En matemáticas , la categoría Grp tiene la clase de todos los grupospara objetos y homomorfismos de grupo para morfismos . Como tal, es una categoría concreta . El estudio de esta categoría se conoce como teoría de grupos .
Relación con otras categorías [ editar ]
M: Grp → Mon
U: Grp → Set
Donde M tiene dos adjuntos:
Un derecho I: Mon → Grp
Una izquierda K: Mon → Grp
Aquí I: Mon → Grp es el funtor que envía todos los monoides al submonoide de elementos invertibles y K: Mon→ Grp el funtor que envía todos los monoides al grupo Grothendieck de esos monoides.
El funtor olvidadizo U: Grp → Set tiene un adjunto a la izquierda dado por el compuesto KF: Set → Mon → Grpdonde F es el functor libre.
Propiedades categóricas [ editar ]
Los monomorfismos en Grp son precisamente los homomorfismos inyectivos , los epimorfismos son precisamente los homomorfismos suprayectivos y los isomorfismos son precisamente los homomorfismos biyectivos .
La categoría Grp es completa y completa . El producto de categoría teórica en Grp es solo el producto directo de grupos, mientras que el coproducto de categoría teórica en Grp es el producto gratuito de grupos. Los objetos cero en Grp son los grupos triviales (que consisten solo en un elemento de identidad).
Cada morfismo f : G → H en Grp tiene un núcleo de categoría teórica (dado por el núcleo ordinario de álgebraker f = { x en G | f ( x ) = e }), y también un cokernel de categoría teórica (dado por el grupo factorial de H por el cierre normal de f ( G ) en H ). A diferencia de las categorías abelianas, no es cierto que todo monomorfismo en Grp sea el núcleo de su cokernel.
Como una categoría no abeliana [ editar ]
La categoría de grupos abelianos , Ab , es una subcategoría completa de Grp . Ab es una categoría abeliana , pero Grp no lo es. De hecho, Grp ni siquiera es una categoría aditiva , porque no hay una forma natural de definir la "suma" de dos homomorfismos de grupo. (El conjunto de morfismos del grupo simétrico S 3 de orden tres a sí mismo,, tiene diez elementos: un elemento z cuyo producto en cada lado con cada elemento de E es z (el homomorfismo que envía cada elemento a la identidad), tres elementos tales que su producto en un lado fijo siempre es el mismo (las proyecciones sobre los tres subgrupos de orden dos), y seis automorfismos. Si Grp fuera una categoría aditiva, entonces este conjunto E de diez elementos sería un anillo . En cualquier anillo, el elemento cero está separado por la propiedad de que 0 x = x 0 = 0 para todas las x en el anillo, por lo que z debería ser el cero de E. Sin embargo, no hay dos elementos distintos de cero de E cuyo producto sea z , por lo que este anillo finito no tendría divisores de cero . Un anillo finito sin divisores cero es un campo , pero no hay un campo con diez elementos porque cada campo finito tiene para su orden, el poder de un primo.)
Secuencias exactas [ editar ]
La noción de secuencia exacta es significativa en Grp , y algunos resultados de la teoría de las categorías abelianas, como el lema nueve , el lema cinco y sus consecuencias se mantienen en Grp . El lema de la serpiente, sin embargo, no es cierto en Grp .
En matemáticas , la categoría Ab tiene los grupos abelianos como objetos y los homomorfismos grupales como morfismos . Este es el prototipo de una categoría abeliana : [1] de hecho, cada categoría abeliana pequeña puede incrustarse en Ab . [2]
Propiedades [ editar ]
Los monomorfismos en Ab son los inyectivos homomorfismo de grupos, los epimorfismos son los suprayectivoshomomorfismo de grupos, y los isomorfismos son los biyectivas homomorfismo de grupos.
Ab es una subcategoría completa de Grp , la categoría de todos los grupos . La principal diferencia entre Ab y Grp es que la suma de dos homomorfismos f y g entre grupos abelianos es nuevamente un homomorfismo grupal:
- ( f + g ) ( x + y ) = f ( x + y ) + g ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + g ( x ) + g ( y )
- = f ( x ) + g ( x ) + f ( y ) + g ( y ) = ( f + g ) ( x ) + ( f + g ) ( y )
La tercera igualdad requiere que el grupo sea abeliano. Esta adición de morfismo convierte a Ab en una categoría preaditiva , y debido a que la suma directa de muchos grupos abelianos de manera definitiva produce un biproducto , de hecho tenemos una categoría aditiva .
En Ab , la noción de kernel en el sentido de la teoría de categorías coincide con kernel en el sentido algebraico , es decir: el kernel categórico del morfismo f : A → B es el subgrupo K de A definido por K = { x ∈ A : f ( x ) = 0}, junto con el homomorfismo inclusión i : K → A . Lo mismo es cierto para los cokernels : el cokernel de f es el cociente grupo C= B / f ( A ) junto con la proyección naturales p : B → C . (Note una diferencia crucial adicional entre Ab y Grp : en Grp puede suceder que f ( A ) no sea un subgrupo normal de B , y que, por lo tanto, el grupo cociente B / f ( A ) no puede formarse). Con estas descripciones concretas De núcleos y pepinos, es bastante fácil comprobar que Ab es de hecho una categoría abeliana .
El producto en Ab viene dado por el producto de grupos , formado por tomar el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes y realizar la operación grupal por componentes. Como Ab tiene núcleos, se puede mostrar que Ab es una categoría completa . El coproducto en Ab está dado por la suma directa; dado que Abtiene pepinillos, se deduce que Ab también está completo .
Tenemos un funtor olvido Ab → Conjunto que asigna a cada grupo abeliano el conjunto subyacente , y a cada grupo homomorfismo la función subyacente . Este funtor es fiel , y por lo tanto Ab es una categoría concreta . El funtor olvidadizo tiene un adjunto a la izquierda (que se asocia a un conjunto determinado del grupo abeliano libre con ese conjunto como base) pero no tiene un adjunto correcto.
Tomar límites directos en Ab es un functor exacto . Como el grupo de enteros Z sirve como generador , la categoría Ab es, por lo tanto, una categoría Grothendieck ; De hecho, es el ejemplo prototípico de una categoría de Grothendieck.
Un objeto en Ab es inyectivo si y solo si es un grupo divisible ; es proyectivo si y solo si es un grupo abeliano libre . La categoría tiene un generador proyectivo ( Z ) y un cogenerador inyectivo ( Q / Z ).
Dados dos grupos abelianos A y B , se define su producto tensorial A ⊗ B ; Es nuevamente un grupo abeliano. Con esta noción de producto, Ab es una categoría monoidal simétrica .
Ab no es cartesiano cerrado (y por lo tanto tampoco es un topos ) ya que carece de objetos exponenciales .
En matemáticas , la categoría de anillos , denotada por Anillo , es la categoría cuyos objetos son anillos (con identidad) y cuyos morfismos son homomorfismos de anillo (preservación de la identidad). Al igual que muchas categorías en matemáticas, la categoría de anillos es grande, lo que significa que la clase de todos los anillos es adecuada .
Como categoría concreta [ editar ]
La categoría Anillo es una categoría concreta, lo que significa que los objetos son conjuntos con estructura adicional (suma y multiplicación) y los morfismos son funciones que preservan esta estructura. Hay un funtornatural olvidadizo.
- U : Anillo → Set
para la categoría de anillos a la categoría de conjuntos que envía cada anillo a su conjunto subyacente (por lo tanto, "olvidando" las operaciones de suma y multiplicación). Este funtor tiene un adjunto a la izquierda.
- F : Set → Ring
También se puede ver la categoría de anillos como una categoría concreta sobre Ab (la categoría de grupos abelianos ) o sobre Mon (la categoría de monoides ). En concreto, hay funtores olvidadizos.
- A : Anillo → Ab
- M : Anillo → Mon
que "olvidan" la multiplicación y la suma, respectivamente. Ambos de estos funtores han dejado adjuntos. El adjunto izquierdo de A es el funtor que asigna a cada grupo abeliano X (pensamiento de como Z - módulo ) el anillo tensor T ( X ). El adjunto izquierdo de M es el functor que asigna a cada monoide X el anillo monoideintegral Z [ X ].
Propiedades [ editar ]
Límites y colimits [ editar ]
La categoría Anillo es completa y completa , lo que significa que todos los pequeños límites y límites existen en el Anillo . Al igual que muchas otras categorías algebraicas, el funtor olvidadizo U : Ring → Set crea (y preserva) los límites y los colimits filtrados , pero no conserva ni los coproductos ni los ecualizadores . Los funtores olvidadizos de Ab y Mon también crean y preservan límites.
Ejemplos de límites y colimits en el anillo incluyen:
- El anillo de enteros Z es un objeto inicial en anillo .
- El anillo cero es un objeto terminal en el anillo .
- El producto en anillo viene dado por el producto directo de anillos . Este es solo el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes con la adición y la multiplicación definidas por componentes.
- El coproducto de una familia de anillos existe y está dado por una construcción análoga al producto libre de grupos. El coproducto de anillos no nulos puede ser el anillo cero; en particular, esto sucede cuando los factores tienen una característica primordial relativa (ya que la característica del coproducto de ( R i ) i ∈ I debe dividir las características de cada uno de los anillos R i ).
- El ecualizador en anillo es solo el ecualizador de la teoría de conjuntos (el ecualizador de dos homomorfismos de anillo es siempre un subring ).
- El coequalizer de dos homomorfismos de anillo f y g de R a S es el cociente de S por el ideales generada por todos los elementos de la forma f ( r ) - g ( r ) para r ∈ R .
- Dado un anillo homomorfismo f : R → S el par kernel de f (esto es sólo el retroceso de f con sí mismo) es una relación de congruencia en R . El ideal determinado por esta relación de congruencia es precisamente el núcleo (anillo-teórico) de f . Tenga en cuenta que los núcleos de categoría teórica no tienen sentido en el anillo, ya que no hay morfismos cero (ver más abajo).
Morfismos [ editar ]
A diferencia de muchas categorías estudiadas en matemáticas, no siempre existen morfismos entre pares de objetos en el Anillo . Esto es una consecuencia del hecho de que los homomorfismos de anillo deben preservar la identidad. Por ejemplo, no hay morfismos desde el anillo cero 0 a ningún anillo distinto de cero. Una condición necesaria para que haya morfismos de R a S es que la característica de S brecha que de R .
Tenga en cuenta que a pesar de que algunos de los conjuntos de propiedades están vacíos, la categoría Anilloaún está conectada ya que tiene un objeto inicial.
Algunas clases especiales de morfismos en Ring incluyen:
- Los isomorfismos en el anillo son los homomorfismos del anillo biyectivo .
- Los monomorfismos en el anillo son los homomorfismos inyectivos . Sin embargo, no todo monomorfismo es regular .
- Todo homomorfismo suprayectivo es un epimorfismo en el anillo , pero lo contrario no es cierto. La inclusión Z → Q es un epimorfismo no subjetivo. El homomorfismo de anillo natural de cualquier anillo conmutativo R a cualquiera de sus localizaciones es un epimorfismo que no es necesariamente suryectivo.
- Los homomorfismos superyectivos se pueden caracterizar como los epimorfismos regulares o extremos en el anillo (estas dos clases coinciden).
- Los bimorfismos en el anillo son los epimorfismos inyectivos. La inclusión Z → Q es un ejemplo de un bimorfismo que no es un isomorfismo.
Otras propiedades [ editar ]
- El único objeto inyectivo en el anillo hasta el isomorfismo es el anillo cero (es decir, el objeto terminal).
- A falta de morfismos cero , la categoría de anillos no puede ser una categoría preaditiva . (Sin embargo, cada anillo, considerado como una categoría pequeña con un solo objeto, es una categoría preaditiva).
- La categoría de anillos es una categoría monoidal simétrica con el producto tensorial de los anillos ⊗ Z como el producto monoidal y el anillo de números enteros Z como el objeto unitario. Del teorema de Eckmann-Hilton se desprende que un monoide en el anillo es solo un anillo conmutativo . La acción de un monoide (= anillo conmutativo) R en un objeto (= anillo) A del anillo es solo una R -algebra .
Subcategorías [ editar ]
La categoría de anillos tiene una serie de subcategorías importantes . Estos incluyen las subcategorías completas de anillos conmutativos , dominios integrales , dominios ideales principales y campos .
Categoría de anillos conmutativos [ editar ]
La categoría de anillos conmutativos , denominada CRing , es la subcategoría completa de Anillo cuyos objetos son todos anillos conmutativos . Esta categoría es uno de los objetos centrales de estudio en el tema del álgebra conmutativa .
Cualquier anillo puede ser conmutativo tomando el cociente por el ideal generado por todos los elementos de la forma ( xy - yx ). Esto define un functor Ring → CRing que se deja unido al funtor de inclusión, de modo que CRing es una subcategoría reflexiva de Ring . El anillo conmutativo libre en un conjunto de generadores E es el anillo de polinomios Z [ E ] cuyas variables se toman de E . Esto le da un funtor adjunto izquierdo al funtor olvidadizo de CRing aEstablecer .
La CRing está cerrada con límite en Ring , lo que significa que los límites en CRing son los mismos que en Ring. Los colimits, sin embargo, son generalmente diferentes. Pueden formarse tomando el cociente conmutativo de colimits en el anillo . El coproducto de dos anillos conmutativos viene dado por el producto tensorial de los anillos. De nuevo, el coproducto de dos anillos conmutativos distintos de cero puede ser cero.
La categoría opuesta de CRing es equivalente a la categoría de esquemas afines . La equivalencia viene dada por el functor de contravariante Spec, que envía un anillo conmutativo a su espectro , un esquema afín .
Categoría de campos [ editar ]
La categoría de campos , denominado campo , es la subcategoría completa de CRing cuyos objetos son campos . La categoría de campos no se comporta tan bien como otras categorías algebraicas. En particular, los campos libres no existen (es decir, no hay un adjunto a la izquierda en el campo del funtor olvidador → Establecer ). De ello se deduce que Field no es una subcategoría reflexiva de CRing .
La categoría de campos no es ni completa ni finamente completa. En particular, Field no tiene productos ni coproductos.
Otro aspecto curioso de la categoría de campos es que todo morfismo es un monomorfismo . Esto se deduce del hecho de que los únicos ideales en un campo F son el ideal cero y la propia F. Uno puede ver los morfismos en Campo como extensiones de campo .
La categoría de campos no está conectada . No hay morfismos entre campos de diferente característica . Los componentes conectados de Field son las subcategorías completas de la característica p , donde p = 0 o es un número primo . Cada una de estas subcategorías tiene un objeto inicial : el campo principal de la característica p(que es Q si p = 0, de lo contrario, el campo finito F p ).
Categorias relacionadas y funtores [ editar ]
Categoría de grupos [ editar ]
Existe un funtor natural desde el anillo hasta la categoría de grupos , Grp , que envía cada anillo R a su grupo de unidades U ( R ) y cada anillo homomorfismo a la restricción a U ( R ). Este functor tiene un adjunto a la izquierda que envía cada grupo G al anillo de grupo integral Z [ G ].
Otro functor entre estas categorías envía cada anillo R al grupo de unidades del anillo de matriz M 2 ( R ) que actúa en la línea proyectiva sobre un anillo P ( R ).
R -algebras [ editar ]
Dado un anillo conmutativo R, se puede definir la categoría R -Alg cuyos objetos son todos R -algebras y cuyos morfismos son R -algebra homomorphisms.
La categoría de anillos puede considerarse un caso especial. Cada anillo puede ser considerado como una Z-elálgebra es una forma única. Los homomorfismos de anillo son precisamente los homomorfismos de álgebra- Z . La categoría de anillos es, por lo tanto, isomorfa a la categoría Z-Alg . [1] Muchas declaraciones sobre la categoría de anillos pueden generalizarse a declaraciones sobre la categoría de R -algebras.
Para cada anillo conmutativo R hay un functor R -Alg → Ring que olvida la estructura del módulo R. Este funtor tiene un adjunto a la izquierda que envía cada anillo A al producto tensorial R ⊗ Z A , pensado como una R -algebra al establecer r · ( s ⊗ a ) = rs ⊗ a .
Anillos sin identidad [ editar ]
Muchos autores no requieren que los anillos tengan un elemento de identidad multiplicativo y, en consecuencia, no requieren que el homomorfismo del anillo conserve la identidad (en caso de que exista). Esto lleva a una categoría bastante diferente. Por distinción llamamos a tales estructuras algebraicas rngs y sus morfismos rng homomorfismos . La categoría de todos los rngs será denotada por Rng .
La categoría de los anillos, anillo , es un no rotundo subcategoría de Rng . No completo, porque hay homomorfismos entre anillos que no conservan la identidad y, por lo tanto, no son morfismos en el anillo . El functor de inclusión Ring → Rng tiene un adjunto a la izquierda que se une formalmente a una identidad con cualquier rng. Esto convierte a Ring en una subcategoría reflexiva (no completa) de Rng . El functor de inclusión Ring → Rng respeta los límites pero no los colimits.
El anillo cero sirve como objeto inicial y terminal en Rng (es decir, es un objeto cero ). De ello se deduce que Rng , como Grp pero a diferencia de Ring , tiene cero morfismos . Estos son solo los homomorfismos rng que mapean todo a 0. A pesar de la existencia de cero morfismos, Rng todavía no es una categoría preaditiva . La suma puntual de dos homomorfismos rng generalmente no es un homomorfismo rng. Los coproductos en Rng no son lo mismo que las sumas directas.
Hay un functor completamente fiel desde la categoría de grupos abelianos hasta Rng que envía un grupo abeliano al ángulo asociado de cero cuadrado .
Las construcciones libres son menos naturales en Rng que en Ring . Por ejemplo, el rng libre generado por un conjunto { x } es el anillo de todos los polinomios integrales sobre x sin término constante, mientras que el anillo libre generado por { x } es solo el anillo polinomial Z [ x ].
No hay comentarios:
Publicar un comentario