${\ displaystyle \ {(x, y) | x, y \ in \ mathbb {R} \}}.
• Si pensamos en $${\ displaystyle \ mathbb {R}}como el grupo de números reales bajo suma, entonces el producto directo$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}} aún consiste en $${\ displaystyle \ {(x, y) | x, y \ in \ mathbb {R} \}}. La diferencia entre este y el ejemplo anterior es que$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}ahora es un grupo También hay que decir cómo agregar sus elementos. Esto se hace dejando$${\ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)}.
• Si pensamos en $${\ displaystyle \ mathbb {R}}Como el anillo de los números reales, entonces el producto directo.$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}} de nuevo consiste en $${\ displaystyle \ {(x, y) | x, y \ in \ mathbb {R} \}}. Para hacer de esto un anillo, decimos cómo se añaden sus elementos,$${\ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)}, y como se multiplican $${\ displaystyle (a, b) (c, d) = (ac, bd)}.
• Sin embargo, si pensamos en $${\ displaystyle \ mathbb {R}}Como el campo de los números reales, entonces el producto directo.$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}no existe - definiendo ingenuamente $${\ displaystyle \ {(x, y) | x, y \ in \ mathbb {R} \}} de manera similar a los ejemplos anteriores no daría como resultado un campo ya que el elemento $${\ displaystyle (1,0)} No tiene inverso multiplicativo.

De manera similar, podemos hablar sobre el producto de más de dos objetos, por ejemplo, $${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}. Incluso podemos hablar de producto de infinitos objetos, por ejemplo:$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ dotsb}.

Producto directo de grupo [ editar ]

Artículo principal: Producto directo de grupos.

En la teoría de grupos se puede definir el producto directo de dos grupos ( G , ∘) y ( H , ∙), denotados por G × H . Para los grupos abelianos que se escriben de manera aditiva, también se puede llamar la suma directa de dos grupos , denotada por$${\ displaystyle G \ oplus H}.

Se define de la siguiente manera:

• el conjunto de los elementos del nuevo grupo es el producto cartesiano de los conjuntos de elementos de G y H , que es {( g , h ): g ∈ G , h ∈ H };
• en estos elementos poner una operación, definida de manera elemental:

  ( g , h ) × ( g ' , h' ) = ( g ∘ g ' , h ∙ h ' )

(Nota ( G , ∘) puede ser lo mismo que ( H , ∙).)

Esta construcción da un nuevo grupo. Tiene un subgrupo normal isomorfo a G (dado por los elementos de la forma ( g , 1)), y un isomorfo a H (que comprende los elementos (1, h )).

Lo contrario también sostiene, hay el siguiente teorema reconocimiento: Si un grupo K contiene dos subgrupos normales G y H , de modo que K = GH y la intersección de G y H incluye solamente la identidad, entonces K es isomorfo a G × H . Una relajación de estas condiciones, que requiere que solo un subgrupo sea normal, proporciona el producto semidirecto .

Como ejemplo, tome como G y H dos copias del grupo único (hasta isomorfismos) de orden 2, C ₂ : diga {1, a } y {1, b }. Luego C ₂ × C ₂ = {(1,1), (1, b ), ( a , 1), ( a , b )}, con la operación elemento por elemento. Por ejemplo, (1, b ) * ( a , 1) = (1 * a , b * 1) = ( a , b ), y (1, b ) * (1, b ) = (1, b ²) = (1,1).

Con un producto directo, obtenemos algunos homomorfismos de grupo natural de forma gratuita: los mapas de proyección.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ pi _ {1}: G \ veces H \ a G \ quad {\ text {by}} \ quad \ pi _ {1} (g, h) & = g \\ \ pi _ {2}: G \ veces H \ a H \ quad {\ text {by}} \ quad \ pi _ {2} (g, h) & = h \ end {alineado}}}

Llamó a las funciones de coordenadas .

También, cada homomorfismo f al producto directo se determina totalmente por sus funciones componentes $${\ displaystyle f_ {i} = \ pi _ {i} \ circ f}.

Para cualquier grupo ( G , ∘) y cualquier entero n ≥ 0, la aplicación múltiple del producto directo proporciona el grupo de todas las n - tuplas G ⁿ (para n  = 0 el grupo trivial). Ejemplos:

• Z ⁿ
• R ⁿ (con una estructura de espacio vectorial adicional , esto se llama espacio euclidiano , ver más abajo)

Producto directo de modulos [ editar ]

El producto directo para módulos (que no debe confundirse con el producto tensorial ) es muy similar al definido para los grupos anteriores, utilizando el producto cartesiano con la operación de adición por componentes, y la multiplicación escalar solo se distribuye entre todos los componentes. A partir de R obtenemos el espacio euclidiano R ⁿ , el ejemplo prototípico de un espacio vectorial real n- dimensional. El producto directo de R ^m y R ⁿ es R ^m + n .

Tenga en cuenta que un producto directo para un índice finito $${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}es idéntico a la suma directa $${\ displaystyle \ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}. La suma directa y el producto directo difieren solo para índices infinitos, donde los elementos de una suma directa son cero para todos, pero para un número finito de entradas. Son duales en el sentido de la teoría de categorías : la suma directa es el coproducto , mientras que el producto directo es el producto.

Por ejemplo, considere $${\ displaystyle X = \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {R}} y $${\ displaystyle Y = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {R}, el producto infinito directo y la suma directa de los números reales. Sólo secuencias con un número finito de elementos distintos de cero están en Y . Por ejemplo, (1,0,0,0, ...) está en Y pero (1,1,1,1, ...) no lo está. Ambas de estas secuencias están en el producto directo X ; de hecho, Y es un subconjunto adecuado de X (es decir, Y  ⊂  X ). ^[1] [2]

Espacio directo del producto topológico [ editar ]

El producto directo para una colección de espacios topológicos X _i para i en I , un conjunto de índices, una vez más hace uso del producto cartesiano.

$${\ displaystyle \ prod _ {i \ en I} X_ {i}.}

Definir la topología es un poco complicado. Para muchos factores, esto es lo más obvio y natural: simplemente tome como base de conjuntos abiertos la recopilación de todos los productos cartesianos de subconjuntos abiertos de cada factor:

$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ {U_ {1} \ times \ cdots \ times U_ {n} \ | \ U_ {i} \ \ mathrm {open \ in} \ X_ {i} \}. }

Esta topología se llama la topología del producto . Por ejemplo, al definir directamente la topología del producto en R ² por los conjuntos abiertos de R (uniones desunidas de intervalos abiertos), la base de esta topología consistiría en todas las uniones desunidas de rectángulos abiertos en el plano (como resulta, coincide) con la topología métrica habitual ).

La topología del producto para productos infinitos tiene un giro, y esto tiene que ver con poder hacer que todos los mapas de proyección sean continuos y hacer que todas las funciones en el producto sean continuas si y solo si todas las funciones que lo componen son continuas (es decir, para satisfacer la definición de producto: los morfismos aquí son funciones continuas): tomamos como base de conjuntos abiertos la recopilación de todos los productos cartesianos de subconjuntos abiertos de cada factor, como antes, con la condición de que casi todos los subconjuntos abiertos son todo el factor:

$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ left \ {\ prod _ {i \ in I} U_ {i} \ {\ Big |} \ (\ existe j_ {1}, \ ldots, j_ {n} ) (U_ {j_ {i}} \ \ mathrm {open \ in} \ X_ {j_ {i}}) \ \ mathrm {and} \ (\ forall i \ neq j_ {1}, \ ldots, j_ {n }) (U_ {i} = X_ {i}) \ right \}.}

La topología de sonido más natural sería, en este caso, tomar productos de infinitos subconjuntos abiertos como antes, y esto produce una topología algo interesante, la topología de caja . Sin embargo, no es demasiado difícil encontrar un ejemplo de un grupo de funciones de componentes continuos cuya función de producto no sea continua (consulte la topología de la casilla de entrada separada para ver un ejemplo y más). El problema que hace que el giro sea necesario está, en última instancia, arraigado en el hecho de que solo se garantiza que la intersección de conjuntos abiertos esté abierta para muchos conjuntos en la definición de topología.

Los productos (con la topología del producto) son agradables con respecto a preservar las propiedades de sus factores; por ejemplo, el producto de los espacios de Hausdorff es Hausdorff; El producto de los espacios conectados está conectado, y el producto de los espacios compactos es compacto. Este último, llamado teorema de Tychonoff , es otra equivalencia al axioma de elección .

Para obtener más propiedades y formulaciones equivalentes, consulte la topología de productos de entradas separadas .

Producto directo de las relaciones binarias [ editar ]

En el producto cartesiano de dos conjuntos con relaciones binarias R y S , definir ( un , b ) T ( c , d ) como un R cy b S d . Si R y S son reflexivos , irreflexivos , transitivos , simétricos o antisimétricos , la relación T tiene la misma propiedad. ^[3] Combinando propiedades, se deduce que esto también se aplica para ser un preordenY siendo una relación de equivalencia . Sin embargo, si R y S son relaciones totales , T en general no lo es.

Producto directo en álgebra universal [ editar ]

Si Σ es una firma fija , I es un conjunto de índices arbitrario (posiblemente infinito), y ( A _i ) _i ∈ I es una familia indexada de álgebras, el producto directo A = ∏ _i ∈ I A _i es un álgebra definida como sigue:

• El universo establece A de A es el producto cartesiano del universo establece A _i de A _i , formalmente: A = Π _i∈ I A _i ;
• Para cada n , y cada n símbolo de la operación ary f ∈ Σ , su interpretación f ^A en A se define componente a componente, formalmente: para todos un ₁ , ..., un _n ∈ A y cada i ∈ I , el i ésimo componente de la f ^A ( a ₁ , ..., a _n ) se define como f ^A _i ( a ₁ ( i ), ..., a _n (i )) .

Para cada i ∈ I , el i ésimo proyección π _i  : A → A _i se define por π _i ( un ) = una ( i ) . Es un homomorfismo suryectivo entre las álgebras A A y A _i . ^[4]

Como caso especial, si el índice I = {1, 2}, se obtiene el producto directo de dos álgebras A ₁ y A ₂ , escrito como A = A ₁ × A ₂ . Si Σ solo contiene una operación binaria f , se obtiene la definición anterior del producto directo de grupos, utilizando la notación A ₁ = G , A ₂ = H , f ^A ₁ = ∘ , f ^A ₂ = ∙ y f^A = ×. Del mismo modo, la definición del producto directo de los módulos se incluye aquí.

Producto categórico [ editar ]

Artículo principal: Producto (teoría de la categoría)

El producto directo se puede abstraer a una categoría arbitraria . En una categoría general, dada una colección de objetos A _i y una colección de morfismos p _i de A a A _i ^{[ aclaración necesaria ]} con i dentro de un conjunto de índices I , se dice que un objeto A es un producto categórico en la categoría si, para cualquier objeto B y cualquier colección de morfismos f _i de B a A _i, existe un morfismo único f de B a A tal que f _i = p _i f y este objeto A es único. Esto no solo funciona por dos factores, sino arbitrariamente (incluso infinitamente) muchos.

Para grupos, definimos de manera similar el producto directo de una colección más general y arbitraria de grupos G _i para i en I , I un conjunto de índices. Al indicar el producto cartesiano de los grupos por G , definimos la multiplicación en G con la operación de la multiplicación por componentes; y correspondientes a la p _i en la definición anterior son los mapas de proyección

$${\ displaystyle \ pi _ {i} \ colon G \ a G_ {i} \ quad \ mathrm {por} \ quad \ pi _ {i} (g) = g_ {i}},

las funciones que llevan $${\ displaystyle (g_ {j}) _ {j \ en I}}a su i g componente _i .

Producto directo interno y externo [ editar ]

Ver también: suma directa interna.

Algunos autores hacen una distinción entre un producto directo interno y un producto directo externo. Si$${\ displaystyle A, B \ subconjunto X} y $${\ displaystyle A \ times B \ cong X}, entonces decimos que X es un producto directo interno (de A y B ); Si A y B no son subobjetos, entonces decimos que este es un producto directo externo .

Métrica y norma [ editar ]

Una métrica sobre un producto cartesiano de espacios métricos, y una norma sobre un producto directo de espacios vectoriales normados, se pueden definir de varias maneras, ver por ejemplo p-norma .