MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

El teorema de Lagrange , en las matemáticas de la teoría de grupos , establece que para cualquier grupo finito G , el orden (número de elementos) de cada subgrupo H de G divide el orden de G . El teorema lleva el nombre de Joseph-Louis Lagrange .

G es el grupo $${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 8 \ mathbb {Z}}, los enteros mod 8 en adición. El subgrupo H contiene solo 0 y 4, y es isomorfo para$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}. Hay cuatro cosets izquierdos de H: H en sí, 1 + H, 2 + H y 3 + H (escrito con notación aditiva, ya que este es un grupo aditivo ). Juntos dividen todo el grupo G en conjuntos de igual tamaño, que no se superponen. Así, el índice [G: H] es 4.

Prueba [ editar ]

Esto se puede demostrar utilizando el concepto de izquierda clases laterales de H en G . Las clases laterales quedan son las clases de equivalencia de una determinada relación de equivalencia en G y por lo tanto forman una partición de G . Específicamente, x y y en G se relacionan si y solo si existe h en H, de modo que x = yh . Si podemos demostrar que todos los cosets de H tienen el mismo número de elementos, entonces cada coset de H tiene exactamente | H| elementos. Estamos entonces hecho desde el orden de H veces el número de clases laterales es igual al número de elementos de G , demostrando de ese modo que el orden de H divide el orden de G . Ahora, si aH y bH son dos cosets izquierdos de H , podemos definir un mapa f  : aH → bH estableciendo f ( x ) = ba ⁻¹ x . Este mapa es biyectivo porque tiene un inverso dado por$${\ displaystyle f ^ {- 1} (y) = ab ^ {- 1} y {\ mbox {.}}}

Esta prueba también muestra que el cociente de las órdenes | G | / | H | es igual al índice [ G  : H ] (el número de cosets izquierdos de H en G ). Si permitimos que G y H sean infinitos, y escribimos esta declaración como

$${\ displaystyle \ left | G \ right | = \ left [G: H \ right] \ cdot \ left | H \ right | {\ mbox {,}}}

luego, visto como una afirmación sobre los números cardinales , es equivalente al axioma de elección . ^{[ cita requerida ]}

Aplicaciones [ editar ]

Una consecuencia del teorema es que el orden de cualquier elemento a de un grupo finito (es decir, el número entero positivo más pequeño k con a ^k = e, donde e es el elemento de identidad del grupo) divide el orden de ese grupo, ya que orden de a es igual al orden del subgrupo cíclico generado por a . Si el grupo tiene n elementos, sigue

$${\ displaystyle \ displaystyle a ^ {n} = e {\ mbox {.}}}

Esto se puede usar para probar el pequeño teorema de Fermat y su generalización, el teorema de Euler . Estos casos especiales eran conocidos mucho antes de que se probara el teorema general.

El teorema también muestra que cualquier grupo de primer orden es cíclico y simple . Esto a su vez puede usarse para probar el teorema de Wilson , que si p es primo entonces p es un factor de$${\ displaystyle (p-1)! + 1}.

El teorema de Lagrange también se puede usar para mostrar que hay infinitos números primos : si existiera una prima p mayor , entonces un divisor primo q del número de Mersenne $${\ displaystyle 2 ^ {p} -1}Sería tal que el orden de 2 en el grupo multiplicativo. $${\ displaystyle (\ mathbb {Z} / q \ mathbb {Z}) ^ {*}}(ver aritmética modular ) divide el orden de$${\ displaystyle (\ mathbb {Z} / q \ mathbb {Z}) ^ {*}}, cual es $${\ displaystyle q-1}. Por lo tanto{\ displaystyle p , contradiciendo la suposición de que p es el primo más grande. ^[1]

Existencia de subgrupos de orden dado [ editar ]

El teorema de Lagrange plantea la pregunta inversa sobre si cada divisor del orden de un grupo es el orden de algún subgrupo. Esto no se cumple en general: dado un grupo finito G y un divisor d de | G |, no existe necesariamente un subgrupo de G con orden d . El ejemplo más pequeño es A ₄ (el grupo alternativo de grado 4), que tiene 12 elementos pero no hay subgrupo de orden 6.

Un grupo "Converse of Lagrange's Theorem" (CLT) es un grupo finito con la propiedad de que para cada divisor del orden del grupo, hay un subgrupo de ese orden. Se sabe que un grupo CLT debe poder resolverse y que todo grupo supersoluble es un grupo CLT. Sin embargo, existen grupos solubles que no son CLT (por ejemplo, A ₄ ) y grupos CLT que no son supersolubles (por ejemplo, S ₄ , el grupo simétrico de grado 4).

Hay conversos parciales al teorema de Lagrange. Para los grupos generales, el teorema de Cauchy garantiza la existencia de un elemento, y por lo tanto de un subgrupo cíclico, de cualquier orden que divide el orden del grupo. El teorema de Sylow extiende esto a la existencia de un subgrupo de orden igual al poder máximo de cualquier primo que divide el orden de grupo. Para grupos solubles, los teoremas de Hall afirman la existencia de un subgrupo de orden igual a cualquier divisor unitario del orden de grupo (es decir, un divisor coprime a su cofactor).

Refutando lo contrario del teorema de Lagrange [ editar ]

Lo contrario del teorema de Lagrange dice que si $${\ displaystyle d}Es un divisor del orden de un grupo.$${\ displaystyle G}, entonces existe un subgrupo $${\ displaystyle H} dónde $${\ displaystyle | H | = d}.

Vamos a examinar el grupo $${\ displaystyle A_ {4}}, el conjunto de permutaciones pares como el subgrupo del grupo simétrico $${\ displaystyle S_ {4}}.

$${\ displaystyle A_ {4} = \ {e, (12) (34), (13) (24), (14) (23), (123), (132), (124), (142), ( 134), (143), (234), (243) \}}

$${\ displaystyle | A_ {4} | = 12} entonces los divisores son $${\ displaystyle 1,2,3,4,6,12}. Supongamos al contrario que existe un subgrupo.$${\ displaystyle H} en $${\ displaystyle A_ {4}} con $${\ displaystyle | H | = 6}.

Dejar $${\ displaystyle V}ser el subgrupo no cíclico de$${\ displaystyle A_ {4}}llamado el cuatro grupos de Klein .

$${\ displaystyle V = \ {e, (12) (34), (13) (24), (14) (23) \}}.

Dejar $${\ displaystyle K = H \ cap V}. Ya que ambos$${\ displaystyle H} y $${\ displaystyle V} son subgrupos de $${\ displaystyle A_ {4}}, $${\ displaystyle K} También es un subgrupo de $${\ displaystyle A_ {4}}.

Del teorema de Lagrange, el orden de $${\ displaystyle K} debe dividir ambos $${\ displaystyle 6} y $${\ displaystyle 4}, las órdenes de $${\ displaystyle H} y $${\ displaystyle V}respectivamente. Los únicos dos enteros positivos que dividen ambos$${\ displaystyle 6} y $${\ displaystyle 4} y $${\ displaystyle 1} y $${\ displaystyle 2}. Asi que$${\ displaystyle | K | = 1} o $${\ displaystyle 2}.

Asumir $${\ displaystyle | K | = 1}, entonces $${\ displaystyle | K | = \ {e \}}. Si$${\ displaystyle H} no comparte ningun elemento con $${\ displaystyle V}, luego los 5 elementos en $${\ displaystyle H}además del elemento de identidad $${\ displaystyle e} debe ser de la forma $${\ displaystyle (efd)} dónde $${\ displaystyle e, f, d} son elementos distintos en $${\ displaystyle \ {1,2,3,4 \}}.

Dado que cualquier elemento de la forma $${\ displaystyle (efd)} al cuadrado es $${\ displaystyle (edf)}y $${\ displaystyle (efd) (edf) = e}, cualquier elemento de $${\ displaystyle H} en la forma $${\ displaystyle (efd)}Debe ser emparejado con su inverso. En concreto, los 5 elementos restantes de$${\ displaystyle H} debe venir de distintos pares de elementos en $${\ displaystyle A_ {4}} que no están en $${\ displaystyle V}. Esto es imposible ya que los pares de elementos deben ser pares y no pueden sumar hasta 5 elementos. Así, los supuestos que$${\ displaystyle | K | = \ {e \}} esta mal, entonces $${\ displaystyle | K | = 2}.

Entonces, $${\ displaystyle | K | = \ {e, v \}} dónde $${\ displaystyle v \ en V}, $${\ displaystyle v} debe estar en la forma $${\ displaystyle (ab) (cd)} dónde $${\ displaystyle a, b, c, d} son elementos distintos de $${\ displaystyle \ {1,2,3,4 \}}. Los otros cuatro elementos en$${\ displaystyle H} Son ciclos de longitud 3.

Tenga en cuenta que los cosets generados por un subgrupo de un grupo son una partición del grupo. Los cosets generados por un subgrupo específico son idénticos entre sí o separados . El índice de un subgrupo en un grupo$${\ displaystyle [H: A_ {4}] = | A_ {4} | / | H |}es el número de cosets generados por ese subgrupo. Ya que$${\ displaystyle | H | = 6} y $${\ displaystyle | A_ {4} | = 12}, $${\ displaystyle H}generará dos cosets izquierdos, uno que es igual a $${\ displaystyle H} y otro, $${\ displaystyle aH}, que es de longitud 6 e incluye todos los elementos en $${\ displaystyle A_ {4}} no en $${\ displaystyle H}.

Como solo hay 2 cosets distintos generados por $${\ displaystyle H}, entonces $${\ displaystyle H}debe ser normal Por eso,$${\ displaystyle H = gHg ^ {- 1} \ para todos g \ en A_ {4}}. En particular, esto es cierto para$${\ displaystyle g = (abc) \ en A_ {4}}. Ya que$${\ displaystyle H = gHg ^ {- 1}, gvg ^ {- 1} \ en H}.

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $${\ displaystyle a-1, b = 2, c = 3, d = 4}. Entonces$${\ displaystyle g = (123), v = (12) (34), g ^ {- 1} = (132), gv = (134), gvg ^ {- 1} = (14) (23)}. Transformando de vuelta, obtenemos$${\ displaystyle gvg ^ {- 1} = (anuncio) (bc)}. Porque$${\ displaystyle V} contiene todas las transposiciones disjuntas en $${\ displaystyle A_ {4}}, $${\ displaystyle gvg ^ {- 1} \ en V}. Por lo tanto,$${\ displaystyle gvg ^ {- 1} \ en H \ cap V = K}.

Ya que $${\ displaystyle gvg ^ {- 1} \ neq v}, hemos demostrado que hay un tercer elemento en $${\ displaystyle K}. Pero antes mostramos que$${\ displaystyle | K | = 2}, así que tenemos una contradicción.

Por lo tanto, nuestra suposición original de que hay un subgrupo de orden 6 no es verdadera y, en consecuencia, no hay subgrupo de orden 6 en $${\ displaystyle A_ {4}} y lo contrario del teorema de Lagrange no es necesariamente cierto.

Historia [ editar ]

Lagrange no probó el teorema de Lagrange en su forma general. Indicó, en su artículo Réflexions sur la résolution algébrique des équations , ^[2] que si un polinomio en n variables tiene sus variables permutadas en todo n ! maneras, el número de polinomios diferentes que se obtienen es siempre un factor de n ! . (Por ejemplo, si las variables x , y y z están permutadas de todas las 6 formas posibles en el polinomio x + y - z , obtenemos un total de 3 polinomios diferentes: x + y -z , x + z - y , y + z - x . Tenga en cuenta que 3 es un factor de 6.) El número de tales polinomios es el índice en el grupo simétrico S _n del subgrupo H de permutaciones que preservan el polinomio. (Para el ejemplo de x + y - z , el subgrupo H en S ₃ contiene la identidad y la transposición ( x y ) .) Por lo tanto, el tamaño de H divide n !. Con el desarrollo posterior de los grupos abstractos, se reconoció que este resultado de Lagrange en polinomios se extendía al teorema general sobre los grupos finitos que ahora lleva su nombre.

En sus Disquisitiones Arithmeticae en 1801, Carl Friedrich Gauss demostró el teorema de Lagrange para el caso especial de$${\ displaystyle (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) ^ {*}}, el grupo multiplicativo de enteros no nulos modulo p , donde p es primo. ^[3] En 1844, Augustin-Louis Cauchy probó el teorema de Lagrange para el grupo simétrico S _n . ^[4]

Camille Jordan finalmente demostró el teorema de Lagrange para el caso de cualquier grupo de permutación en 1861.

Coset

G es el grupo ( Z / 8 Z , +) , los enteros mod 8 en adición. El subgrupo H contiene solo 0 y 4, y es isomorfo a ( Z / 2 Z , +) . Hay cuatro cosets izquierdos de H : H en sí, 1 + H , 2 + Hy 3 + H (escrito con notación aditiva, ya que este es el grupo de aditivos ). Juntos dividen todo el grupo G en conjuntos de igual tamaño, que no se superponen. El índice [ G : H ] es 4.

En matemáticas , si G es un grupo , y H es un subgrupo de G , y g es un elemento de G , entonces

gH = {  gh  : h un elemento de H  } es el coset izquierdo de H en Gcon respecto a g , y

Hg = {  hg  : h un elemento de H  } es el coset correcto de H en Gcon respecto a g .

Solo cuando H es normal , coincidirán el conjunto de cosets correctos y el conjunto de cosets izquierdos de H , que es una definición de normalidad de un subgrupo . Aunque se derivan de un subgrupo, los cosets no suelen ser subgrupos de G , solo subconjuntos.

Una clase lateral es una clase lateral izquierda o derecha de algún subgrupo en G . Dado que Hg = g  (  g ⁻¹ Hg  ) , el coset Hg derecho (de H con respecto a g ) y el coset g izquierdo  (  g ⁻¹ Hg  ) (del subgrupo conjugado g ⁻¹ Hg  ) son iguales. Por lo tanto, no tiene sentido hablar de un coset como izquierdo o derecho a menos que uno especifique primero el subgrupo subyacente. En otras palabras: un coset derecho de un subgrupo es igual a un coset izquierdo de un subgrupo diferente (conjugado). Si los cosets de la izquierda y los de la derecha son iguales, entonces H es un subgrupo normal y los cosets forman un grupo llamado cociente o grupo de factores .

El mapa gH ↦ ( gH ) ⁻¹ = Hg ⁻¹ define un bijection entre los cosets izquierdos y los cosets derechos de H, por lo que el número de cosets izquierdos es igual al número de cosets derechos. El valor común se llama el índice de H en G .

Para grupos abelianos , los cosets izquierdos y los cosets derechos son siempre los mismos. Si la operación de grupo se escribe de forma aditiva, la notación utilizada cambia a g + H o H + g .

Los cosets son una herramienta básica en el estudio de grupos; por ejemplo, juegan un papel central en el teorema de Lagrange .

Ejemplos [ editar ]

C ₂ [ editar ]

Sea G = ({−1,1}, ×) el grupo formado por {−1,1} bajo la multiplicación, que es isomorfo a C ₂ , y H el subgrupo trivial ({1}, ×). Entonces {-1} = (-1) H = H (-1) y {1} = 1 H = H 1 son las únicas clases laterales de H en G . Debido a sus clases laterales izquierdo y derecho con respecto a cualquier elemento de G coinciden, H es un subgrupo normal de G .

Enteros [ editar ]

Sea G el grupo aditivo de los enteros, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +) y H el subgrupo ( m Z , +) = ({ ..., −2 m , - m , 0, m , 2 m , ...}, +) donde m es un entero positivo. Entonces los cosets de H en G son los m juegos m Z , m Z + 1, ..., m Z + ( m - 1), donde m Z + a = {..., −2 m+ a , - m + a , a , m + a , 2 m + a , ...}. Hay no más de m clases laterales, porque m Z + m = m ( Z + 1) = m Z . El coset ( m Z + a , +) es la clase de congruencia de un módulo m . ^[1]

Vectores [ editar ]

Otro ejemplo de un coset proviene de la teoría de los espacios vectoriales . Los elementos (vectores) de un espacio vectorial forman un grupo abeliano bajo la adición de vectores . No es difícil demostrar que los subespacios de un espacio vectorial son subgrupos de este grupo. Para un espacio vectorial V , un subespacio W y un vector fijo a en V , los conjuntos

$${\ displaystyle \ {x \ en V \ colon x = a + n, n \ en W \}}

se llaman subespacios afines , y son cosets (tanto a la izquierda como a la derecha, ya que el grupo es abeliano). En términos de vectores geométricos , estos subespacios afines son todas las "líneas" o "planos" paralelos al subespacio, que es una línea o plano que atraviesa el origen.

Definición usando clases de equivalencia [ editar ]

Algunos autores ^[2] definen las clases laterales izquierdos de H en G a ser las clases de equivalencia en virtud de la relación de equivalencia en G dado por x  ~  y si y sólo si x ^-1 y ∈ H . La relación también puede ser definido por x  ~  y si y sólo si xh = y para algunos h en H . Se puede demostrar que la relación dada es, de hecho, una relación de equivalencia y que las dos definiciones son equivalentes. De ello se deduce que dos cosets izquierdos de H enG son idénticos o disjuntos . En otras palabras, cada elemento de G pertenece a una y sólo una clase lateral izquierda y por lo que las clases laterales izquierdos forman una partición de G . ^[3] Las declaraciones correspondientes son verdaderas para los cosets correctos.

Cosets dobles [ editar ]

Artículo principal: Coset doble.

Dados dos subgrupos, H y K de un grupo G , el coset doble de H y K en G son conjuntos de la forma HgK = { hgk  : h un elemento de H  , k un elemento de K  }. Estos son los cosets izquierdos de K y los cosets derechos de H cuando H = 1 y K = 1 respectivamente. ^[4]

Notación [ editar ]

Sea G un grupo con los subgrupos H y K.

1. $${\ displaystyle G / H} denota el conjunto de cosets izquierdos $${\ displaystyle \ {gH: g \ en G \}}de H en G.
2. $${\ displaystyle H \ backslash G} denota el conjunto de cosets correctos $${\ displaystyle \ {Hg: g \ in G \}}de H en G.
3. $${\ displaystyle K \ backslash G / H} denota el conjunto de cosets dobles $${\ displaystyle \ {KgH: g \ in G \}}de H y K en G.

Propiedades generales [ editar ]

La identidad está precisamente en un coset izquierdo o derecho, es decir, H en sí misma. Así, H es tanto un coset izquierdo como derecho.

Un representante de coset es un representante en el sentido de clase de equivalencia. Un conjunto de representantes de todos los cosets se llama transversal . Hay otros tipos de relaciones de equivalencia en un grupo, como la conjugación, que forman diferentes clases que no tienen las propiedades que se tratan aquí.

Indice de un subgrupo [ editar ]

Artículo principal: Índice de un subgrupo

Todos los cosets de la izquierda y todos los cosets de la derecha tienen el mismo orden (número de elementos, o cardinalidad en el caso de una H infinita ), igual al orden de H (porque H es en sí misma una coset). Además, el número de cosets izquierdos es igual al número de cosets derechos y se conoce como el índice de H en G , escrito como [ G  : H  ]. El teorema de Lagrange nos permite calcular el índice en el caso donde G y H son finitos, según la fórmula:

$${\ displaystyle | G | = [G: H] | H |}.

Esta ecuación también se cumple en el caso de que los grupos sean infinitos, aunque el significado puede ser menos claro.

Cojunto y la normalidad [ editar ]

Si H no es normal en G , entonces sus cosets izquierdos son diferentes de sus cosets derechos. Es decir, hay una a en G tal que ningún elemento b satisface aH = Hb . Esto significa que la partición de G en las clases laterales izquierdos de H es una partición diferente de la partición de G en clases laterales derechas de H . ( Algunos cosets pueden coincidir. Por ejemplo, si a está en el centro de G , entonces aH = Ha .)

Por otra parte, el subgrupo N es normal si y sólo si gN = Ng para todo g en G . En este caso, el conjunto de todos los cosets forman un grupo denominado cociente grupo G / N con la operación ∗ definida por ( aN  ) ∗ ( bN  ) = abN . Como cada coset derecho es un coset izquierdo, no hay necesidad de distinguir "cosets izquierdos" de "cosets derechos".

Aplicaciones [ editar ]

• Los costos de Q en R se utilizan en la construcción de conjuntos Vitali , un tipo de conjunto no medible .
• Los costos son centrales en la definición de la transferencia .
• Los costos son importantes en la teoría de grupos computacionales. Por ejemplo, el algoritmo de Thistlethwaite para resolver el Cubo de Rubik se basa en gran medida en los cosets.
• Los líderes de coset se utilizan para decodificar los datos recibidos en códigos de corrección de errores lineales .