MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

 subanillo de R es un subconjunto de un anillo que es en sí mismo un anillo cuando operaciones binarias de adición y multiplicación en R se restringen al subconjunto, y que comparte la misma identidad multiplicativa como R . Para aquellos que definen anillos sin requerir la existencia de una identidad multiplicativa, un subring de R es solo un subconjunto de R que es un anillo para las operaciones de R (esto implica que contiene la identidad aditiva de R).). Este último da una condición estrictamente más débil, incluso para los anillos que sí tienen una identidad multiplicativa, de modo que, por ejemplo, todos los ideales seconvierten en subrings (y pueden tener una identidad multiplicativa que difiere de la de R ). Dado que la definición requiere una identidad multiplicativa (que se usa en este artículo), el único ideal de R que es un subring de R es R en sí mismo.

Definición formal [ editar ]

Un subanillo de un anillo de ( R , +, *, 0, 1) es un subconjunto S de R que conserva la estructura del anillo, es decir un anillo ( S , +, *, 0, 1) con S ⊆ R . De manera equivalente, es tanto un subgrupo de ( R , +, 0) como un submonoide de ( R , ∗, 1) .

Ejemplos [ editar ]

El anillo Z y sus cocientes Z / n Z no tienen anillos (con identidad multiplicativa) aparte del anillo completo.

Cada anillo tiene un subring más pequeño único, isomorfo a algún anillo Z / n Z con n un entero no negativo (ver característica ). Los enteros Z corresponden a n = 0 en esta declaración, ya que Z es isomorfo a Z / 0 Z .

Prueba de prueba [ editar ]

La prueba subanillo es un teorema que establece que para cualquier anillo R , un subconjunto de R es un subanillo si está cerrado bajo la multiplicación y la resta, y contiene la identidad multiplicativa de R .

Como ejemplo, el anillo Z de enteros es una subring del campo de números reales y también una subring del anillo de polinomios Z [ X ].

Extensiones de anillo [ editar ]

No debe confundirse con un análogo de la teoría de los anillos de una extensión de grupo . Para eso, ver Extensión del anillo .

Si S es un subring de un anillo R , entonces se dice que R es una extensión de anillo de S , escrito como R / Sen notación similar a la de las extensiones de campo .

Subringido generado por un conjunto [ editar ]

Sea R un anillo. Cualquier intersección de subanillos de R es de nuevo un subanillo de R . Por lo tanto, si X es cualquier subconjunto de R , la intersección de todos los subanillos de R que contiene X es un subanillo S de R . S es el subanillo más pequeño de R que contiene X . ("Más pequeño" significa que si T es cualquier otro subring de R que contiene X , entonces S está contenido en T ). Se dice que S es el subring de R generado por x . Si S= R, podemos decir que el anillo R se genera por X .

Relación con los ideales [ editar ]

Adecuados ideales son subanillos que están cerrados tanto bajo multiplicación izquierda y derecha por elementos de R .

Si se omite el requisito de que los anillos tienen un elemento de unidad, entonces los subentregos solo tienen que ser no vacíos y, por lo demás, conformarse con la estructura del anillo, y los ideales se convierten en subalternos. Los ideales pueden o no tener su propia identidad multiplicativa (distinta de la identidad del anillo):

• El ideal I = {( z , 0) | z en Z } del anillo Z × Z = {( x , y ) | x , y en Z } con suma y multiplicación por componentes tiene la identidad (1,0), que es diferente de la identidad (1,1) del anillo. Así que es un anillo con unidad, y un "subanillo-sin-unidad", pero no un "subanillo-con-unidad" de Z × Z .
• Los ideales propios de Z no tienen identidad multiplicativa.

Si I es un ideal primo de un anillo conmutativo R , entonces la intersección de I con cualquier subanillo S de Rpermanece privilegiada en S . En este caso se dice que me quede sobre I  ∩  S . La situación es más complicada cuando R no es conmutativa.

Perfil de subrings conmutativos [ editar ]

Un anillo puede ser perfilado ^{[ aclaración necesaria ]} por la variedad de elementos conmutativos que alberga:

• El anillo de cuaternión H contiene solo el plano complejo como un subring plano
• El anillo de coquaternión contiene tres tipos de subrings planos conmutativos: el plano numérico dual , el plano numérico complejo-dividido , así como el plano complejo ordinario
• El anillo de 3 × 3 matrices reales también contiene 3-dimensionales subanillos conmutativos generados por la matriz de identidad y una nilpotent ε de orden 3 (εεε = 0 ≠ εε). Por ejemplo, el grupo de Heisenberg se puede realizar como la unión de los grupos de unidades de dos de estos subrings generados nilpotent de 3 × 3 matrices.

 subalgebra es un subconjunto de un álgebra , cerrado en todas sus operaciones y que lleva las operaciones inducidas.

" Álgebra ", cuando se refiere a una estructura, a menudo significa un espacio vectorial o un módulo equipado con una operación bilineal adicional. Las álgebras en el álgebra universal son mucho más generales: son una generalización común de todas las estructuras algebraicas . Subalgebra puede ser un subconjunto de ambos casos.

Subalgebras para álgebras sobre un anillo o campo [ editar ]

Una subálgebra de un álgebra sobre un anillo o campo conmutativo es un subespacio vectorial que se cierra bajo la multiplicación de vectores. La restricción de la multiplicación de álgebra hace que sea un álgebra sobre el mismo anillo o campo. Esta noción también se aplica a la mayoría de las especializaciones, donde la multiplicación debe satisfacer propiedades adicionales, por ejemplo, a álgebras asociativas o a álgebras de Lie . Solo para las álgebras unitales hay una noción más fuerte, de subalgebra unital , para la cual también se requiere que la unidad de la subalgebra sea la unidad del álgebra más grande.

Ejemplo [ editar ]

Las matrices 2 × 2 sobre lo real forman un álgebra unital de manera obvia. Las matrices 2 × 2 para las que todas las entradas son cero, excepto la primera en la diagonal, forman una subalgebra. También es unital, pero no es una subalgebra unital.

Subalgebras en álgebra universal [ editar ]

Artículo principal: Subestructura (matemáticas)

En álgebra universal , una subálgebra de un álgebra A es un subconjunto S de A , que también tiene la estructura de un álgebra del mismo tipo cuando las operaciones algebraicas se restringen a S . Si los axiomas de un tipo de estructura algebraica están descritos por leyes ecuatoriales , como suele ser el caso en el álgebra universal, lo único que debe verificarse es que S está cerrado durante las operaciones.

Algunos autores consideran álgebras con funciones parciales . Hay varias formas de definir subalgebras para estos. Otra generalización de las álgebras es permitir las relaciones. Estas álgebras más generales se denominan generalmente estructuras y se estudian en teoría de modelos y en informática teórica . Para las estructuras con relaciones hay nociones de subestructuras inducidas y débiles .

Ejemplo [ editar ]

Por ejemplo, la firma estándar para grupos en álgebra universal es (•, ⁻¹ , 1) . (Se necesitan inversión y unidad para obtener las nociones correctas de homomorfismo y para que las leyes de grupo puedan expresarse como ecuaciones). Por lo tanto, un subgrupo de un grupo G es un subconjunto S de G tal que:

• la identidad e de G pertenece a S (de modo que S se cierra bajo la operación constante de identidad);
• cuando x pertenece a S , también lo hace x ⁻¹ (de modo que S se cierra en la operación inversa);
• cada vez que x e y pertenecen a S , también lo hace x • y (de modo que S se cierra en la operación de multiplicación del grupo).

módulo es una de las estructuras algebraicasfundamentales utilizadas en el álgebra abstracta . Un módulo sobre un anillo es una generalización de la noción de espacio vectorial sobre un campo , donde los escalares correspondientes son los elementos de un anillo determinado arbitrario (con identidad) y se define una multiplicación (a la izquierda y / o a la derecha) Entre los elementos del anillo y los elementos del módulo.

Así, un módulo, como un espacio vectorial, es un grupo abelianoaditivo ; un producto se define entre los elementos del anillo y los elementos del módulo que es distributivo sobre la operación de adición de cada parámetro y es compatible con la multiplicación del anillo.

Los módulos están muy relacionados con la teoría de la representación de grupos . También son una de las nociones centrales del álgebra conmutativa y del álgebra homológica , y se usan ampliamente en geometría algebraica y topología algebraica .

Introducción y definición [ editar ]

Motivación [ editar ]

En un espacio vectorial, el conjunto de escalares es un campo y actúa sobre los vectores por multiplicación escalar, sujeto a ciertos axiomas como la ley distributiva . En un módulo, los escalares solo necesitan ser un anillo , por lo que el concepto del módulo representa una generalización significativa. En el álgebra conmutativa, tanto los ideales como los anillos de cociente son módulos, por lo que muchos argumentos sobre ideales o anillos de cociente se pueden combinar en un solo argumento sobre los módulos. En el álgebra no conmutativa, la distinción entre ideales izquierdos, ideales y módulos se hace más pronunciada, aunque algunas condiciones de la teoría de los anillos pueden expresarse sobre ideales izquierdos o módulos izquierdos.

Gran parte de la teoría de los módulos consiste en extender tantas propiedades deseables de los espacios vectoriales como sea posible al ámbito de los módulos a través de un anillo de " buen comportamiento ", como un dominio ideal principal . Sin embargo, los módulos pueden ser un poco más complicados que los espacios vectoriales; por ejemplo, no todos los módulos tienen una base , e incluso aquellos que lo hacen, los módulos libres , no necesitan tener un rango único si el anillo subyacente no satisface la condición de número de base invariable , a diferencia de los espacios vectoriales, que siempre tienen una (posiblemente infinita) Base cuya cardinalidad es entonces única. (Estas dos últimas afirmaciones requieren el axioma de elecciónen general, pero no en el caso de espacios de dimensión finita, o ciertos espacios de dimensión infinita de buen comportamiento, como los espacios L ^p .)

Definición formal [ editar ]

Supongamos que R es un anillo y 1 _R es su identidad multiplicativa. A la izquierda R -módulo M consiste en ungrupo abeliano ( M , +) y una operación ⋅: R × M → M tal que para todo r , s en R y x , y en M , tenemos:

1. $${\ displaystyle r \ cdot (x + y) = r \ cdot x + r \ cdot y}
2. $${\ displaystyle (r + s) \ cdot x = r \ cdot x + s \ cdot x}
3. $${\ displaystyle (rs) \ cdot x = r \ cdot (s \ cdot x)}
4. $${\ displaystyle 1_ {R} \ cdot x = x.}

La operación del anillo en M se llama multiplicación escalar , y generalmente se escribe por yuxtaposición, es decir, como rx para r en R y x en M , aunque aquí se denota como r ⋅ x para distinguirlo de la operación de multiplicación de anillo, denotado Aquí por yuxtaposición. La notación _R M indica a la izquierda R -módulo M . Un R- módulo derecho M o M _Rse define de manera similar, excepto que el anillo actúa a la derecha; es decir, la multiplicación escalar toma la forma : M × R → M , y los axiomas anteriores se escriben con los escalares r y s a la derecha de x e y .

Los autores que no requieren que los anillos sean unital omiten la condición 4 anterior en la definición de un módulo R , por lo que llamarían a las estructuras definidas anteriormente " módulos R izquierdos unital ". En este artículo, en consonancia con el glosario de la teoría de anillos, se supone que todos los anillos y módulos son unitales. ^[1]

Si uno escribe la acción escalar como f _{r de} modo que f _r ( x ) = r ⋅ x , y f para el mapa que lleva cada r a su mapa correspondiente f _r  , entonces el primer axioma establece que cada f _r es un endomorfismo de grupo de M , y los otros tres axiomas afirman que el mapa f  : R → Fin ( M ) dado por r ↦ f _r es un homomorfismo de anillo de Rhasta el extremo del anillo endomorfismo ( M ). ^[2] Por lo tanto, un módulo es una acción de anillo en un grupo abeliano (véase acción de grupo . También considere la acción monoide de la estructura multiplicativa de R ). En este sentido, la teoría de los módulos generaliza la teoría de la representación , que trata las acciones de grupo en espacios vectoriales, o las acciones de anillo de grupo equivalentes .

Un bimódulo es un módulo que es un módulo de la izquierda y un módulo de la derecha de modo que las dos multiplicaciones son compatibles.

Si R es conmutativo , entonces los módulos R izquierdos son los mismos que los módulos R derechos y se denominan simplemente módulos R.

Ejemplos [ editar ]

• Si K es un campo , entonces los conceptos " K - espacio vectorial " (un espacio vectorial sobre K ) y K -módulo son idénticos.
• Si K es un campo, y K [ x ] una univariado anillo de polinomios , entonces un K [ x ] -module M es un K -módulo con una acción adicional de x en M que conmuta con la acción de K en M . En otras palabras, un K [ x] -module es un K espacio-vector M combinado con un mapa lineal de M a M . Aplicación del teorema de estructura para módulos generados de manera finita sobre un dominio ideal principalA este ejemplo se le muestra la existencia de las formas canónicas racionales y jordanas .
• El concepto de un módulo Z concuerda con la noción de un grupo abeliano. Es decir, cada grupo abeliano es un módulo sobre el anillo de enteros Z de una manera única. Para n > 0 , sea n ⋅ x = x + x + ... + x ( nsumandos), 0 ⋅ x = 0 , y (- n ) ⋅ x = - ( n ⋅ x ) . Tal módulo no necesita tener una base: grupos que contienen elementos de torsiónno haga. (Por ejemplo, en el grupo de enteros módulo 3, no se puede encontrar ni un elemento que satisfaga la definición de un conjunto linealmente independiente, ya que cuando un entero como 3 o 6 multiplica un elemento, el resultado es 0. Sin embargo, si un campo finito es considerado como un módulo sobre el mismo campo finito tomado como un anillo, es un espacio vectorial y tiene una base.)
• Las fracciones decimales (incluidas las negativas) forman un módulo sobre los enteros. Solo los singletonsson conjuntos linealmente independientes, pero no hay un singleton que pueda servir como base, por lo que el módulo no tiene base ni rango.
• Si R es cualquier anillo y n es un número natural , entonces el producto cartesiano R ⁿ es tanto un módulo izquierdo como uno derecho sobre R si usamos las operaciones de componentes. Por lo tanto, cuando n = 1 , R es un módulo R , donde la multiplicación escalar es solo una multiplicación en anillo. El caso n = 0 produce el módulo R trivial {0} que consiste solo en su elemento de identidad. Los módulos de este tipo se llaman libres y si R tiene un número de base invariable(por ejemplo, cualquier anillo o campo conmutativo) el número n es el rango del módulo libre.
• Si R es cualquier anillo, M _n ( R ) es el anillo de n × n matrices más de R , deja que M sea un M _n ( R ) -module, y dejar e _i ser el n × n matriz que tiene 1 en el ( i , i ) -entry, y 0 en otra parte. Entonces e _i M es un módulo R , ya que re _i m = e _i rm ∈ e _i M. Así M rompe como la suma directa de R -modules, M = e ₁ M ⊕ ... ⊕ e _n M . A la inversa, dado un R -módulo M ₀ , entonces M ₀ ^⊕ n es un M _n ( R ) -module. De hecho, la categoría del módulo R y la categoría del módulo M _n ( R ) son equivalentes. El caso especial es que el módulo M es solo R como un módulo sobre sí mismo, entonces R ⁿ es un M_n ( R ) -módulo.
• Si S es un conjunto no vacío , M es un módulo R izquierdo , y M ^S es la colección de todas las funciones f  : S → M , entonces con la suma y la multiplicación escalar en M ^S definida por ( f + g ) ( s ) = f ( s ) + g ( s ) y ( rf ) ( s ) = rf ( s ) , M ^SEs un modulo R izquierdo . El caso del módulo R correcto es análogo. En particular, si R es conmutativo, la colección de homomorfismos h del módulo R  : M → N (ver más abajo) es un módulo R(y, de hecho, un submódulo de N ^M ).
• Si X es una variedad suave , entonces las funciones suaves de X a los números reales forman un anillo C ^∞ ( X ). El conjunto de todos lisas campos de vectores definidos en X forman un módulo sobre C ^∞ ( X ), y también lo hacen los campos tensoriales y las formas diferenciales en X . Más generalmente, las secciones de cualquier paquete vectorial forman un módulo proyectivo sobre C ^∞ ( X ), y porEl teorema de Swan , cada módulo proyectivo es isomorfo al módulo de secciones de algún paquete; la categoría de los módulos C ^∞ ( X) y la categoría de los paquetes de vectores sobre X son equivalentes .
• Si R es cualquier anillo e I es cualquier ideal por la izquierda en R , entonces me es un módulo izquierdo sobre R . Análogamente, por supuesto, los ideales correctos son módulos correctos.
• Si R es un anillo, podemos definir el anillo R ^op que tiene el mismo conjunto subyacente y la misma operación de suma, pero la multiplicación opuesta: si ab = c en R , entonces ba = c en R ^op . Cualquier izquierda R -módulo M puede entonces ser visto como un derecho módulo sobre R ^op , y cualquier módulo de la derecha sobre R se puede considerar un módulo de izquierda sobre R ^op .
• También hay módulos de un álgebra de Lie .

Submódulos y homomorfismos [ editar ]

Supongamos que M es un izquierda R -módulo y N es un subgrupo de M . Entonces N es un submódulo (o R-submódulo, para ser más explícito) si, para cualquier n en N y cualquier r en R , el producto r ⋅ n está en N (o n ⋅ rpara un módulo correcto).

El conjunto de submódulos de un módulo M dado , junto con las dos operaciones binarias + y, forman una redque satisface la ley modular : Dados los submódulos U , N ₁ , N ₂ de M, de tal manera que N ₁ ⊂ N ₂ , entonces los siguientes dos submódulos son iguales: ( N ₁ + U ) ∩ N ₂ = N ₁ + ( U ∩ N ₂ ) .

Si M y N se dejan R -modules, entonces un mapa f  : M → N es un homomorfismo de R -modules si, para cualquier m , n en M y r , s en R ,

$${\ displaystyle f (r \ cdot m + s \ cdot n) = r \ cdot f (m) + s \ cdot f (n)}

Esto, como cualquier homomorfismo de objetos matemáticos, es solo un mapeo que preserva la estructura de los objetos. Otro nombre para un homomorfismo de módulos sobre R es un mapa R - lineal .

Un homomorfismo de módulo biyectivo es un isomorfismo de módulos, y los dos módulos se denominan isomorfos . Dos módulos isomórficos son idénticos para todos los propósitos prácticos, diferenciándose únicamente en la notación de sus elementos.

El núcleo de un módulo homomorfismo f  : M → N es el submódulo de M que consiste en todos los elementos que se envían a cero mediante f . Los teoremas de isomorfismo conocidos a partir de grupos y espacios vectoriales también son válidos para los módulos R.

Los módulos R de la izquierda, junto con sus homomorfismos de módulo, forman una categoría , escrita como R - Mod (consulte la categoría de módulos para obtener más información). Esta es una categoría abeliana .

Tipos de módulos [ editar ]

Finitamente generado. Un R -módulo M es de generación finita si existen un número finito de elementos x ₁ , ..., x _n en M tal que cada elemento de M es una combinación lineal de esos elementos con coeficientes de anillo R .

Cíclico. Un módulo se llama módulo cíclico si es generado por un elemento.

Gratis. Un libre de R -módulo es un módulo que tiene una base, o equivalentemente, una que es isomorfo a una suma directa de copias del anillo R . Estos son los módulos que se comportan como espacios vectoriales.

Descriptivo. Los módulos proyectivos son sumas directas de módulos libres y comparten muchas de sus propiedades deseables.

Inyectiva Los módulos inyectivos se definen dualmente a los módulos proyectivos.

Plano. Un módulo se llama plano si el hecho de tomar el producto tensorial con una secuencia exacta de módulos R conserva la exactitud.

Módulo sin torsión. Un módulo se llama sin torsión si se incrusta en su doble algebraico.

Sencillo. Un simple módulo S es un módulo que no es {0} y cuyo submódulos sólo son {0} y S . Los módulos simples a veces se llaman irreductibles . ^[3]

Semisimple Un módulo semisimple es una suma directa (finita o no) de módulos simples. Históricamente estos módulos también son llamados completamente reducibles .

Indecomposible. Un módulo indecomposible es un módulo distinto de cero que no se puede escribir como una suma directa de dos submódulos distintos de cero. Cada módulo simple es indecompatible, pero hay módulos indecomisibles que no son simples (por ejemplo , módulos uniformes ).

Fiel. Un módulo fiel M es aquel en el que la acción de cada r ≠ 0 en R en M no es trivial (es decir, r ⋅ x ≠ 0 para algunos x en M ). De manera equivalente, el aniquilador de M es el ideal cero.

Libre de torsión. Un módulo libre de torsión es un módulo sobre un anillo tal que 0 es el único elemento aniquilado por un elemento regular (no divisor cero) del anillo.

Noetheriano. Un módulo noetheriano es un módulo que satisface la condición de cadena ascendente en los submódulos, es decir, cada cadena creciente de submódulos se detiene después de muchos pasos. Equivalentemente, cada submódulo se genera finitamente.

Artiniano. Un módulo Artinian es un módulo que satisface la condición de cadena descendente en los submódulos, es decir, cada cadena decreciente de submódulos se vuelve estacionaria después de muchos pasos.

Graduado Un módulo graduada es un módulo con una descomposición como una suma directa M = ⨁ _x M _xsobre un anillo graduado R = ⨁ _x R _x tal que R _x M _y ⊂ M _x + y para todos los x y y .

Uniforme. Un módulo uniforme es un módulo en el que todos los pares de submódulos distintos de cero tienen intersección distinta de cero.

Otras nociones [ editar ]

Relación con la teoría de la representación [ editar ]

Si M es un módulo R izquierdo , entonces la acción de un elemento r en R se define como el mapa M → M que envía cada x a rx (o xr en el caso de un módulo derecho), y es necesariamente un grupo endomorfismo del grupo abeliano ( M , +) . El conjunto de todos los endomorfismos de grupo de M se denota como Fin _Z ( M ) y forma un anillo bajo adición y composición, y envía un elemento de anillo r de REn realidad, su acción define un homomorfismo de anillo de R a Fin _Z ( M ).

Tal homomorfismo de anillo R → Fin _Z ( M ) se llama representación de R sobre el grupo abeliano M ; Una forma alternativa y equivalente de definir los módulos R izquierdos es decir que un módulo R izquierdo es un grupo abeliano M junto con una representación de R sobre él.

Una representación se llama fiel si y solo si el mapa R → Fin _Z ( M ) es inyectivo . En términos de módulos, esto significa que si r es un elemento de R tal que rx = 0 para todas las x en M , entonces r = 0 . Cada grupo abeliano es un módulo fiel sobre los números enteros o sobre algún aritmética modular Z / n Z .

Generalizaciones [ editar ]

Cualquier anillo R puede verse como una categoría preaditiva con un solo objeto. Con este entendimiento, un módulo R izquierdo no es más que un funtor aditivo (covariante) de R a la categoría Ab de los grupos abelianos. Los módulos R correctos son funtores aditivos contravariantes. Esto sugiere que, si C es una categoría preaditiva, un funtor aditivo covariante de C a Ab debe considerarse un módulo izquierdo generalizado sobre C ; estos funtores forman un funtor de categoría C - Mod.que es la generalización natural del módulo categoría R - Mod .

Módulos de más de conmutativos anillos pueden generalizarse en una dirección diferente: tomar un espacio anillado ( X , O _X ) y considerar las poleas de O _X -modules; Vea la gavilla de módulos para más. Estos forman una categoría O _X - Mod , y juegan un papel importante en la geometría algebraica moderna . Si X tiene un solo punto, entonces esta es una categoría de módulo en el sentido antiguo sobre el anillo conmutativo O _X ( X ).

También se pueden considerar módulos sobre un semiringuito . Los módulos sobre anillos son grupos abelianos, pero los módulos sobre semirrugas son solo monoides conmutativos . La mayoría de las aplicaciones de los módulos son todavía posibles. En particular, para cualquier S semired, las matrices sobre S forman un semiring sobre el cual las tuplas de elementos de S son un módulo (solo en este sentido generalizado). Esto permite una mayor generalización del concepto de espacio vectorial que incorpora semirings de la informática teórica.

Sobre los anillos cercanos , se pueden considerar los módulos cercanos al anillo, una generalización no mariana de módulos.