MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

categoría de los módulos de la izquierda sobre R es la categoría cuyos objetos son todos los módulos de la izquierda sobre R y cuyos morfismos son todos homomorfismos de móduloentre los módulos R de la izquierda. Por ejemplo, cuando R es el anillo de enteros Z , es lo mismo que la categoría de grupos abelianos . La categoría de módulos correctos se define de manera similar.

Nota: Algunos autores utilizan el término categoría de módulo para la categoría de módulos; este término puede ser ambiguo ya que también podría referirse a una categoría con una acción de categoría monoidal .

Propiedades [ editar ]

La categoría de los módulos de la izquierda (o la de los módulos de la derecha) es una categoría abeliana . La categoría tiene suficientes proyectivos ^[2] y suficientes inyectivos . ^[3] El teorema de incorporación de Mitchellestablece que cada categoría abeliana surge como una subcategoría completa de la categoría de módulos.

Los límites proyectivos y los límites inductivos existen en la categoría de (digamos izquierda) módulos. ^[4]

Sobre un anillo conmutativo, junto con el producto tensorial de los módulos , la categoría de módulos es una categoría monoidal simétrica .

Ejemplo: la categoría de espacios vectoriales [ editar ]

La categoría K-Vect (algunos autores usan Vect _K ) tiene todos los espacios vectoriales sobre un campo fijo Kcomo objetos y K -transformaciones lineales como morfismos . Como los espacios vectoriales sobre K (como un campo) son lo mismo que los módulos sobre el anillo K , K-Vect es un caso especial de R-Mod , la categoría de los módulos R izquierdos.

Gran parte del álgebra lineal se refiere a la descripción de K-Vect . Por ejemplo, el teorema de la dimensión para espacios vectoriales dice que las clases de isomorfismo en K-Vect se corresponden exactamente con los números cardinales , y que K-Vect es equivalente a la subcategoría de K-Vect que tiene como objetos los espacios vectoriales libres K ⁿ , donde n es cualquier número cardinal.

Generalizaciones [ editar ]

La categoría de poleas de módulos sobre un espacio anillado también tiene suficientes inyectivos (aunque no siempre suficientes proyectivas).

En álgebra abstracta , la equivalencia de Morita es una relación definida entre anillos que conserva muchas propiedades de la teoría de anillos. Lleva el nombre del matemático japonés Kiiti Morita, quien definió la equivalencia y una noción similar de dualidad en 1958.

Motivación [ editar ]

Los anillos se estudian comúnmente en términos de sus módulos , ya que los módulos se pueden ver como representaciones de anillos. Cada anillo R tiene una estructura de módulo R natural en sí misma donde la acción del módulo se define como la multiplicación en el anillo, por lo que el enfoque a través de módulos es más general y proporciona información útil. Debido a esto, a menudo uno estudia un anillo estudiando la categoría de módulos sobre ese anillo. La equivalencia de Morita lleva este punto de vista a una conclusión natural al definir que los anillos son equivalentes de Morita si sus categorías de módulos son equivalentes . Esta noción es de interés solo cuando se trata de anillos no conmutativos, ya que se puede demostrar que dos anillos conmutativosson equivalentes de Morita si y solo si son isomorfos .

Definición [ editar ]

Se dice que los dos anillos R y S (asociativo, con 1) son equivalentes ( morita ) si existe una equivalencia de la categoría de módulos (izquierda) sobre R , R-Mod y la categoría de módulos (izquierda) sobre S , S-Mod . Se puede mostrar que las categorías de módulo izquierdo R-Mod y S-Mod son equivalentes si y solo si las categorías de módulo derecho Mod-R y Mod-S son equivalentes. Además, se puede mostrar que cualquier functor de R-Mod a S-Mod que produce una equivalencia es automáticamente aditivo..

Ejemplos [ editar ]

Cualquiera de los dos anillos isomorfos son equivalentes de Morita.

El anillo de n -by- n matrices con elementos en R , denotado M _n ( R ), es Morita-equivalente a R para cualquier n> 0 . Tenga en cuenta que esto generaliza la clasificación de los anillos artinianos simples dada por la teoría de Artin-Wedderburn . Para ver la equivalencia, observe que si X es un módulo R izquierdo, entonces X ⁿ es un módulo M _n ( R ) donde la estructura del módulo está dada por la multiplicación de matrices a la izquierda de los vectores de columna de X. Esto permite la definición de un functor de la categoría de los módulos R izquierdos a la categoría de los módulos M _n ( R ) izquierdos. El funtor inverso se define al darse cuenta de que para cualquier módulo M _n ( R ) hay un módulo R izquierdo X tal que el módulo M _n ( R ) se obtiene de X como se describió anteriormente.

Criterios de equivalencia [ editar ]

Las equivalencias se pueden caracterizar de la siguiente manera: si F : R-Mod $${\ displaystyle \ to} S-Mod y G : S-Mod$${\ displaystyle \ to} Los R-Mod son funtores aditivos (covariantes) , entonces F y G son equivalentes si y solo si hay un bimódulo Pequilibrado ( S , R ) tal que _S P y P _R sean generadores proyectivos generados finamente y existan isomorfismos naturales de los funtores $${\ displaystyle \ operatorname {F} (-) \ cong P \ otimes _ {R} -}y de los funtores $${\ displaystyle \ operatorname {G} (-) \ cong \ operatorname {Hom} (_ {S} P, -).}Los generadores proyectivos generados finamente también se denominan a veces progeneradores para su categoría de módulo. ^[1]

Para cada functor F exacto- derecho de la categoría de los módulos R de izquierda a la categoría de los módulos S de izquierda que conmuta con sumas directas , un teorema de álgebra homológica muestra que hay un (E, R) -bimódulo E tal que el funtor$${\ displaystyle \ operatorname {F} (-)} Es naturalmente isomorfo al funtor. $${\ displaystyle E \ otimes _ {R} -}. Desde equivalencias son por necesidad exacta y conmutan con sumas directas, esto implica que R y S son Morita equivalentes si y sólo si hay bimódulos _R M _S y _S N _R tal que$${\ displaystyle M \ otimes _ {S} N \ cong R}como bimódulos (R, R) y$${\ displaystyle N \ otimes _ {R} M \ cong S}como bimódulos (S, S) . Además, N y M están relacionados a través de un isomorfismo bimódulo (S, R) :$${\ displaystyle N \ cong \ operatorname {Hom} (M_ {S}, S_ {S})}.

Más concretamente, dos anillos R y S son equivalentes a Morita si y solo si$${\ displaystyle S \ cong \ operatorname {Fin} (P_ {R})}para un módulo P _{R de}progenerador , ^[2] que es el caso si y solo si 

$${\ displaystyle S \ cong e \ mathbb {M} _ {n} (R) e}

(isomorfismo de anillos) para algún entero positivo n y completo idempotente e en el anillo de la matriz M _n ( R ).

Se sabe que si R es Morita equivalente a S , entonces el anillo C ( R ) es isomorfo al anillo C ( S ), donde C (-) denota el centro del anillo , y además R / J ( R ) es Morita equivalente a S / J ( S ), donde J (-) denota el radical de Jacobson .

Mientras que los anillos isomorfos son equivalentes a Morita, los anillos equivalentes a Morita pueden ser no isomorfos. Un ejemplo fácil es que un anillo de división D es Morita equivalente a todos sus anillos de matriz M _n ( D ), pero no puede ser isomorfo cuando n  > 1. En el caso especial de anillos conmutativos, los anillos equivalentes de Morita son en realidad isomorfos. Esto se deduce inmediatamente del comentario anterior, porque si R es Morita equivalente a S ,$${\ displaystyle R = \ operatorname {C} (R) \ cong \ operatorname {C} (S) = S}. De hecho, si R y S son anillos conmutativos isomorfos, cada equivalencia entre R -Mod y S -Mod surge hasta el isomorfismo natural desde un isomorfismo entre R y S .

Propiedades conservadas por equivalencia [ editar ]

El functor de equivalencia conserva muchas propiedades para los objetos en la categoría de módulo. En términos generales, cualquier propiedad de los módulos definidos puramente en términos de módulos y sus homomorfismos (y no a sus elementos o anillos subyacentes) es una propiedad categórica que será preservada por el functor de equivalencia. Por ejemplo, si F (-) es el functor de equivalencia de R-Mod a S-Mod , entonces el módulo R M tiene cualquiera de las siguientes propiedades si y solo si el módulo S F ( M ) tiene: inyectivo , proyectivo , plano ,Fiel , simple , semisímil , finamente generado , finamente presentado , Artiniano y Noetheriano . Ejemplos de propiedades no necesariamente conservadas incluyen ser libre y ser cíclico .

Muchas propiedades teóricas de los anillos se expresan en términos de sus módulos, por lo que estas propiedades se conservan entre los anillos equivalentes de Morita. Las propiedades compartidas entre anillos equivalentes se denominan propiedades invariantes de Morita . Por ejemplo, un anillo R es semisimple si y solo si todos sus módulos son semisimples, y como los módulos semisimples se conservan bajo la equivalencia de Morita, un anillo equivalente S también debe tener todos sus módulos semisimple, y por lo tanto debe ser un anillo semisimple.

A veces no es inmediatamente obvio por qué se debe preservar una propiedad. Por ejemplo, al usar una definición estándar de anillo regular de Von Neumann (para todas las de a en R , existe x en R, de modo que a =  axa ) no está claro que un anillo equivalente también deba ser normal de Von Neumann. Sin embargo, otra formulación es: un anillo es Von Neumann regular si y solo si todos sus módulos son planos. Dado que la planitud se conserva en la equivalencia de Morita, ahora está claro que la regularidad de von Neumann es invariante de Morita.

Las siguientes propiedades son invariantes de Morita:

• simple , semisimple
• von Neumann regular
• derecha (o izquierda) Noetherian , derecha (o izquierda) Artinian
• autoinyectivo derecho (o izquierdo)
• cuasi-frobenius
• Prime , right (o left) primitive , semiprime , semiprimitive
• derecha (o izquierda) (semi) hereditaria
• derecha (o izquierda) no singular
• derecha (o izquierda) coherente
• semiprimario , derecho (o izquierdo) perfecto , semiperfecto
• semilocal

Los ejemplos de propiedades que no son invariantes de Morita incluyen: conmutativo , local , reducido , dominio , derecha (o izquierda) , Goldie , Frobenius , número de base invariante y Dedekind finito .

Existen al menos otras dos pruebas para determinar si una propiedad de anillo es o no $${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}Es morar invariante. Un elemento e en un anillo R es un idempotente completo cuando e ²  =  e y ReR  =  R .

• $${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}Morita es invariante si y solo si siempre que un anillo R satisface$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}, entonces también lo hace eRe para cada idempotente e, y también lo hace cada anillo de matriz M _n ( R ) para cada entero positivo n ;

o

• $${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}Morita es invariante si y solo si: para cualquier anillo R e idempotente completo e en R , R satisface$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}si y sólo si el anillo ERE satisface$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}.

Otras direcciones [ editar ]

Dual a la teoría de equivalencias es la teoría de las dualidades entre las categorías de módulos, donde los funtores utilizados son contravariantes en lugar de covariantes. Esta teoría, aunque similar en su forma, tiene diferencias significativas porque no hay dualidad entre las categorías de módulos para ningún anillo, aunque pueden existir dualidades para las subcategorías. En otras palabras, debido a que los módulos de dimensión infinita ^{[ aclaración necesaria ]} no son generalmente reflexivos, la teoría de las dualidades se aplica más fácilmente a las álgebras generadas finamente sobre los anillos noetherianos. Quizás no sea sorprendente, el criterio anterior tiene un análogo para las dualidades, donde el isomorfismo natural se da en términos del functor hom en lugar del functor tensor.

La equivalencia de morita también se puede definir en situaciones más estructuradas, como los grupoides simplécticos y las algas C * . En el caso de las algas C * , se necesita una equivalencia de tipo más fuerte, llamada equivalencia de Morita fuerte , para obtener resultados útiles en las aplicaciones, debido a la estructura adicional de las algas C * (provenientes de la operación involutiva *) y también porque C * -algebras no necesariamente tienen un elemento de identidad.

Significado en la teoría K [ editar ]

Si dos anillos son equivalentes a Morita, existe una equivalencia inducida de las respectivas categorías de módulos proyectivos, ya que las equivalencias de Morita conservarán las secuencias exactas (y, por lo tanto, los módulos proyectivos). Dado que la teoría K algebraica de un anillo se define (en el enfoque de Quillen ) en términos de los grupos de homotopía de (aproximadamente) el espacio de clasificación del nervio de la categoría (pequeña) de módulos proyectivos generados finamente sobre el anillo, anillos equivalentes de Morita debe tener grupos K isomorfos.

En álgebra, dado un anillo R , la categoría de los módulos de la izquierda sobre R es la categoría cuyos objetos son todos los módulos de la izquierda sobre R y cuyos morfismos son todos homomorfismos de móduloentre los módulos R de la izquierda. Por ejemplo, cuando R es el anillo de enteros Z , es lo mismo que la categoría de grupos abelianos . La categoría de módulos correctos se define de manera similar.

Nota: Algunos autores utilizan el término categoría de módulo para la categoría de módulos; este término puede ser ambiguo ya que también podría referirse a una categoría con una acción de categoría monoidal .

Propiedades [ editar ]

La categoría de los módulos de la izquierda (o la de los módulos de la derecha) es una categoría abeliana . La categoría tiene suficientes proyectivos ^[2] y suficientes inyectivos . ^[3] El teorema de incorporación de Mitchellestablece que cada categoría abeliana surge como una subcategoría completa de la categoría de módulos.

Los límites proyectivos y los límites inductivos existen en la categoría de (digamos izquierda) módulos. ^[4]

Sobre un anillo conmutativo, junto con el producto tensorial de los módulos , la categoría de módulos es una categoría monoidal simétrica .

Ejemplo: la categoría de espacios vectoriales [ editar ]

La categoría K-Vect (algunos autores usan Vect _K ) tiene todos los espacios vectoriales sobre un campo fijo Kcomo objetos y K -transformaciones lineales como morfismos . Como los espacios vectoriales sobre K (como un campo) son lo mismo que los módulos sobre el anillo K , K-Vect es un caso especial de R-Mod , la categoría de los módulos R izquierdos.

Gran parte del álgebra lineal se refiere a la descripción de K-Vect . Por ejemplo, el teorema de la dimensión para espacios vectoriales dice que las clases de isomorfismo en K-Vect se corresponden exactamente con los números cardinales , y que K-Vect es equivalente a la subcategoría de K-Vect que tiene como objetos los espacios vectoriales libres K ⁿ , donde n es cualquier número cardinal.

Generalizaciones [ editar ]

La categoría de poleas de módulos sobre un espacio anillado también tiene suficientes inyectivos (aunque no siempre suficientes proyectivas).