MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

subgrupo normal es un subgrupo que es invariante bajo la conjugación de los miembros del grupo del que forma parte. En otras palabras, un subgrupo H de un grupo G es normal en Gsi y sólo si gH = Hg para todos g en G . La definición de subgrupo normal implica que los conjuntos de cosets izquierdo y derecho coinciden. De hecho, una condición aparentemente más débil que los conjuntos de cosets izquierdo y derecho coinciden también implica que el subgrupo H de un grupo Ges normal en g . Los subgrupos normales (y solo los subgrupos normales) se pueden usar para construir grupos de cocientes a partir de un grupo dado .

Évariste Galois fue el primero en darse cuenta de la importancia de la existencia de subgrupos normales. 

Definiciones [ editar ]

Un subgrupo N de un grupo G se llama un subgrupo normal si es invariante en la conjugación ; es decir, la conjugación de un elemento de N por un elemento de G está siempre en N . ^[2] La notación habitual para esta relación es$${\ displaystyle N \ triangleleft G}, y la definición puede estar escrita en símbolos como

$${\ displaystyle N \ triangleleft G \ Leftrightarrow \ forall n \ in N, \ forall \ g \ in G \ colon gng ^ {- 1} \ in N.}

Para cualquier subgrupo, las siguientes condiciones son equivalentes a la normalidad. Por lo tanto, cualquiera de ellos puede ser tomado como la definición:

• Cualquiera de los dos elementos conmutan con respecto a la relación normal de miembros del subgrupo: ∀ g , h ∈ G , gh ∈ N ⇔ hg ∈ N .
• La imagen de la conjugación de N por cualquier elemento de G es un subconjunto de N : ∀ g ∈ G , GNG ^-1 ⊆ N . ^[3]
• La imagen de la conjugación de N por cualquier elemento de G es N : ∀ g ∈ G , GNG ^-1 = N . ^[3]
• ∀ g ∈ G , gN = Ng . ^[3]
• Los conjuntos de cosets izquierdo y derecho de N en G coinciden. ^[3]
• El producto de un elemento del coset izquierdo de N con respecto a g y un elemento del coset izquierdo de Ncon respecto a h es un elemento del coset izquierdo de N con respecto a gh : ∀ x , y , g , h ∈ G , x ∈ gN y y ∈ hN ⇒ xy ∈ (GH) N .
• N es una unión de clases de conjugación de G : N = ⋃ _g ∈ N Cl ( g ) . ^[1]
• N se conserva por automorfismos internos . ^[4]
• Hay algo de homomorfismo en G para la que N es el kernel : ∃φ ∈ Hom ( G ) | ker φ = N . ^[1]

La última condición explica parte de la importancia de los subgrupos normales; son una forma de clasificar internamente todos los homomorfismos definidos en un grupo. Por ejemplo, un grupo finito sin identidad es simple si y solo si es isomorfo a todas sus imágenes homomorfas sin identidad, ^[5] un grupo finito es perfecto si y solo si no tiene subgrupos normales de índice principal , y un grupo es imperfecto si y solo si el subgrupo derivado no está complementado por ningún subgrupo normal adecuado.

Ejemplos [ editar ]

• El subgrupo { e } que consiste en sólo el elemento identidad de G y G en sí son siempre subgrupos normales de G . El primero se llama subgrupo trivial, y si estos son los únicos subgrupos normales, entonces se dice que G es simple . ^[6]
• El centro de un grupo es un subgrupo normal. ^[7]
• El subgrupo conmutador es un subgrupo normal. ^[8]
• Más generalmente, cualquier subgrupo característico es normal, ya que la conjugación es siempre un automorfismo . ^[9]
• Cada subgrupo N de un grupo abeliano G es normal, porque gN = Ng . Un grupo que no es abeliano pero para el cual todo subgrupo es normal se llama grupo hamiltoniano . ^[10]
• El grupo de traducción es un subgrupo normal del grupo euclidiano en cualquier dimensión. ^[11]
• En el grupo del cubo de Rubik , los subgrupos que consisten en operaciones que solo afectan las orientaciones de las piezas de esquina o las piezas de borde son normales. ^[12]

Propiedades [ editar ]

• La normalidad se conserva en los homomorfismos superyectivos, y también se conserva al tomar imágenes inversas. ^[13]
• Se conserva la normalidad al tomar productos directos. ^[14]
• Si H es un subgrupo normal de G , y K es un subgrupo de G que contiene H , entonces H es un subgrupo normal de K . ^[15]
• Un subgrupo normal de un subgrupo normal de un grupo no necesita ser normal en el grupo. Es decir, la normalidad no es una relación transitiva . El grupo más pequeño que muestra este fenómeno es el grupo diedro de orden 8. ^[16] Sin embargo, un subgrupo característico de un subgrupo normal es normal. ^[17] Un grupo en el que la normalidad es transitiva se llama un grupo t . ^[18]
• Cada subgrupo de índice 2 es normal. Más generalmente, un subgrupo, H , de índice finito, n , en G contiene un subgrupo, K , normal en G y de índice que divide n ! llamado el núcleo normal . En particular, si p es el número primo más pequeño que divide el orden de G , entonces cada subgrupo de índice p es normal. ^[19]

Red de subgrupos normales [ editar ]

Los subgrupos normales de un grupo, G , forman un enrejado bajo inclusión subconjunto con menos elemento , { e } , y mayor elemento , G . Dados dos subgrupos normales, N y M , en G , se reúnen se define como

$${\ displaystyle N \ wedge M: = N \ cap M}

y unirse se define como

$${\ displaystyle N \ vee M: = NM = \ {nm \, | \, n \ en N {\ text {, y}} m \ en M \}.}

La celosía es completa y modular . ^[14]

Subgrupos normales y homomorfismos [ editar ]

Si N es un subgrupo normal, podemos definir una multiplicación en los cosets de la siguiente manera:

$${\ displaystyle (a_ {1} N) (a_ {2} N): = (a_ {1} a_ {2}) N.}

Con esta operación, el conjunto de clases laterales es en sí mismo un grupo, llamado el grupo cociente y denotado G / N . Hay un homomorfismo natural , f : G → G / N dado por f ( a ) = aN . La imagen f ( N ) se compone sólo del elemento de identidad de G / N , la clase lateral eN = N . ^[20]

En general, un homomorfismo de grupos, f : G → H envía subgrupos de G a subgrupos de H . Además, la imagen inversa de cualquier subgrupo de H es un subgrupo de G . Llamamos a la preimagen del grupo trivial { e } en H el núcleo del homomorfismo y lo denotamos por ker ( f ) . Como resultado, el kernel es siempre normal y la imagen de G , f ( G ) , siempre es isomorfa a G / ker ( f) (El primer teorema del isomorfismo ). ^[21]De hecho, esta correspondencia es una bijección entre el conjunto de todos los grupos cocientes de G , G / N y el conjunto de todas las imágenes homomorfas de G ( hasta el isomorfismo). ^[22] También es fácil ver que el núcleo de la hoja de cociente, f : G → G / N , es N en sí, por lo que los subgrupos normales son precisamente los núcleos de homomorfismos con dominio G .

subgrupo característico es un subgrupo que se mapea a sí mismo por cada automorfismo del grupo principal . ^[1] [2] Debido a que cada mapa de conjugación es un automorfismo interno , cada subgrupo característico es normal ; aunque no se garantiza lo contrario. Los ejemplos de subgrupos característicos incluyen el subgrupo de conmutadores y el centro de un grupo .

Definición [ editar ]

Un subgrupo H de un grupo G se llama subgrupo característico , H char G , si para cada automorfismo ism de G , se cumple φ [ H ] ≤ H , es decir, si cada automorfismo del grupo principal asigna el subgrupo dentro de sí mismo.

Cada automorfismo de G induce un automorfismo del grupo cociente, G / H , que produce un mapa Aut ( G ) → Aut ( G / H ) .

Si G tiene un subgrupo único H de un índice dado (finita), entonces H es característico en G .

Conceptos relacionados [ editar ]

Subgrupo normal [ editar ]

Artículo principal: subgrupo normal

Un subgrupo de H que es invariante en todos los automorfismos internos se llama normal ; También, un subgrupo invariante.

φ [ H ] ≤ H , ∀φ ∈ Inn ( G )

Dado que Inn ( G ) ⊆ Aut ( G ) y un subgrupo de características es invariante en todos los automorfismos, cada subgrupo de características es normal. Sin embargo, no todos los subgrupos normales son característicos. Aquí hay varios ejemplos:

• Deje que H sea un grupo no trivial, y dejar que G sea el producto directo , H × H . Entonces los subgrupos, {1} × H y H × {1} , son normales, pero ninguno es característico. En particular, ninguno de estos subgrupos es invariante bajo el automorfismo, ( x , y ) → ( y , x ) , que cambia los dos factores.
• Para un ejemplo concreto de esto, sea V el grupo cuatro de Klein (que es isomorfo al producto directo, ℤ ₂ × ℤ ₂ ). Como este grupo es abeliano , todos los subgrupos son normales; pero cada permutación de los 3 elementos sin identidad es un automorfismo de V , por lo que los 3 subgrupos de orden 2 no son característicos. Aquí V = { e , a , b , ab } . Considere H = { e , a } y considere el automorfismo, T ( e ) = e, T ( a ) = b , T ( b ) = a , T ( ab ) = ab ; entonces T ( H ) no está contenido en H .
• En el grupo de cuaternión de orden 8, cada uno de los subgrupos cíclicos de orden 4 es normal, pero ninguno de estos es característico. Sin embargo, el subgrupo, {1, −1} , es característico, ya que es el único subgrupo de orden 2.
• Si n es par, el grupo diedro de orden 2 n tiene 3 subgrupos de índice 2, todos los cuales son normales. Uno de ellos es el subgrupo cíclico, que es característico. Los otros dos subgrupos son diedros; estos están permutados por un automorfismo externo del grupo padre y, por lo tanto, no son característicos.

Subgrupo estrictamente característico.[ editar ]

Un subgrupo estrictamente característico , o un subgrupo distinguido , que es invariante bajo endomorfismos suprayectivos . Para los grupos finitos , la sobreyectividad de un endomorfismo implica inyectividad, por lo que un endomorfismo sobreyectivo es un automorfismo; por lo tanto, ser estrictamente característico es equivalente a característico . Este ya no es el caso de grupos infinitos.

Subgrupo totalmente característico.[ editar ]

Para una restricción aún más fuerte, un subgrupo totalmente característico (también, subgrupo completamente invariante ; cf. subgrupo invariante), H , de un grupo, G es un grupo que permanece invariante debajo de cada endomorfismo de G ; es decir,

φ [ H ] ≤ H , ∀φ ∈ Fin ( G ) .

Cada grupo tiene a sí mismo (el subgrupo impropio) y el subgrupo trivial como dos de sus subgrupos totalmente característicos. El subgrupo de conmutadores de un grupo es siempre un subgrupo totalmente característico. ^[3] [4]

Cada endomorfismo de G induce un endomorfismo de G / H , que produce un mapa Fin ( G ) → Fin ( G / H ) .

Subgrupo verbal [ editar ]

Una restricción aún más fuerte es el subgrupo verbal , que es la imagen de un subgrupo totalmente invariante de un grupo libre bajo un homomorfismo. Más generalmente, cualquier subgrupo verbal es siempre totalmente característico. Para cualquier grupo libre reducido , y, en particular, para cualquier grupo libre , lo contrario también es válido: cada subgrupo completamente característico es verbal.

Transitividad [ editar ]

La propiedad de ser característico o completamente característico es transitiva ; Si H es un (completamente) subgrupo característico de K , y K es un (completamente) subgrupo característico de G , entonces H es un (completamente) subgrupo característico de G .

H Char K Char G ⇒ H Char G .

Además, si bien la normalidad no es transitiva, es cierto que cada subgrupo característico de un subgrupo normal es normal.

H char K ⊲ G ⇒ H ⊲ G

De manera similar, aunque ser estrictamente característico (distinguido) no es transitivo, es cierto que cada subgrupo totalmente característico de un subgrupo estrictamente característico es estrictamente característico.

Sin embargo, a diferencia de la normalidad, si H Char G y K es un subgrupo de G que contiene H , a continuación, en general H no es necesariamente característica en K .

H char G , H < K < G ⇏ H char K

Contenedores [ editar ]

Cada subgrupo que es totalmente característico es ciertamente estrictamente característico y característico; pero un subgrupo característico o incluso estrictamente característico no necesita ser totalmente característico.

El centro de un grupo es siempre un subgrupo estrictamente característico, pero no siempre es totalmente característico. Por ejemplo, el grupo finito de orden 12, Sym (3) × ℤ / 2ℤ , tiene un homomorfismo que toma ( π , y ) a ((1, 2) ^y , 0) que toma el centro, 1 × ℤ / 2ℤ , en un subgrupo de Sym (3) × 1 , que se encuentra con el centro solo en la identidad.

La relación entre estas propiedades de subgrupos se puede expresar como:

Subgrupo ⇐ Subgrupo normal ⇐ Subgrupo de características ⇐ Subgrupo estrictamente característico ⇐ Subgrupo totalmente característico ⇐ Subgrupo verbal

Ejemplos [ editar ]

Ejemplo finito [ editar ]

Considere el grupo G = S ₃ × ℤ ₂ (el grupo de orden 12 que es el producto directo del grupo simétrico de orden 6 y un grupo cíclico de orden 2). El centro de G es su segundo factor ℤ ₂ . Tenga en cuenta que el primer factor, S ₃ , contiene subgrupos isomorfos a ℤ ₂ , por ejemplo {e, (12)} ; sea f : ℤ ₂ → S ₃ el mapa de morfismo ℤ ₂ en el subgrupo indicado. Luego la composición de la proyección de Gen su segundo factor ℤ ₂ , seguido de f , seguido de la inclusión de S ₃ en G como su primer factor, proporciona un endomorfismo de G bajo el cual la imagen del centro, ℤ ₂ , no está contenida en el centro, así que aquí el centro no es un subgrupo completamente característico de G .

Grupos cíclicos [ editar ]

Cada subgrupo de un grupo cíclico es característico.

Functores de subgrupos [ editar ]

El subgrupo derivado (o subgrupo conmutador) de un grupo es un subgrupo verbal. El subgrupo de torsión de un grupo abeliano es un subgrupo totalmente invariante.

Grupos topológicos [ editar ]

El componente de identidad de un grupo topológico es siempre un subgrupo característico.

 centralizador (también denominado conmutador ^[1] [2] ) de un subconjunto S de un grupo G es el conjunto de elementos de G que conmutan con cada elemento de S , y el normalizador de S son elementos que satisfacen una condición más débil. El centralizador y normalizador de S son subgrupos de G , y pueden proporcionar información sobre la estructura de G .

Las definiciones también se aplican a los monoides y semigrupos .

En la teoría del anillo , el centralizador de un subconjunto de un anillo se define con respecto a la operación de semigrupo (multiplicación) del anillo. El centralizador de un subconjunto de un anillo R es un subanillo de R . Este artículo también trata sobre los centralizadores y los normalizadores en el álgebra de Lie .

El idealizador en un semigrupo o anillo es otra construcción que está en la misma línea que el centralizador y el normalizador.

Definiciones [ editar ]

Grupo y semigrupo [ editar ]

El centralizador de un subconjunto S del grupo (o semigrupo) G se define como ^[3]

$${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {G} (S) = \ {g \ en G \ mid gs = sg {\ text {para todos}} s \ en S \}}

A veces, si no hay ambigüedad sobre el grupo en cuestión, la G se suprime por completo de la notación. Cuando S  = { a } es un conjunto de singleton, entonces C _G ({ a }) se puede abreviar a C _G ( a ). Otra notación menos común para el centralizador es Z ( a ), que es paralela a la notación para el centro de un grupo . Con esta última notación, se debe tener cuidado para evitar la confusión entre el centro de un grupo G , Z ( G ) y el centralizadorde un elemento g en G , dado por Z (g ).

El normalizador de S en el grupo (o semigrupo) G se define como

$${\ displaystyle \ mathrm {N} _ {G} (S) = \ {g \ en G \ mid gS = Sg \}}

Las definiciones son similares pero no idénticas. Si g está en el centralizador de S y s está en S , entonces debe ser que gs = sg , sin embargo, si g está en el normalizador, gs = tg para algunas t en S , potencialmente diferente de s . Es decir, los elementos del centralizador de S deben conmutar puntualmente con S , pero los elementos del normalizador de S solo deben conmutar con S como un conjunto . Las mismas convenciones mencionadas anteriormente sobre la supresión.G y la supresión de llaves de conjuntos singleton también se aplican a la notación del normalizador. El normalizador no debe confundirse con el cierre normal .

Anillo, álgebra sobre un campo, Anillo de mentira y Álgebra de mentira [ editar ]

Si R es un anillo o un álgebra sobre un campo , y S es un subconjunto de R , a continuación, el centralizador de S es exactamente como se define para grupos, con R en el lugar de G .

Si $${\ displaystyle {\ mathfrak {L}}}es un álgebra de Lie (o anillo de Lie ) con producto de Lie [ x , y ], luego el centralizador de un subconjunto Sde$${\ displaystyle {\ mathfrak {L}}}se define como ^[4]

$${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {\ mathfrak {L}} (S) = \ {x \ in {\ mathfrak {L}} \ mid [x, s] = 0 {\ text {para todos}} s \En s\}}

La definición de los centralizadores para los anillos de Lie está vinculada a la definición de anillos de la siguiente manera. Si R es un anillo asociativo, a R se le puede dar el producto de corchete [ x , y ] = xy - yx . Por supuesto, entonces xy = yx si y solo si [ x , y ] = 0 . Si denotamos el conjunto R con el producto de corchete como L _R , entonces claramente el centralizador de anillo de S en R es igual al centralizador de anillo de Lie deS en L _R .

El normalizador de un subconjunto S de un álgebra de Lie (o anillo de Lie)$${\ displaystyle {\ mathfrak {L}}}está dada por ^[4]

$${\ displaystyle \ mathrm {N} _ {\ mathfrak {L}} (S) = \ {x \ in {\ mathfrak {L}} \ mid [x, s] \ in S {\ text {para todos}} s \ en S \}}

Si bien este es el uso estándar del término "normalizador" en el álgebra de Lie, esta construcción es en realidad el idealizador del conjunto S en$${\ displaystyle {\ mathfrak {L}}}. Si S es un subgrupo aditivo de$${\ displaystyle {\ mathfrak {L}}}, entonces $${\ displaystyle \ mathrm {N} _ {\ mathfrak {L}} (S)}es la subring de mentira más grande (o subalgebra de mentira, según sea el caso) en la que S es un ideal de mentira . ^[5]

Propiedades [ editar ]

Semigrupos [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle S '} denota el centralizador de $${\ displaystyle S} en el semigrupo $${\ displaystyle A}es decir $${\ displaystyle S '= \ {x \ in A: sx = xs \ {\ mbox {for}} \ {\ mbox {every}} \ s \ in S \}.}Entonces:

• $${\ displaystyle S '}forma un subgrupo .
• $${\ displaystyle S '= S' '' = S '' '' '}—Es decir, un conmutador es su propio bicomutante .

Grupos [ editar ]

Fuente: ^[6]

• El centralizador y normalizador de S son ambos subgrupos de G .
• Claramente, C _G ( S ) ⊆  N _G ( S ). De hecho, C _G ( S ) es siempre un subgrupo normal de N _G ( S ).
• C _G ( C _G ( S )) contiene S , pero C _G ( S ) no necesita contener S . La contención ocurre exactamente cuando S es abeliana.
• Si H es un subgrupo de G , entonces N _G ( H ) contiene H .
• Si H es un subgrupo de G , entonces el subgrupo más grande en el que H es normal es el subgrupo N _G (H).
• Un subgrupo H de un grupo G se llama un subgrupo auto-normalización de G si N _G ( H ) = H .
• El centro de G es exactamente C _G (G) y G es un grupo abeliano si y sólo si C _G (G) = Z ( G ) = G .
• Para conjuntos singleton, C _G ( a ) = N _G ( a ).
• Por simetría, si S y T son dos subconjuntos de G , T  ⊆  C _G ( S ) si y solo si S  ⊆  C _G ( T ).
• Para un subgrupo H de grupo G , el teorema de N / C establece que el grupo de factor de N _G ( H ) / C _G ( H ) es isomorfo a un subgrupo de Aut ( H ), el grupo de automorfismos de H . Dado que N _G ( G ) = G y C _G ( G ) = Z ( G ), el teorema N / C también implica que G / Z ( G ) es isomorfo a Inn ( G), El subgrupo de Aut ( G ) consiste en todos los automorfismos interiores de G .
• Si definimos un grupo de homomorfismo T  : G → Inn ( G ) por T ( x ) ( g ) = T _x ( g ) = xgx  ⁻¹ , entonces podemos describir N _G ( S ) y C _G ( S ) en términos de la acción de grupo de Inn ( G ) en G : el estabilizador de S en Inn ( G ) es T ( N _G ( S))), y el subgrupo de Inn ( G ) que fija S a la derecha es T ( C _G ( S )).
• Un subgrupo H de un grupo G se dice que es C-cerrado o auto-bicommutant si H = C _G ( S ) para algún subconjunto S  ⊆  G . Si es así, entonces, de hecho, H = C _G ( C _G ( H )).

Anillos y álgebras sobre un campo [ editar ]

Fuente: ^[4]

• Los centralizadores en anillos y en álgebras sobre un campo son subyugaciones y subalgebras sobre un campo, respectivamente; Los centralizadores en los anillos de Lie y en las álgebras de Lie son los subrings de Lie y las subalgebras de Lie, respectivamente.
• El normalizador de S en un anillo Lie contiene el centralizador de S .
• C _R ( C _R ( S )) contiene S pero no es necesariamente igual. El teorema del doble centralizador se ocupa de situaciones en las que se produce la igualdad.
• Si S es un subgrupo aditivo de un anillo de Lie A , entonces N _A ( S ) es el subgrupo de Lie más grande de Aen el que S es un ideal de Lie.
• Si S es un subanillo Lie de un anillo de Lie A , entonces S  ⊆  N _A ( S ).