MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

Diagrama que muestra cómo se vería el gráfico de Cayley para el grupo libre en dos generadores. Cada vértice representa un elemento del grupo libre, y cada borde representa la multiplicación por a o b .

En matemáticas , el grupo libre F _S sobre un conjunto dado S consta de todas las expresiones (también conocidas como palabras o términos ) que se pueden construir a partir de miembros de S , considerando dos expresiones diferentes a menos que su igualdad se desprenda de los axiomas de grupo (por ejemplo, st = suu ⁻¹ t , pero s ≠ t ⁻¹ para s , t , u ∈ S ). Los miembros de S se llaman generadores de F_S . Un grupoarbitrario G se llama libre si es isomorfo a F _S para algún subconjunto Sde G , es decir, si hay un subconjunto S de G tal que cada elemento deG puede escribirse de una y solo una forma como producto de finamente muchos elementos de S y sus inversos (sin tener en cuenta variaciones triviales como st = suu ⁻¹ t ).

Una noción relacionada pero diferente es un grupo abeliano libre , ambas nociones son ejemplos particulares de un objeto libre del álgebra universal .

Historia [ editar ]

Los grupos libres surgieron por primera vez en el estudio de la geometría hiperbólica , como ejemplos de grupos fucsianos (grupos discretos que actúan por isometrías en el plano hiperbólico ). En un artículo de 1882, Walther von Dyck señaló que estos grupos tienen las presentaciones más simples posibles . ^[1] El estudio algebraico de grupos libres fue iniciado por Jakob Nielsen en 1924, quien les dio su nombre y estableció muchas de sus propiedades básicas. ^{[2] [3] [4]} Max Dehn se dio cuenta de la conexión con la topología y obtuvo la primera prueba del teorema completo de Nielsen-Schreier .^[5] Otto Schreier publicó una prueba algebraica de este resultado en 1927, ^[6] y Kurt Reidemeister incluyó un tratamiento integral de grupos libres en su libro de 1932 sobre topología combinatoria . ^[7] Más tarde, en la década de 1930, Wilhelm Magnus descubrió la conexión entre la serie central inferior de grupos libres y las álgebras de Lie libres .

Ejemplos [ editar ]

El grupo ( Z , +) de enteros es libre; podemos tomar S = {1}. Un grupo libre en un conjunto de dos elementos Saparece en la prueba de la paradoja de Banach-Tarski y se describe allí.

Por otro lado, cualquier grupo finito no trivial no puede ser libre, ya que los elementos de un grupo generador libre de un grupo libre tienen un orden infinito.

En la topología algebraica , el grupo fundamental de un ramo de k círculos (un conjunto de k bucles que tienen un solo punto en común) es el grupo libre en un conjunto de k elementos.

Construcción [ editar ]

El grupo libre F _S con grupo electrógeno libre S se puede construir de la siguiente manera. S es un conjunto de símbolos, y suponemos que para cada s en S hay un símbolo "inverso" correspondiente, s ⁻¹ , en un conjunto S ⁻¹ . Deje que T  =  S  ∪  S ^-1 , y definir una palabra en S para ser cualquier producto escrito de elementos de T. Es decir, una palabra en S es un elemento del monoide generado por T. La palabra vacía es la palabra sin símbolos en absoluto. Por ejemplo, si S  = { a ,  b ,  c }, entonces T  = { a ,  a ⁻¹ ,  b ,  b ⁻¹ ,  c ,  c ⁻¹ }, y

$${\ displaystyle ab ^ {3} c ^ {- 1} ca ^ {- 1} c \,}

es una palabra en s .

Si un elemento de S se encuentra inmediatamente al lado de su inverso, la palabra se puede simplificar omitiendo el par c, c ⁻¹ :

$${\ displaystyle ab ^ {3} c ^ {- 1} ca ^ {- 1} c \; \; \ longrightarrow \; \; ab ^ {3} \, a ^ {- 1} c.}

Una palabra que no se puede simplificar más se llama reducida .

El grupo libre F _S se define como el grupo de todas las palabras reducidas en S , con concatenación de palabras (seguido de una reducción si es necesario) como operación de grupo. La identidad es la palabra vacía.

Una palabra se llama cíclicamente reducida , si su primera y última letra no son inversas entre sí. Cada palabra se conjuga con una palabra reducida cíclicamente, y un conjugado reducido cíclicamente de una palabra reducida cíclicamente es una permutación cíclica de las letras en la palabra. Por ejemplo, b ⁻¹ abcb no se reduce cíclicamente, sino que se conjuga con abc , que se reduce cíclicamente. Los únicos conjugados reducidos cíclicamente de abc son abc , bca y cab .

Propiedad universal [ editar ]

El grupo libre F _S es la universal de grupo generado por el conjunto S . Esto se puede formalizar mediante la siguiente propiedad universal : dada cualquier función ƒ de S a un grupo G , existe un homomorfismo único φ :  F _S  →  G haciendo que el siguiente diagrama conmute (donde el mapeo sin nombre denota la inclusión de S a F _S):

Es decir, Homomorfismos F _S  →  G están en uno-a-uno correspondencia con funciones S  →  G . Para un grupo no libre, la presencia de relaciones restringiría las posibles imágenes de los generadores bajo un homomorfismo.

Para ver cómo se relaciona esto con la definición constructiva, piense en el mapeo de S a F _S como el envío de cada símbolo a una palabra que consiste en ese símbolo. Para construir φ para ƒ dado, primero nota que φ envía la palabra vacía a la identidad de G y tiene que estar de acuerdo con ƒ sobre los elementos de S . Para las palabras restantes (que consisten en más de un símbolo) φ puede extenderse de manera única ya que es un homomorfismo, es decir, φ ( ab ) = φ ( a ) φ ( b ).

La propiedad anterior caracteriza los grupos libres hasta el isomorfismo , y algunas veces se usa como una definición alternativa. Se conoce como la propiedad universal de grupos libres, y el grupo electrógeno S se llama una base para F _S . La base para un grupo libre no está determinada únicamente.

Ser caracterizado por una propiedad universal es la característica estándar de los objetos libres en álgebra universal . En el lenguaje de la teoría de categorías , la construcción del grupo libre (similar a la mayoría de las construcciones de objetos libres) es un functor de la categoría de conjuntos a la categoría de grupos . Este funtor se deja adjunto al funtor olvidadizo de grupos a conjuntos.

Hechos y teoremas [ editar ]

Algunas propiedades de los grupos libres se deducen fácilmente de la definición:

1. Cualquier grupo G es la imagen homomórfica de algún grupo libre F ( S ). Vamos S ser un conjunto de generadores de G . El mapa natural f : F ( S ) → G es un epimorfismo , lo que prueba la afirmación. De manera equivalente, G es isomorfo a un grupo cociente de algún grupo libre F ( S ). El núcleo de φ es un conjunto de relaciones en la presentación del G . Si S puede ser elegido para ser finito aquí, entonces se llama Gfinamente generado .
2. Si S tiene más de un elemento, entonces F ( S ) no es abeliano y, de hecho, el centro de F ( S ) es trivial (es decir, consiste solo en el elemento de identidad).
3. Dos grupos libres F ( S ) y F ( T ) son isomorfos si y solo si S y T tienen la misma cardinalidad . Esta cardinalidad se denomina rango del grupo F libre . Así, por cada número cardinal k , hay, hasta elisomorfismo, exactamente un grupo libre de rango k .
4. Un grupo libre de rango finito n > 1 tiene una tasa de crecimiento exponencial de orden 2 n - 1.

Algunos otros resultados relacionados son:

1. El teorema de Nielsen-Schreier : cada subgrupo de un grupo libre es gratuito.
2. Un grupo libre de rango k claramente tiene subgrupos de cada rango menor que k . Menos obvio, un grupo de rango libre ( ¡no esabelino! ) Al menos 2 tiene subgrupos de todos los rangos contables .
3. El subgrupo de conmutador de un grupo libre de rango k > 1 tiene rango infinito; por ejemplo, para F ( a , b ), es generado libremente por los conmutadores [ a ^m , b ⁿ ] para m y n distintos de cero .
4. El grupo libre en dos elementos es SQ universal ; Lo anterior sigue como cualquier grupo universal SQ tiene subgrupos de todos los rangos contables.
5. Cualquier grupo que actúa sobre un árbol, libremente y conservando la orientación , es un grupo libre de rango contable (dado por 1 más la característica de Euler del gráfico del cociente ).
6. El gráfico de Cayley de un grupo libre de rango finito, con respecto a un grupo generador libre, es un árbolen el que el grupo actúa libremente, preservando la orientación.
7. El enfoque groupoid de estos resultados, dado en el trabajo de PJ Higgins a continuación, se extrae de un enfoque que utiliza espacios de cobertura . Permite resultados más poderosos, por ejemplo, en el teorema de Grushko, y una forma normal para el groupoid fundamental de una gráfica de grupos. En este enfoque hay un uso considerable de groupoids libres en un gráfico dirigido.
8. El teorema de Grushko tiene la consecuencia de que si un subconjunto B de un grupo libre F en nelementos genera F y tiene n elementos, entonces B genera F libremente.

Grupo abeliano libre [ editar ]

Más información: grupo abeliano gratuito.

El grupo abeliano libre en un conjunto S se define a través de su propiedad universal de manera análoga, con modificaciones obvias: considere un par ( F , φ ), donde F es un grupo abeliano y φ : S → F es una función. Se dice que F es el grupo abeliano libre en S con respecto a φ si para cualquier grupo abeliano G y cualquier función ψ : S → G , existe un homomorfismo único f : F → G tal que

f ( φ ( s )) = ψ ( s ), para todos s en S .

El grupo abeliano libre en S se puede identificar explícitamente como el grupo libre F ( S ) módulo, el subgrupo generado por sus conmutadores, [F ( S ), F ( S )], es decir, su abelianización . En otras palabras, el grupo abeliano libre en S es el conjunto de palabras que se distinguen solo en el orden de las letras. Por lo tanto, el rango de un grupo libre también puede definirse como el rango de su abelianización como un grupo abeliano libre.

Los problemas de Tarski [ editar ]

Alrededor de 1945, Alfred Tarski preguntó si los grupos libres de dos o más generadores tienen la misma teoría de primer orden y si esta teoría es decidible . Sela (2006) respondió a la primera pregunta al mostrar que dos grupos libres nonabelianos tienen la misma teoría de primer orden, y Kharlampovich y Myasnikov (2006)respondieron ambas preguntas, lo que demuestra que esta teoría es decidible.

Una pregunta similar no resuelta (a partir de 2011) en la teoría de probabilidad libre pregunta si las álgebras del grupo de von Neumann de dos grupos libres no abelianos generados de manera definitiva son isomorfos.

En matemáticas , un método para definir un grupo es mediante una presentación . Uno especifica un conjunto Sde generadores para que cada elemento del grupo pueda escribirse como un producto de los poderes de algunos de estos generadores y un conjunto R de relaciones entre esos generadores. Entonces decimos que Gtiene presentación.

$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle.}

De manera informal, G tiene la presentación anterior si es el "grupo más libre" generado por S sujeto únicamente a las relaciones R . Formalmente, el grupo G se dice que tiene la presentación anterior si es isomorfo al cocientede un grupo libre en S por el subgrupo normal generada por el relaciones R .

Como ejemplo simple, el grupo cíclico de orden n tiene la presentación

$${\ displaystyle \ langle a \ mid a ^ {n} = 1 \ rangle.}

donde 1 es la identidad de grupo. Esto se puede escribir de manera equivalente como

$${\ displaystyle \ langle a \ mid a ^ {n} \ rangle,}

ya que los términos que no incluyen un signo igual se consideran iguales a la identidad de grupo. Tales términos se llaman relatores , distinguiéndolos de las relaciones que incluyen un signo igual.

Cada grupo tiene una presentación, y de hecho muchas presentaciones diferentes; Una presentación es a menudo la forma más compacta de describir la estructura del grupo.

Un concepto estrechamente relacionado pero diferente es el de una presentación absoluta de un grupo.

Fondo [ editar ]

Un grupo libre en un conjunto S es un grupo donde cada elemento se puede describir de forma única como un producto de longitud finita de la forma:

$${\ displaystyle s_ {1} ^ {a_ {1}} s_ {2} ^ {a_ {2}} \ cdots s_ {n} ^ {a_ {n}}}

donde s _i son elementos de S, s _i adyacentes son distintos y a _i son enteros distintos de cero (pero n puede ser cero). En términos menos formales, el grupo consiste en palabras en los generadores y sus inversos , sujetos solo a cancelar un generador con una aparición adyacente de su inverso.

Si G es cualquier grupo, y S es un subconjunto generador de G , entonces cada elemento de G es también de la forma anterior; pero en general, estos productos no únicamente describir un elemento de G .

Por ejemplo, el grupo diedro D ₈ de orden dieciséis se puede generar por una rotación, r , de orden 8; y un flip, f , de orden 2; y ciertamente cualquier elemento de D ₈ es un producto de r ' s y f ' s.

Sin embargo, tenemos, por ejemplo, rfr = f , r ⁷ = r ⁻¹ , etc., por lo que dichos productos no son únicos en D ₈ . Cada una de estas equivalencias de productos se puede expresar como una igualdad con la identidad, como

rfrf = 1

r ⁸ = 1

f ² = 1.

De manera informal, podemos considerar estos productos en el lado izquierdo como elementos del grupo libre F = < r , f > , y podemos considerar el subgrupo R de F que es generado por estas cadenas; cada uno de los cuales también sería equivalente a 1 cuando se consideren productos en D ₈ .

Si luego dejamos que N sea ​​el subgrupo de F generado por todos los conjugados x ⁻¹ Rx de R , entonces es sencillo mostrar que cada elemento de N es un producto finito x ₁ ⁻¹ r ₁ x ₁ $${\ displaystyle \ cdots} x _m ⁻¹ r _m x _m de miembros de tales conjugados. De ello se deduce que N es un subgrupo normal de F ; y que cada elemento de N , cuando se considera como un producto en D ₈ , también evaluar a 1. Por lo tanto D ₈ es isomorfo al grupo cociente F / N . Entonces decimos que D ₈ tiene presentación.

$${\ displaystyle \ langle r, f \ mid r ^ {8} = 1, f ^ {2} = 1, (rf) ^ {2} = 1 \ rangle.}

Aquí el conjunto de generadores es S = { r , f }, y el conjunto de relaciones es R = { r ⁸ = 1, f ² = 1, ( rf ) ² = 1} . A menudo vemos R abreviada, dando la presentación.

$${\ displaystyle \ langle r, f \ mid r ^ {8} = f ^ {2} = (rf) ^ {2} = 1 \ rangle.}

Una forma aún más corta elimina los signos de igualdad e identidad, para enumerar solo el conjunto de relatores, que es { r ⁸ , f ² , ( rf ) ² } . Haciendo esto da la presentación.

$${\ displaystyle \ langle r, f \ mid r ^ {8}, f ^ {2}, (rf) ^ {2} \ rangle.}

Las tres presentaciones son equivalentes.

Notación [ editar ]

Aunque la notación ⟨ S | R ⟩ utilizada en este artículo es para una presentación ahora los escritores más comunes, utilizados diferentes variaciones anteriores en el mismo formato. Tales notaciones incluyen:

• ⟨ S | R ⟩
• ( S | R )
• { S ; R }
• ⟨ S ; R ⟩

Definición [ editar ]

Vamos S ser un conjunto y dejar que F _S sea el grupo libre en S . Sea R un conjunto de palabras en S , por lo que R da naturalmente un subconjunto de$${\ displaystyle F_ {S}}. Para formar un grupo con presentación.$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}, la idea es tomar $${\ displaystyle F_ {S}}cociente por el subgrupo normal más pequeño de manera que cada elemento de R se identifique con la identidad. Tenga en cuenta que R podría no ser un subgrupo , y mucho menos un subgrupo normal de$${\ displaystyle F_ {S}}, Por lo que no podemos tener un cociente por R . La solución es tomar el cierre normal N de R en$${\ displaystyle F_ {S}}. El grupo$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}luego se define como el grupo cociente

$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle = F_ {S} / N.}

Los elementos de S se llaman los generadores de$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}y los elementos de R se llaman los relatores . Se dice que un grupo G tiene la presentación.$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}si g es isomorfo a$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}.

Es una práctica común escribir relatores en la forma $${\ displaystyle x = y}donde x y y son palabras en S . Lo que esto significa es que$${\ displaystyle y ^ {- 1} x \ en R}. Esto tiene el significado intuitivo de que las imágenes de x e y se supone que son iguales en el grupo del cociente. Así, por ejemplo, r ⁿ en la lista de relatores es equivalente a$${\ displaystyle r ^ {n} = 1}. Otra taquigrafía común es escribir.$${\ displaystyle [x, y]}para un conmutador $${\ displaystyle xyx ^ {- 1} y ^ {- 1}}.

Para un grupo G finito , la tabla de multiplicar proporciona una presentación. Tomamos S para ser los elementos.$${\ displaystyle g_ {i}}de G y R para ser todas las palabras de la forma$${\ displaystyle g_ {i} g_ {j} g_ {k} ^ {- 1}}, dónde $${\ displaystyle g_ {i} g_ {j} = g_ {k} \}Es una entrada en la tabla de multiplicar. Una presentación puede considerarse como una generalización de una tabla de multiplicar.

Grupos finamente presentados [ editar ]

Se dice que una presentación se genera de manera finita si S es finita y está relacionada de manera finita si R es finita. Si ambos son finitos, se dice que es una presentación finita . Un grupo se genera de manera finita(respectivamente, finamente relacionado , se presenta de manera finita ) si tiene una presentación que se genera finitamente (respectivamente, de forma finita, una presentación finita). Un grupo que tiene una presentación finita con una sola relación se llama grupo de un solo relator .

Grupos presentados recursivamente [ editar ]

Si S es indexado por un conjunto I que consta de todos los números naturales N o un subconjunto finito de ellos, entonces es fácil configurar una codificación simple de uno a uno (o numeración de Gödel ) f  : F _S → N desde el grupo libre en S a los números naturales, de modo que podamos encontrar algoritmos que, dados f ( w ), calculen w , y viceversa. Entonces podemos llamar a un subconjunto U de F _S recursivo (respectivamente recursivamente enumerables ) si f ( U) es recursivo (respectivamente recursivamente enumerable). Si S se indexa como anteriormente y R es recursivamente enumerable, entonces la presentación es una presentación recursiva y el grupo correspondiente se presenta recursivamente . Este uso puede parecer extraño, pero es posible probar que si un grupo tiene una presentación con R recursivamente enumerable, entonces tiene otra con R recursiva.

Cada grupo presentado finamente se presenta recursivamente, pero hay grupos presentados recursivamente que no pueden presentarse finitamente. Sin embargo, un teorema de Graham Higman establece que un grupo generado de manera finita tiene una presentación recursiva si y solo si puede integrarse en un grupo de presentación finita. De esto podemos deducir que hay (hasta isomorfismo) sólo contablemente muchos grupos recurrentemente presentados finitamente generados. Bernhard Neumann ha demostrado que hay innumerablesgrupos generadores no isomórficos. Por lo tanto, hay grupos finamente generados que no se pueden presentar recursivamente.

Ejemplos [ editar ]

Historia [ editar ]

Una de las primeras presentaciones de un grupo por generadores y relaciones fue dada por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1856, en su cálculo icosiano , una presentación del grupo icosaédrico . ^[1]

El primer estudio sistemático fue dado por Walther von Dyck , estudiante de Felix Klein , a principios de la década de 1880, sentando las bases de la teoría de grupos combinatoria . ^[2]

Ejemplos comunes [ editar ]

La siguiente tabla enumera algunos ejemplos de presentaciones para grupos comúnmente estudiados. Tenga en cuenta que en cada caso hay muchas otras presentaciones que son posibles. La presentación listada no es necesariamente la más eficiente posible.

Grupo	Presentación	Comentarios
el grupo libre enS	$${\ displaystyle \ langle S \ mid \ varnothing \ rangle}	Un grupo libre es "libre" en el sentido de que no está sujeto a ninguna relación.
C n , el grupo cíclico de ordenn	$${\ displaystyle \ langle a \ mid a ^ {n} \ rangle}
D n , el grupo diedro de orden 2 n	$${\ displaystyle \ langle r, f \ mid r ^ {n}, f ^ {2}, (rf) ^ {2} \ rangle}	Aquí r representa una rotación y funa reflexión.
D ∞ , el grupo diédrico infinito.	$${\ displaystyle \ langle r, f \ mid f ^ {2}, (rf) ^ {2} \ rangle}
Dic n , el grupo dicíclico.	$${\ displaystyle \ langle r, f \ mid r ^ {2n}, r ^ {n} = f ^ {2}, frf ^ {- 1} = r ^ {- 1} \ rangle}	El grupo de cuaternión es un caso especial cuando n = 2
Z × Z	$${\ displaystyle \ langle x, y \ mid xy = yx \ rangle}
Z / m Z × Z / n Z	$${\ displaystyle \ langle x, y \ mid x ^ {m}, y ^ {n}, xy = yx \ rangle}
el grupo abeliano libre enS	$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}donde R es el conjunto de todos losconmutadores de elementos de S
S n , el grupo simétrico en nsímbolos	generadores $${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n-1}} relaciones: $${\ displaystyle \ sigma _ {i} ^ {2} = 1}, $${\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} {\ mbox {if}} j \ neq i \ pm 1}, $${\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {i + 1} \ sigma _ {i} = \ sigma _ {i + 1} \ sigma _ {i} \ sigma _ {i + 1} \} El último conjunto de relaciones se puede transformar en $${\ displaystyle {(\ sigma _ {i} \ sigma _ {i + 1}}) ^ {3} = 1 \} utilizando $${\ displaystyle \ sigma _ {i} ^ {2} = 1}.	Aquí σ i es la permutación que intercambia el elemento i th con eli +1. El producto σ i σ i +1 es un ciclo de 3 en el conjunto { i , i +1, i+2}.
B n , los grupos de trenzas	generadores $${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n-1}} relaciones: $${\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} {\ mbox {if}} j \ neq i \ pm 1}, $${\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {i + 1} \ sigma _ {i} = \ sigma _ {i + 1} \ sigma _ {i} \ sigma _ {i + 1} \}	Note la similitud con el grupo simétrico; La única diferencia es la eliminación de la relación.$${\ displaystyle \ sigma _ {i} ^ {2} = 1}.
T ≅ A 4 , elgrupo tetraédrico.	$${\ displaystyle \ langle s, t \ mid s ^ {2}, t ^ {3}, (st) ^ {3} \ rangle}
O ≅ S 4 , elgrupo octaédrico	$${\ displaystyle \ langle s, t \ mid s ^ {2}, t ^ {3}, (st) ^ {4} \ rangle}
Yo ≅ A 5 , elgrupo icosaédrico.	$${\ displaystyle \ langle s, t \ mid s ^ {2}, t ^ {3}, (st) ^ {5} \ rangle}
Q 8 , el grupo cuaternión.	$${\ displaystyle \ langle i, j \ mid jij = i, iji = j \ rangle \,}	Para una presentación alternativa, vea Dic n arriba.
SL (2, Z )	$${\ displaystyle \ langle a, b \ mid aba = bab, (aba) ^ {4} \ rangle}	topológicamente se puede visualizar una y b como giros Dehn en los toroide
GL (2, Z )	$${\ displaystyle \ langle a, b, j \ mid aba = bab, (aba) ^ {4}, j ^ {2}, (ja) ^ {2}, (jb) ^ {2} \ rangle}	Z / 2 Z no trivial - extensión degrupo de SL (2, Z )
PSL (2, Z ), elgrupo modular.	$${\ displaystyle \ langle a, b \ mid a ^ {2}, b ^ {3} \ rangle}	PSL (2, Z ) es el producto libre de los grupos cíclicos Z / 2 Z y Z / 3 Z
Grupo heisenberg	$${\ displaystyle \ langle x, y, z \ mid z = xyx ^ {- 1} y ^ {- 1}, xz = zx, yz = zy \ rangle}
BS ( m , n ), losgrupos Baumslag-Solitar	$${\ displaystyle \ langle a, b \ mid a ^ {n} = ba ^ {m} b ^ {- 1} \ rangle}
Grupo de tetas	$${\ displaystyle \ langle a, b \ mid a ^ {2}, b ^ {3}, (ab) ^ {13}, [a, b] ^ {5}, [a, bab] ^ {4}, ((ab) ^ {4} ab ^ {- 1}) ^ {6} \ rangle}	[ a , b ] es el conmutador

Un ejemplo de un grupo generado de forma definitiva que no se presenta de manera definitiva es el producto Wreath $${\ displaystyle \ mathbf {Z} \ wr \ mathbf {Z}}del grupo de enteros consigo mismo.

Algunos teoremas [ editar ]

Teorema. Cada grupo tiene una presentación.

Para ver esto, dado un grupo G , considere el grupo libre F _G en G . Por la propiedad universal de los grupos libres, existe un grupo único de homomorfismos φ: F _G → G cuya restricción a G es el mapa de identidad. Sea Kel núcleo de este homomorfismo. Entonces K es normal en F _G , por lo tanto es igual a su cierre normal, entonces < G | K > = F _G / K . Dado que el mapa de identidad es suryectivo,φ también es un subjetivo, por lo que según el teorema del primer isomorfismo , < G | K > ≅ im ( φ ) = G . Esta presentación puede ser altamente ineficiente si tanto G como K son mucho más grandes de lo necesario.

Corolario. Cada grupo finito tiene una presentación finita.

Uno puede tomar los elementos del grupo para los generadores y la tabla de Cayley para las relaciones.

Novikov-Boone teorema [ editar ]

La solución negativa al problema de la palabra para grupos indica que hay una presentación finita < S | R > para el cual no hay un algoritmo que, dadas dos palabras u , v , decide si u y v describen el mismo elemento en el grupo. Esto fue demostrado por Pyotr Novikov en 1955 ^[3] y una prueba diferente fue obtenida por William Booneen 1958. ^[4]

Construcciones [ editar ]

Supongamos que G tiene presentación < S | R > y H tiene presentación < T | Q > con S y T siendo inconexos. Entonces

• El producto gratuito G ∗ H tiene presentación < S , T | R , Q > y
• El producto directo G × H tiene presentación < S , T | R , Q , [ S , T ]> , donde [ S , T ] significa que cada elemento de S conmuta con cada elemento de T (cf. conmutador ).

Deficiencia [ editar ]

La deficiencia de una presentación finita < S | R > es solo | S | - | R | y la deficiencia de un grupo finito presentado G , denotado def G , es el máximo de la deficiencia sobre todas las presentaciones de G . La deficiencia de un grupo finito no es positiva. El multiplicador de Schur de un grupo G puede ser generado por los generadores −def G , y G es eficiente si se requiere este número. ^[5]

La teoría de grupos geométrica [ editar ]

Artículo principal: Teoría de grupos geométricos.

Más información: gráfico de Cayley

Más información: Métrica de palabra.

Una presentación de un grupo determina una geometría, en el sentido de la teoría de grupos geométricos : uno tiene el gráfico de Cayley , que tiene una métrica , llamada la métrica de la palabra . Estos son también dos órdenes resultantes, el orden débil y el orden Bruhat , y los correspondientes diagramas de Hasse . Un ejemplo importante es en los grupos de Coxeter .

Además, algunas propiedades de este gráfico (la geometría gruesa ) son intrínsecas, lo que significa que son independientes de la elección de los generadores.