MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

grupo es un conjunto equipado con una operación binaria que combina cualquiera de los dos elementos para formar un tercer elemento de tal manera que se satisfacen cuatro condiciones llamadas axiomas de grupo , a saber , cierre , asociatividad , identidad e invertibilidad . Uno de los ejemplos más familiares de un grupo es el conjunto de números enteros junto con la sumaOperación, pero los grupos se encuentran en numerosas áreas dentro y fuera de las matemáticas, y ayudan a centrarse en aspectos estructurales esenciales, separándolos de la naturaleza concreta de la materia del estudio. ^[1] [2]

Los grupos comparten un parentesco fundamental con la noción de simetría . Por ejemplo, un grupo de simetría codifica las características de simetría de un objeto geométrico : el grupo consiste en el conjunto de transformaciones que dejan el objeto sin cambios y la operación de combinar dos de tales transformaciones realizando una después de la otra. Los grupos de mentiras son los grupos de simetría utilizados en el Modelo estándar de la física de partículas ; Los grupos de Poincaré , que también son grupos de Lie, pueden expresar la simetría física subyacente a la relatividad especial ; y los grupos de puntos se utilizan para ayudar a comprender los fenómenos de simetría en química molecular.

El concepto de un grupo surgió del estudio de las ecuaciones polinomiales , comenzando con Évariste Galois en la década de 1830. Después de contribuciones de otros campos como la teoría de los números y la geometría, la noción de grupo se generalizó y se estableció firmemente alrededor de 1870. La teoría de grupos moderna , una disciplina matemática activa, estudia los grupos por derecho propio. ^{a [›]} Para explorar grupos, los matemáticos han ideado varias nociones para dividir los grupos en partes más pequeñas y comprensibles, como subgrupos , grupos de cocientes y grupos simples. Además de sus propiedades abstractas, los teóricos del grupo también estudian las diferentes formas en que un grupo puede expresarse de manera concreta, tanto desde el punto de vista de la teoría de la representación (es decir, a través de las representaciones del grupo ) como de la teoría de grupos computacional . Se ha desarrollado una teoría para grupos finitos , que culminó con la clasificación de grupos finitos simples , completada en 2004. ^{aa [›]} Desde mediados de la década de 1980, la teoría de grupos geométricos , que estudia los grupos generados finamente como objetos geométricos, se ha convertido en una activa Área en teoría de grupos.

Definición e ilustración [ editar ]

Primer ejemplo: los enteros [ editar ]

Uno de los grupos más familiares es el conjunto de enteros. $${\ displaystyle \ mathbb {Z}} que consiste en los números

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ..., ^[3] junto con la suma .

Las siguientes propiedades de la suma de enteros sirven como modelo para los axiomas de grupo que figuran en la definición a continuación.

• Para cualquiera de los dos enteros a y b , la suma a + b también es un entero. Es decir, la suma de enteros siempre produce un entero. Esta propiedad se conoce como cierre bajo adición.
• Para todos los enteros a , b y c , ( a + b ) + c = a + ( b + c ). Expresado en palabras, la adición de una a bprimero, y después añadiendo el resultado a c da el mismo resultado final como la adición de una a la suma de b y c , una propiedad conocida como la asociatividad .
• Si a es un entero, entonces 0 + a = a + 0 = a . Cero se denomina el elemento de identidad de adición porque al agregarlo a cualquier número entero se obtiene el mismo número entero.
• Para cada entero a , hay un entero b tal que a + b = b + a = 0. El entero b se llama el elemento inverso del entero a y se denota - a .

Los enteros, junto con la operación +, forman un objeto matemático que pertenece a una clase amplia que comparte aspectos estructurales similares. Para entender adecuadamente estas estructuras como un colectivo, se desarrolla la siguiente definición .

Definición [ editar ]

Los axiomas para un grupo son cortos y naturales ... Sin embargo, de alguna manera, detrás de estos axiomas se encuentra el monstruo simple , un objeto matemático enorme y extraordinario, que parece depender de numerosas coincidencias extrañas que existen. Los axiomas para grupos no dan ninguna pista obvia de que exista algo así.

Richard Borcherds en Matemáticos: una visión externa del mundo interior ^[4]

Un grupo es un conjunto , G , junto con una operación • (llamada la ley grupo de G ) que combina cualquier dos elementos un y b para formar otro elemento, que se denota un • b o ab . Para calificar como grupo, el conjunto y la operación, ( G , •) , deben cumplir cuatro requisitos conocidos como los axiomas de grupo : ^[5]

Cierre

Para todos un , b en G , el resultado de la operación, un • b , es también en G . ^segundo[>]

Asociatividad

Para todos un , b y c en G , ( un • b ) • c = un • ( b • c ).

Elemento de identidad

Existe un elemento e en G tal que, para cada elemento a en G , se cumple la ecuación e • a = a • e = a . Dicho elemento es único ( ver más abajo ), y por lo tanto se habla de la elemento de identidad.

Elemento inverso

Para cada a en G , existe un elemento b en G , comúnmente denotado a ⁻¹ (o - a , si la operación se denota "+"), tal que a • b = b • a = e , donde e es el elemento de identidad.

El resultado de una operación puede depender del orden de los operandos. En otras palabras, el resultado de combinar el elemento a con el elemento b no necesariamente produce el mismo resultado que al combinar el elemento b con el elemento a ; la ecuacion

a • b = b • a

Puede que no siempre sea cierto. Esta ecuación siempre se mantiene en el grupo de enteros debajo de la suma, porque a + b = b + a para dos enteros cualesquiera ( conmutatividad de la suma). Los grupos para los cuales la ecuación de conmutación a • b = b • a se mantiene siempre se denominan grupos abelianos (en honor de Niels Henrik Abel ). El grupo de simetría descrito en la siguiente sección es un ejemplo de un grupo que no es abeliano.

El elemento de identidad de un grupo G a menudo se escribe como 1 o 1 _G , ^[6] una notación heredada de la identidad multiplicativa . Si un grupo es abeliano, entonces uno puede elegir denotar la operación de grupo por + y el elemento de identidad por 0; en ese caso, el grupo se llama un grupo aditivo. El elemento de identidad también se puede escribir como id .

El conjunto G se denomina conjunto subyacente del grupo ( G , •) . A menudo, el conjunto G subyacente del grupo se usa como un nombre corto para el grupo ( G , •) . En la misma línea, las expresiones abreviadas como "un subconjunto del grupo G " o "un elemento del grupo G " se utilizan cuando lo que realmente quiere decir es "un subconjunto del conjunto G subyacente del grupo ( G , •) " o "un elemento del conjunto subyacente G del grupo ( G , •)". Por lo general, queda claro en el contexto si un símbolo como G se refiere a un grupo o a un conjunto subyacente.

Una definición alternativa (pero equivalente) es expandir la estructura de un grupo para definir un grupo como un conjunto equipado con tres operaciones que satisfacen los mismos axiomas que antes, con la parte "existe" eliminada en los dos últimos axiomas, estas operaciones son la ley de grupo, como se indica arriba, que es una operación binaria , la operación inversa , que es una operación unaria y mapea a a$${\ displaystyle a ^ {- 1},} y el elemento de identidad, que se ve como una operación 0-aria .

Como esta formulación de la definición evita los cuantificadores existenciales , generalmente se prefiere para la computación con grupos y para las pruebas asistidas por computadora . Esta formulación exhibe grupos como una variedad de álgebra universal . También es útil para hablar de las propiedades de la operación inversa, según sea necesario para definir grupos topológicos y objetos de grupo .

Segundo ejemplo: un grupo de simetría [ editar ]

Dos figuras en el plano son congruentes si una puede cambiarse por la otra utilizando una combinación de rotaciones , reflexiones y traslaciones . Cualquier figura es congruente consigo misma. Sin embargo, algunas figuras son congruentes con ellas mismas en más de una forma, y ​​estas congruencias adicionales se llaman simetrías . Un cuadrado tiene ocho simetrías. Estos son:

Los elementos del grupo de simetría del cuadrado (D ₄ ). Los vértices se identifican por color o número.

ID (manteniéndolo como es)	r 1 (rotación de 90 ° hacia la derecha)	r 2 (rotación de 180 ° hacia la derecha)	r 3 (rotación de 270 ° hacia la derecha)
f v (reflexión vertical)	f h (reflexión horizontal)	f d (reflexión diagonal)	f c (reflexión contra diagonal)

• la operación de identidad dejando todo sin cambios, denotado id;
• rotaciones del cuadrado alrededor de su centro 90 ° en el sentido de las agujas del reloj, 180 ° en el sentido de las agujas del reloj y 270 ° en el sentido de las agujas del reloj, indicadas por r ₁ , r ₂ y r ₃ , respectivamente;
• Reflexiones sobre la línea media vertical y horizontal (f _h y f _v ), oa través de las dos diagonales (f _d y f _c ).

Estas simetrías están representadas por funciones. Cada una de estas funciones envía un punto en el cuadrado al punto correspondiente bajo la simetría. Por ejemplo, r ₁ envía un punto a su rotación 90 ° en el sentido de las agujas del reloj alrededor del centro del cuadrado, y f _h envía un punto a su reflejo a través de la línea media vertical del cuadrado. La composición de dos de estas funciones de simetría da otra función de simetría. Estas simetrías determinan un grupo denominado grupo diédrico de grado 4 y denotado D ₄ . El conjunto subyacente del grupo es el conjunto anterior de funciones de simetría, y la operación de grupo es la composición de la función . ^[7]Dos simetrías se combinan al componerlas como funciones, es decir, aplicar la primera al cuadrado y la segunda al resultado de la primera aplicación. El resultado de realizar primero una y luego b está escrito simbólicamente de derecha a izquierda como

b • a ("aplicar la simetría b después de realizar la simetría a ").

La notación de derecha a izquierda es la misma notación que se utiliza para la composición de funciones.

La tabla de grupos de la derecha enumera los resultados de todas las composiciones posibles. Por ejemplo, girar 270 ° en el sentido de las agujas del reloj (r ₃ ) y luego reflejar horizontalmente (f _h ) es lo mismo que realizar una reflexión a lo largo de la diagonal (f _d ). Usando los símbolos anteriores, resaltados en azul en la tabla de grupo:

f _h • r ₃ = f _d .

Tabla de grupo de D ₄

•	carné de identidad	r 1	r 2	r 3	f v	f h	f d	f c
carné de identidad	carné de identidad	r 1	r 2	r 3	f v	f h	f d	f c
r 1	r 1	r 2	r 3	carné de identidad	f c	f d	f v	f h
r 2	r 2	r 3	carné de identidad	r 1	f h	f v	f c	f d
r 3	r 3	carné de identidad	r 1	r 2	f d	f c	f h	f v
f v	f v	f d	f h	f c	carné de identidad	r 2	r 1	r 3
f h	f h	f c	f v	f d	r 2	carné de identidad	r 3	r 1
f d	f d	f h	f c	f v	r 3	r 1	carné de identidad	r 2
f c	f c	f v	f d	f h	r 1	r 3	r 2	carné de identidad
Los elementos id, r 1 , r 2 y r 3 forman un subgrupo , resaltado en     rojo (región superior izquierda).Un coset izquierdo y derecho de este subgrupo se resalta en     verde (en la última fila) y     amarillo (última columna), respectivamente.

Dado este conjunto de simetrías y la operación descrita, los axiomas de grupo se pueden entender de la siguiente manera:

1. El axioma de cierre exige que la composición b • a de cualquiera de las dos simetrías a y b sea ​​también una simetría. Otro ejemplo para la operación de grupo es

   r ₃ • f _h = f _c ,

   es decir, girar 270 ° en el sentido de las agujas del reloj después de reflejar horizontalmente es igual a reflejar a lo largo de la contra diagonal (f _c ). De hecho, cualquier otra combinación de dos simetrías sigue dando una simetría, como puede comprobarse utilizando la tabla de grupos.
2. La restricción de asociatividad trata de componer más de dos simetrías: Comenzando con tres elementos a , b y c de D ₄ , hay dos formas posibles de usar estas tres simetrías en este orden para determinar una simetría del cuadrado. Una de estas maneras es componer primero una y b en una sola simetría, a continuación, para componer que la simetría con c . La otra forma es a primera componga b y c , a continuación, para componer la simetría resultante con un . La condición de asociatividad.

   ( a • b ) • c = a • ( b • c )

   significa que estas dos formas son las mismas, es decir, un producto de muchos elementos de grupo se puede simplificar en cualquier agrupación. Por ejemplo, (f _d • f _v ) • r ₂ = f _d • (f _v • r ₂ ) se puede verificar usando la tabla de grupos de la derecha

   (f d • f v ) • r 2	=	r 3 • r 2	=	r 1 , que es igual a
   f d • (f v • r 2 )	=	f d • f h	=	r 1 .

   Si bien la asociatividad es verdadera para las simetrías del cuadrado y la suma de números, no es verdadera para todas las operaciones. Por ejemplo, la resta de números no es asociativa: (7 - 3) - 2 = 2no es lo mismo que 7 - (3 - 2) = 6.
3. El elemento de identidad es el id de simetría que deja todo sin cambios: para cualquier simetría a , realizar id después de a (o a after id) es igual a , en forma simbólica,

   id • a = a ,

   a • id = a .

4. Un elemento inverso deshace la transformación de algún otro elemento. Cada simetría se puede deshacer: cada una de las siguientes transformaciones (id de identidad, las reflexiones f _h , f _v , f _d , f _c y la rotación de 180 ° r ₂₎ es su propia inversa, ya que al realizarla dos veces, el cuadrado vuelve a Su orientación original. Las rotaciones r ₃ y r ₁ son inversas entre sí, ya que al girar 90 ° y luego la rotación 270 ° (o viceversa) se obtiene una rotación de más de 360 ​​° que deja el cuadro sin cambios. En simbolos,
   f _h • f _h = id,
   r ₃ • r ₁ = r ₁ • r ₃ = id.

En contraste con el grupo de enteros de arriba, donde el orden de la operación es irrelevante, sí importa en D ₄ : f _h • r ₁ = f _c pero r ₁ • f _h = f _d . En otras palabras, D ₄ no es abeliano, lo que hace que la estructura del grupo sea más difícil que los enteros introducidos primero.

Historia [ editar ]

Artículo principal: Historia de la teoría de grupos.

El concepto moderno de un grupo abstracto desarrollado a partir de varios campos de las matemáticas. ^{[8] [9] [10]}La motivación original para la teoría de grupos fue la búsqueda de soluciones de ecuaciones polinomiales de grado superior a 4. El matemático francés del siglo XIX Évariste Galois , extendiendo el trabajo previo de Paolo Ruffini y Joseph-Louis Lagrange , dio un criterio para la solvencia de una ecuación polinomial particular en términos del grupo de simetría de sus raíces (soluciones). Los elementos de dicho grupo de Galois corresponden a ciertas permutacionesde las raíces. Al principio, las ideas de Galois fueron rechazadas por sus contemporáneos y se publicaron solo póstumamente. ^[11] [12] Los grupos de permutación más generales fueron investigados en particular por Augustin Louis Cauchy . Arthur Cayley 's en la teoría de grupos, como en función de la ecuación simbólica θ ⁿ = 1 (1854) da la primera definición abstracta de un grupo finito . ^[13]

La geometría era un segundo campo en el que los grupos se usaban sistemáticamente, especialmente los grupos de simetría como parte del programa Erlangen de 1872 de Felix Klein . ^[14] Después de que surgieran nuevas geometrías como la geometría hiperbólica y proyectiva , Klein utilizó la teoría de grupos para organizarlas de una manera más coherente. Avanzando estas ideas, Sophus Lie fundó el estudio de los grupos de Lie en 1884. ^[15]

El tercer campo que contribuyó a la teoría de grupos fue la teoría de los números . Ciertas estructuras de grupos abelianos se habían usado implícitamente en la obra de teoría teórica de Carl Friedrich Gauss , Disquisitiones Arithmeticae (1798), y más explícitamente por Leopold Kronecker . ^[16] En 1847, Ernst Kummer hizo los primeros intentos para probar el último teorema de Fermat desarrollando grupos que describieran la factorización en números primos . ^[17]

La convergencia de estas diversas fuentes en una teoría uniforme de grupos comenzó con Camille Jordan 's Traité des sustituciones et des ecuaciones algébriques (1870). ^[18] Walther von Dyck (1882) introdujo la idea de especificar un grupo por medio de generadores y relaciones, y también fue el primero en dar una definición axiomática de un "grupo abstracto", en la terminología de la época. ^[19] A partir del siglo XX, los grupos obtuvieron un amplio reconocimiento por el trabajo pionero de Ferdinand Georg Frobenius y William Burnside , quienes trabajaron en la teoría de la representación de grupos finitos, Richard Brauer 'sLa teoría de la representación modular y los documentos de Issai Schur . ^[20] La teoría de los grupos de Lie, y más generalmente los grupos localmente compactos fue estudiada por Hermann Weyl , Élie Cartan y muchos otros. ^[21] Su contraparte algebraica, la teoría de los grupos algebraicos , fue formada primero por Claude Chevalley(desde finales de la década de 1930) y más tarde por el trabajo de Armand Borel y Jacques Tits . ^[22]

El año teórico de los grupos 1960–61 de la Universidad de Chicago reunió a teóricos de grupos como Daniel Gorenstein , John G. Thompson y Walter Feit , sentando las bases de una colaboración que, con el aporte de muchos otros matemáticos, condujo a la clasificación de finitos. grupos simples , con el paso final dado por Aschbacher y Smith en 2004. Este proyecto superó los esfuerzos matemáticos anteriores por su gran tamaño, tanto en la longitud de la prueba como en el número de investigadores. La investigación está en curso para simplificar la prueba de esta clasificación. ^{[23] En} estos días, la teoría de grupos sigue siendo una rama matemática muy activa, que afecta a muchos otros campos. ^una[>]

Consecuencias elementales de los axiomas de grupo [ editar ]

Los datos básicos sobre todos los grupos que pueden obtenerse directamente de los axiomas grupales se suelen incluir en la teoría elemental de grupos . ^[24] Por ejemplo, las aplicaciones repetidas del axioma de asociatividad muestran que la no ambigüedad de

a • b • c = ( a • b ) • c = a • ( b • c )

Se generaliza a más de tres factores. Debido a que esto implica que los paréntesis se pueden insertar en cualquier parte dentro de una serie de términos, los paréntesis generalmente se omiten. ^[25]

Los axiomas pueden debilitarse para afirmar solo la existencia de una identidad de izquierda y de inversos de izquierda . Se puede demostrar que ambos son realmente de dos caras, por lo que la definición resultante es equivalente a la que se dio anteriormente. ^[26]

Unicidad de elementos de identidad e inversos [ editar ]

Dos consecuencias importantes de los axiomas de grupo son la singularidad del elemento de identidad y la singularidad de los elementos inversos. Solo puede haber un elemento de identidad en un grupo, y cada elemento de un grupo tiene exactamente un elemento inverso. Por lo tanto, es costumbre hablar de la identidad y la inversa de un elemento. ^[27]

Para probar la unicidad de un elemento inverso de una , supongamos que una tiene dos inversos, denotado b y c, en un grupo ( G , •). Entonces

segundo	=	b • e		como e es el elemento de identidad
	=	b • ( a • c )		porque c es una inversa de a , entonces e = a • c
	=	( b • a ) • c		Por asociatividad, que permite reorganizar los paréntesis.
	=	e • c		ya que b es un inverso de a , es decir, b • a = e
	=	do		para e es el elemento de identidad

El término b en la primera línea de arriba y la c en la última son iguales, ya que están conectados por una cadena de igualdades. En otras palabras, solo hay un elemento inverso de a . De manera similar, para probar que el elemento de identidad de un grupo es único, suponga que G es un grupo con dos elementos de identidad e y f . Entonces e = e • f = f , por lo tanto e y f son iguales.

División [ editar ]

En grupos, la existencia de elementos inversos implica que la división es posible: dados los elementos a y b del grupo G , hay exactamente una solución x en G a la ecuación x • a = b , a saber b • a ⁻¹ . ^[27] De hecho, tenemos

( b • a ⁻¹ ) • a = b • ( a ⁻¹ • a ) = b • e = b .

La singularidad resulta al multiplicar los dos lados de la ecuación x • a = b por a ⁻¹ . El elemento b • a ⁻¹ , a menudo denotado b / a , se denomina cociente correcto de b por a , o el resultado de la división derecha de b por a .

De manera similar, hay exactamente una solución y en G a la ecuación a • y = b , es decir, y = a ⁻¹ • b . Esta solución es el cociente izquierdo de b por a , y a veces se denota a \ b .

En general, b / a y a \ b pueden ser diferentes, pero, si la operación de grupo es conmutativa (es decir, si el grupo es abeliano ), son iguales. En este caso, la operación de grupo a menudo se denota como una suma , y se habla de resta y diferencia en lugar de división y cociente.

Una consecuencia de esto es que la multiplicación por un elemento de grupo g es una bijección . Específicamente, si g es un elemento del grupo G , la función (matemáticas) de G a sí mismo que mapea h ∈ G a g • h es una bijección. Esta función se llama la traducción izquierda por g . De manera similar, la traducción correcta de g es la bijección de G a sí misma, que mapea h a h • g . SiG es abeliano, la traducción de la izquierda y la derecha por un elemento de grupo son las mismas.

Conceptos básicos [ editar ]

Las siguientes secciones utilizan símbolos matemáticos tales como X = { x , y , z } para denotar un conjunto X que contiene elementos de x , y , y z , o alternativamente x ∈ X reiterar que x es un elemento de X . La notación f  : X → Y significa que f es una función que asigna a cada elemento de X un elemento de Y.

Para entender los grupos más allá del nivel de meras manipulaciones simbólicas como se mencionó anteriormente, se deben emplear conceptos más estructurales. ^{c [›]} Hay un principio conceptual que subyace a todas las nociones siguientes: para aprovechar la estructura ofrecida por los grupos (que los conjuntos, al ser" sin estructura ", no tienen), las construcciones relacionadas con los grupos deben ser compatiblesCon la operación grupal. Esta compatibilidad se manifiesta en las siguientes nociones de varias maneras. Por ejemplo, los grupos pueden relacionarse entre sí mediante funciones denominadas homomorfismos de grupo. Por el principio mencionado, se les exige respetar las estructuras grupales en un sentido preciso. La estructura de los grupos también se puede entender dividiéndolos en partes llamadas subgrupos y grupos de cocientes. El principio de "preservar las estructuras", un tema recurrente en las matemáticas a lo largo, es una instancia de trabajar en una categoría , en este caso la categoría de grupos . ^[28]

Homomorfismo de grupos [ editar ]

Artículo principal: Homomorfismo grupal.

Los homomorfismos de grupo ^{g [›]} son funciones que preservan la estructura del grupo. Una función a : G → Hentre dos grupos ( G , •) y ( H , ∗) se llama homomorfismo si la ecuación

a ( g • k ) = a ( g ) ∗ a ( k )

vale para todos los elementos g , k en g . En otras palabras, el resultado es el mismo cuando se realiza la operación de grupo después o antes de aplicar el mapa a . Este requisito garantiza que un (1 _G ) = 1 _H , y también una ( g ) ^-1 = una ( g ^-1 ) para todos g en G . Así, un homomorfismo de grupo respeta toda la estructura de G proporcionada por los axiomas de grupo. ^[29]

Dos grupos G y H se llaman isomorfos si existen grupo Homomorfismos un : G → H y b : H → G , de manera que la aplicación de las dos funciones , una tras otra en cada uno de los dos órdenes posibles da las funciones de identidad de G y H . Es decir, a ( b ( h )) = h y b ( a ( g )) = g para cualquier gen G y h en H . Desde un punto de vista abstracto, los grupos isomorfos llevan la misma información. Por ejemplo, lo que demuestra que g • g = 1 _Gpara algún elemento g de G es equivalente a probar que una ( g ) * una ( g ) = 1 _H , debido a la aplicación de unade la primera igualdad se obtiene la segunda, y la aplicación de b a El segundo devuelve el primero.

Subgrupos [ editar ]

Artículo principal: Subgrupo

De manera informal, un subgrupo es un grupo H contenida dentro de uno más grande, G . ^[30] Concretamente, el elemento de identidad de G está contenido en H , y cuando h ₁ y h ₂ están en H , también lo están h ₁ • h ₂ y h ₁⁻¹ , por lo que los elementos de H , equipados con el grupo Operación en G restringida a H , de hecho forma un grupo.

En el ejemplo anterior, la identidad y las rotaciones constituyen un subgrupo R = {id, r ₁ , r ₂ , r ₃ }, resaltado en rojo en la tabla del grupo anterior: cualquiera de las dos rotaciones compuestas son todavía una rotación, y una rotación puede deshacer por (es decir, es inverso a) las rotaciones complementarias 270 ° para 90 °, 180 ° para 180 ° y 90 ° para 270 ° (tenga en cuenta que la rotación en la dirección opuesta no está definida). La prueba de subgrupos es una condición necesaria y suficiente para que un subconjunto H no vacío de un grupo G sea ​​un subgrupo: es suficiente verificar que g ⁻¹ h ∈ Hpara todos los elementos g , h ∈ H . Conocer los subgrupos es importante para entender al grupo como un todo. ^re[>]

Dado cualquier subconjunto S de un grupo G , el subgrupo generado por S consiste en productos de elementos de S y sus inversos. Es el subgrupo más pequeño de G que contiene S . ^[31] En el ejemplo introductorio anterior, el subgrupo generado por r ₂ y f _v consta de estos dos elementos, el elemento de identidad id y f _h = f _v • r ₂ . Nuevamente, este es un subgrupo, porque la combinación de dos de estos cuatro elementos o sus inversos (que son, en este caso particular, estos mismos elementos) produce un elemento de este subgrupo.

Cosets [ editar ]

Artículo principal: Coset

En muchas situaciones, es deseable considerar dos elementos de grupo iguales si difieren por un elemento de un subgrupo dado. Por ejemplo, en la D ₄ anterior, una vez que se realiza una reflexión, el cuadrado nunca vuelve a la configuración r ₂ simplemente aplicando las operaciones de rotación (y no más reflexiones), es decir, las operaciones de rotación son irrelevantes para la pregunta de si una reflexión Se ha realizado. Los costos se utilizan para formalizar esta información: un subgrupo H define los cosets izquierdo y derecho, que pueden considerarse como traducciones de H por elementos de grupo arbitrarios g . En términos simbólicos, los cosets izquierdo y derecho de H contieneng son

gH = { g • h  : h ∈ H } y Hg = { h • g  : h ∈ H }, respectivamente. ^[32]

Los cosets izquierdos de cualquier subgrupo H forman una partición de G ; es decir, la unión de todos los cosets izquierdos es igual a G y dos cosets izquierdos son iguales o tienen una intersección vacía . ^[33] El primer caso g ₁ H = g ₂ H sucede precisamente cuando g ₁ ^-1 • g ₂ ∈ H , es decir, si los dos elementos difieren por un elemento de H . Consideraciones similares se aplican a los cosets correctos de H . Los cosets izquierdo y derecho de H pueden o no ser iguales. Si lo son, es decir, para todos los g en G , gH = Hg , entonces se dice que H es un subgrupo normal .

En D ₄ , el grupo de simetría introductorio, los cosets izquierdos gR del subgrupo R que consisten en las rotaciones son iguales a R , si g es un elemento de R , o de lo contrario es igual a U = f _c R = {f _c , f _v , f _d , f _h }(resaltado en verde). El subgrupo R también es normal, porque f _c R = U = R f _c y de manera similar para cualquier elemento que no sea f _c. (De hecho, en el caso de D ₄ , observe que todos los cosets son iguales, de manera que f _h R = f _v R = f _d R = f _c R ).

Grupos de cociente [ editar ]

Artículo principal: Grupo cociente.

En algunas situaciones, el conjunto de cosets de un subgrupo puede ser dotado de una ley de grupo, dando un grupo de cociente o grupo de factores . Para que esto sea posible, el subgrupo tiene que ser normal . Dado cualquier subgrupo normal N , el grupo cociente se define por

G / N = { gN , g ∈ G }, " G módulo N ". ^[34]

Este conjunto hereda una operación de grupo (a veces llamada clase lateral multiplicación, o adición clase lateral) del grupo original G : ( gN ) • ( hN ) = ( gh ) N para todos g y h en G . Esta definición está motivada por la idea (en sí misma, una instancia de las consideraciones estructurales generales descritas anteriormente) de que el mapa G → G / N que se asocia a cualquier elemento g en su coset gN es un homomorfismo grupal, o por consideraciones abstractas generales llamadas propiedades universales . El coset eN= N sirve como la identidad de este grupo, y la inversa de gN en el grupo cociente es ( gN ) ^-1 = ( g ^-1 ) N . ^mi[>]

Tabla de grupos del cociente grupo D ₄ / R

•	R	U
R	R	U
U	U	R

Los elementos del grupo cociente D ₄ / R son R en sí, que representa la identidad, y U = f _v R . La operación de grupo en el cociente se muestra a la derecha. Por ejemplo, U • U = f _v R • f _v R = (f _v • f _v ) R = R . Tanto el subgrupo R = {id, r ₁ , r ₂ , r ₃ }, como el cociente correspondiente son abelianos, mientras que D ₄no es abeliano. La construcción de grupos más grandes por grupos más pequeños, como D ₄ de su subgrupo R y el cociente D ₄ / R se abstrae mediante una noción llamada producto semidirecto .

Los grupos de cociente y los subgrupos forman una forma de describir cada grupo por su presentación : cualquier grupo es el cociente del grupo libre sobre los generadores del grupo, cocido por el subgrupo de relaciones . El grupo diédrico D ₄ , por ejemplo, puede ser generado por dos elementos r y f (por ejemplo, r  = r ₁ , la rotación a la derecha y f  = f _v la reflexión vertical (o cualquier otra)), lo que significa que toda simetría Del cuadrado es una composición finita de estas dos simetrías o sus inversos. Junto con las relaciones

r ⁴  =  f ²  = ( r • f ) ²  = 1, ^[35]

El grupo está completamente descrito. Una presentación de un grupo también se puede usar para construir el gráfico de Cayley , un dispositivo que se usa para capturar gráficamente grupos discretos .

Los grupos de sub y cocientes se relacionan de la siguiente manera: un subconjunto H de G puede verse como un mapa inyectivo H → G , es decir, cualquier elemento del objetivo tiene como máximo un elemento que se asigna a él . La contrapartida de inyectiva mapas son suprayectivos mapas (cada elemento del objetivo está asignada a), tales como el mapa canónica G → G / N . ^{y [›] La} interpretación de subgrupos y cocientes a la luz de estos homomorfismos enfatiza el concepto estructural inherente a estas definiciones a las que se alude en la introducción. En general, los homomorfismos no son inyectivos ni suryectivos.El núcleo y la imagen de homomorfismos de grupo y el primer teorema de isomorfismo abordan este fenómeno.

Ejemplos y aplicaciones [ editar ]

Artículos principales: Ejemplos de grupos y aplicaciones de la teoría de grupos.

Un patrón de papel tapiz periódico da lugar a un grupo de papel tapiz .

El grupo fundamental de un plano menos un punto (negrita) consiste en bucles alrededor del punto faltante. Este grupo es isomorfo a los enteros.

Abundan los ejemplos y aplicaciones de grupos. Un punto de partida es el grupo Z de enteros con la suma como operación de grupo, que se presentó anteriormente. Si en lugar de sumar se considera la multiplicación , se obtienen grupos multiplicativos . Estos grupos son predecesores de construcciones importantes en álgebra abstracta .

Los grupos también se aplican en muchas otras áreas matemáticas. Los objetos matemáticos a menudo se examinan asociando grupos a ellos y estudiando las propiedades de los grupos correspondientes. Por ejemplo, Henri Poincaré fundó lo que ahora se llama topología algebraica al introducir el grupo fundamental . ^[36] Por medio de esta conexión, las propiedades topológicascomo la proximidad y la continuidad se traducen en propiedades de grupos. ^{i [›]}Por ejemplo, los elementos del grupo fundamental están representados por bucles. La segunda imagen a la derecha muestra algunos bucles en un plano menos un punto. Se considera el lazo azul.nulo-homotópico (y, por lo tanto, irrelevante), porque se puede reducir continuamente a un punto. La presencia del orificio evita que el bucle naranja se contraiga hasta un punto. El grupo fundamental del plano con un punto eliminado resulta ser infinito cíclico, generado por el bucle naranja (o cualquier otro bucle que se enrolle una vezalrededor del agujero). De esta manera, el grupo fundamental detecta el agujero.

En aplicaciones más recientes, la influencia también se ha invertido para motivar construcciones geométricas por un fondo teórico de grupo. ^{j [›]} De manera similar, la teoría de grupos geométricos emplea conceptos geométricos, por ejemplo, en el estudio de grupos hiperbólicos . ^[37] Otras ramas que se aplican de manera crucial a los grupos incluyen la geometría algebraica y la teoría de números . ^[38]

Además de las aplicaciones teóricas anteriores, existen muchas aplicaciones prácticas de grupos. La criptografía se basa en la combinación del enfoque de la teoría de grupos abstracta junto con el conocimiento algorítmicoobtenido en la teoría de grupos computacionales , en particular cuando se implementa para grupos finitos. ^[39]Las aplicaciones de la teoría de grupos no están restringidas a las matemáticas; Las ciencias como la física , la química y la informática se benefician de este concepto.

Números [ editar ]

Muchos sistemas numéricos, como los enteros y los racionales, disfrutan de una estructura de grupo dada naturalmente. En algunos casos, como con los racionales, las operaciones de suma y multiplicación dan lugar a estructuras grupales. Dichos sistemas numéricos son antecesores de estructuras algebraicas más generales conocidas como anillos y campos . Otros conceptos algebraicos abstractos como módulos , espacios vectorialesy álgebras también forman grupos.

Enteros [ editar ]

El grupo de enteros $${\ displaystyle \ mathbb {Z}} bajo adición, denotado $${\ displaystyle \ left (\ mathbb {Z}, + \ right)}, ha sido descrito anteriormente. Los enteros, con la operación de multiplicación en vez de suma,$${\ displaystyle \ left (\ mathbb {Z}, \ cdot \ right)}no no formar un grupo. Los axiomas de cierre, asociatividad e identidad se satisfacen, pero no existen inversos: por ejemplo, a = 2 es un número entero, pero la única solución a la ecuación a · b = 1 en este caso es b = 1/2 , que es un número racional, pero no un entero. Por lo tanto, no todos los elementos de$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}Tiene un inverso (multiplicativo). ^{k [›]}

Racionales [ editar ]

El deseo por la existencia de inversos multiplicativos sugiere considerar fracciones.

$${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}.}

Las fracciones de enteros (con b distinto de cero) se conocen como números racionales . ^{l [›]} El conjunto de todas estas fracciones irreductibles se denota comúnmente$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}. Todavía hay un pequeño obstáculo para$${\ displaystyle \ left (\ mathbb {Q}, \ cdot \ right)}, los racionales con multiplicación, siendo un grupo: porque el número racional 0 no tiene un inverso multiplicativo (es decir, no hay x tal que x · 0 = 1 ),$${\ displaystyle \ left (\ mathbb {Q}, \ cdot \ right)} Todavía no es un grupo.

Sin embargo, el conjunto de todos los números racionales no nulos$${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ setminus \ left \ {0 \ right \} = \ left \ {q \ in \ mathbb {Q} \ mid q \ neq 0 \ right \}} forma un grupo abeliano bajo multiplicación, generalmente denotado $${\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {*}}. ^{m [›]} Los axiomas de los elementos de asociatividad e identidad se derivan de las propiedades de los enteros. El requisito de cierre sigue siendo válido después de eliminar cero, porque el producto de dos racionales distintos de cero nunca es cero. Finalmente, el inverso de a / b es b / a , por lo tanto, se satisface el axioma del elemento inverso.

Los números racionales (incluido 0) también forman un grupo bajo adición. Las operaciones de suma y multiplicación entrelazadas producen estructuras más complicadas llamadas anillos y, si es posible la división, como en$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}- Campos , que ocupan una posición central en álgebra abstracta . Los argumentos teóricos del grupo, por lo tanto, subyacen en partes de la teoría de esas entidades. ^norte[>]

Aritmética modular [ editar ]

Las horas en un reloj forman un grupo que usa la suma módulo 12. Aquí 9 + 4 = 1.

En la aritmética modular , se agregan dos enteros y luego la suma se divide por un entero positivo llamado módulo. El resultado de la adición modular es el resto de esa división. Para cualquier módulo, n , el conjunto de enteros de 0 a n - 1 forma un grupo bajo adición modular: la inversa de cualquier elemento a es n - a , y 0 es el elemento de identidad. Esto es familiar por la adición de horas en la cara de un reloj : si la manecilla de la hora está en 9 y avanza 4 horas, termina en 1, como se muestra a la derecha. Esto se expresa diciendo que 9 + 4 es igual a 1 "módulo 12" o, en símbolos,

9 + 4 ≡ 1 modulo 12.

El grupo de enteros módulo n está escrito.$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}} o $${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}.

Para cualquier número primo p , también existe el grupo multiplicativo de enteros módulo p . ^[40] Sus elementos son los enteros 1 a p - 1 . La operación de grupo es la multiplicación módulo p . Es decir, el producto habitual se divide por p y el resto de esta división es el resultado de la multiplicación modular. Por ejemplo, si p = 5 , hay cuatro elementos de grupo 1, 2, 3, 4. En este grupo, 4 · 4 = 1 , porque el producto habitual 16 es equivalente a 1, que dividido por 5 produce un resto de 1 .para 5 divisiones 16 - 1 = 15 , denotado

16 ≡ 1 (mod 5).

La primalidad de p garantiza que el producto de dos enteros, ninguno de los cuales es divisible por p, tampoco sea divisible por p , por lo que el conjunto de clases indicado se cierra bajo la multiplicación. ^{o [›]} El elemento de identidad es 1, como es habitual en un grupo multiplicativo, y la asociatividad se deriva de la propiedad correspondiente de los enteros. Finalmente, el axioma del elemento inverso requiere que dado un entero a no divisible por p , exista un entero b tal que

a  ·  b  ≡ 1 (mod p ), es decir, p divide la diferencia a · b - 1 .

El inverso b se puede encontrar usando la identidad de Bézout y el hecho de que el mayor divisor común gcd ( a , p ) es igual a 1. ^[41] En el caso de p = 5 anterior, el inverso de 4 es 4, y el inverso de 3 es 2, como 3 · 2 = 6 ≡ 1 (mod 5) . De ahí que se cumplan todos los axiomas de grupo. En realidad, este ejemplo es similar a$${\ displaystyle \ left (\ mathbb {Q} \ setminus \ left \ {0 \ right \}, \ cdot \ right)} arriba: consiste exactamente en aquellos elementos en $${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}Que tengan un inverso multiplicativo. ^[42] Estos grupos se denotan F _p ^× . Son cruciales para la criptografía de clave pública . ^pag[>]

Grupos cíclicos [ editar ]

Artículo principal: Grupo cíclico.

Las 6 raíces complejas de la unidad forman un grupo cíclico. z es un elemento primitivo, pero z ² no lo es, porque las potencias impares de z no son una potencia de z ² .

Un grupo cíclico es un grupo cuyos elementos son poderes de un elemento en particular a . ^[43] En notación multiplicativa, los elementos del grupo son:

..., a ⁻³ , a ⁻² , a ⁻¹ , a ⁰ = e , a , a ² , a ³ , ...,

donde un ² significa un • una , y un ^-3 representa un ^-1 • un ^-1 • un ^-1 = ( un • un • una ) ^-1 etc. ^{h [>]} Tal elemento una se llama un generador o Un elemento primitivodel grupo. En la notación aditiva, el requisito para que un elemento sea primitivo es que cada elemento del grupo se pueda escribir como

..., - a - a , - a , 0, a , a + a , ...

En los grupos Z / n Z introducidos anteriormente, el elemento 1 es primitivo, por lo que estos grupos son cíclicos. De hecho, cada elemento se puede expresar como una suma, todos cuyos términos son 1. Cualquier grupo cíclico con nelementos es isomorfo para este grupo. Un segundo ejemplo para grupos cíclicos es el grupo de n -ésimas raíces complejas de unidad , dado por números complejos z que satisfacen z ⁿ = 1 . Estos números se pueden visualizar como los vértices en un n -gon regular , como se muestra en azul a la derecha para n = 6 . La operación de grupo es la multiplicación de números complejos. En la imagen, multiplicando conz corresponde a una rotación en sentido antihorario en 60 °. ^[44] Usando alguna teoría de campo , se puede mostrar que el grupo F _p ^× es cíclico: por ejemplo, si p = 5 , 3 es un generador ya que 3 ¹ = 3 , 3 ² = 9 ≡ 4 , 3 ³ ≡ 2 , y 3 ⁴ ≡ 1 .

Algunos grupos cíclicos tienen un número infinito de elementos. En estos grupos, para cada elemento no nulo una , todas las potencias de una son distintos; A pesar del nombre "grupo cíclico", las potencias de los elementos no funcionan. Un grupo cíclico infinito es isomorfo a ( Z , +) , el grupo de enteros bajo adición introducido anteriormente. ^[45] Como estos dos prototipos son abelianos, también lo es cualquier grupo cíclico.

El estudio de los grupos abelianos generados de manera definitiva es bastante maduro, incluido el teorema fundamental de los grupos abelianos generados de manera definitiva ; y reflejando este estado de cosas, muchas nociones relacionadas con el grupo, como centro y conmutador , describen la medida en que un grupo determinado no es abeliano. ^[46]

Grupos de simetría [ editar ]

Artículo principal: Grupo de simetría.

Véase también: Simetría molecular , Grupo espacial y Simetría en física.

Los grupos de simetría son grupos que consisten en simetrías de objetos matemáticos dados, ya sean de naturaleza geométrica, como el grupo de simetría introductorio del cuadrado, o de naturaleza algebraica, como las ecuaciones polinomiales y sus soluciones. ^[47] Conceptualmente, la teoría de grupos puede considerarse como el estudio de la simetría. ^{t [›] Las} simetrías en matemáticas simplifican enormemente el estudio de objetos geométricos o analíticos . Se dice que un grupo actúa sobre otro objeto matemático X si cada elemento del grupo realiza alguna operación en Xcompatible con la ley de grupos. En el ejemplo más a la derecha a continuación, un elemento del orden 7 del grupo de triángulos (2,3,7) actúa sobre el mosaico permutando los triángulos deformados resaltados (y los otros, también). Mediante una acción de grupo, el patrón de grupo está conectado a la estructura del objeto sobre el que se actúa.

Las rotaciones y reflexiones forman el grupo de simetría de un gran icosaedro .

En campos químicos, como la cristalografía , los grupos espaciales y los grupos de puntos describen simetrías moleculares y simetrías de cristal. Estas simetrías son la base del comportamiento químico y físico de estos sistemas, y la teoría de grupos permite la simplificación del análisis mecánico cuántico de estas propiedades. ^[48] Por ejemplo, la teoría de grupos se usa para mostrar que las transiciones ópticas entre ciertos niveles cuánticos no pueden ocurrir simplemente debido a la simetría de los estados involucrados.

Los grupos no solo son útiles para evaluar las implicaciones de las simetrías en las moléculas, sino que, sorprendentemente, también predicen que las moléculas a veces pueden cambiar la simetría. El efecto Jahn-Teller es una distorsión de una molécula de alta simetría cuando adopta un estado fundamental particular de menor simetría de un conjunto de posibles estados básicos relacionados entre sí por las operaciones de simetría de la molécula. ^[49] [50]

Del mismo modo, la teoría de grupos ayuda a predecir los cambios en las propiedades físicas que ocurren cuando un material experimenta una transición de fase , por ejemplo, de una forma cristalina cúbica a una tetraédrica. Un ejemplo son los materiales ferroeléctricos , donde el cambio de un estado paraelectrico a un estado ferroeléctrico se produce a la temperatura de Curie y se relaciona con un cambio del estado paraelectrico de alta simetría al estado ferroeléctrico de baja simetría, acompañado del llamado modo de fonón suave . , un modo de red vibracional que va a frecuencia cero en la transición. ^[51]

Tal ruptura espontánea de simetría ha encontrado una aplicación adicional en la física de partículas elementales, donde su aparición está relacionada con la aparición de los bosones de Goldstone .

Buckminsterfullerenemuestra  simetría icosaédrica, aunque los dobles enlaces reducen esto a simetría piritoédrica .	Amoniaco , N H 3 .Su grupo de simetría es de orden 6, generado por una rotación de 120 ° y una reflexión.	Cubano C 8 H 8presenta  simetría octaédrica.	Hexaaquacopper (II)complejo ion , [Cu (OH 2 ) 6 ] 2+ . En comparación con una forma perfectamente simétrica, la molécula se dilata verticalmente en aproximadamente un 22% (efecto Jahn-Teller).	El grupo triángulo (2,3,7), un grupo hiperbólico, actúa sobre este mosaicodel planohiperbólico .

Los grupos de simetría finita, como los grupos de Mathieu, se utilizan en la teoría de la codificación , que a su vez se aplica en la corrección de errores de los datos transmitidos, y en los reproductores de CD . ^[52] Otra aplicación es la teoría de Galois diferencial , que caracteriza funciones que tienen antiderivadas de una forma prescrita, y proporciona criterios teóricos de grupo para cuando las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales se comportan bien. ^{u [›]} Las propiedades geométricas que permanecen estables en acciones grupales se investigan en teoría invariante (geométrica) . ^[53]

Grupo lineal general y la teoría de la representación [ editar ]

Artículos principales: Grupo lineal general y teoría de la representación.

Dos vectores (la ilustración de la izquierda) multiplicados por matrices (las ilustraciones del medio y la derecha). La ilustración central representa una rotación en el sentido de las agujas del reloj en 90 °, mientras que la más a la derecha estira la coordenada x por el factor 2.

Los grupos de matrices consisten en matrices junto con la multiplicación de matrices . El grupo lineal general GL ( n , R )consta de todas las matrices invertibles n- by- n con entradas reales. ^[54] Sus subgrupos se conocen como grupos de matriz o grupos lineales . El ejemplo del grupo diedro mencionado anteriormente se puede ver como un grupo de matriz (muy pequeño). Otro grupo matricial importante es el grupo ortogonal especial SO ( n ). Describe todas las rotaciones posibles en ndimensiones. A través de los ángulos de Euler , las matrices de rotación se utilizan en gráficos de computadora . ^[55]

La teoría de la representación es tanto una aplicación del concepto grupal como importante para una comprensión más profunda de los grupos. ^[56] [57] Estudia el grupo por las acciones de su grupo en otros espacios. Una amplia clase de representaciones de grupo son representaciones lineales, es decir, el grupo está actuando sobre un espacio vectorial , como el espacio euclidiano tridimensional R ³ . Una representación de G en un espacio vectorial real n- dimensional es simplemente un homomorfismo de grupo

ρ : G → GL ( n , R )

Del grupo al grupo lineal general. De esta manera, la operación de grupo, que se puede dar de manera abstracta, se traduce en la multiplicación de matrices que la hacen accesible a cálculos explícitos. ^{w [›]}

Dada una acción de grupo, esto proporciona otros medios para estudiar el objeto sobre el que se actúa. ^{x [›]} Por otro lado, también proporciona información sobre el grupo. Las representaciones de grupo son un principio organizador en la teoría de grupos finitos, grupos de Lie, grupos algebraicos y grupos topológicos , especialmente grupos compactos (localmente) . ^[56] [58]

Grupos de galois [ editar ]

Artículo principal: Grupo Galois.

Los grupos de Galois se desarrollaron para ayudar a resolver ecuaciones polinomiales mediante la captura de sus características de simetría. ^[59] [60] Por ejemplo, las soluciones de la ecuación cuadrática ax ² + bx + c = 0están dadas por

$${\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}.}

Intercambiar "+" y "-" en la expresión, es decir, permutar las dos soluciones de la ecuación se puede ver como una operación de grupo (muy simple). Fórmulas similares son conocidas para las ecuaciones cúbicas y cuárticas, pero no existen en general para los grados 5 y superiores. ^[61] Las propiedades abstractas de los grupos de Galois asociados con polinomios (en particular, su solvencia ) dan un criterio para polinomios que tienen todas sus soluciones expresables por radicales, es decir, soluciones expresables utilizando únicamente la suma, multiplicación y raíces similares a la fórmula anterior. ^[62]

El problema se puede abordar cambiando a la teoría de campos y considerando el campo de división de un polinomio. La teoría moderna de Galois generaliza el tipo anterior de grupos de Galois a extensiones de campo y establece, a través del teorema fundamental de la teoría de Galois , una relación precisa entre campos y grupos, subrayando una vez más la ubicuidad de los grupos en matemáticas.

Grupos finitos [ editar ]

Artículo principal: grupo finito

Un grupo se llama finito si tiene un número finito de elementos . El número de elementos se denomina orden del grupo. ^[63] Una clase importante son los grupos simétricos S _N , los grupos de permutaciones de N letras. Por ejemplo, el grupo simétrico en 3 letras S ₃ es el grupo que consiste en todos los ordenamientos posibles de las tres letras ABC , es decir, contiene los elementos ABC , ACB , BAC , BCA , CAB , CBA , en total 6 (factorial de 3) elementos. Esta clase es fundamental en la medida en que cualquier grupo finito puede expresarse como un subgrupo de un grupo simétrico S _N para un entero adecuado N , según el teorema de Cayley . Paralelamente al grupo de simetrías del cuadrado de arriba, S ₃ también puede interpretarse como el grupo de simetrías de un triángulo equilátero .

El orden de un elemento a en un grupo G es el número entero menos positivo n tal que un ⁿ  =  e , donde un ⁿrepresenta

$${\ displaystyle \ underbrace {a \ cdots a} _ {n {\ text {factor}}},}

Es decir, aplicación de la operación • a n copias de a . (Si • representa la multiplicación, a continuación, un ⁿcorresponde a la n ésima potencia de una ). En grupos infinitos, un tal n puede no existir, en cuyo caso el orden de una se dice que es infinito. El orden de un elemento es igual al orden del subgrupo cíclico generado por este elemento.

Técnicas de conteo más sofisticados, por ejemplo, contando clases laterales, rendimiento declaraciones más precisas acerca de grupos finitos: Teorema de Lagrange establece que para un grupo finito G del orden de cualquier subgrupo finito H divide el orden de G . Los teoremas de Sylow dan una conversación parcial.

El grupo diédrico (descrito anteriormente) es un grupo finito de orden 8. El orden de r ₁ es 4, al igual que el orden del subgrupo R que genera (ver arriba). El orden de los elementos de reflexión f _v etc. es 2. Ambas órdenes dividen 8, según lo predicho por el teorema de Lagrange. Los grupos F _p ^× anteriores tienen orden p - 1 .

Clasificación de grupos simples finitos [ editar ]

Artículo principal: Clasificación de grupos finitos simples.

Los matemáticos a menudo se esfuerzan por obtener una clasificación (o lista) completa de una noción matemática. En el contexto de grupos finitos, este objetivo conduce a matemáticas difíciles. Según el teorema de Lagrange, los grupos finitos de orden p , un número primo, son necesariamente grupos cíclicos (abelianos) Z _p . Grupos de orden p ² también se pueden mostrar para ser abeliano, una declaración que no se generaliza a la orden p ³ , como el grupo no abeliano D ₄ de orden 8 = 2 ³ anterior muestra. ^[64] Los sistemas de álgebra computacional pueden usarse para enumerar grupos pequeños , pero no hay una clasificación de todos los grupos finitos.^{q [›]} Un paso intermedio es la clasificación de grupos finitos simples. ^{r [›]} Un grupo no trivial se llamasimple si sus únicos subgrupos normales son el grupo trivial y el propio grupo. ^{s [›]} El teorema de Jordan-Höldermuestra grupos finitos simples como bloques de construcción para todos los grupos finitos. ^[65] Enumerar todos los grupos simples finitos fue un logro importante en la teoría de grupos contemporáneos. Elganador de laMedalla Fields de 1998 , Richard Borcherds, logró probar las monstruosas conjeturas de la luna , una sorprendente y profunda relación entre el grupo esporádico simple finito más grande.—El " grupo de monstruos " —y ciertas funciones modulares , una pieza del análisis complejo clásico , y la teoría de cuerdas , una teoría que se supone que unifica la descripción de muchos fenómenos físicos. ^[66]

Grupos con estructura adicional [ editar ]

Muchos grupos son a la vez grupos y ejemplos de otras estructuras matemáticas. En el lenguaje de la teoría de categorías , son objetos grupales en una categoría , lo que significa que son objetos (es decir, ejemplos de otra estructura matemática) que vienen con transformaciones (llamadas morfismos ) que imitan los axiomas grupales. Por ejemplo, cada grupo (como se definió anteriormente) también es un conjunto, por lo que un grupo es un objeto de grupo en la categoría de conjuntos .

Grupos topológicos [ editar ]

El círculo unitario en el plano complejo bajo multiplicación compleja es un grupo de Lie y, por lo tanto, un grupo topológico. Es topológico ya que la multiplicación y división complejas son continuas. Es un grupo múltiple y, por lo tanto, un grupo de Lie, porque cada pieza pequeña , como el arco rojo en la figura, parece una parte de la línea real (que se muestra en la parte inferior).

Artículo principal: Grupo topológico.

Algunos espacios topológicos pueden estar dotados de una ley colectiva. Para que la ley de grupo y la topología se entrelazen bien, las operaciones de grupo deben ser funciones continuas , es decir, g • h , y g ⁻¹ no deben variar mucho si g y h varían muy poco. Dichos grupos se denominan grupos topológicos y son los objetos de grupo en la categoría de espacios topológicos . ^[67] Los ejemplos más básicos son los reales Rañadidos, ( R ∖ {0}, ·) , y similarmente con cualquier otroCampo topológico tal como los números complejos o números p -adic . Todos estos grupos son localmente compactos , por lo que tienen medidas de Haar y se pueden estudiar a través del análisis armónico . Los primeros ofrecen un formalismo abstracto de integrales invariantes . Invarianzasignifica, en el caso de números reales, por ejemplo:

$${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) \, dx = \ int _ {\ mathbb {R}} f (x + c) \, dx}

para cualquier constante c . Los grupos de matrices en estos campos caen bajo este régimen, al igual que los anillos de adele y los grupos algebraicos adélicos , que son básicos para la teoría de los números. ^{[68] Los} grupos Galois de extensiones de campo infinito, como el grupo absoluto de Galois, también pueden equiparse con una topología, la llamada topología de Krull , que a su vez es fundamental para generalizar la conexión de campos y grupos esbozada a extensiones de campo infinitas. ^[69] Una generalización avanzada de esta idea, adaptada a las necesidades de la geometría algebraica , es el grupo fundamental étale . ^[70]

Grupos de mentiras [ editar ]

Artículo principal: Grupo de mentiras.

Los grupos de mentiras (en honor de Sophus Lie ) son grupos que también tienen una estructura múltiple , es decir, son espacios que parecen localmente como un espacio euclidiano de la dimensión apropiada . ^[71]Nuevamente, la estructura adicional, aquí la estructura múltiple, debe ser compatible, es decir, los mapas correspondientes a la multiplicación y lo inverso deben ser suaves .

Un ejemplo estándar es el grupo lineal general introducido anteriormente: es un subconjunto abierto del espacio de todas las matrices n- by- n , porque está dado por la desigualdad

det ( A ) ≠ 0,

donde A denota una matriz n- by- n . ^[72]

Los grupos de mentiras son de importancia fundamental en la física moderna: el teorema de Noether vincula las simetrías continuas con las cantidades conservadas . ^[73] La rotación , así como las traducciones en el espacio y el tiempo, son simetrías básicas de las leyes de la mecánica . Pueden, por ejemplo, usarse para construir modelos simples: imponer, por ejemplo, la simetría axial en una situación generalmente llevará a una simplificación significativa en las ecuaciones que uno necesita resolver para proporcionar una descripción física. ^{v [›]} Otro ejemplo son las transformaciones de Lorentz., que relacionan medidas de tiempo y velocidad de dos observadores en movimiento uno con relación al otro. Se pueden deducir de forma puramente teórica de grupo, expresando las transformaciones como una simetría rotacional del espacio de Minkowski . Este último sirve, en ausencia de gravitación significativa, como un modelo del espacio-tiempo en la relatividad especial . ^[74] El grupo de simetría completa del espacio Minkowski, es decir, incluyendo las traducciones, se conoce como el grupo de Poincaré . Por lo anterior, desempeña un papel fundamental en la relatividad especial y, por implicación, en las teorías de campos cuánticos . ^[75] Simetrías que varían según la ubicación.Son fundamentales para la descripción moderna de las interacciones físicas con la ayuda de la teoría gauge . ^[76]

Generalizaciones [ editar ]

Estructuras tipo grupo
	Totalidad α	Asociatividad	Identidad	Invertibilidad	Conmutatividad
Semigroupoid	Innecesario	Necesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Categoría pequeña	Innecesario	Necesario	Necesario	Innecesario	Innecesario
Groupoid	Innecesario	Necesario	Necesario	Necesario	Innecesario
Magma	Necesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Cuasigrupo	Necesario	Innecesario	Innecesario	Necesario	Innecesario
Lazo	Necesario	Innecesario	Necesario	Necesario	Innecesario
Semigrupo	Necesario	Necesario	Innecesario	Innecesario	Innecesario
Semigrupo Inverso	Necesario	Necesario	Innecesario	Necesario	Innecesario
Monoide	Necesario	Necesario	Necesario	Innecesario	Innecesario
Grupo	Necesario	Necesario	Necesario	Necesario	Innecesario
Grupo abeliano	Necesario	Necesario	Necesario	Necesario	Necesario

que generalizan grupos.