teoremas de Sylow son una colección de teoremas nombrados en honor del matemático noruego Peter Ludwig Sylow ( 1872 ) que dan información detallada sobre el número de subgrupos de orden fijo que contiene un grupo finito dado . Los teoremas de Sylow forman una parte fundamental de la teoría de grupos finitos y tienen aplicaciones muy importantes en la clasificación de grupos simples finitos .
Para un número primo p , un Sylow p -subgroup (a veces p -Sylow subgrupo ) de un grupo G es un maximal p-subgroup de G , es decir, un subgrupo de G que es un p -Grupo (de modo que el orden de cada elemento de grupo es una potencia de p ) que no es un subgrupo adecuado de cualquier otra p -subgroup de G . El conjunto de todos los subgrupos p de Sylow para un p primo dado a veces se escribe Syl p ( G).
Los teoremas de Sylow afirman una conversación parcial al teorema de Lagrange . El teorema de Lagrange establece que para cualquier grupo finito G el orden (número de elementos) de cada subgrupo de G divide el orden de G . Los teoremas de Sylow afirman que por cada factor primo p del orden de un grupo finito G , existe un Sylow p -subgroup de G de orden p n , la mayor potencia de p que divide el orden de G . Además, cada subgrupo de orden p n es un subgrupo p de Sylow de Gy los subgrupos p de Sylow de un grupo (para un p primo dado ) se conjugan entre sí. Además, el número de subgrupos de Sylow p de un grupo para un p primo dado es congruente con 1 mod p .
Teoremas [ editar ]
Las colecciones de subgrupos que son máximas en un sentido u otro son comunes en la teoría de grupos. El resultado sorprendente aquí es que, en el caso de Syl p ( G ), todos los miembros son en realidad isomorfosentre sí y tienen el mayor orden posible: si | G | = P n m con n > 0, donde p no divide m , entonces cada Sylow p -subgroup P tiene orden | P | = p n . Es decir, P es un grupo p y gcd (| G :P |, p ) = 1. Estas propiedades se pueden explotar para analizar más a fondo la estructura de G .
Los siguientes teoremas fueron propuestos y probados por primera vez por Ludwig Sylow en 1872, y publicados en Mathematische Annalen .
Teorema 1 : Para cada factor primo p con multiplicidad n del orden de un grupo finito G , existe un Sylow p -subgroup de G , de orden p n .
La siguiente versión más débil del teorema 1 fue probada por primera vez por Augustin-Louis Cauchy , y se conoce como el teorema de Cauchy .
Corolario : Dado un grupo finito G y un número primo p dividiendo el orden de G , entonces existe un elemento (y por lo tanto un subgrupo) de orden p en G . [1]
Teorema 2 : Dado un grupo finito G y un número primo p , todos los Sylow p -subgroups de G son conjugadoentre sí, es decir, si H y K son Sylow p -subgroups de G , entonces existe un elemento g en G con g -1 Hg = K .
Teorema 3 : Sea p un factor primo con multiplicidad n del orden de un grupo finito G , de modo que el orden de Gpueda escribirse como p n m , donde n > 0 y p no divide m . Deje n p sea el número de Sylow p -subgroups de G . Entonces lo siguiente espera:
- n p divide m , que es el índice de la Sylow p -subgroup en G .
- n p ≡ 1 (mod p ).
- n p = | G : N G ( P ) |, donde P es cualquier subgrupo p de Sylow de G y N G denota el normalizador .
Consecuencias [ editar ]
Los teoremas de Sylow implican que para un número primo p, cada subgrupo p de Sylow es del mismo orden, p n. A la inversa, si un subgrupo tiene orden p n , entonces es un subgrupo p de Sylow y, por lo tanto, es isomorfo para todos los demás subgrupos p de Sylow . Debido a la condición de maximalidad, si H es cualquier subgrupo p de G , entonces H es un subgrupo de un subgrupo p de orden p n .
Una consecuencia muy importante del teorema 3 es que la condición n p = 1 es equivalente a decir que la Sylow p -subgroup de G es un subgrupo normal (hay grupos que tienen subgrupos normales, pero no hay subgrupos normales Sylow, tales como S 4 ) .
Teoremas de Sylow para grupos infinitos [ editar ]
Hay un análogo de los teoremas de Sylow para grupos infinitos. Definimos un subgrupo p de Sylow en un grupo infinito para que sea un subgrupo p (es decir, cada elemento tiene un orden de potencia p ) que es máximo para la inclusión entre todos los subgrupos p en el grupo. Tales subgrupos existen por el lema de Zorn .
Teorema : Si K es un subgrupo p de Sylow de G , y n p = | Cl ( K ) | es finito, entonces cada Sylow p -subgroup es conjugado a K , y n p ≡ 1 (mod p ), donde Cl ( K ) indica la clase de conjugación de K .
Ejemplos [ editar ]
Una ilustración simple de los subgrupos de Sylow y los teoremas de Sylow son el grupo diedro de n -gon, D 2 n . Para n impar, 2 = 2 1 es la potencia más alta de 2 que divide el orden y, por lo tanto, los subgrupos de orden 2 son los subgrupos de Sylow. Estos son los grupos generados por una reflexión, de los cuales hay n, y todos se conjugan en rotaciones; geométricamente los ejes de simetría pasan a través de un vértice y un lado.
Por el contrario, si n es par, entonces 4 divide el orden del grupo, y los subgrupos de orden 2 ya no son subgrupos de Sylow y, de hecho, se dividen en dos clases de conjugación, geométricamente según si pasan a través de dos vértices o dos caras. Estos están relacionados por un automorfismo externo , que se puede representar por rotación a través de π / n , la mitad de la rotación mínima en el grupo diedro.
Otro ejemplo son los subgrupos p de Sylow de GL 2 ( F q ), donde p y q son números primos ≥ 3 y p ≡ 1 (mod q), que son todos abelianos . El orden de GL 2 ( F q ) es ( q 2 - 1) ( q 2 - q ) = ( q ) ( q + 1) ( q - 1) 2 . Como q = p nm + 1, el orden de GL 2 ( F q) = p 2 n m '. Por lo tanto, según el Teorema 1, el orden de los subgrupos p de Sylow es p 2 n .
Uno de estos subgrupos P , es el conjunto de matrices diagonales , x es cualquier raíz primitiva deF q . Como el orden de F q es q - 1, sus raíces primitivas tienen el orden q - 1 , lo que implica que x ( q - 1) / p n o x m y todas sus potencias tienen un orden que es una potencia de p . Entonces, P es un subgrupo donde todos sus elementos tienen órdenes que son potencias de p . Hay p n opciones tanto para un y b , haciendo | P | =p 2 n . Esto significa que P es un subgrupo p de Sylow, que es abeliano, ya que todas las matrices diagonales conmutan, y porque el teorema 2 establece que todos los subgrupos p de Sylow están conjugados entre sí, los subgrupos p de Sylow de GL 2 ( F q ) son todos abelianos
Aplicaciones de ejemplo [ editar ]
Dado que el teorema de Sylow garantiza la existencia de p-subgrupos de un grupo finito, vale la pena estudiar los grupos de poder primordial más estrechamente. La mayoría de los ejemplos utilizan el teorema de Sylow para demostrar que un grupo de un orden particular no es simple . Para grupos de orden pequeño, la condición de congruencia del teorema de Sylow a menudo es suficiente para forzar la existencia de un subgrupo normal .
- Ejemplo 1
- Grupos de orden pq , p y q primos con p < q .
- Ejemplo-2
- Grupo de orden 30, los grupos de orden 20, los grupos de orden p 2 q , p y q números primos distintos son algunas de las aplicaciones.
- Ejemplo-3
- (Grupos de orden 60): Si el orden | G | = 60 y G tiene más de un subgrupo Sylow 5, entonces G es simple.
Pedidos de sus grupos cíclicos [ editar ]
Algunos números no primos n son tales que cada grupo de orden n es cíclico. Uno puede mostrar que n = 15 es un número de este tipo usando los teoremas de Sylow: Sea G un grupo de orden 15 = 3 · 5 y n 3 sea el número de subgrupos de Sylow 3. Entonces n 3 5 y n 3 ≡ 1 (mod 3). El único valor que satisface estas restricciones es 1; por lo tanto, solo hay un subgrupo de orden 3, y debe ser normal (ya que no tiene conjugados distintos). De manera similar, n 5 debe dividir 3, y n 5 debe ser igual a 1 (mod 5); por lo tanto, también debe tener un solo subgrupo normal de orden 5. Dado que 3 y 5 son coprime , la intersección de estos dos subgrupos es trivial, por lo que G debe ser el producto directo interno de los grupos de orden 3 y 5, que es el cíclico grupo de orden 15. Por lo tanto, solo hay un grupo de orden 15 ( hasta isomorfismo).
Los grupos pequeños no son simples [ editar ]
Un ejemplo más complejo implica el orden del grupo simple más pequeño que no es cíclico . El teorema de p a q b de Burnside establece que si el orden de un grupo es el producto de una o dos potencias principales , entonces es solucionable , por lo que el grupo no es simple o es de primer orden y es cíclico. Esto elimina a todos los grupos hasta el orden 30 (= 2 · 3 · 5) .
Si G es simple, y | G | = 30, entonces n 3 debe dividir 10 (= 2 · 5), y n 3 debe ser igual a 1 (mod 3). Por lo tanto, n 3 = 10, ya que ni 4 ni 7 dividen 10, y si n 3 = 1 entonces, como arriba, G tendría un subgrupo normal de orden 3, y no podría ser simple. G tiene 10 subgrupos cíclicos distintos de orden 3, cada uno de los cuales tiene 2 elementos de orden 3 (más la identidad). Esto significa que G tiene al menos 20 elementos distintos de orden 3.
Además, n 5 = 6, ya que n 5 debe dividir 6 (= 2 · 3), y n 5 debe ser igual a 1 (mod 5). Así que G también tiene 24 elementos distintos de orden 5. Pero el orden de G es solo 30, por lo que no puede existir un simple grupo de orden 30.
A continuación, supongamos | G | = 42 = 2 · 3 · 7. Aquí n 7 debe dividir 6 (= 2 · 3) y n 7 debe ser igual a 1 (mod 7), entonces n 7 = 1. Entonces, como antes, G no puede ser simple.
Por otro lado, para | G | = 60 = 2 2 · 3 · 5, entonces n 3 = 10 y n 5 = 6 es perfectamente posible. Y, de hecho, el grupo no cíclico simple más pequeño es A 5 , el grupo alterno sobre 5 elementos. Tiene orden 60 y tiene 24 permutaciones cíclicas de orden 5 y 20 de orden 3.
El teorema de Wilson [ editar ]
para cada primo p . Uno puede probar fácilmente este teorema con el tercer teorema de Sylow. En efecto, observar que el número n p de de Sylow p -subgroups en el simétrica grupo S p es ( p - 2) !. Por otro lado, n p ≡ 1 (mod p ). Por lo tanto, ( p - 2)! ≡ 1 (mod p ). Entonces, ( p - 1)! ≡ −1 (mod p ).
Resultados de fusión [ editar ]
El argumento de Frattini muestra que un subgrupo de Sylow de un subgrupo normal proporciona una factorización de un grupo finito. Una ligera generalización conocido como teorema de fusión de Burnsideestablece que si G es un grupo finito con Sylow p -subgroup P y dos subconjuntos A y B normalizado por P , entonces A y B son G -conjugate si y sólo si son N G ( P )-conjugado. La prueba es una aplicación simple del teorema de Sylow: si B = A g , entonces el normalizador de Bcontiene no solo P sino también P g (ya que P g está contenido en el normalizador de A g ). Por de Sylow teorema P y P g son conjugado no sólo en G , pero en el normalizador de B . Por lo tanto, gh −1 normaliza P para algunas h que normalizan B , y luego A gh −1 = B h −1 = B , de modo que A y B son NG ( P ) -conjugado. Teorema de fusión de Burnside se puede utilizar para dar una más potente factorización llamado un producto semidirecto : si G es un grupo finito cuya Sylow p -subgroup P está contenido en el centro de su normalizador, entonces G tiene un subgrupo normal K de primos entre sí con el fin de P , G = PK y P ∩ K = {1}, es decir, G es p -nilpotente .
Las aplicaciones menos triviales de los teoremas de Sylow incluyen el teorema del subgrupo focal , que estudia el control que tiene un subgrupo p de Sylow del subgrupo derivado sobre la estructura de todo el grupo. Este control se explota en varias etapas de la clasificación de grupos finitos simples y, por ejemplo, define las divisiones de caso utilizadas en el teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein que clasifican grupos finitos simplescuyo subgrupo Sylow 2 es un grupo cuasi -dédrico . Estos se basan en el fortalecimiento de JL Alperin de la porción de conjugación del teorema de Sylow para controlar qué tipo de elementos se utilizan en la conjugación.
Prueba de los teoremas de Sylow [ editar ]
Los teoremas de Sylow han sido probados de varias maneras, y la historia de las pruebas en sí misma es el tema de muchos artículos que incluyen ( Waterhouse 1980 ), ( Scharlau 1988 ), ( Casadio y Zappa 1990 ), ( Gow 1994) y en cierta medida ( Meo 2004 ).
Una prueba del teorema de Sylow explota la noción de acción grupal de varias maneras creativas. El grupo Gactúa sobre sí mismo o sobre el conjunto de sus subgrupos p de varias maneras, y cada acción puede ser explotada para probar uno de los teoremas de Sylow. Las siguientes pruebas se basan en argumentos combinatorios de ( Wielandt 1959 ). En lo siguiente, usamos un b como notación para "a divide b" y a b por la negación de esta afirmación.
Prueba: Vamos | G | = P k m = p k + r u tal que p no divide u , y dejar Ω denotar el conjunto de subconjuntos de Gde tamaño p k . G actúa sobre Ω por la multiplicación de la izquierda. Las órbitas G ω = { g ω | g ∈ G } de la ω ∈ Ω son las clases de equivalencia bajo la acción de G .
Para cualquier ω ∈ Ω considere su subgrupo estabilizador G ω = { g ∈ G | g ω = ω}. Para cualquier elemento fijo α ∈ ω, la función [ g ↦ g α] asigna G ω a ω inyectivamente: para cualquiera de los dos g , h ∈ G ω tenemos que g α = h α implica g = h , porque α ∈ G significa que uno puede cancelar a la derecha. Por lo tanto, p k = | ω | ≥ | G ω |.
Por otra parte,
y no queda ninguna potencia de p en ninguno de los factores dentro del producto a la derecha. Por lo tanto, ν p (| Ω |) = ν p ( m ) = r . Dejar que R ⊆ Ω ser una representación completa de todas las clases de equivalencia bajo la acción de G . Entonces,
Por lo tanto, existe un elemento ω ∈ R tal que s : = ν p (| G ω |) ≤ ν p (| Ω |) = r . Por lo tanto | G ω | = p s v donde p no divide v . Por el teorema del estabilizador de órbita tenemos | G ω | = | G | / | G ω | = p k + rs u / v . Por lo tanto, p k | G ω |, entonces p k ≤ | G ω | y G ω es el subgrupo deseado.
Prueba: Escribir Ω G como una suma disjunta de sus órbitas bajo G . Cualquier elemento x ∈ G no fijado por Gestará en una órbita de orden | G | / | G x | (donde G x denota el estabilizador ), que es un múltiplo de p por supuesto. El resultado sigue inmediatamente.
Prueba: Sea set el conjunto de cosets izquierdos de P en G y deje que H actúe sobre Ω mediante la multiplicación de la izquierda. Aplicando el Lemma a H en Ω, vemos que | Ω 0 | ≡ | Ω | = [ G : P ] (mod p ). Ahora p [ G : P ] por definición así que p | Ω 0 |, por lo tanto, en particular | Ω 0 | ≠ 0 por lo que existen algunos gP ∈ Ω 0 . De ello se deduce que para algunos g ∈ G y ∀ h ∈ H tenemos HGP = gP tan g -1 HgP = P y por lo tanto g -1 Hg≤ P . Ahora si H es un subgrupo p de Sylow , | H | = | P | = | gPg −1 | de modo que H = gPg −1para algunos g ∈ G .
Prueba: Deje que G actúe sobre P , un subgrupo p de Sylow, mediante conjugación. Por el teorema del estabilizador de la órbita, n p = [ G : Stab G ( P )]. Puñalada G ( P ) = { g ∈ G | GPG -1 = P } = N G ( P ), el normalizador de P en G . Por lo tanto, n p = | G : N G ( P) |, y se deduce que este número es un divisor de | G | / q . Sea set el conjunto de todos los subgrupos p de Sylow de G , y deje que P actúe sobre Ω por conjugación. Deje Q ∈ Ω 0 y observe que luego Q = xQx −1 para todo x ∈ P, de modo que P ≤ N G ( Q ). Por el teorema 2, P y Q son conjugados en N G ( Q ) en particular, y Q es normal en NG ( Q ), por lo que entonces P = Q . De ello se deduce que Ω 0 = { P } para que, por el Lema, | Ω | ≡ | Ω 0 | = 1 (mod p ).
Algoritmos [ editar ]
El problema de encontrar un subgrupo Sylow de un grupo dado es un problema importante en la teoría de grupos computacionales .
Una prueba de la existencia de subgrupos p de Sylow es constructiva: si H es un subgrupo p de G y el índice [ G: H ] es divisible por p , entonces el normalizador N = N G ( H ) de H en G es también tal que [ N : H ] es divisible por p . En otras palabras, un sistema de generación policíclico de un Sylow p -subgroup se puede encontrar a partir de cualquier p -subgroup H(incluyendo la identidad) y tomando elementos de orden de potencia pcontenidos en el normalizador de H pero no en H en sí. La versión algorítmica de esto (y muchas mejoras) se describe en forma de libro de texto en ( Butler 1991 , Capítulo 16), incluido el algoritmo descrito en ( Cannon 1971 ). Estas versiones todavía se utilizan en el sistema de álgebra computacional GAP .
En grupos de permutaciones , se ha demostrado en (Kantor 1985a , 1985b , 1990 ; Kantor y Taylor 1988 ) que un Sylow p -subgroup y su normalizador se pueden encontrar en tiempo polinómico de la entrada (el grado de las veces de grupo el número de generadores). Estos algoritmos se describen en forma de libro de texto en ( Seress 2003 ), y ahora se están volviendo prácticos a medida que el reconocimiento constructivo de grupos finitos simples se convierte en una realidad. En particular, las versiones de este algoritmo se utilizan en el sistema de álgebra computacional Magma .
análisis local tiene al menos dos significados, ambos derivados de la idea de ver un problema en relación con cada número primo p primero, y luego tratar de integrar la información obtenida en cada primo en una imagen "global". Estas son formas del enfoque de localización .
La teoría de grupos [ editar ]
En la teoría de grupos , análisis local fue iniciado por los teoremas de Sylow , que contienen información importante acerca de la estructura de un grupo finito G para cada número primo p dividiendo el orden de G . Esta área de estudio se desarrolló enormemente en la búsqueda de la clasificación de grupos finitos simples , comenzando con el teorema de Feit-Thompson de que los grupos de orden impar pueden resolverse .
Teoría de números [ editar ]
En teoría de números, se puede estudiar una ecuación diofántica , por ejemplo, módulo p para todos los números primos p , buscando restricciones en las soluciones. El siguiente paso es buscar las potencias primulas demódulo, y luego buscar soluciones en el campo p -adic . Este tipo de análisis local proporciona las condiciones para la solución que son necesarias . En los casos en que el análisis local (más la condición de que existen soluciones reales) también proporciona condiciones suficientes , se dice que el principio de Hasse es válido: esta es la mejor situación posible. Lo hace para formas cuadráticas , pero ciertamente no en general (por ejemplo, paracurvas elípticas ). El punto de vista de que uno quisiera entender qué condiciones adicionales se necesitan ha sido muy influyente, por ejemplo, para las formas cúbicas.
Alguna forma de análisis local subyace tanto en las aplicaciones estándar del método del círculo de Hardy-Littlewood en la teoría analítica de los números como en el uso de anillos de adele , haciendo de este uno de los principios unificadores a través de la teoría de los números.
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