clasificación de los grupos simples finitos es un teorema que establece que cada grupo simple finito pertenece a una de las cuatro clases generales que se describen a continuación. Estos grupos pueden ser vistos como los bloques de construcción básicos de todos los grupos finitos , de una manera que recuerda la forma en que los números primos son los bloques de construcción básicos de los números naturales . El teorema de Jordan-Hölder es una forma más precisa de afirmar este hecho acerca de los grupos finitos. Sin embargo, una diferencia significativa de factorización de enteroses que dichos "bloques de construcción" no determinan necesariamente un grupo único, ya que puede haber muchos grupos no isomórficos con la misma serie de composición o, dicho de otra manera, el problema de la extensión no tiene una solución única.
La teoría de grupos es central en muchas áreas de las matemáticas puras y aplicadas, y el teorema de clasificación es uno de los grandes logros de las matemáticas modernas. La prueba consta de decenas de miles de páginas en varios cientos de artículos de revistas escritos por aproximadamente 100 autores, publicados en su mayoría entre 1955 y 2004. Gorenstein (d.1992), Lyons y Solomon están publicando gradualmente una versión simplificada y revisada de la prueba.
Declaración del teorema de clasificación [ editar ]
- un miembro de una de las tres clases infinitas de los mismos, a saber:
- los grupos cíclicos de primer orden,
- los grupos alternos de grado al menos 5,
- los grupos de tipo mentira
- uno de los 26 grupos llamados " grupos esporádicos "
- el grupo de tetas (que a veces se considera un grupo número 27 esporádico).
El teorema de clasificación tiene aplicaciones en muchas ramas de las matemáticas, ya que las preguntas sobre la estructura de los grupos finitos (y su acción en otros objetos matemáticos) a veces pueden reducirse a preguntas sobre grupos finitos simples. Gracias al teorema de clasificación, estas preguntas a veces pueden responderse revisando cada familia de grupos simples y cada grupo esporádico.
Daniel Gorenstein anunció en 1983 que todos los grupos finitos simples habían sido clasificados, pero esto era prematuro, ya que había sido mal informado sobre la prueba de la clasificación de los grupos de cuasitina . La prueba completa de la clasificación fue anunciada por Aschbacher (2004) después de que Aschbacher y Smith publicaran una prueba de 1221 páginas para el caso de quasitina faltante.
Resumen de la prueba del teorema de clasificación [ editar ]
Gorenstein ( 1982 , 1983 ) escribió dos volúmenes que describían el rango bajo y la parte característica extraña de la prueba, y Michael Aschbacher , Richard Lyons y Stephen D. Smith et al. ( 2011 ) escribió un tercer volumen que cubre el resto del caso característico 2. La prueba se puede dividir en varias piezas principales de la siguiente manera:
Grupos de pequeños 2-rango [ editar ]
Los grupos simples de rango bajo 2 son en su mayoría grupos de tipo Lie de rango pequeño sobre campos de característica impar, junto con cinco grupos alternativos y siete característicos de tipo 2 y nueve esporádicos.
Los grupos simples de 2-rango pequeños incluyen:
- Grupos de 2 rangos 0, en otras palabras, grupos de orden impar, que pueden resolverse con el teorema de Feit-Thompson .
- Grupos de 2 rangos 1. Los 2 subgrupos de Sylow son cíclicos, que son fáciles de manejar utilizando el mapa de transferencia, o cuaterniones generalizados , que se manejan con el teorema de Brauer-Suzuki : en particular, no hay grupos simples de 2 rango 1
- Grupos de 2 rangos 2. Alperin mostró que el subgrupo Sylow debe ser diedro, cuasidihédrico, coronado o un subgrupo Sylow 2 de U 3 (4). El primer caso fue realizado por el teorema de Gorenstein-Walter, que mostró que los únicos grupos simples son isomorfos a L 2 ( q ) para q impar o A 7 , el segundo y tercer casos fueron hechos por el teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein, lo que implica que los únicos grupos simples son isomorfos a L 3 ( q ) o U 3 ( q ) para q impar o M 11, y el último caso fue realizado por Lyons, quien demostró que U 3 (4) es la única posibilidad simple.
- Grupos de 2 rangos seccionales como máximo 4, clasificados según el teorema de Gorenstein-Harada .
La clasificación de grupos de 2 rangos pequeños, especialmente rangos como máximo 2, hace un uso intensivo de la teoría de caracteres ordinaria y modular, que casi nunca se usa directamente en ninguna otra parte de la clasificación.
Todos los grupos que no sean de rango 2 pequeño pueden dividirse en dos clases principales: grupos de tipo componente y grupos de tipo característica 2. Esto se debe a que si un grupo tiene una sección 2 al menos 5, MacWilliams demostró que sus 2 subgrupos Sylow están conectados, y el teorema de equilibrio implica que cualquier grupo simple con 2 subgrupos Sylow conectados es de tipo componente o tipo de característica 2 . (Para grupos de 2 rangos bajos, la prueba de esto se rompe, porque teoremas tales como el teorema del funtordel señalizador solo funcionan para grupos con subgrupos abelianos elementales de rango al menos 3.)
Grupos de tipo de componente [ editar ]
Se dice que un grupo es de tipo componente si para algún centralizador C de una involución, C / O ( C ) tiene un componente (donde O ( C ) es el núcleo de C , el subgrupo normal máximo de orden impar). Estos son más o menos los grupos del tipo Lie de características extrañas de rango grande, y grupos alternos, junto con algunos grupos esporádicos. Un paso importante en este caso es eliminar la obstrucción del núcleo de una involución. Esto se logra por la B-teorema , que establece que todos los componentes de C / O ( C ) es la imagen de un componente de C .
La idea es que estos grupos tienen un centralizador de una involución con un componente que es un grupo cuasisimple más pequeño, que se puede suponer que ya se conoce por inducción. Entonces, para clasificar estos grupos, se toma cada extensión central de cada grupo simple finito conocido, y se encuentran todos los grupos simples con un centralizador de involución con esto como un componente. Esto da un número bastante grande de casos diferentes para verificar: no solo hay 26 grupos esporádicos y 16 familias de grupos del tipo Lie y los grupos alternos, sino que muchos de los grupos de rango pequeño o en campos pequeños se comportan de manera diferente al general. caso y deben tratarse por separado, y los grupos de tipo Lie de características pares e impares también son bastante diferentes.
Grupos de caracteristicas 2 tipo [ editar ]
Un grupo es del tipo de característica 2 si el subgrupo de ajuste generalizado F * ( Y ) de cada subgrupo 2 local Yes un grupo de 2 grupos. Como su nombre indica, estos son más o menos los grupos del tipo Lie en los campos de la característica 2, más un puñado de otros que son alternativos o esporádicos o de características extrañas. Su clasificación se divide en los casos de rango pequeño y grande, donde el rango es el rango más grande de un subgrupo abeliano impar que normaliza un subgrupo 2 no trivial, que a menudo es (pero no siempre) el mismo que el rango de una subálgebra de Cartan cuando grupo es un grupo de tipo de mentira en la característica 2.
Los grupos de rango 1 son los grupos delgados, clasificados por Aschbacher, y los de rango 2 son los grupos de cuasitina notorios , clasificados por Aschbacher y Smith. Estos corresponden aproximadamente a grupos del tipo Lie de rango 1 o 2 sobre campos de característica 2.
Los grupos de rango al menos 3 se subdividen en 3 clases mediante el teorema de tricotomía , probado por Aschbacher para el rango 3 y por Gorenstein y Lyons para el rango al menos 4. Las tres clases son grupos de tipo GF (2) (clasificado principalmente por Timmesfeld ), grupos de "tipo estándar" para algunos primos impares (clasificados según el teorema de Gilman-Griess y trabajo de varios otros), y grupos de tipo de singularidad, donde un resultado de Aschbacher implica que no hay grupos simples. El caso general de rango superior consiste principalmente en los grupos del tipo Lie en los campos de la característica 2 del rango al menos 3 o 4.
Existencia y singularidad de los grupos simples [ editar ]
La parte principal de la clasificación produce una caracterización de cada grupo simple. Entonces es necesario verificar que exista un grupo simple para cada caracterización y que sea único. Esto da una gran cantidad de problemas separados; por ejemplo, las pruebas originales de existencia y singularidad del grupo de monstruostotalizaron aproximadamente 200 páginas, y la identificación de los grupos Ree por Thompson y Bombieri fue una de las partes más difíciles de la clasificación. Muchas de las pruebas de existencia y algunas de las pruebas de singularidad para los grupos esporádicos originalmente usaron cálculos computarizados, la mayoría de los cuales desde entonces han sido reemplazados por pruebas manuales más cortas.
Historia de la prueba [ editar ]
El programa de Gorenstein [ editar ]
En 1972, Gorenstein (1979 , Apéndice) anunció un programa para completar la clasificación de grupos finitos simples, que consta de los siguientes 16 pasos:
- Grupos de bajo rango 2. Básicamente, esto lo hicieron Gorenstein y Harada, quienes clasificaron a los grupos con un rango de 2 de sección como máximo 4. La mayoría de los casos de 2 de rango como máximo 2 se habían realizado cuando Gorenstein anunció su programa.
- La semisimplicidad de 2 capas. El problema es probar que la capa doble del centralizador de una involución en un grupo simple es semisimple.
- Forma estándar en característica impar. Si un grupo tiene una involución con un 2-componente que es un grupo del tipo Lie de características extrañas, el objetivo es mostrar que tiene un centralizador de involución en "forma estándar", lo que significa que un centralizador de involución tiene un componente que es de tipo Lie en característica extraña y también tiene un centralizador de 2 rangos 1.
- Clasificación de grupos de tipo impar. El problema es mostrar que si un grupo tiene un centralizador de involución en "forma estándar", entonces es un grupo de tipo de característica impar de Lie. Esto fue resuelto por el teorema de involución clásico de Aschbacher .
- Forma cuasi-estándar
- Involuciones centrales
- Clasificación de grupos alternos.
- Algunos grupos esporádicos
- Grupos delgados. Aschbacher clasificó los grupos finitos delgados simples , aquellos con 2- p localizados como máximo 1 para los números primos impares p , en 1978
- Grupos con un subgrupo fuertemente p-embebido para p impar
- El método functor del señalizador para primos impares. El problema principal es probar un teorema del functor del señalizador para los functores del señalizador que no se pueden resolver. Esto fue resuelto por McBride en 1982.
- Grupos de tipo p característicos . Este es el problema de los grupos con un fuertemente p -embedded subgrupo 2-local con p impar, que fue manejado por Aschbacher.
- Grupos de cuasitina. Un grupo de cuasitina es aquel en el que 2 subgrupos locales tienen p -rank como máximo 2 para todos los números primos impares p , y el problema es clasificar los simples del tipo de característica 2. Esto fue completado por Aschbacher y Smith en 2004.
- Grupos de bajo 2-local 3-rango. Esto se resolvió esencialmente mediante el teorema de tricotomía de Aschbacher para grupos con e ( G ) = 3. El cambio principal es que 2-local 3-rank es reemplazado por 2-local p -rank para números primos impares.
- Centralizadores de 3 elementos en forma estándar. Esto fue esencialmente hecho por el teorema de la tricotomía .
- Clasificación de grupos simples de tipo característico 2. Esto fue manejado por el teorema de Gilman-Griess , con 3 elementos reemplazados por p -elementos para primos impares.
Cronología de la prueba [ editar ]
Muchos de los elementos de la lista a continuación están tomados de Salomón (2001) . La fecha dada suele ser la fecha de publicación de la prueba completa de un resultado, que a veces es varios años más tarde que la prueba o el primer anuncio del resultado, por lo que algunos de los elementos aparecen en el orden "incorrecto".
| Fecha de publicación | |
|---|---|
| 1832 | Galois introduce subgrupos normales y encuentra los grupos simples A n ( n ≥ 5) y PSL 2 ( F p ) ( p≥ 5) |
| 1854 | Cayley define grupos abstractos. |
| 1861 | Mathieu describe los dos primeros grupos de Mathieu M 11 , M 12 , los primeros grupos simples esporádicos, y anuncia la existencia de M 24 . |
| 1870 | Jordan enumera algunos grupos simples: los lineales especiales alternativos y proyectivos, y enfatiza la importancia de los grupos simples. |
| 1872 | Sylow prueba los teoremas de Sylow |
| 1873 | Mathieu presenta otros tres grupos de Mathieu M 22 , M 23 , M 24 . |
| 1892 | Otto Hölder prueba que el orden de cualquier grupo simple finito no mariano debe ser un producto de al menos cuatro números primos (no necesariamente distintos), y solicita una clasificación de grupos simples finitos. |
| 1893 | Cole clasifica grupos simples de orden hasta 660. |
| 1896 | Frobenius y Burnside comienzan el estudio de la teoría del carácter de grupos finitos. |
| 1899 | Burnside clasifica los grupos simples de tal manera que el centralizador de cada involución es un abeliano elemental no trivial de 2 grupos. |
| 1901 | Frobenius prueba que un grupo de Frobenius tiene un núcleo de Frobenius, por lo que en particular no es simple. |
| 1901 | Dickson define grupos clásicos sobre campos finitos arbitrarios, y grupos excepcionales de tipo G 2sobre campos de características impares. |
| 1901 | Dickson presenta los excepcionales grupos finitos simples de tipo E 6 . |
| 1904 | Burnside usa la teoría de los caracteres para probar el teorema de Burnside de que el orden de cualquier grupo simple finito no abeliano debe ser divisible por al menos 3 números primos distintos. |
| 1905 | Dickson introduce grupos simples de tipo G 2 sobre campos de características uniformes |
| 1911 | Conjeturas de Burnside de que todo grupo simple finito no abeliano tiene un orden parejo |
| 1928 | Philip Hall demuestra la existencia de subgrupos Hall de grupos solubles |
| 1933 | Hall comienza su estudio de p- grupos. |
| 1935 | Brauer comienza el estudio de los personajes modulares . |
| 1936 | Zassenhaus clasifica grupos de permutación de 3-transitivas finitos y finitos |
| 1938 | Fitting presenta el subgrupo Fitting y demuestra el teorema de Fitting que para los grupos solubles, el subgrupo Fitting contiene su centralizador. |
| 1942 | Brauer describe los caracteres modulares de un grupo divisible por un primo a la primera potencia. |
| 1954 | Brauer clasifica los grupos simples con GL 2 ( F q ) como el centralizador de una involución. |
| 1955 | El teorema de Brauer-Fowler implica que el número de grupos finitos simples con un centralizador de involución dado es finito, lo que sugiere un ataque a la clasificación mediante el uso de centralizadores de involuciones. |
| 1955 | Chevalley presenta los grupos de Chevalley , en particular la introducción de grupos simples excepcionales de los tipos F 4 , E 7 y E 8 . |
| 1956 | Teorema de Hall – Higman |
| 1957 | Suzuki muestra que todos los grupos finitos de CA de orden impar son cíclicos. |
| 1958 | El teorema de Brauer-Suzuki-Wall caracteriza los grupos lineales especiales proyectivos de rango 1 y clasifica los grupos de CA simples . |
| 1959 | Steinberg presenta los grupos Steinberg , que proporcionan algunos grupos simples finitos nuevos, de los tipos 3 D 4 y 2 E 6 (estos últimos fueron encontrados de forma independiente casi al mismo tiempo por Jacques Tits ). |
| 1959 | El teorema de Brauer-Suzuki sobre grupos con 2 subgrupos de cuaterniones generalizados muestra en particular que ninguno de ellos es simple. |
| 1960 | Thompson demuestra que un grupo con un automorfismo libre de puntos fijos de primer orden es nilpotente. |
| 1960 | Feit, Marshall Hall y Thompson muestran que todos los grupos CN finitos simples de orden impar son cíclicos. |
| 1960 | Suzuki presenta los grupos Suzuki , con los tipos 2 B 2 . |
| 1961 | Ree presenta los grupos Ree , con los tipos 2 F 4 y 2 G 2 . |
| 1963 | Feit y Thompson prueban el extraño teorema de orden . |
| 1964 | Tits introduce pares BN para grupos del tipo Lie y encuentra el grupo Tits |
| 1965 | El teorema de Gorenstein-Walter clasifica grupos con un subgrupo de Sylow diédrico. |
| 1966 | Glauberman prueba el teorema Z * |
| 1966 | Janko presenta el grupo Janko J1 , el primer nuevo grupo esporádico en un siglo. |
| 1968 | Glauberman prueba el teorema de ZJ |
| 1968 | Higman y Sims presentan el grupo Higman-Sims. |
| 1968 | Conway presenta los grupos de Conway. |
| 1969 | El teorema de Walter clasifica grupos con 2 subgrupos de Sylow abelian |
| 1969 | Introducción del grupo esporádico de Suzuki , el grupo Janko J2 , el grupo Janko J3 , el grupo McLaughlin y el grupo Held . |
| 1969 | Gorenstein introduce funciones de señalización basadas en las ideas de Thompson. |
| 1970 | MacWilliams muestra que los 2 grupos sin un subgrupo abeliano normal de rango 3 tienen un rango de 2 en la sección 4. (Los grupos simples con subgrupos de Sylow que satisfacen esta última condición fueron clasificados más tarde por Gorenstein y Harada). |
| 1970 | Bender introdujo el subgrupo de adaptación generalizada |
| 1970 | El teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein clasifica grupos con subgrupos de Sylow cuasi -dédricos o coronados, completando la clasificación de los grupos simples de 2 rangos como máximo 2 |
| 1971 | Fischer presenta los tres grupos Fischer. |
| 1971 | Thompson clasifica los pares cuadráticos. |
| 1971 | Bender clasifica grupo con un subgrupo fuertemente integrado |
| 1972 | Gorenstein propone un programa de 16 pasos para clasificar grupos simples finitos; La clasificación final sigue su esquema bastante de cerca. |
| 1972 | Lyons presenta el grupo Lyons |
| 1973 | Rudvalis introduce el grupo Rudvalis. |
| 1973 | Fischer descubre el grupo de monstruos bebés (no publicado), que Fischer y Griess utilizan para descubrir el grupo de monstruos , que a su vez lleva a Thompson al grupo esporádico de Thompson y a Norton al grupo Harada-Norton (también encontrado de otra manera por Harada). |
| 1974 | Thompson clasifica los grupos N , agrupa a todos los subgrupos locales que tienen solución. |
| 1974 | El teorema de Gorenstein-Harada clasifica los grupos simples de la sección 2 como máximo en 4, dividiendo los restantes grupos simples finitos en los de tipo componente y los de tipo característico 2. |
| 1974 | Tits muestra que los grupos con pares BN de rango al menos 3 son grupos de tipo Lie. |
| 1974 | Aschbacher clasifica los grupos con un núcleo 2 generado correctamente |
| 1975 | Gorenstein y Walter prueban el teorema de balance de L. |
| 1976 | Glauberman demuestra el teorema del functor del señalizador soluble. |
| 1976 | Aschbacher prueba el teorema de los componentes , mostrando aproximadamente que los grupos de tipos impares que satisfacen algunas condiciones tienen un componente en forma estándar.Muchos grupos clasificaron los grupos con un componente de forma estándar en una gran colección de artículos. |
| 1976 | O'Nan presenta al grupo O'Nan |
| 1976 | Janko presenta el grupo Janko J4 , el último grupo esporádico por descubrir |
| 1977 | Aschbacher caracteriza los grupos del tipo Lie de características extrañas en su teorema de involución clásico . Después de este teorema, que en cierto sentido trata con "la mayoría" de los grupos simples, en general se consideró que el final de la clasificación estaba a la vista. |
| 1978 | Timmesfeld demuestra el teorema especial de O 2 , dividiendo la clasificación de grupos de tipo GF (2) en varios problemas más pequeños. |
| 1978 | Aschbacher clasifica los grupos finitos delgados , que son en su mayoría grupos de rango 1 del tipo Lie en campos de características uniformes. |
| 1981 | Bombieri usa la teoría de la eliminación para completar el trabajo de Thompson sobre la caracterización de los grupos Ree , uno de los pasos más difíciles de la clasificación. |
| mil novecientos ochenta y dos | McBride prueba el teorema del functor del señalizador para todos los grupos finitos. |
| mil novecientos ochenta y dos | Griess construye el grupo de monstruos a mano. |
| 1983 | El teorema de Gilman-Griess clasifica grupos del tipo 2 característicos y clasifica al menos 4 con componentes estándar, uno de los tres casos del teorema de tricotomía. |
| 1983 | Aschbacher demuestra que ningún grupo finito satisface la hipótesis del caso de singularidad , uno de los tres casos que ofrece el teorema de tricotomía para grupos del tipo 2 característico. |
| 1983 | Gorenstein y Lyon comprueban el teorema de tricotomía para grupos del tipo 2 característicos y clasifican al menos 4, mientras que Aschbacher hace el caso del rango 3. Esto divide estos grupos en 3 subcasos: el caso de singularidad, los grupos de tipo GF (2) y los grupos Con un componente estándar. |
| 1983 | Gorenstein anuncia que la prueba de la clasificación está completa, algo prematuramente, ya que la prueba del caso de cuasitina estaba incompleta. |
| 1994 | Gorenstein, Lyons y Solomon comienzan la publicación de la clasificación revisada |
| 2004 | Aschbacher y Smith publican su trabajo en los grupos de cuasitina (que son en su mayoría grupos de rango de Lie, con un máximo de 2 sobre campos de características iguales), llenando el último vacío en la clasificación conocida en ese momento. |
| 2008 | Harada y Solomon llenan un vacío menor en la clasificación al describir grupos con un componente estándar que es una cubierta del grupo Mieu de Mathieu , un caso que se omitió accidentalmente en la prueba de la clasificación debido a un error en el cálculo del multiplicador de Schur de M22. |
| 2012 | Georges Gonthier y sus colaboradores anuncian una versión verificada por computadora delteorema de Feit-Thompson utilizando el asistente de prueba de Coq . [1] |
Clasificación de segunda generación [ editar ]
La prueba del teorema, tal como estaba alrededor de 1985, puede llamarse primera generación . Debido a la longitud extrema de la prueba de primera generación, se ha dedicado mucho esfuerzo a encontrar una prueba más simple, llamada prueba de clasificación de segunda generación . Este esfuerzo, llamado "revisionismo", fue dirigido originalmente por Daniel Gorenstein .
A partir de 2018 , se han publicado siete volúmenes de la prueba de segunda generación (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994 , 1996 , 1998 , 1999 , 2002 , 2005 ). En 2012, Solomon estimó que el proyecto necesitaría otros 5 volúmenes, pero dijo que el progreso en ellos era lento. Se estima que la nueva prueba eventualmente llenará aproximadamente 5,000 páginas. (Esta extensión se debe en parte a que la prueba de segunda generación está escrita en un estilo más relajado). Aschbacher y Smith escribieron sus dos volúmenes dedicados al caso de cuasitina de tal manera que esos volúmenes pueden ser parte de la prueba de la segunda generación.
Gorenstein y sus colaboradores han dado varias razones por las cuales es posible una prueba más simple.
- Lo más importante es que ahora se conoce la declaración correcta y final del teorema. Se pueden aplicar técnicas más simples que se sabe que son adecuadas para los tipos de grupos que sabemos que son finitos simples. En contraste, los que trabajaron en la prueba de la primera generación no sabían cuántos grupos esporádicos había, y de hecho algunos de los grupos esporádicos (por ejemplo, los grupos de Janko ) se descubrieron al probar otros casos del teorema de clasificación. Como resultado, muchas de las piezas del teorema se probaron utilizando técnicas que eran demasiado generales.
- Debido a que la conclusión era desconocida, la prueba de la primera generación consiste en muchos teoremas independientes, que tratan casos especiales importantes. Gran parte del trabajo de probar estos teoremas se dedicó al análisis de numerosos casos especiales. Dada una prueba más grande y orquestada, el manejo de muchos de estos casos especiales puede posponerse hasta que se puedan aplicar los supuestos más poderosos. El precio pagado bajo esta estrategia revisada es que estos teoremas de primera generación ya no tienen pruebas comparativamente cortas, sino que se basan en la clasificación completa.
- Muchos teoremas de primera generación se superponen y, por lo tanto, dividen los posibles casos de manera ineficiente. Como resultado, las familias y las subfamilias de grupos finitos simples se identificaron varias veces. La prueba revisada elimina estas redundancias al depender de una subdivisión diferente de los casos.
- Los teóricos de los grupos finitos tienen más experiencia en este tipo de ejercicio y tienen nuevas técnicas a su disposición.
Aschbacher (2004) calificó el trabajo sobre el problema de clasificación de Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth y algunos otros, un programa de tercera generación . Uno de los objetivos de esto es tratar a todos los grupos en la característica 2 de manera uniforme utilizando el método de amalgama.
¿Por qué la prueba es tan larga? [ editar ]
Gorenstein ha discutido algunas de las razones por las cuales podría no haber una prueba corta de la clasificación similar a la clasificación de los grupos de Lie compactos .
- La razón más obvia es que la lista de grupos simples es bastante complicada: con 26 grupos esporádicos es probable que haya muchos casos especiales que deben considerarse en cualquier prueba. Hasta ahora nadie ha encontrado una descripción uniforme y limpia de los grupos finitos simples, similar a la parametrización de los grupos de Lie compactos por los diagramas de Dynkin .
- Atiyah y otros han sugerido que la clasificación debería simplificarse construyendo algún objeto geométrico sobre el que actúen los grupos y luego clasificando estas estructuras geométricas. El problema es que nadie ha podido sugerir una manera fácil de encontrar una estructura geométrica asociada a un grupo simple. En cierto sentido, la clasificación funciona al encontrar estructuras geométricas, como los pares BN , pero esto solo ocurre al final de un análisis muy largo y difícil de la estructura de un grupo simple finito.
- Otra sugerencia para simplificar la prueba es hacer un mayor uso de la teoría de la representación . El problema aquí es que la teoría de la representación parece requerir un control muy estricto sobre los subgrupos de un grupo para funcionar bien. Para grupos de rango pequeño, uno tiene tal control y la teoría de la representación funciona muy bien, pero para grupos de rango mayor nadie ha tenido éxito en usarlo para simplificar la clasificación. En los primeros días de la clasificación se hizo un esfuerzo considerable para usar la teoría de la representación, pero esto nunca logró mucho éxito en el caso de rango más alto.
Consecuencias de la clasificación [ editar ]
Esta sección enumera algunos resultados que se han probado mediante la clasificación de grupos finitos simples.
- La conjetura de Schreier.
- El teorema del funtor del señalizador.
- La conjetura B
- El teorema de Schur-Zassenhaus para todos los grupos (aunque esto solo usa el teorema de Feit-Thompson).
- Un grupo de permutación transitiva en un conjunto finito con más de 1 elemento tiene un elemento sin punto fijo de orden de potencia principal.
- La clasificación de 2 grupos de permutación transitiva .
- La clasificación de los grupos de permutación de rango 3 .
- La conjetura de los Sims.
- La conjetura de Frobenius sobre el número de soluciones de x n = 1 .
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