MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

álgebra abstracta conocida como teoría de grupos combinatoria , la palabra problema para un grupo G finamente generado es el problema algorítmico de decidir si dos palabras en los generadores representan el mismo elemento. Más precisamente, si A es un conjunto finito de generadorespara G, entonces el problema de la palabra es el problema de pertenencia para el lenguaje formal de todas las palabras en A y un conjunto formal de inversos que se correlacionan con la identidad bajo el mapa natural del monoono libre con involución en Aal grupo g . Si B es otro grupo electrógeno finitos para G , entonces la palabra problema sobre el conjunto de generación de B es equivalente a la palabra problema sobre el conjunto de generación de A . Por lo tanto, se puede hablar inequívocamente de la decidibilidad del problema verbal para el grupo G finamente generado .

El problema de la palabra uniforme relacionado pero diferente para una clase K de grupos presentados recursivamente es el problema algorítmico de decidir, dado como entrada una presentación P para un grupo G en la clase K y dos palabras en los generadores de G , si las palabras representan el mismo elemento de g . Algunos autores requieren que la clase K sea ​​definible por un conjunto de presentaciones recursivamente enumerables .

Historia [ editar ]

A lo largo de la historia del sujeto, los cálculos en grupos se han llevado a cabo utilizando varias formas normales. Estos usualmente resuelven implícitamente la palabra problema para los grupos en cuestión. En 1911, Max Dehn propuso que la palabra problema era un área importante de estudio por derecho propio ( Dehn 1911 ), junto con el problema de la conjugación y el problema del isomorfismo grupal . En 1912, dio un algoritmo que resuelve tanto la palabra como el problema de la conjugación para los grupos fundamentales de variedades bidimensionales orientables cerradas de género mayor o igual a 2, ( Dehn 1912 ). Los autores posteriores han ampliado enormemente el algoritmo de Dehny lo aplicó a una amplia gama de problemas de decisión de la teoría de grupos . ^{[1] [2] [3]}

Pyotr Novikov demostró en 1955 que existe un grupo G finamente presentado, de manera que la palabra problema para G es indecidible . ^{[4] De} ello se deduce inmediatamente que el problema de la palabra uniforme también es indecidible. William Boone obtuvo una prueba diferente en 1958. ^[5]

El problema de la palabra fue uno de los primeros ejemplos de un problema sin solución que no se encuentra en la lógica matemática o en la teoría de los algoritmos , sino en una de las ramas centrales de la matemática clásica, el álgebra . Como resultado de su falta de solvencia, también se ha demostrado que otros problemas en la teoría de grupos combinatorios no tienen solución.

Es importante darse cuenta de que la palabra problema es solucionable, de hecho, para muchos grupos G . Por ejemplo, los grupos policíclicos tienen problemas de palabras solucionables, ya que la forma normal de una palabra arbitraria en una presentación policíclica es fácilmente computable; otros algoritmos para grupos también pueden, en circunstancias adecuadas, resolver la palabra problema, ver el algoritmo de Todd-Coxeter ^[6] y el algoritmo de finalización de Knuth-Bendix . ^[7] Por otra parte, el hecho de que un algoritmo en particular no resuelva el problema de la palabra para un grupo en particular no muestra que el grupo tenga un problema de palabra sin solución. Por ejemplo, el algoritmo de Dehn no resuelve el problema verbal del grupo fundamental del toro. Sin embargo, este grupo es el producto directo de dos grupos cíclicos infinitos y, por lo tanto, tiene un problema verbal solucionable.

Una descripción más concreta [ editar ]

En términos más concretos, el problema de la palabra uniforme se puede expresar como una pregunta de reescritura , para cadenas literales , ( Rotman 1994 ). Para una presentación P de un grupo G , P especificará un cierto número de generadores

x , y , z , ...

para g . Necesitamos introducir una letra para x y otra (por conveniencia) para el elemento de grupo representado por x ⁻¹ . Llama a estas letras (el doble que los generadores) el alfabeto$${\ displaystyle \ Sigma}para nuestro problema Entonces cada elemento en G está representado de alguna manera por un producto

abc ... pqr

de simbolos de $${\ displaystyle \ Sigma}, De cierta longitud, multiplicado en G . La cuerda de longitud 0 ( cadena nula ) representa el elemento de identidad e de G . El quid de todo el problema es ser capaz de reconocer todas las formas de correose puede representar, teniendo en cuenta algunas relaciones.

El efecto de las relaciones en G es hacer diversos tales cadenas representan el mismo elemento de G . De hecho, las relaciones proporcionan una lista de cadenas que pueden introducirse donde queramos o cancelarse cada vez que las vemos, sin cambiar el "valor", es decir, el elemento de grupo que es el resultado de la multiplicación.

Para un ejemplo simple, tome la presentación { a | a ³ }. Escribiendo Una para la inversa de una , tenemos posibles cadenas combinando cualquier número de los símbolos de una y una . Siempre que veamos aaa , o aAo Aa podemos tachar estos. También debemos recordar tachar la AAA ; esto dice que dado que el cubo de a es el elemento de identidad de G , también lo es el cubo de lo inverso de a . En estas condiciones, la palabra problema se vuelve fácil. Primero reduzca las cadenas a la cadena vacía, a ,aa , A o AA . Entonces en cuenta que podemos también multiplicar por AAA , por lo que podemos convertir una a AA y convertir AA a una . El resultado es que la palabra problema, aquí para el grupo cíclico de orden tres, es solucionable.

Este no es, sin embargo, el caso típico. Para el ejemplo, tenemos una forma canónica disponible que reduce cualquier cuerda a una de longitud máxima a lo sumo tres, al disminuir la longitud de forma monótona. En general, no es cierto que se pueda obtener una forma canónica para los elementos, mediante la cancelación gradual. Es posible que tenga que usar relaciones para expandir una cadena muchas veces, a fin de encontrar una cancelación que reduzca la longitud.

El resultado final es, en el peor de los casos, que la relación entre las cadenas que dice que son iguales en G es un problema indecidible .

Ejemplos [ editar ]

Los siguientes grupos tienen una palabra solucionable:

• Grupos automáticos , incluyendo:
  • Grupos finitos
  • Grupos con curvas negativas (también conocido como hiperbólicos)
  • Grupos euclidianos
  • Grupos de cooxeter
  • Grupos de trenzas
  • Grupos geométricamente finitos
• Grupos libres finamente generados.
• Grupos abelianos libres generados finamente
• Grupos policíclicos
• Grupos generados finamente y presentados de forma recursiva , ^{[8] que} incluyen:
  • Grupos simples finamente presentados.
• Grupos finamente presentados de forma finita y finita.
• Grupos de un relator ^[9] (este es un teorema de Magnus), incluyendo:
  • Grupos fundamentales de variedades bidimensionales orientables cerradas.
• Grupos combables

También se conocen ejemplos con problemas verbales sin solución:

• Dado un conjunto recursivamente enumerable A de enteros positivos que tiene un problema de membresía insoluble, ⟨a , b, c, d | un ⁿ ba ⁿ = c ⁿ dc ⁿ  : n ∈ A ⟩ es un grupo finitamente generado con una presentación recursivamente numerable cuyo problema palabra es insoluble ( Collins & Zieschang 1990 ., p 149)
• Cada grupo generado finamente con una presentación recursivamente enumerable y un problema de palabra insoluble es un subgrupo de un grupo presentado finamente con un problema de palabra insoluble ( Collins & Zieschang 1993 , Cor. 7.2.6)
• El número de relatores en un grupo finamente presentado con problemas de palabras insolubles puede ser tan bajo como 14 por ( Collins 1969 ) o incluso por 12 por ( Borisov 1969 ), ( Collins 1972 ).
• Un ejemplo explícito de una presentación corta razonable con problema de palabras insolubles se da en ( Collins 1986 ): ^[10]

{\ displaystyle {\ begin {array} {lllll} \ langle & a, b, c, d, e, p, q, r, t, k & | && \\ & p ^ {10} a = ap, & pacqr = rpcaq, & ra = ar, & \\ & p ^ {10} b = bp, & p ^ {2} adq ^ {2} r = rp ^ {2} daq ^ {2}, & rb = br, & \\ & p ^ {10 } c = cp, & p ^ {3} bcq ^ {3} r = rp ^ {3} cbq ^ {3}, & rc = cr, & \\ & p ^ {10} d = dp, & p ^ {4} bdq ^ {4} r = rp ^ {4} dbq ^ {4}, & rd = dr, & \\ & p ^ {10} e = ep, & p ^ {5} ceq ^ {5} r = rp ^ {5} ecaq ^ {5}, & re = er, & \\ & aq ^ {10} = qa, & p ^ {6} deq ^ {6} r = rp ^ {6} edbq ^ {6}, & pt = tp, & \ \ & bq ^ {10} = qb, & p ^ {7} cdcq ^ {7} r = rp ^ {7} cdceq ^ {7}, & qt = tq, & \\ & cq ^ {10} = qc, & p ^ { 8} ca ^ {3} q ^ {8} r = rp ^ {8} a ^ {3} q ^ {8}, && \\ & dq ^ {10} = qd, & p ^ {9} da ^ {3 } q ^ {9} r = rp ^ {9} a ^ {3} q ^ {9}, && \\ & eq ^ {10} = qe, & a ^ {- 3} ta ^ {3} k = ka ^ {-3} ta ^ {3} && \ rangle \ end {array}}}

Solución parcial de la palabra problema [ editar ]

El problema de la palabra para un grupo presentado recursivamente se puede resolver parcialmente en el siguiente sentido:

Dada una presentación recursiva P = ⟨ X | R ⟩ para un grupo G , definir:

$${\ displaystyle S = \ {\ langle u, v \ rangle: u {\ text {y}} v {\ text {son palabras en}} X {\ text {y}} u = v {\ text {en} } G \ \}}

entonces hay una función recursiva parcial f _P tal que:

{\ displaystyle f_ {P} (\ langle u, v \ rangle) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ \ langle u, v \ rangle \ in S \\ {\ text {undefined / no detiene}} \ & {\ text {if}} \ \ langle u, v \ rangle \ notin S \ end {cases}}}

Más informalmente, hay un algoritmo que se detiene si u = v , pero no lo hace de otra manera.

De ello se deduce que para resolver la palabra problema para P es suficiente construir una función recursiva g tal que:

{\ displaystyle g (\ langle u, v \ rangle) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ \ langle u, v \ rangle \ notin S \\ {\ text {undefined / no se detiene }} \ & {\ text {if}} \ \ langle u, v \ rangle \ in S \ end {cases}}}

Sin embargo u = v en G si y sólo si uv ^-1 = 1 en G . De ello se deduce que para resolver el problema verbal de Pes suficiente construir una función recursiva h tal que:

{\ displaystyle h (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ x \ neq 1 \ {\ text {in}} \ G \\ {\ text {undefined / no se detiene}} \ & {\ text {if}} \ x = 1 \ {\ text {in}} \ G \ end {cases}}}

Ejemplo [ editar ]

Se demostrará lo siguiente como un ejemplo del uso de esta técnica:

Teorema: un grupo finitamente presentado de forma finita y finita tiene un problema verbal solucionable.

Prueba: Supongamos que G = ⟨ X | R ⟩ es un grupo finito presentado, residualmente finito.

Sea S el grupo de todas las permutaciones de N , los números naturales, que corrigen casi todos los números, entonces:

1. S es localmente finito y contiene una copia de cada grupo finito.
2. La palabra problema en S se puede resolver calculando productos de permutaciones.
3. Hay una enumeración recursiva de todas las asignaciones del conjunto finito X en S .
4. Desde G es residualmente finito, si w es una palabra en los generadores X de G entonces w ≠ 1 en G si y sólo de algunos mapeo de X en S induce un homomorfismo tal que w ≠ 1 en S .

Dados estos hechos, algoritmo definido por el siguiente pseudocódigo:

Para cada mapeo de X en S
   Si todos los relatores en R se satisfacen en S
     Si w ≠ 1 en S,
       devuelve 0
     Finaliza si 
  Finaliza si 
Finaliza para

define una función recursiva h tal que:

{\ displaystyle h (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ x \ neq 1 \ {\ text {in}} \ G \\ {\ text {undefined / no se detiene}} \ & {\ text {if}} \ x = 1 \ {\ text {in}} \ G \ end {cases}}}

Esto demuestra que G tiene un problema de solución de palabras.

Insolvencia de la palabra uniforme problema [ editar ]

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El criterio dado anteriormente, para la solvencia de la palabra problema en un solo grupo, puede ser extendido por un argumento directo. Esto da el siguiente criterio para la solvencia uniforme de la palabra problema para una clase de grupos presentados de manera definitiva:

Para resolver el problema de la palabra uniforme para una clase K de grupos, es suficiente encontrar una función recursiva$${\ displaystyle f (P, w)}que requiere una presentación finita P para un grupo G y una palabra$${\ displaystyle w}en los generadores de G , de modo que siempre que G ∈ K :

{\ displaystyle f (P, w) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ w \ neq 1 \ {\ text {in}} \ G \\ {\ text {undefined / no se detiene }} \ & {\ text {if}} \ w = 1 \ {\ text {in}} \ G \ end {cases}}}

Teorema de Boone-Rogers: No existe un algoritmo parcial uniforme que resuelva el problema de la palabra en todos los grupos presentados de manera definitiva con el problema de la palabra con solución.

En otras palabras, el problema de la palabra uniforme para la clase de todos los grupos presentados finamente con el problema de la palabra con solución no tiene solución. Esto tiene algunas consecuencias interesantes. Por ejemplo, el teorema de incrustación de Higman se puede usar para construir un grupo que contenga una copia isomórfica de cada grupo presentado finamente con un problema verbal solucionable. Parece natural preguntar si este grupo puede tener un problema verbal solucionable. Pero es una consecuencia del resultado de Boone-Rogers que:

Corolario: No existe un grupo universal de problemas de solución de palabras. Es decir, si G es un grupo finamente presentado que contiene una copia isomórfica de cada grupo finamente presentado con problema de solución de solución, entonces G debe tener el problema de solución sin solución.

Observación: Supongamos que G = ⟨ X | R ⟩ es un grupo finito presentado con el problema de palabra resoluble y H es un subconjunto finito de G . Deje H ^* = ⟨ H ⟩, sea el grupo generado por H . Entonces la palabra problema en H ^* es resoluble: dado dos palabras h, k en los generadores de H de H ^* , escribir como palabras en X y los comparan utilizando la solución al problema de la palabra en G . Es fácil pensar que esto demuestra una solución uniforme del problema verbal para la claseK (por ejemplo) de los grupos finitamente generados que se pueden incrustar en G . Si este fuera el caso, la no existencia de un grupo de problemas de palabras con solución universal se desprendería fácilmente de Boone-Rogers. Sin embargo, la solución que se acaba de exponer para el problema verbal de los grupos en K no es uniforme. Para ver esto, considere un grupo J = ⟨ Y | T ⟩ ∈ K ; para usar el argumento anterior para resolver el problema verbal en J , primero es necesario exhibir un mapeo e: Y → G que se extienda a una incrustación e ^* : J → G. Si hubiera una función recursiva que mapeara (generara de manera finita) presentaciones de grupos en K para incrustar en G , entonces se podría construir una solución uniforme del problema verbal en K. Pero no hay razón, en general, para suponer que tal función recursiva existe. Sin embargo, resulta que, usando un argumento más sofisticado, el problema de la palabra en J puede resolverse sin el uso de una incrustación de correo : J → G . En su lugar, se utiliza una enumeración de homomorfismos , y dado que tal enumeración se puede construir de manera uniforme, da como resultado una solución uniforme al problema de la palabra en K.

Prueba de que no hay un grupo de problemas de palabras solubles universales [ editar ]

Supongamos que G fuera un grupo de problemas de palabras con solución universal. Dada una presentación finita P = ⟨ X | R⟩ de un grupo H , se puede enumerar recursivamente todos los homomorfismos h : H → Genumerando primero todas las asignaciones h ^† : X → G . No todas estas asignaciones se extienden a homomorfismos, pero como h ^† ( R ) es finita, es posible distinguir entre homomorfismos y no-homomorfismos, usando la solución al problema verbal en G. Los "no-homomorfismos" eliminan la enumeración recursiva requerida: h ₁ , h ₂ , ..., h _n , ....

Si H tiene un problema de solución de palabras, entonces al menos uno de estos homomorfismos debe ser una incrustación. Así que dada una palabra w en los generadores de H :

$${\ displaystyle {\ text {If}} \ w \ neq 1 \ {\ text {in}} \ H, \ h_ {n} (w) \ neq 1 \ {\ text {in}} \ G \ {\ texto {para algunos}} \ h_ {n}}

$${\ displaystyle {\ text {If}} \ w = 1 \ {\ text {in}} \ H, \ h_ {n} (w) = 1 \ {\ text {in}} \ G \ {\ text { para todos}} \ h_ {n}}

Considere el algoritmo descrito por el pseudocódigo:

Let  n = 0
   Let  repeatable = TRUE
   while ( repetible )
    aumente n en 1
     si (la solución a la palabra problema en G revela h n ( w ) ≠ 1 en G )
       Sea  repetible = FALSO
salida 0

Esto describe una función recursiva:

{\ displaystyle f (w) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ w \ neq 1 \ {\ text {in}} \ H \\ {\ text {undefined / no se detiene}} \ & {\ text {if}} \ w = 1 \ {\ text {in}} \ H. \ end {cases}}}

La función f depende claramente de la presentación p . Considerando que es una función de las dos variables, una función recursiva$${\ displaystyle f (P, w)}se ha construido con una presentación finita P para un grupo H y una palabra w en los generadores de un grupo G , de modo que cada vez que G tenga problemas de palabras solubles:

{\ displaystyle f (P, w) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ w \ neq 1 \ {\ text {in}} \ H \\ {\ text {undefined / no se detiene }} \ & {\ text {if}} \ w = 1 \ {\ text {in}} \ H. \ end {cases}}}

Pero esto resuelve de manera uniforme el problema de la palabra para la clase de todos los grupos presentados finamente con el problema de la palabra solucionable, contradiciendo a Boone-Rogers. Esta contradicción prueba que G no puede existir.

Estructura algebraica y la palabra problema [ editar ]

Hay una serie de resultados que relacionan la solvencia del problema verbal y la estructura algebraica. El más significativo de estos es el teorema de Boone-Higman :

Un grupo con presentación finita tiene un problema verbal que se puede resolver si, y solo si, se puede incrustar en un grupo simple que se puede incrustar en un grupo con presentación finita.

Se cree ampliamente que debería ser posible hacer la construcción de modo que el grupo simple en sí se presente finamente. Si es así, uno esperaría que fuera difícil de probar, ya que la asignación de presentaciones a grupos simples tendría que ser no recursiva.

Bernhard Neumann y Angus Macintyre han demostrado lo siguiente :

Un grupo finamente presentado tiene un problema verbal que se puede resolver si, y solo si, se puede integrar en cada grupo algebraicamente cerrado

Lo notable de esto es que los grupos algebraicamente cerrados son tan salvajes que ninguno de ellos tiene una presentación recursiva.

El resultado más antiguo que relaciona la estructura algebraica con la solvencia del problema verbal es el teorema de Kuznetsov :

Un simple grupo S presentado de forma recursiva tiene un problema verbal que se puede resolver.

Para probar esto deja ⟨ X | R ⟩ ser una presentación recursivo para S . Elija un ∈ S tal que una ≠ 1 en S .

Si w es una palabra en los generadores X de S , entonces deje:

$${\ displaystyle S_ {w} = \ langle X | R \ cup \ {w \} \ rangle.}

Hay una función recursiva. $${\ displaystyle f _ {\ langle X | R \ cup \ {w \} \ rangle}} tal que

{\ displaystyle f _ {\ langle X | R \ cup \ {w \} \ rangle} (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ x = 1 \ {\ text {in}} \ S_ {w} \\ {\ text {undefined / no detiene}} \ & {\ text {if}} \ x \ neq 1 \ {\ text {in}} \ S_ {w}. \ End {cases }}}

Escribir:

$${\ displaystyle g (w, x) = f _ {\ langle X | R \ cup \ {w \} \ rangle} (x).}

Entonces, debido a que la construcción de f fue uniforme, esta es una función recursiva de dos variables.

Resulta que: $${\ displaystyle h (w) = g (w, a)}es recursivo Por construcción:

{\ displaystyle h (w) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ a = 1 \ {\ text {in}} \ S_ {w} \\ {\ text {undefined / no se detiene }} \ & {\ text {if}} \ a \ neq 1 \ {\ text {in}} \ S_ {w}. \ end {cases}}}

Dado que S es un grupo simple, sus únicos grupos cocientes son él mismo y el grupo trivial. Desde un ≠ 1 en S , vemos un = 1 en S _w si y sólo si S _w es trivial si y sólo si w ≠ 1 en S . Por lo tanto:

{\ displaystyle h (w) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} \ w \ neq 1 \ {\ text {in}} \ S \\ {\ text {undefined / no se detiene}} \ & {\ text {if}} \ w = 1 \ {\ text {in}} \ S. \ end {cases}}}

La existencia de una función de este tipo es suficiente para probar la palabra problema tiene solución para el S .

Esta prueba no prueba la existencia de un algoritmo uniforme para resolver el problema verbal de esta clase de grupos. La no uniformidad reside en elegir un elemento no trivial del grupo simple. No hay razón para suponer que hay una función recursiva que mapea una presentación de grupos simples a un elemento no trivial del grupo. Sin embargo, en el caso de un grupo finamente presentado, sabemos que no todos los generadores pueden ser triviales (cualquier generador individual podría serlo, por supuesto). Usando este hecho es posible modificar la prueba para mostrar:

El problema de la palabra se puede solucionar de manera uniforme para la clase de grupos simples presentados finamente.

extensión de grupo es un medio general de describir un grupo en términos de un subgrupo normal y un grupo de cocientes en particular . Si Q y N son dos grupos, entonces G es una extensiónde Q por N si hay una secuencia exacta corta

$${\ displaystyle 1 \ to N \ to G \ to Q \ to 1.}

Si G es una extensión de Q por N , entonces G es un grupo, N es un subgrupo normal de G y el grupo cociente G/ N es isomorfo al grupo Q . Las extensiones de grupo surgen en el contexto del problema de extensión , donde los grupos Q y N son conocidos y las propiedades de G deben determinarse. Tenga en cuenta que la frase " G es una extensión de N por Q " también es utilizada por algunos.^[1]

Dado que cualquier grupo G finito posee un subgrupo N normal máximo con un grupo de factores simples G / N , todos los grupos finitos pueden construirse como una serie de extensiones con grupos simples finitos . Este hecho fue una motivación para completar la clasificación de grupos finitos simples .

Una extensión se denomina una extensión central si el subgrupo N se encuentra en el centro de G .

Extensiones en general [ editar ]

Una extensión, el producto directo , es inmediatamente obvia. Si uno requiere que G y Q sean grupos abelianos , entonces el conjunto de clases de isomorfismo de extensiones de Q por un grupo dado (abeliano) N es en realidad un grupo, que es isomorfo para

$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z}} ^ {1} (Q, N);}

cf. el functor ext . Se conocen otras varias clases generales de extensiones, pero no existe ninguna teoría que trate todas las extensiones posibles al mismo tiempo. La extensión de grupo generalmente se describe como un problema difícil; Se denomina problema de extensión .

Para considerar algunos ejemplos, si G = K × H , entonces G es una extensión de ambos H y K . Más generalmente, si G es un producto semidirecto de K y H , escrito como$${\ displaystyle G = K \ rtimes H}, entonces G es una extensión de H por K , por lo que productos como el producto Wreath proporcionan más ejemplos de extensiones.

Problema de extensión [ editar ]

La cuestión de qué grupos G son extensiones de H por N se denomina problema de extensión y se ha estudiado en gran medida desde fines del siglo XIX. En cuanto a su motivación, considere que la serie de composiciones de un grupo finito es una secuencia finita de subgrupos { A _i }, donde cada A _i +1 es una extensión de A _i por parte de algún grupo simple . La clasificación de grupos finitos simples.nos da una lista completa de grupos simples finitos; por lo tanto, la solución al problema de extensión nos daría suficiente información para construir y clasificar todos los grupos finitos en general.

Clasificando extensiones [ editar ]

Resolver el problema de extensión equivale a clasificar todas las extensiones de H por K ; o más prácticamente, expresando todas estas extensiones en términos de objetos matemáticos que son más fáciles de entender y computar. En general, este problema es muy difícil y todos los resultados más útiles clasifican extensiones que satisfacen alguna condición adicional.

Es importante saber cuándo dos extensiones son equivalentes o congruentes. Decimos que las extensiones.

$${\ displaystyle 1 \ to K {\ stackrel {i} {{} \ to {}}} G {\ stackrel {\ pi} {{} \ to {}}} H \ to 1}

y

$${\ displaystyle 1 \ to K {\ stackrel {i '} {{} \ to {}}} G' {\ stackrel {\ pi '} {{} \ to {}}} H \ to 1}

son equivalentes (o congruentes) si existe un isomorfismo grupal$${\ displaystyle T: G \ to G '}haciendo conmutativo el diagrama de la Figura 1. De hecho, es suficiente tener un homomorfismo de grupo; Debido a la supuesta conmutatividad del diagrama, el mapa$${\ displaystyle T}Se ve obligado a ser un isomorfismo por los cinco lemas cortos .

Figura 1

Advertencia [ editar ]

Puede suceder que las extensiones $${\ displaystyle 1 \ to K \ to G \ to H \ to 1} y $${\ displaystyle 1 \ to K \ to G ^ {\ prime} \ to H \ to 1}son desiguales pero G y G ' son isomorfos como grupos. Por ejemplo, hay$${\ displaystyle 8}extensiones desiguales de los cuatro grupos de Klein por$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}} ^[2] , pero hay, hasta el isomorfismo grupal, solo cuatro grupos de orden$${\ displaystyle 8} que contiene un subgrupo normal de orden $${\ displaystyle 2}con el grupo cociente isomorfo a los cuatro grupos de Klein .

Extensiones triviales [ editar ]

Una extensión trivial es una extensión.

$${\ displaystyle 1 \ to K \ to G \ to H \ to 1}

eso es equivalente a la extensión

$${\ displaystyle 1 \ to K \ to K \ times H \ to H \ to 1}

donde las flechas izquierda y derecha son respectivamente la inclusión y la proyección de cada factor de:$${\ displaystyle K \ times H}.

Clasificando extensiones divididas [ editar ]

Una extensión dividida es una extensión

$${\ displaystyle 1 \ to K \ to G \ to H \ to 1}

con un homomorfismo $${\ displaystyle s \ colon H \ to G}de tal manera que al ir de H a G por sy luego regresar a H por el mapa de cociente de la secuencia exacta corta, induce el mapa de identidad en H , es decir,$${\ displaystyle \ pi \ circ s = \ mathrm {id} _ {H}}. En esta situación, se suele decir que s divide la secuencia exacta anterior .

Extensiones de Split son muy fáciles de clasificar, porque una extensión se divide si y sólo si el grupo G es un producto semidirecto de K y H . Los productos semidirectos son fáciles de clasificar, ya que están en correspondencia uno a uno con homomorfismos de$${\ displaystyle H \ to \ operatorname {Aut} (K)}, Donde Aut ( K ) es la automorphism grupo de K . Para una discusión completa de por qué esto es cierto, vea el producto semidirecto .

Advertencia [ editar ]

En general, en matemáticas, una extensión de una estructura K se suele considerar como una estructura L de la que K es una subestructura. Ver, por ejemplo , extensión de campo . Sin embargo, en la teoría de grupos se ha introducido la terminología opuesta, en parte debido a la notación$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} (Q, N)}, Que se lee fácilmente como extensiones de Q por N , y el foco está en el grupo Q .

El artículo de Brown y Porter (1996) sobre la teoría de Schreier de las extensiones nonabelianas (que se cita a continuación) utiliza la terminología de que una extensión de K da una estructura más amplia.

Extensión central [ editar ]

Una extensión central de un grupo G es una breve secuencia exacta de grupos

$${\ displaystyle 1 \ to A \ to E \ to G \ to 1}

de modo que A está en Z ( E ), el centro del grupo E. El conjunto de clases de isomorfismo de las extensiones centrales de G por A (donde G actúa de forma trivial en A ) está en una correspondencia uno a uno con el grupo de cohomología H ² ( G , A ) .

Ejemplos de extensiones centrales pueden ser construidos mediante la adopción de cualquier grupo G y cualquier grupo abeliano A , y el establecimiento de E para ser A × G . Este tipo de ejemplo dividido (una extensión dividida en el sentido del problema de extensión, ya que G está presente como un subgrupo de E ) no es de particular interés, ya que corresponde al elemento 0 en H ² ( G , A ) bajo La correspondencia anterior. Se encuentran ejemplos más serios en la teoría de las representaciones proyectivas., en los casos en que la representación proyectiva no puede elevarse a una representación lineal ordinaria .

En el caso de grupos perfectos finitos, existe una extensión central perfecta universal .

Del mismo modo, la extensión central de un álgebra de Lie. $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} es una secuencia exacta

$${\ displaystyle 0 \ rightarrow {\ mathfrak {a}} \ rightarrow {\ mathfrak {e}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}} \ rightarrow 0}

tal que $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}} está en el centro de $${\ displaystyle {\ mathfrak {e}}}.

Existe una teoría general de las extensiones centrales en las variedades de Maltsev ; consulte el documento de Janelidze y Kelly que se detalla a continuación.

Generalización a extensiones generales [ editar ]

El documento sobre Extensiones de Grupo y $${\ displaystyle H ^ {3}}A continuación se proporciona una clasificación similar de todas las extensiones de G por A en términos de homomorfismos de$${\ displaystyle G \ to \ operatorname {Out} (A)}, una condición de existencia tediosa pero explícitamente verificable que involucra $${\ displaystyle H ^ {3} (G, Z (A))} y el grupo de cohomología $${\ displaystyle H ^ {2} (G, Z (A))}.

Grupos de mentiras [ editar ]

En la teoría de grupos de Lie , las extensiones centrales surgen en conexión con la topología algebraica . En términos generales, las extensiones centrales de los grupos de Lie por grupos discretos son lo mismo que los grupos de cobertura . Más precisamente, un espacio de cobertura conectado G ^∗ de un grupo de Lie conectado G es naturalmente una extensión central de G , de tal manera que la proyección 

$${\ displaystyle \ pi \ colon G ^ {*} \ a G}

Es un homomorfismo grupal, y sobreyectivo. (La estructura de grupo en G ^∗ depende de la elección de un elemento de identidad que se relaciona con la identidad en G ). Por ejemplo, cuando G ^∗ es la cubierta universalde G , el núcleo de π es el grupo fundamental de G , que se conoce ser abeliano (ver espacio-H ). Por el contrario, dado un grupo de Lie G y un subgrupo central discreto Z , el cociente G / Z es un grupo de Lie y G es un espacio de cobertura de este.

Más generalmente, cuando los grupos A , E y G que aparecen en una extensión central son grupos de Lie, y los mapas entre ellos son homomorfismos de grupos de Lie, entonces si el álgebra de Lie de G es g , la de A es a , y la de E es e , luego e es una extensión del álgebra de Lie central de g por a . En la terminología de la física teórica , los generadores de a se denominan cargas centrales . Estos generadores están en el centro de e; por el teorema de Noether , generadores de grupos de simetría corresponden a cantidades conservadas, conocidas como cargas .

Los ejemplos básicos de extensiones centrales como grupos de cobertura son:

• los grupos de espín , que cubren dos veces los grupos ortogonales especiales , que (en una dimensión uniforme) cubren doblemente el grupo ortogonal proyectivo .
• los grupos metaplécticos , que cubren doble los grupos simplécticos .

El caso de SL ₂ ( R ) involucra un grupo fundamental que es infinito cíclico . Aquí la extensión central involucrada es bien conocida en la teoría de formas modulares , en el caso de formas de peso ½ . Una representación proyectiva que corresponde es la representación de Weil , construida a partir de la transformada de Fourier , en este caso en la línea real . Los grupos metaplécticos también ocurren en la mecánica cuántica .