MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

en álgebra abstracta , los teoremas de isomorfismo (también conocidos como teoremas de isomorfismo de Noether) son tres teoremas que describen la relación entre cocientes , homomorfismos y subobjetos . Existen versiones de los teoremas para grupos , anillos , espacios vectoriales , módulos , álgebras de Lie y varias otras estructuras algebraicas . En álgebra universal , los teoremas de isomorfismo pueden generalizarse al contexto de álgebras y congruencias.

Historia [ editar ]

Los teoremas de isomorfismo fueron formulados en cierta generalidad para homomorfismos de módulos por Emmy Noether en su artículo Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpernque se publicó en 1927 en Mathematische Annalen . Versiones menos generales de estos teoremas se pueden encontrar en el trabajo de Richard Dedekind y documentos anteriores de Noether.

Tres años más tarde, BL van der Waerden publicó su influyente Álgebra, el primer libro de texto de álgebra abstracta que abordó el tema de los grupos - anillos - campos . Van der Waerden acreditó las conferencias de Noether sobre teoría de grupos y Emil Artin sobre álgebra, así como un seminario dirigido por Artin, Wilhelm Blaschke , Otto Schreier y el mismo van der Waerden sobre los ideales como referencias principales. Los tres teoremas de isomorfismo, llamados teorema de homomorfismo , y dos leyes del isomorfismo cuando se aplica a grupos, aparecen explícitamente.

Grupos [ editar ]

Primero establecemos los tres teoremas de isomorfismo en el contexto de grupos . Tenga en cuenta que algunas fuentes cambian la numeración del segundo y tercer teoremas. ^[1] Otra variación encontrada en la literatura, particularmente en el Álgebra de Van der Waerden , es llamar al primer teorema del isomorfismo el Teorema del homomorfismo fundamental y, por consiguiente, disminuir la numeración de los teoremas del isomorfismo restante en uno. ^[2] Finalmente, en el esquema de numeración más extenso, el teorema de celosía (también conocido como teorema de correspondencia ) a veces se conoce como el cuarto teorema de isomorfismo .

Declaración de los teoremas [ editar ]

En primer teorema de isomorfismo [ editar ]

Sean G y H los grupos, y sea hom :  G  →  H un homomorfismo . Entonces:

1. El núcleo de φ es un subgrupo normal de G ,
2. La imagen de φ es un subgrupo de H , y
3. La imagen de φ es isomorfa al grupo cociente G  / ker ( φ ).

En particular, si φ es un sobreyectivo, entonces H es isomorfo a G  / ker ( φ ).

Segundo teorema del isomorfismo [ editar ]

Diagrama para el Teorema del Segundo Isomorfismo

Dejar $${\ displaystyle G}ser un grupo Dejar$${\ displaystyle S} ser un subgrupo de $${\ displaystyle G}, y deja $${\ displaystyle N} ser un subgrupo normal de $${\ displaystyle G}. Entonces lo siguiente espera:

1. El producto $${\ displaystyle SN} es un subgrupo de $${\ displaystyle G},
2. La interseccion $${\ displaystyle S \ cap N} es un subgrupo normal de $${\ displaystyle S}y
3. Los grupos de cocientes $${\ displaystyle (SN) / N} y $${\ displaystyle S / (S \ cap N)} son isomorfos

Técnicamente, no es necesario para $${\ displaystyle N} ser un subgrupo normal, siempre que $${\ displaystyle S}es un subgrupo del normalizador de$${\ displaystyle N} en $${\ displaystyle G}. En este caso, la intersección.$${\ displaystyle S \ cap N} no es un subgrupo normal de $${\ displaystyle G}, pero sigue siendo un subgrupo normal de $${\ displaystyle S}.

Este teorema de isomorfismo se ha denominado "teorema del diamante" debido a la forma de la red resultante del subgrupo con $${\ displaystyle SN} en la cima, $${\ displaystyle S \ cap N} en la parte inferior y con $${\ displaystyle N} y $${\ displaystyle S}a los lados. ^[3] Incluso se ha llamado el "teorema del paralelogramo" porque en la red del subgrupo resultante los dos lados se supone que representan los grupos cocientes$${\ displaystyle (SN) / N} y $${\ displaystyle S / (S \ cap N)}Son "iguales" en el sentido de isomorfismo. ^[4]

Un ejemplo del segundo teorema de isomorfismo da una identidad de grupos lineales proyectivos . Ajuste$${\ displaystyle G = GL_ {2} (\ mathbb {C})}, el conjunto de matrices complejas invertibles 2x2, $${\ displaystyle S = SL_ {2} (\ mathbb {C})}, el subgrupo de matrices determinantes 1, y $${\ displaystyle N} El subgrupo normal de matrices escalares. {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times} \! I = \ left \ {{\ bigl (} {\ begin {smallmatrix} a & 0 \\ 0 & a \ end {smallmatrix}} {\ bigr)}: a \ en \ mathbb {C} ^ {\ times} \ right \}}, tenemos $${\ displaystyle S \ cap N = \ {\ pm I \}}, dónde $${\ displaystyle I} es la matriz de identidad, y $${\ displaystyle SN = GL_ {2} (\ mathbb {C})}. Entonces el segundo teorema del isomorfismo establece que:

$${\ displaystyle PGL_ {2} (\ mathbb {C}): = GL_ {2} (\ mathbb {C}) / (\ mathbb {C} ^ {\ times} \! I) \ cong SL_ {2} ( \ mathbb {C}) / \ {\ pm I \} =: PSL_ {2} (\ mathbb {C})}

Teorema del tercer isomorfismo [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle G} ser un grupo, y $${\ displaystyle N} un subgrupo normal de $${\ displaystyle G}. Entonces

1. Si $${\ displaystyle K} es un subgrupo de $${\ displaystyle G} tal que $${\ displaystyle N \ subseteq K \ subseteq G}, entonces $${\ displaystyle K / N} es un subgrupo de $${\ displaystyle G / N}.
2. Cada subgrupo de $${\ displaystyle G / N} es de la forma $${\ displaystyle K / N}, para algún subgrupo $${\ displaystyle K} de $${\ displaystyle G} tal que $${\ displaystyle N \ subseteq K \ subseteq G}.
3. Si $${\ displaystyle K} es un subgrupo normal de $${\ displaystyle G} tal que $${\ displaystyle N \ subseteq K \ subseteq G}, entonces $${\ displaystyle K / N} es un subgrupo normal de $${\ displaystyle G / N}.
4. Cada subgrupo normal de $${\ displaystyle G / N} es de la forma $${\ displaystyle K / N}, para algunos subgrupos normales $${\ displaystyle K} de $${\ displaystyle G} tal que $${\ displaystyle N \ subseteq K \ subseteq G}.
5. Si $${\ displaystyle K} es un subgrupo normal de $${\ displaystyle G} tal que $${\ displaystyle N \ subseteq K \ subseteq G}, entonces el grupo cociente $${\ displaystyle (G / N) / (K / N)} es isomorfo a $${\ displaystyle G / K}.

WR Scott lo llama el "teorema de Freshman" porque el resultado simplemente sigue por la "cancelación" de $${\ displaystyle N}. ^[5]

Discusión [ editar ]

Teorema del primer isomorfismo

El primer teorema de isomorfismo se puede expresar en lenguaje teórico de categoría diciendo que la categoría de grupos es (epi normal, mono) -factorizable; en otras palabras, los epimorfismos normales y los monomorfismos forman un sistema de factorizaciónpara la categoría. Esto se captura en el diagrama conmutativo en el margen, que muestra los objetos y morfismos cuya existencia puede deducirse del morfismo.$${\ displaystyle f: G \ rightarrow H}. El diagrama muestra que cada morfismo en la categoría de grupos tiene un núcleo en el sentido teórico de la categoría; El morfismo arbitrario f factoriza en$${\ displaystyle \ iota \ circ \ pi}, donde ι es un monomorfismo y π es un epimorfismo (en una categoría normal, todos los epimorfismos son normales). Esto está representado en el diagrama por un objeto.$${\ displaystyle \ ker f} y un monomorfismo $${\ displaystyle \ kappa: \ ker f \ rightarrow G}(Los núcleos siempre son monomorfismos), que completan la secuencia exacta corta que seejecuta desde la parte inferior izquierda a la parte superior derecha del diagrama. El uso de la convención de secuencia exacta nos evita tener que dibujar los morfismos cero de$${\ displaystyle \ ker f} a $${\ displaystyle H} y $${\ displaystyle G / \ ker f}.

Si la secuencia está dividida a la derecha (es decir, hay un morfismo σ que se asigna)$${\ displaystyle G / \ ker f}a una pre-imagen π de sí misma), entonces G es el producto semidirecto del subgrupo normal$${\ displaystyle \ operatorname {im} \ kappa} y el subgrupo $${\ displaystyle \ operatorname {im} \ sigma}. Si se deja dividida (es decir, existe alguna$${\ displaystyle \ rho: G \ rightarrow \ ker f} tal que $${\ displaystyle \ rho \ circ \ kappa = \ operatorname {id} _ {\ ker f}}), entonces también debe estar dividido a la derecha, y $${\ displaystyle \ operatorname {im} \ kappa \ times \ operatorname {im} \ sigma}es un producto directo descomposición de G . En general, la existencia de una división correcta no implica la existencia de una división izquierda; pero en una categoría abeliana (como los grupos abelianos), las divisiones izquierda y derecha son equivalentes por el lema de división , y una división derecha es suficiente para producir una descomposición de suma directa$${\ displaystyle \ operatorname {im} \ kappa \ oplus \ operatorname {im} \ sigma}. En una categoría abeliana, todos los monomorfismos también son normales, y el diagrama puede extenderse por una segunda secuencia corta y exacta$${\ displaystyle 0 \ rightarrow G / \ ker f \ rightarrow H \ rightarrow \ operatorname {coker} f \ rightarrow 0}.

En el segundo teorema de isomorfismo, el producto SN es la unión de S y N en la red de subgrupos de G , mientras que la intersección S  ∩  N es la reunión .

El tercer teorema del isomorfismo está generalizado por las nueve categorías del lema al abeliano y los mapas más generales entre objetos.

Anillos [ editar ]

Las afirmaciones de los teoremas para anillos son similares, con la noción de un subgrupo normal reemplazada por la noción de un ideal .

En primer teorema de isomorfismo [ editar ]

Sean R y S los anillos, y sea φ :  R  →  S un homomorfismo de anillo . Entonces:

1. El núcleo de φ es un ideal de R ,
2. La imagen de φ es una subring de S , y
3. La imagen de φ es isomorfa al cociente anillo R  / ker ( φ ).

En particular, si φ es un sobreyectivo, entonces S es isomorfo a R  / ker ( φ ).

Segundo teorema del isomorfismo [ editar ]

Sea R un anillo. Vamos S ser un subanillo de R , y dejar que sea un ideal del R . Entonces:

1. La suma S  +  I  = { s  +  i  | s  ∈  S ,  i  ∈  I } es una subring de R ,
2. La intersección S  ∩  I es un ideal de S , y
3. Los anillos cocientes ( S  +  I ) /  I y S  / ( S  ∩  I ) son isomorfos.

Teorema del tercer isomorfismo [ editar ]

Deje que R sea un anillo, y que un ideal de R . Entonces

1. Si $${\ displaystyle A} es un subring de $${\ displaystyle R} tal que $${\ displaystyle I \ subseteq A \ subseteq R}, entonces $${\ displaystyle A / I} es un subring de $${\ displaystyle R / I}.
2. Cada subring de $${\ displaystyle R / I} es de la forma $${\ displaystyle A / I}, para algunos subring $${\ displaystyle A} de $${\ displaystyle R} tal que $${\ displaystyle I \ subseteq A \ subseteq R}.
3. Si $${\ displaystyle J} es un ideal de $${\ displaystyle R} tal que $${\ displaystyle I \ subseteq J \ subseteq R}, entonces $${\ displaystyle J / I} es un ideal de $${\ displaystyle R / I}.
4. Cada ideal de $${\ displaystyle R / I} es de la forma $${\ displaystyle J / I}, por algun ideal $${\ displaystyle J} de $${\ displaystyle R} tal que $${\ displaystyle I \ subseteq J \ subseteq R}.
5. Si $${\ displaystyle J} es un ideal de $${\ displaystyle R} tal que $${\ displaystyle I \ subseteq J \ subseteq R}, entonces el anillo cociente $${\ displaystyle (R / I) / (J / I)} es isomorfo a $${\ displaystyle R / J}.

Modulos [ editar ]

Las declaraciones de los teoremas de isomorfismo para los módulos son particularmente simples, ya que es posible formar un módulo cociente a partir de cualquier submódulo . Los teoremas de isomorfismo para espacios vectoriales (módulos sobre un campo) y grupos abelianos (módulos sobre$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}) Son casos especiales de estos. Para los espacios vectoriales de dimensión finita, todos estos teoremas se derivan del teorema de rango-nulidad.

En lo que sigue, “módulo” significará “ R -módulo” para algunos anillo fijo R .

En primer teorema de isomorfismo [ editar ]

Sean M y N módulos, y sea hom :  M  →  N un homomorfismo de módulo . Entonces:

1. El núcleo de φ es un submódulo de M ,
2. La imagen de φ es un submódulo de N , y
3. La imagen de φ es isomorfa al cociente módulo M  / ker ( φ ).

En particular, si φ es un sobreyectivo, N es isomorfo a M  / ker ( φ ).

Segundo teorema del isomorfismo [ editar ]

Deje que M sea un módulo, y dejar que S y T sea submódulos de M . Entonces:

1. La suma S  +  T  = { s  +  t  | s  ∈  S ,  t  ∈  T } es un submódulo de M ,
2. La intersección S  ∩  T es un submódulo de M , y
3. Los módulos de cociente ( S  +  T ) /  T y S  / ( S  ∩  T ) son isomorfos.

Teorema del tercer isomorfismo [ editar ]

Deje que M sea un módulo, T un submódulo de M .

1. Si $${\ displaystyle S} es un submódulo de $${\ displaystyle M} tal que $${\ displaystyle T \ subseteq S \ subseteq M}, entonces $${\ displaystyle S / T} es un submódulo de $${\ displaystyle M / T}.
2. Cada submódulo de $${\ displaystyle M / T} es de la forma $${\ displaystyle S / T}, para algun submodulo $${\ displaystyle S} de $${\ displaystyle M} tal que $${\ displaystyle T \ subseteq S \ subseteq M}.
3. Si $${\ displaystyle S} es un submódulo de $${\ displaystyle M} tal que $${\ displaystyle T \ subseteq S \ subseteq M}, entonces el modulo de cociente $${\ displaystyle (M / T) / (S / T)} es isomorfo a $${\ displaystyle M / S}.

General [ editar ]

Para generalizar esto al álgebra universal , los subgrupos normales deben ser reemplazados por relaciones de congruencia .

Una congruencia sobre un álgebra. $${\ displaystyle A} es una relación de equivalencia $${\ displaystyle \ Phi \ subconjunto A \ veces A} que forma una subalgebra de $${\ displaystyle A \ times A}Considerado como un álgebra con operaciones de componentes. Se puede hacer el conjunto de clases de equivalencia.$${\ displaystyle A / \ Phi}en un álgebra del mismo tipo definiendo las operaciones a través de representantes; esto estará bien definido ya que$${\ displaystyle \ Phi} es una subalgebra de $${\ displaystyle A \ times A}. La estructura resultante es el álgebra de cocientes .

En primer teorema de isomorfismo [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle f: A \ rightarrow B}Ser un homomorfismo de álgebra . Entonces la imagen de$${\ displaystyle f} es una subalgebra de $${\ displaystyle B}, la relación dada por $${\ displaystyle \ Phi: f (x) = f (y)}(es decir, el núcleo de f ) es una congruencia en$${\ displaystyle A}y las álgebras $${\ displaystyle \ A / \ Phi \} y $${\ displaystyle \ operatorname {im} f}son isomorfos (Tenga en cuenta que en el caso de un grupo, f ( x ) =  f ( y ) iff f ( xy ⁻¹ ) = 1, por lo que uno recupera la noción de kernel utilizada en la teoría de grupos en este caso).

Segundo teorema del isomorfismo [ editar ]

Dado un algebra $${\ displaystyle A}, una subalgebra $${\ displaystyle B} de $${\ displaystyle A}, y una congruencia $${\ displaystyle \ Phi} en $${\ displaystyle A}, dejar $${\ displaystyle \ Phi _ {B} = \ Phi \ cap (B \ times B)} ser el rastro de $${\ displaystyle \ Phi} en $${\ displaystyle B} y $${\ displaystyle [B] ^ {\ Phi} = \ {K \ en A / \ Phi: K \ cap B \ neq \ emptyset \}} La colección de clases de equivalencia que se cruzan. $${\ displaystyle B}.

Entonces yo) $${\ displaystyle \ Phi _ {B}} es una congruencia en $${\ displaystyle B}, (ii) $${\ displaystyle \ [B] ^ {\ Phi}} es una subalgebra de $${\ displaystyle A / \ Phi}y (iii) el álgebra. $${\ displaystyle [B] ^ {\ Phi}} es isomorfo al algebra $${\ displaystyle B / \ Phi _ {B}}.

Teorema del tercer isomorfismo [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle A} ser un álgebra y $${\ displaystyle \ Phi, \ Psi} dos relaciones de congruencia sobre $${\ displaystyle A} tal que $${\ displaystyle \ Psi \ subseteq \ Phi}. Entonces$${\ displaystyle \ Phi / \ Psi = \ {([a '] _ {\ Psi}, [a' '] _ {\ Psi}) :( a', a '') \ in \ Phi \} = [ \] _ {\ Psi} \ circ \ Phi \ circ [\] _ {\ Psi} ^ {- 1}} es una congruencia en $${\ displaystyle A / \ Psi}y $${\ displaystyle A / \ Phi} es isomorfo a $${\ displaystyle (A / \ Psi) / (\ Phi / \ Psi)}.

La suma directa es una operación del álgebra abstracta , una rama de las matemáticas . Por ejemplo, la suma directa.$${\ displaystyle \ mathbf {R} \ oplus \ mathbf {R}}, dónde $${\ displaystyle \ mathbf {R}}Es el espacio de coordenadas reales , es el plano cartesiano ,$${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {2}}. Para ver cómo se usa la suma directa en el álgebra abstracta, considere una estructura más elemental en el álgebra abstracta, el grupo abeliano . La suma directa de dos grupos abelianos. $${\ displaystyle A} y $${\ displaystyle B} es otro grupo abeliano $${\ displaystyle A \ oplus B} formado por los pares ordenados $${\ displaystyle (a, b)} dónde $${\ displaystyle a \ in A} y $${\ displaystyle b \ en B}. (Confusamente, este par ordenado también se llama el producto cartesiano de los dos grupos). Para agregar pares ordenados, definimos la suma$${\ displaystyle (a, b) + (c, d)} ser $${\ displaystyle (a + c, b + d)}; en otras palabras, la adición se define por coordenadas. Se puede usar un proceso similar para formar la suma directa de cualquiera de las dos estructuras algebraicas, como anillos , módulos y espacios vectoriales .

También podemos formar sumas directas con cualquier número de sumandos, por ejemplo $${\ displaystyle A \ oplus B \ oplus C}, previsto $${\ displaystyle A, B,} y $${\ displaystyle C} son los mismos tipos de estructuras algebraicas, es decir, todos los grupos, anillos, espacios vectoriales, etc.

En el caso de dos sumandos, o cualquier número finito de sumandos, la suma directa es la misma que el producto directo . Si la operación aritmética se escribe como +, como suele ser en grupos abelianos, entonces usamos la suma directa. Si la operación aritmética se escribe como × o ⋅ o usando yuxtaposición (como en la expresión$${\ displaystyle xy}) Usamos producto directo.

En el caso de que se combinen infinitos objetos, la mayoría de los autores hacen una distinción entre suma directa y producto directo. Como ejemplo, considere la suma directa y el producto directo de infinitas líneas reales. Un elemento en el producto directo es una secuencia infinita, como por ejemplo (1,2,3, ...) pero en la suma directa, habría un requisito de que todas las coordenadas, salvo una finita, sean cero, por lo que la secuencia (1, 2,3, ...) sería un elemento del producto directo pero no de la suma directa, mientras que (1,2,0,0,0, ...) sería un elemento de ambos. De manera más general, si se usa un signo +, todas las coordenadas casi finitas deben ser cero, mientras que si se usa alguna forma de multiplicación, todas las coordenadas casi finitas deben ser 1. En un lenguaje más técnico, si los sumandos son$${\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ en I}}, la suma directa $${\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ en I} A_ {i}} Se define como el conjunto de tuplas. $${\ displaystyle (a_ {i}) _ {i \ in I}} con $${\ displaystyle a_ {i} \ en A_ {i}} tal que $${\ displaystyle a_ {i} = 0}para todos pero finamente muchos i . La suma directa$${\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ en I} A_ {i}}Está contenido en el producto directo. $${\ displaystyle \ prod _ {i \ en I} A_ {i}}, pero suele ser estrictamente menor cuando el índice se establece $${\ displaystyle I}es infinito, porque los productos directos no tienen la restricción de que todas las coordenadas, con excepción de muchas, deben ser cero. 

Ejemplos [ editar ]

Por ejemplo, el plano xy , un espacio vectorial bidimensional , puede considerarse como la suma directa de dos espacios vectoriales unidimensionales, es decir, los ejes x e y . En esta suma directa, los ejes x e y se intersecan solo en el origen (el vector cero). La adición se define por coordenadas, es decir$${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) + (x_ {2}, y_ {2}) = (x_ {1} + x_ {2}, y_ {1} + y_ {2})}, que es lo mismo que la suma de vectores.

Dados dos objetos $${\ displaystyle A} y $${\ displaystyle B}, su suma directa se escribe como $${\ displaystyle A \ oplus B}. Dada una familia indexada de objetos.$${\ displaystyle A_ {i}}indexado con $${\ displaystyle i \ in I}, la suma directa puede ser escrita $${\ displaystyle \ textstyle A = \ bigoplus _ {i \ en I} A_ {i}}. Cada una _i se llama un sumando directode una . Si el conjunto de índices es finito, la suma directa es la misma que el producto directo. En el caso de grupos, si la operación de grupo se escribe como$${\ displaystyle +} se utiliza la frase "suma directa", mientras que si se escribe la operación de grupo $${\ displaystyle *}Se utiliza la frase "producto directo". Cuando el conjunto de índices es infinito, la suma directa no es lo mismo que el producto directo. En la suma directa, casi todas las coordenadas deben ser cero.

Sumas directas internas y externas [ editar ]

Se hace una distinción entre sumas directas internas y externas, aunque las dos son isomorfas . Si los factores se definen primero y luego la suma directa se define en términos de los factores, tenemos una suma directa externa. Por ejemplo, si definimos los números reales.$${\ displaystyle \ mathbf {R}} y luego definir $${\ displaystyle \ mathbf {R} \ oplus \ mathbf {R}} Se dice que la suma directa es externa.

Si, por otro lado, primero definimos algún objeto algebraico, $${\ displaystyle S} y luego escribe $${\ displaystyle S} como la suma directa de dos de sus subconjuntos, $${\ displaystyle V} y $${\ displaystyle W}, entonces se dice que la suma directa es interna. En este caso, cada elemento de$${\ displaystyle S} es expresable únicamente como una combinación algebraica de un elemento de $${\ displaystyle V} y un elemento de $${\ displaystyle W}. Para un ejemplo de una suma directa interna, considere$${\ displaystyle Z_ {6}}, los enteros modulo seis, cuyos elementos son $${\ displaystyle \ {0,1,2,3,4,5 \}}. Esto es expresable como una suma directa interna.$${\ displaystyle Z_ {6} = \ {1,3,5 \} \ oplus \ {0,2,4 \}}.

Tipos de suma directa [ editar ]

Suma directa de grupos abelianos [ editar ]

La suma directa de grupos abelianos es un ejemplo prototípico de una suma directa. Dados dos grupos abelianos. $${\ displaystyle (A, \ circ)} y $${\ displaystyle (B, \ bullet)}, su suma directa $${\ displaystyle A \ oplus B}es el mismo que su producto directo , es decir, el conjunto subyacente es el producto cartesiano$${\ displaystyle A \ times B} y la operacion grupal $${\ displaystyle \ cdot} se define por componentes:

$${\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}) \ cdot (a_ {2}, b_ {2}) = (a_ {1} \ circ a_ {2}, b_ {1} \ bullet b_ {2} )}.

Esta definición se generaliza a sumas directas de muchos grupos abelianos.

Para una familia infinita de grupos abelianos A _i para i ∈ I , la suma directa

$${\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ en I} A_ {i}}

Es un subgrupo propio del producto directo. Se compone de los elementos.$${\ displaystyle \ textstyle (a_ {i}) \ in \ prod _ {j \ in I} A_ {j}}de modo que a _i es el elemento de identidad de A _i para todos, pero finamente muchos i . ^[2]

Suma directa de módulos [ editar ]

Artículo principal: Suma directa de módulos.

La suma directa de módulos es una construcción que combina varios módulos en un nuevo módulo.

Los ejemplos más familiares de esta construcción ocurren cuando se consideran espacios vectoriales , que son módulos sobre un campo . La construcción también puede extenderse a los espacios de Banach y los espacios de Hilbert .

Suma directa de representaciones de grupo [ editar ]

Ver también: Teoría de la representación de grupos finitos § Suma directa de representaciones

La suma directa de las representaciones de grupo generaliza la suma directa de los módulos subyacentes , agregándole una acción de grupo . Específicamente, dados un grupo G y dos representaciones V y W de G (o, más generalmente, dos módulos G ), la suma directa de las representaciones es V ⊕ W con la acción de g ∈ Gdada por componentes, es decir

g · ( v , w ) = ( g · v , g · w ).

Suma directa de anillos [ editar ]

Artículo principal: Producto de anillos.

Algunos autores hablarán de la suma directa. $${\ displaystyle R \ oplus S}De dos anillos cuando significan el producto directo. $${\ displaystyle R \ times S}, pero esto debe evitarse ^[3] ya que$${\ displaystyle R \ times S}no recibe homomorfismos de anillo natural de R y S : en particular, el mapa$${\ displaystyle R \ to R \ times S}enviar r a ( r , 0) no es un homomorfismo de anillo ya que no envía 1 a (1,1) (suponiendo que 0 ≠ 1 en S ). Así$${\ displaystyle R \ times S}no es un coproducto en la categoría de anillos , y no debe escribirse como una suma directa. (El coproducto en la categoría de anillos conmutativos es el producto tensorial de los anillos . ^[4] En la categoría de anillos, el coproducto viene dado por una construcción similar al producto libre de grupos).

El uso de la terminología y la notación de suma directa es especialmente problemático cuando se trata de familias infinitas de anillos: Si $${\ displaystyle (R_ {i}) _ {i \ en I}}es una colección infinita de anillos no triviales, entonces la suma directa de los grupos de aditivos subyacentes puede equiparse con una multiplicación a plazo, pero esto produce un rng , es decir, un anillo sin una identidad multiplicativa.

Suma directa en categorías [ editar ]

Una categoría aditiva es una abstracción de las propiedades de la categoría de módulos. ^[5] [6]

En una categoría de este tipo, los productos y coproductos finitos concuerdan y la suma directa es cualquiera de ellos, cf. biproducto .

Caso general: ^[7] En la teoría de categorías, la suma directa es a menudo, pero no siempre, el coproducto en la categoría de los objetos matemáticos en cuestión. Por ejemplo, en la categoría de grupos abelianos, la suma directa es un coproducto. Esto también es cierto en la categoría de módulos.

Homomorfismos [ editar ]

^{[ aclaración necesaria ]}

La suma directa $${\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ en I} A_ {i}}Viene equipado con un homomorfismo de proyección. $${\ displaystyle \ pi _ {j} \ colon \ bigoplus _ {i \ en I} A_ {i} \ a A_ {j}}para cada j y una coproyección $${\ displaystyle \ alpha _ {j} \ colon A_ {j} \ to \ bigoplus _ {i \ en I} A_ {i}}para cada j . ^[8] Dado otro objeto algebraico B (con la misma estructura adicional) y homomorfismos$${\ displaystyle g_ {j} \ colon A_ {j} \ to B}Para cada j , hay un homomorfismo único.$${\ displaystyle g \ colon \ bigoplus _ {i \ en I} A_ {i} \ a B}(llamada la suma de la g _j ) tal que$${\ displaystyle g \ alpha _ {j} = g_ {j}}para todos j . Así, la suma directa es el coproducto en la categoría apropiada .