MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

En matemáticas , más específicamente en álgebra abstracta , el subgrupo conmutador o subgrupo derivadode un grupo es el subgrupo generado por todos los conmutadores del grupo. ^[1] [2]

El subgrupo de conmutadores es importante porque es el subgrupo normal más pequeño , por lo que el grupo cociente del grupo original de este subgrupo es abeliano . En otras palabras, G / N es abeliano si y solo si Ncontiene el subgrupo de conmutadores. Entonces, en cierto sentido, proporciona una medida de cuán lejos está el grupo de ser abeliano; cuanto mayor es el subgrupo de conmutadores, "menos abeliano" es el grupo.

Conmutadores [ editar ]

Artículo principal: conmutador

Para los elementos g y h de un grupo G , el conmutador de g y h es$${\ displaystyle [g, h] = g ^ {- 1} h ^ {- 1} gh}. El conmutador$${\ displaystyle [g, h]} es igual al elemento de identidad e si y solo si$${\ displaystyle gh = hg}, es decir, si y solo si g y h conmutan. En general,$${\ displaystyle gh = hg [g, h]}.

Sin embargo, la notación es un tanto arbitraria y hay una definición de variante no equivalente para el conmutador que tiene las inversas en el lado derecho de la ecuación: $${\ displaystyle [g, h] = ghg ​​^ {- 1} h ^ {- 1}} en ese caso $${\ displaystyle gh \ neq hg [g, h]} pero en lugar $${\ displaystyle gh = [g, h] hg}.

Un elemento de G que es de la forma.$${\ displaystyle [g, h]}para algunos g y h se llama un conmutador. El elemento de identidad e = [ e , e ] es siempre un conmutador, y es el único conmutador si y solo si G es abeliano .

Aquí hay algunas identidades de conmutador simples pero útiles, verdaderas para cualquier elemento s , g , h de un grupo G :

• $${\ displaystyle [g, h] ^ {- 1} = [h, g].}
• $${\ displaystyle [g, h] ^ {s} = [g ^ {s}, h ^ {s}]}, dónde $${\ displaystyle g ^ {s} = s ^ {- 1} gs} (o, respectivamente, $${\ displaystyle g ^ {s} = sgs ^ {- 1}}), el conjugado de$${\ displaystyle g} por $${\ displaystyle s}.
• Para cualquier homomorfismo. $${\ displaystyle f: G \ to H}, $${\ displaystyle f ([g, h]) = [f (g), f (h)]}.

La primera y la segunda identidades implican que el conjunto de conmutadores en G está cerrado por inversión y conjugación. Si en el tercer identidad tomamos H = G , obtenemos que el conjunto de conmutadores es estable bajo cualquier endomorphism de G . De hecho, esto es una generalización de la segunda identidad, ya que podemos considerar que f es el automorfismo de conjugación en G ,$${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {s}}, para obtener la segunda identidad.

Sin embargo, el producto de dos o más conmutadores no necesita ser un conmutador. Un ejemplo genérico es [ a , b ] [ c , d ] en el grupo libre en a , b , c , d . Se sabe que el orden mínimo de un grupo finito para el cual existen dos conmutadores cuyo producto no es un conmutador es 96; de hecho, hay dos grupos no isomórficos de orden 96 con esta propiedad. ^[3]

Definición [ editar ]

Esto motiva la definición del subgrupo conmutador. $${\ displaystyle [G, G]}(También llamado el subgrupo derivado , y denotado$${\ displaystyle G '} o $${\ displaystyle G ^ {(1)}}) de G : es el subgrupo generado por todos los conmutadores.

De las propiedades de los conmutadores se desprende que cualquier elemento de $${\ displaystyle [G, G]} es de la forma

$${\ displaystyle [g_ {1}, h_ {1}] \ cdots [g_ {n}, h_ {n}]}

para algun numero natural $${\ displaystyle n}, Donde el g _i y h _i son elementos de G . Además, desde$${\ displaystyle ([g_ {1}, h_ {1}] \ cdots [g_ {n}, h_ {n}]) ^ {s} = [g_ {1} ^ {s}, h_ {1} ^ { s}] \ cdots [g_ {n} ^ {s}, h_ {n} ^ {s}]}, El grupo de los conmutadores es normal en G . Para cualquier homomorfismo f : G → H ,

$${\ displaystyle f ([g_ {1}, h_ {1}] \ cdots [g_ {n}, h_ {n}]) = [f (g_ {1}), f (h_ {1})] \ cdots [f (g_ {n}), f (h_ {n})]},

así que eso $${\ displaystyle f ([G, G]) \ leq [H, H]}.

Esto muestra que el subgrupo de conmutadores puede verse como un funtor en la categoría de grupos, algunas de las implicaciones que se analizan a continuación. Además, tomando G = H , muestra que el subgrupo conmutador es estable bajo cada endomorfismo de G : es decir, [ G , G ] es un subgrupo totalmente característico de G , una propiedad que es considerablemente más fuerte que la normalidad.

El subgrupo de conmutadores también se puede definir como el conjunto de elementos g del grupo que tienen una expresión como producto g = g ₁ g ₂ ... g _k que se puede reorganizar para dar la identidad.

Series derivadas [ editar ]

Esta construcción puede ser iterada:

$${\ displaystyle G ^ {(0)}: = G}

$${\ displaystyle G ^ {(n)}: = [G ^ {(n-1)}, G ^ {(n-1)}] \ quad n \ in \ mathbf {N}}

Los grupos $${\ displaystyle G ^ {(2)}, G ^ {(3)}, \ ldots}se denominan segundo subgrupo derivado , tercer subgrupo derivado , etc., y la serie normal descendente

$${\ displaystyle \ cdots \ triangleleft G ^ {(2)} \ triangleleft G ^ {(1)} \ triangleleft G ^ {(0)} = G}

Se llama la serie derivada . Esto no debe confundirse con la serie central inferior , cuyos términos son$${\ displaystyle G_ {n}: = [G_ {n-1}, G]}.

Para un grupo finito, la serie derivada termina en un grupo perfecto , que puede o no ser trivial. Para un grupo infinito, la serie derivada no necesita terminar en una etapa finita, y uno puede continuar con números ordinalesinfinitos mediante la recursión transfinita , obteniendo así la serie derivada transfinita , que finalmente termina en el núcleo perfecto del grupo.

Abelianization [ editar ]

Dado un grupo $${\ displaystyle G}un grupo cociente $${\ displaystyle G / N} es abelian si y solo si $${\ displaystyle [G, G] \ leq N}.

El cociente $${\ displaystyle G / [G, G]}es un grupo abeliano llamado abelianización de$${\ displaystyle G} o $${\ displaystyle G} hecho abelian . ^[4] Por lo general se denota por$${\ displaystyle G ^ {\ operatorname {ab}}} o $${\ displaystyle G _ {\ operatorname {ab}}}.

Hay una interpretación categórica útil del mapa. $${\ displaystyle \ varphi: G \ rightarrow G ^ {\ operatorname {ab}}}. A saber$${\ displaystyle \ varphi} es universal para los homomorfismos de $${\ displaystyle G} a un grupo abeliano $${\ displaystyle H}: para cualquier grupo abeliano $${\ displaystyle H} y homomorfismo de grupos. $${\ displaystyle f: G \ to H} existe un homomorfismo único $${\ displaystyle F: G ^ {\ operatorname {ab}} \ to H} tal que $${\ displaystyle f = F \ circ \ varphi}. Como es habitual en los objetos definidos por las propiedades de mapeo universales, esto muestra la singularidad de la abelianización G ^ab hasta el isomorfismo canónico, mientras que la construcción explícita$${\ displaystyle G \ a G / [G, G]} muestra la existencia.

El funtor de abelianización es el adjunto izquierdo del funtor de inclusión de la categoría de grupos abelianos a la categoría de grupos. La existencia del functor de abelianización Grp → Ab hace que la categoría Ab sea una subcategoría reflexiva de la categoría de grupos, definida como una subcategoría completa cuyo functor de inclusión tiene un adjunto a la izquierda.

Otra interpretación importante de $${\ displaystyle G ^ {\ operatorname {ab}}} es como $${\ displaystyle H_ {1} (G, \ mathbb {Z})}, el primer grupo de homología de$${\ displaystyle G} Con coeficientes integrales.

Clases de grupos [ editar ]

Un grupo G es un grupo abeliano si y solo si el grupo derivado es trivial: [ G , G ] = { e }. De manera equivalente, solo si el grupo es igual a su abelianización. Vea más arriba la definición de abelianización de un grupo.

Un grupo G es un grupo perfecto si y sólo si el grupo derivado es igual al propio grupo: [ G , G ] = G . De forma equivalente, solo si la abelianización del grupo es trivial. Esto es "opuesto" a abeliano.

Un grupo con $${\ displaystyle G ^ {(n)} = \ {e \}}para algunos n en N se llama un grupo soluble ; esto es más débil que abelian, que es el caso n = 1.

Un grupo con $${\ displaystyle G ^ {(n)} \ neq \ {e \}}para todo n en N se llama un grupo no solucionable .

Un grupo con $${\ displaystyle G ^ {(\ alpha)} = \ {e \}}para algún número ordinal , posiblemente infinito, se llama un grupo hipoabeliano ; esto es más débil que solucionable, que es el caso α es finito (un número natural).

Ejemplos [ editar ]

• El subgrupo conmutador de cualquier grupo abeliano es trivial .
• El subgrupo conmutador del grupo lineal general. $${\ displaystyle GL_ {n} (k)}sobre un campo o un anillo de división k es igual al grupo lineal especial $${\ displaystyle SL_ {n} (k)} siempre que $${\ displaystyle n \ neq 2}O k no es el campo con dos elementos . ^[5]
• El subgrupo de conmutadores del grupo alternativo A ₄ es el grupo de los cuatro Klein .
• El subgrupo de conmutadores del grupo simétrico S _n es el grupo alterno A _n .
• El grupo de los conmutadores de la grupo de cuaternión Q = {1, -1, i , - i , j , - j , k , - k } es [ Q , Q ] = {1, -1}.
• El subgrupo de conmutadores del grupo fundamental π ₁ ( X ) de un espacio topológico X conectado a la trayectoria es el núcleo del homomorfismo natural en el primer grupo de homología singular H ₁ ( X ).

Mapa desde fuera [ editar ]

Como el subgrupo derivado es característico , cualquier automorfismo de G induce un automorfismo de abelianización. Dado que la abelianización es abeliana, los automorfismos internos actúan de forma trivial, por lo que se obtiene un mapa

$${\ displaystyle {\ mbox {Out}} (G) \ a {\ mbox {Aut}} (G ^ {\ mbox {ab}})}

Hasse diagrama de la red de subgrupos del grupo diédrico Dih ₄

En la capa de 3 elementos están los subgrupos máximos; 
su intersección (la F. s. ) es el elemento central en la capa de 5 elementos. 
Así que Dih ₄ tiene solo un elemento no generador más allá de e.

En matemáticas , el subgrupo Frattini Φ ( G ) de un grupo G es la intersección de todos los subgrupos máximas de G . Para el caso de que Gno tiene subgrupos máxima, por ejemplo, el trivial grupo e la o grupo Prüfer , se define por Φ ( G ) = G . Es análogo al radical de Jacobson en la teoría de los anillos , e intuitivamente puede considerarse como el subgrupo de "elementos pequeños" (consulte la caracterización de "no generador" a continuación). Lleva el nombre deGiovanni Frattini , quien definió el concepto en un artículo publicado en 1885.

Algunos hechos [ editar ]

• Φ ( G ) es igual al conjunto de todos los no generadores o elementos no generadorasde G . Un elemento no generador de G es un elemento que siempre se puede eliminar de un conjunto generador ; es decir, un elemento de una de G tal que siempre que X es un conjunto de generación de G que contiene una, X  - { un } también es un conjunto de generación de G .
• Φ ( G ) es siempre un subgrupo característico de G ; en particular, siempre es un subgrupo normal de G .
• Si G es finito, entonces Φ ( G ) es nilpotente .
• Si G es un finito p -group , entonces Φ ( G ) = G ^p [ G , G ]. Por lo tanto, el subgrupo Frattini es el subgrupo normal N más pequeño (con respecto a la inclusión), de modo que el grupo cociente G / N es un grupo abeliano elemental , es decir, isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos de orden p . Además, si el cociente grupo G / Φ ( G ) (también llamado cociente de Frattini deG ) tiene orden p ^k , entonces k es el número más pequeño de generadores para G (que es la cardinalidad más pequeña de un grupo electrógeno para G ). En particular, un grupo p finito es cíclico si y solo si su cociente de Frattini es cíclico (de orden p ). Un grupo p finito es abeliano elemental si y solo si su subgrupo Frattini es el grupo trivial , Φ ( G ) = e .
• Si H y K son finitos, entonces Φ ( H × K ) = Φ ( H ) × Φ ( K ) .

Un ejemplo de un grupo con subgrupo de Frattini no trivial es el grupo cíclico G de orden p ² , donde p es primo, generado por a , digamos; aquí,$${\ displaystyle \ Phi (G) = \ left \ langle a ^ {p} \ right \ rangle}.

subgrupo de montaje F de un finito grupo G , el nombre de Hans de montaje , es el único más grande normal de nilpotent subgrupo de G . Intuitivamente, representa el subgrupo más pequeño que "controla" la estructura de G cuando Ges solucionable . Cuando G no es solucionable, el subgrupo de adaptación generalizado F ^* desempeña una función similar, Que se genera por el subgrupo de montaje y los componentes de G .

Para un grupo arbitrario (no necesariamente finita) G , el subgrupo de montaje se define para ser el subgrupo generado por los subgrupos normales nilpotentes de G . Para grupos infinitos, el subgrupo de adaptación no siempre es nilpotente.

El resto de este artículo trata exclusivamente de grupos finitos .

El subgrupo de adaptación [ editar ]

El nilpotencia del subgrupo de montaje de un grupo finito está garantizada por de Montaje teorema que dice que el producto de una colección finita de subgrupos nilpotentes normales de G es de nuevo un subgrupo normal nilpotent. También se puede construir de forma explícita como el producto de los p-núcleos de G sobre todos los números primos p dividiendo el orden de G .

Si G es un grupo solucionable no trivial finito, entonces el subgrupo de adaptación es siempre no trivial, es decir, si G ≠ 1 es solucionable finito, entonces F ( G ) 1. De manera similar, el subgrupo de adaptación de G / F ( G ) no será trivial si G no es en sí mismo nilpotente, dando lugar al concepto de longitud de adaptación . Dado que el subgrupo de adaptación de un grupo con resolución finita contiene su propio centralizador , esto proporciona un método para entender los grupos con resolución finita como extensiones de grupos nilpotentes por grupos de automorfismos fieles de grupos nilpotentes.

En un grupo nilpotente, cada factor principal está centralizado por cada elemento. Relajando un poco la condición y tomando el subgrupo de elementos de un grupo finito general que centraliza cada factor principal, uno simplemente obtiene el subgrupo Fitting nuevamente ( Huppert 1967 , Kap.VI, Satz 5.4, p.686):

$${\ displaystyle \ operatorname {Fit} (G) = \ bigcap \ {C_ {G} (H / K): H / K {\ text {un factor principal de}} G \}.}

La generalización a p -nilpotent grupos es similar.

El subgrupo de adaptación generalizada [ editar ]

Un componente de un grupo es un subgrupo subnormal de quasisimple . (Un grupo es cuasi simple si es una extensión central perfecta de un grupo simple). La capa E ( G ) o L ( G ) de un grupo es el subgrupo generado por todos los componentes. Cualquiera de los dos componentes de un viaje de grupo, por lo que la capa es una extensión central perfecta de un producto de grupos simples, y es el subgrupo normal más grande de G con esta estructura. El subgrupo de ajuste generalizado F ^* ( G ) es el subgrupo generado por la capa y el subgrupo de adaptación. La capa conmuta con el subgrupo de adaptación, por lo que el subgrupo de adaptación generalizada es una extensión central de un producto de p- grupos y grupos simples .

La capa también es el subgrupo semisimple normal máximo, donde un grupo se llama semisimple si es una extensión central perfecta de un producto de grupos simples.

La definición del subgrupo de adaptación generalizada parece un poco extraña al principio. Para motivarlo, considere el problema de tratar de encontrar un subgrupo normal H de G que contenga su propio centralizador y el grupo Fitting. Si C es el centralizador de H queremos demostrar que C está contenido en H . Si no, escoger un mínimo característico subgrupo M / Z (H) de C / Z (H) , en donde Z (H) es el centro de H , que es la misma que la intersección de C y H . Entonces M / Z ( H) es un producto de grupos simples o cíclicos, ya que es característicamente simple. Si M / Z ( H ) es un producto de grupos cíclicos, M debe estar en el subgrupo Fitting. Si M / Z ( H ) es un producto de grupos simples no abelianos, entonces el subgrupo derivado de M es un mapeo normal de subgrupos semisimples en M / Z ( H ). Entonces, si H contiene el subgrupo de adaptación y todos los subgrupos de semisimples normales, entonces M / Z ( H ) debe ser trivial, entonces HContiene su propio centralizador. El subgrupo de adaptación generalizado es el subgrupo más pequeño que contiene el subgrupo de adaptación y todos los subgrupos de semisimples normales.

El subgrupo de adaptación generalizada también se puede ver como un centralizador generalizado de factores principales. Un grupo semisimple no marabelino no puede centralizarse, pero sí actúa como automorfismos internos. Se dice que un grupo es casi nilónico si cada elemento actúa como un automorfismo interno en cada factor principal. El subgrupo de adaptación generalizada es el subgrupo cuasi nilpotente subnormal más grande único, y es igual al conjunto de todos los elementos que actúan como automorfismos internos en cada factor principal de todo el grupo ( Huppert y Blackburn 1982 , Capítulo X, Teorema 5.4, pág. 126):

$${\ displaystyle \ operatorname {Fit} ^ {*} (G) = \ bigcap \ {HC_ {G} (H / K): H / K {\ text {un factor principal de}} G \}.}

Aquí un elemento g es en H C _G ( H / K ) si, y sólo si hay algún h en H tal que para cada x en H , x ^g ≡ x ^h mod K .

Propiedades [ editar ]

Si G es un grupo con solución finita, entonces el subgrupo Fitting contiene su propio centralizador. El centralizador del subgrupo Fitting es el centro del subgrupo Fitting. En este caso, el subgrupo de adaptación generalizada es igual al subgrupo de adaptación. Más generalmente, si G es un grupo finito, el subgrupo de ajuste generalizado contiene su propio centralizador. Esto significa que, en cierto sentido, el subgrupo de ajuste generalizado controla G , porque G modulo el centralizador de F ^* ( G ) está contenido en el grupo de automorfismo de F ^* ( G ), y el centralizador de F ^* ( G) está contenido en F ^* ( G ). En particular, solo hay un número finito de grupos con un subgrupo de ajuste generalizado dado.

Aplicaciones [ editar ]

Los normalizadores de subgrupos p no triviales de un grupo finito se denominan subgrupos p -local y ejercen una gran cantidad de control sobre la estructura del grupo (permitiendo lo que se denomina análisis local ). Un grupo finito se dice que es de característica p tipo si F ^* ( G ) es un p -group para cada p subgrupo -local, porque cualquier grupo de tipo Lie definida sobre un cuerpo de característica p tiene esta propiedad. En la clasificación de grupos finitos simples., esto le permite a uno adivinar sobre qué campo debe definirse un grupo simple. Tenga en cuenta que algunos grupos son del tipo p característico para más de una p .

Si un grupo simple no es del tipo Lie en un campo de la característica p dada , entonces los subgrupos p -local suelen tener componentes en el subgrupo Fitting generalizado, aunque hay muchas excepciones para grupos que tienen rango pequeño, se definen en campos pequeños, o son esporádicos. Esto se usa para clasificar los grupos simples finitos, porque si un subgrupo p -local tiene un componente conocido, a menudo es posible identificar todo el grupo ( Aschbacher y Seitz 1976 ).

El análisis de grupos finitos simples por medio de la estructura e incorporación de los subgrupos de adaptación generalizados de sus subgrupos máximos fue originado por Helmut Bender ( Bender, 1970 ) y se conoce como el método de Bender . Es especialmente efectivo en los casos excepcionales en los que los componentes o los functors del señalizador no son aplicables.