La teoría de categorías [1] formaliza la estructura matemática y sus conceptos en términos de un gráfico dirigido etiquetado denominado categoría , cuyos nodos se denominan objetos y los bordes dirigidos etiquetados se denominan flechas (o morfismos ). Una categoría tiene dos propiedades básicas: la capacidad de componer las flechas de forma asociativa y la existencia de una flecha de identidad para cada objeto. El lenguaje de la teoría de categorías se ha utilizado para formalizar conceptos de otras abstracciones de alto nivel, tales como conjuntos , anillos., y grupos. Informalmente, la teoría de categorías es una teoría general de funciones .
Varios términos utilizados en la teoría de categorías, incluido el término "morfismo", se utilizan de manera diferente a sus usos en el resto de las matemáticas. En la teoría de categorías, los morfismos obedecen a condiciones específicas de la propia teoría de categorías.
Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane introdujeron los conceptos de categorías, funtores y transformaciones naturales en 1942–45 en su estudio de la topología algebraica , con el objetivo de comprender los procesos que preservan la estructura matemática.
La teoría de categorías tiene aplicaciones prácticas en la teoría del lenguaje de programación , por ejemplo, el uso de mónadas en programación funcional . También se puede utilizar como una base axiomática para las matemáticas, como una alternativa a la teoría de conjuntos y otras bases propuestas.
Conceptos básicos [ editar ]
Las categorías representan abstracciones de otros conceptos matemáticos. Muchas áreas de las matemáticas pueden ser formalizadas por la teoría de categorías como categorías . Por lo tanto, la teoría de categorías utiliza la abstracción para permitir establecer y probar muchos resultados matemáticos complejos y sutiles en estos campos de una manera mucho más sencilla. [2]
Un ejemplo básico de una categoría es la categoría de conjuntos , donde los objetos son conjuntos y las flechas son funciones de un conjunto a otro. Sin embargo, los objetos de una categoría no necesitan ser conjuntos, y las flechas no tienen que ser funciones. Cualquier forma de formalizar un concepto matemático de manera que cumpla con las condiciones básicas del comportamiento de los objetos y las flechas es una categoría válida, y todos los resultados de la teoría de categorías se aplican a ella.
Se dice a menudo que las "flechas" de la teoría de categorías representan un proceso que conecta dos objetos, o en muchos casos una transformación que "preserva la estructura" que conecta dos objetos. Hay, sin embargo, muchas aplicaciones donde los conceptos y morfismos representan conceptos mucho más abstractos. La propiedad más importante de las flechas es que pueden estar "compuestas", en otras palabras, organizadas en una secuencia para formar una nueva flecha.
Aplicaciones de las categorías [ editar ]
Las categorías ahora aparecen en muchas ramas de las matemáticas, algunas áreas de la informática teóricadonde pueden corresponder a tipos o esquemas de base de datos , y la física matemática donde se pueden usar para describir espacios vectoriales . [3] Probablemente la primera aplicación de la teoría de categorías fuera de las matemáticas puras fue el modelo de "reparación del metabolismo" de organismos vivos autónomos de Robert Rosen . [4]
Utilidad [ editar ]
Categorías, objetos y morfismos [ editar ]
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El estudio de categorías es un intento de capturar axiomáticamente lo que se encuentra comúnmente en varias clases de estructuras matemáticas relacionadas al relacionarlas con las funciones de preservación de la estructura entre ellas. Un estudio sistemático de la teoría de categorías nos permite probar resultados generales sobre cualquiera de estos tipos de estructuras matemáticas a partir de los axiomas de una categoría.
Considere el siguiente ejemplo. La clase Grp de grupos consta de todos los objetos que tienen una "estructura de grupo". Se puede proceder a demostrar teoremas sobre grupos haciendo deducciones lógicas del conjunto de axiomas que definen grupos. Por ejemplo, se demuestra inmediatamente a partir de los axiomas que el elementode identidad de un grupo es único.
En lugar de enfocarse meramente en los objetos individuales (por ejemplo, grupos) que poseen una estructura dada, la teoría de categorías enfatiza los morfismos (los mapeos que preservan la estructura) entre estos objetos; Al estudiar estos morfismos, uno puede aprender más sobre la estructura de los objetos. En el caso de los grupos, los morfismos son los homomorfismos de grupo . Un homomorfismo grupal entre dos grupos "preserva la estructura del grupo" en un sentido preciso; informalmente es un "proceso" que lleva de un grupo a otro, de manera que lleva información sobre la estructura del primer grupo al segundo grupo. El estudio de los homomorfismos grupales proporciona una herramienta para estudiar las propiedades generales de los grupos y las consecuencias de los axiomas grupales.
Un tipo similar de investigación ocurre en muchas teorías matemáticas, como el estudio de mapas continuos(morfismos) entre los espacios topológicos en la topología (la categoría asociada se llama Top ) y el estudio de las funciones suaves (morfismos) en la teoría múltiple .
Sin embargo, no todas las categorías surgen como "funciones de preservación de estructura (conjunto)"; El ejemplo estándar es la categoría de homotopías entre espacios topológicos puntiagudos .
Functores [ editar ]
Una categoría es en sí misma un tipo de estructura matemática, por lo que podemos buscar "procesos" que preserven esta estructura en cierto sentido; Tal proceso se llama un funtor .
La búsqueda de diagramas es un método visual de argumentación con "flechas" abstractas unidas en diagramas. Los funcionales están representados por flechas entre categorías, sujetas a condiciones específicas de conmutación definitorias. Los funcionales pueden definir (construir) diagramas y secuencias categóricos (a saber, Mitchell, 1965) [ cita requerida ] . Un funtor asocia a cada objeto de una categoría un objeto de otra categoría, ya cada morfismo en la primera categoría un morfismo en la segunda.
Como resultado, esto define una categoría de categorías y functores : los objetos son categorías y los morfismos (entre categorías) son functores.
Estudiar categorías y funtores no es solo estudiar una clase de estructuras matemáticas y los morfismos entre ellas, sino las relaciones entre varias clases de estructuras matemáticas . Esta idea fundamental surgió por primera vez en la topología algebraica . Las preguntas topológicas difíciles se pueden traducir en preguntas algebraicas que a menudo son más fáciles de resolver. Las construcciones básicas, como el grupo fundamental o el groupoid fundamental de un espacio topológico , pueden expresarse como funtores de la categoría de groupoids de esta manera, y el concepto es generalizado en el álgebra y sus aplicaciones.
Transformaciones naturales [ editar ]
Resumiendo una vez más, algunas construcciones diagramáticas y / o secuenciales a menudo están "relacionadas de forma natural", una noción vaga, a primera vista. Esto lleva al concepto clarificador de transformación natural , una forma de "asignar" un funtor a otro. Muchas construcciones importantes en matemáticas se pueden estudiar en este contexto. La "naturalidad" es un principio, como la covarianza generalen la física, que profundiza más de lo que parece inicialmente. Una flecha entre dos funtores es una transformación natural cuando está sujeta a ciertas condiciones de naturalidad o conmutación.
Los funcionales y las transformaciones naturales ("naturalidad") son los conceptos clave en la teoría de categorías. [5]
Categorías, objetos y morfismos [ editar ]
Categorías [ editar ]
Una categoría C consta de las siguientes tres entidades matemáticas:
- Una clase ob ( C ), cuyos elementos son llamados objetos ;
- Una clase hom ( C ), cuyos elementos se denominan morfismos o mapas o flechas . Cada morfismo f tiene un objeto fuente a y un objeto objetivo b .
La expresión f : a → b se expresaría verbalmente como " f es un morfismo de a a b ".
La expresión hom ( a , b ) - expresada alternativamente como hom C ( a , b ), mor ( a , b ) o C ( a , b ) - denota la clase hom de todos los morfismos de a a b . - Una operación binaria ∘, llamada composición de morfismos , tal que para cualquiera de los tres objetos a , by c , tenemos ∘: hom ( b , c ) × hom ( a , b ) → hom ( a , c ) . La composición de f : un → b y g : b → c se escribe como g ∘ f o gf , [a] gobernado por dos axiomas:
- Asociatividad : si f : a → b , g : b → c y h : c → d entonces h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f , y
- Identidad : Para cada objeto x , existe un morfismo 1 x : x → x llamado morfismo de identidad para x , de modo que para cada morfismo f : a → b , tenemos 1 b ∘ f = f = f ∘ 1 a .
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- Desde los axiomas, se puede demostrar que existe exactamente un morfismo de identidad para cada objeto. Algunos autores se desvían de la definición que se acaba de dar al identificar cada objeto con su morfismo de identidad.
Morfismos [ editar ]
Las relaciones entre los morfismos (como fg = h ) a menudo se representan mediante diagramas conmutativos , con "puntos" (esquinas) que representan objetos y "flechas" que representan morfismos.
- monomorfismo (o monic ) si f ∘ g 1 = f ∘ g 2 implica g 1 = g 2 para todos los morfismos g 1 , g 2 : x → a .
- epimorfismo (o epic ) si g 1 ∘ f = g 2 ∘ f implica g 1 = g 2 para todos los morfismos g 1 , g 2 : b → x .
- bimorfismo si f es a la vez épico y monico.
- isomorfismo si existe un morfismo g : b → a tal que f ∘ g = 1 b y g ∘ f = 1 a . [segundo]
- endomorfismo si a = b . el final ( a ) denota la clase de endomorfismos de a .
- automorfismo si f es tanto un endomorfismo como un isomorfismo. aut ( a ) denota la clase de automorfismos de a .
- retracción si existe un derecho inverso de f , es decir, si existe un morfismo g : b → a con f ∘ g = 1 b .
- sección si existe un inverso a la izquierda de f , es decir, si existe un morfismo g : b → a con g ∘ f = 1 a .
Cada retracción es un epimorfismo, y cada sección es un monomorfismo. Además, las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:
- f es un monomorfismo y una retracción;
- f es un epimorfismo y una sección;
- f es un isomorfismo.
Functores [ editar ]
Los funcionalizadores son mapas que preservan la estructura entre categorías. Pueden considerarse morfismos en la categoría de todas las categorías (pequeñas).
El funtor F ( covariante ) F de una categoría C a una categoría D , escrito F : C → D , consta de:
- para cada objeto x en C , un objeto F ( x ) en D ; y
- para cada morfismo f : x → y en C , un morfismo F ( f ): F ( x ) → F ( y ) ,
de modo que las siguientes dos propiedades se mantienen:
- Para cada objeto x en C , F (1 x ) = 1 F ( x ) ;
- Para todos los morfismos f : x → y y g : y → z , F ( g ∘ f ) = F ( g ) ∘ F ( f ) .
Un funtor contravariante F : C → D es como un funtor covariante, excepto que "gira los morfismos alrededor de" ("invierte todas las flechas"). Más específicamente, cada morfismo f : x → y en C debe ser asignado a un morfismo F ( f ): F ( y ) → F ( x ) en D . En otras palabras, un funtor contravariante actúa como un funtor covariante de la opuesta categoría C op a D .
Transformaciones naturales [ editar ]
Una transformación natural es una relación entre dos funtores. Los funcionales a menudo describen "construcciones naturales" y las transformaciones naturales luego describen "homomorfismos naturales" entre dos de tales construcciones. A veces, dos construcciones muy diferentes producen "el mismo" resultado; Esto se expresa mediante un isomorfismo natural entre los dos funtores.
Si F y G son funtores (covariantes) entre las categorías C y D , entonces una transformación natural η de F a G se asocia a cada objeto X en C, un morfismo η X : F ( X ) → G ( X ) en D tal que para cada morfismo f : X → Yen C , tenemos η Y ∘ F ( f ) = G( f ) ∘ η X ; esto significa que el siguiente diagrama es conmutativo :
Los dos funtores F y G se llaman naturalmente isomorfos si existe una transformación natural de F a G tal que η X es un isomorfismo para cada objeto X en C .
Otros conceptos [ editar ]
Construcciones universales, límites y colimits [ editar ]
Usando el lenguaje de la teoría de categorías, se pueden categorizar muchas áreas del estudio matemático. Las categorías incluyen conjuntos, grupos y topologías.
Cada categoría se distingue por las propiedades que todos sus objetos tienen en común, como el conjunto vacíoo el producto de dos topologías , pero en la definición de una categoría, los objetos se consideran atómicos, es decir, no sabemos si un objeto A es Un conjunto, una topología, o cualquier otro concepto abstracto. Por lo tanto, el desafío es definir objetos especiales sin hacer referencia a la estructura interna de esos objetos. Para definir el conjunto vacío sin referirse a los elementos, o la topología del producto sin referirse a los conjuntos abiertos, uno puede caracterizar estos objetos en términos de sus relaciones con otros objetos, como lo indican los morfismos de las categorías respectivas. Así, la tarea es encontrar propiedades universales. Que únicamente determinan los objetos de interés.
Se pueden describir numerosas construcciones importantes de manera puramente categórica si el límite de la categoría se puede desarrollar y dualizar para obtener la noción de un colimit .
Categorías equivalentes [ editar ]
Es una pregunta natural: ¿en qué condiciones pueden considerarse dos categorías esencialmente iguales , en el sentido de que los teoremas sobre una categoría pueden transformarse fácilmente en teoremas sobre la otra categoría? La herramienta principal que se emplea para describir una situación de este tipo se denomina equivalencia de categorías , que es proporcionada por los funtores apropiados entre dos categorías. La equivalencia categórica ha encontrado numerosas aplicaciones en matemáticas.
Otros conceptos y resultados [ editar ]
Las definiciones de categorías y funtores proporcionan solo los conceptos básicos del álgebra categórica; temas importantes adicionales se enumeran a continuación. Aunque existen fuertes interrelaciones entre todos estos temas, el orden dado puede considerarse como una guía para lecturas adicionales.
- La categoría funtor D C tiene como objetos los funtores desde C a D y como morfismos las transformaciones naturales de tales funtores. El lema de Yoneda es uno de los resultados básicos más famosos de la teoría de categorías; Describe los funtores representables en categorías de funtor.
- Dualidad : cada afirmación, teorema o definición en la teoría de categorías tiene un dual que se obtiene esencialmente al "invertir todas las flechas". Si una afirmación es verdadera en una categoría C, entonces su doble es verdadera en la categoría C op . Esta dualidad, que es transparente a nivel de la teoría de categorías, a menudo se oculta en las aplicaciones y puede llevar a relaciones sorprendentes.
- Functores adjuntos : Un functor puede ser adjunto a la izquierda (o derecha) a otro funtor que se asigna en la dirección opuesta. Tal par de funtores adjuntos surge típicamente de una construcción definida por una propiedad universal; Esto puede verse como una visión más abstracta y poderosa de las propiedades universales.
Categorías de mayor dimensión [ editar ]
Muchos de los conceptos anteriores, especialmente la equivalencia de categorías, los pares de funtores adjuntos y las categorías de funtor, pueden situarse en el contexto de las categorías de dimensiones superiores . Brevemente, si consideramos un morfismo entre dos objetos como un "proceso que nos lleva de un objeto a otro", entonces las categorías de dimensiones superiores nos permiten generalizar esto de manera rentable considerando los "procesos de dimensiones superiores".
Por ejemplo, una categoría 2 (estricta) es una categoría junto con "morfismos entre morfismos", es decir, procesos que nos permiten transformar un morfismo en otro. Luego podemos "componer" estos "bimorfismos" tanto horizontal como verticalmente, y requerimos una "ley de intercambio" bidimensional para mantener, relacionando las dos leyes de composición. En este contexto, el ejemplo estándar es Cat , la categoría 2 de todas las categorías (pequeñas), y en este ejemplo, los bimorfismos de los morfismos son simplemente transformaciones naturales de los morfismos en el sentido habitual. Otro ejemplo básico es considerar una categoría 2 con un solo objeto; Estas son esencialmente categorías monoidales . Bicategorias son una noción más débil de categorías bidimensionales en las que la composición de los morfismos no es estrictamente asociativa, sino solo asociativa "hasta" un isomorfismo.
Este proceso puede extenderse para todos los números naturales n , y estos se denominan n -categorías . Incluso hay una noción de ω categoría correspondiente al número ordinal ω .
Las categorías de dimensiones superiores forman parte del campo matemático más amplio del álgebra de dimensiones superiores , un concepto introducido por Ronald Brown . Para una introducción conversacional a estas ideas, vea John Baez, 'A Tale of n -categories' (1996).
Notas históricas [ editar ]
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| " | En primer lugar, debe observarse que todo el concepto de una categoría es esencialmente auxiliar;Nuestros conceptos básicos son esencialmente los de un funtor y de una transformación natural [...] | ” |
| - Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane , Teoría general de equivalencias naturales [6] | ||
En 1942–45, Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane introdujeron categorías, funtores y transformaciones naturales como parte de su trabajo en topología, especialmente topología algebraica . Su trabajo fue una parte importante de la transición de la homología intuitiva y geométrica a la teoría de la homología axiomática . Eilenberg y Mac Lane más tarde escribieron que su objetivo era entender las transformaciones naturales. Eso requería definir funtores, lo que requería categorías.
Stanislaw Ulam , y algunos escritos en su nombre, han afirmado que las ideas relacionadas estaban vigentes a fines de la década de 1930 en Polonia. Eilenberg era polaco y estudió matemáticas en Polonia en los años treinta. La teoría de categorías también es, en cierto sentido, una continuación del trabajo de Emmy Noether (uno de los maestros de Mac Lane) en la formalización de procesos abstractos; Noether se dio cuenta de que entender un tipo de estructura matemática requiere entender los procesos que preservan esa estructura. Para lograr este entendimiento, Eilenberg y Mac Lane propusieron una formalización axiomática de la relación entre las estructuras y los procesos que las preservan.
El desarrollo posterior de la teoría de categorías fue impulsado primero por las necesidades computacionales del álgebra homológica , y más tarde por las necesidades axiomáticas de la geometría algebraica . La teoría de la categoría general, una extensión del álgebra universal que tiene muchas características nuevas que permiten flexibilidad semántica y lógica de orden superior , llegó más tarde; ahora se aplica en todas las matemáticas.
Ciertas categorías llamadas topoi ( topos singulares ) pueden incluso servir como una alternativa a la teoría de conjuntos axiomática como base de las matemáticas. Un topos también se puede considerar como un tipo específico de categoría con dos axiomas topos adicionales. Estas aplicaciones fundamentales de la teoría de categorías se han desarrollado con bastante detalle como base y justificación de las matemáticas constructivas . La teoría de Topos es una forma de teoría abstracta de la gavilla , con orígenes geométricos, y conduce a ideas como una topología sin sentido .
La lógica categórica es ahora un campo bien definido basado en la teoría de tipos para lógicas intuicionistas , con aplicaciones en la programación funcional y la teoría de dominios , donde se toma una categoría cerrada cartesiana como una descripción no sintáctica de un cálculo lambda . Como mínimo, el lenguaje teórico de categorías aclara qué tienen exactamente en común estas áreas relacionadas (en cierto sentido abstracto ).
La teoría de categorías también se ha aplicado en otros campos. Por ejemplo, John Báez ha mostrado un vínculo entre los diagramas de Feynman en las categorías de Física y monoidal. [7] Otra aplicación de la teoría de categorías, más específicamente: la teoría de topos, se ha realizado en la teoría de la música matemática; véase, por ejemplo, el libro Los topos de la música, la lógica geométrica de los conceptos, la teoría y la interpretación de Guerino Mazzola .
Los esfuerzos más recientes para introducir a los estudiantes universitarios en categorías como base para las matemáticas incluyen los de William Lawvere y Rosebrugh (2003) y Lawvere y Stephen Schanuel (1997) y Mirroslav Yotov (2012).
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