MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

imagen es el subconjunto de una función 's codomain que es la salida de la función de un subconjunto de su dominio .

Al evaluar una función en cada elemento de un subconjunto X del dominio, se produce un conjunto llamado imagen de X debajo o a través de la función. La imagen inversa o imagen inversa de un subconjunto particular S de la codomain de una función es el conjunto de todos los elementos del dominio que se asignan a los miembros de S .

La imagen y la imagen inversa también se pueden definir para relaciones binarias generales , no solo para funciones.

f es una función de dominio X a codomain Y . El óvalo amarillo dentro de Y es la imagen de f .

Definición [ editar ]

La palabra "imagen" se usa de tres maneras relacionadas. En estas definiciones, f  : X → Y es una función de la serie X al conjunto Y .

Imagen de un elemento [ editar ]

Si x es un miembro de X , entonces f ( x ) = y (el valor de f cuando se aplica a x ) es la imagen de x bajo f . Y se conoce alternativamente como la salida de f para el argumento x .

Imagen de un subconjunto [ editar ]

La imagen de un subconjunto A ⊆ X debajo de f es el subconjunto f [ A ] ⊆ Y definido por (en notación de creación de conjuntos ):

$${\ displaystyle f [A] = \ {\, y \ en Y \, | \, y = f (x) {\ text {para algunos}} x \ en A \, \}}

Cuando no hay riesgo de confusión, f [ A ] simplemente se escribe como f ( A ). Esta convención es una común; El significado pretendido debe inferirse del contexto. Esto hace que f [.] Una función cuyo dominio es el conjunto potencia de X (el conjunto de todos los subconjuntos de X ), y cuya codomain es el conjunto potencia de Y . Véase la notación a continuación.

Imagen de una función [ editar ]

La imagen f [ X ] de todo el dominio X de f se llama simplemente la imagen de f .

La generalización de las relaciones binarias [ editar ]

Si R es una relación binaria arbitraria en X × Y , el conjunto {y∈ Y | xRy por algún x ∈ X } se llama la imagen, o la gama, de R . Dualmente, el conjunto { x ∈ X | xRy para algunos y∈ Y } se denomina el dominio de R .

Imagen inversa [ editar ]

"Preimagen" redirige aquí. Para el ataque criptográfico en funciones hash, vea ataque de preimagen .

Deje f una función de X a Y . La imagen preliminar o inversa de un conjunto B ⊆ Y debajo de f es el subconjunto de X definido por

$${\ displaystyle f ^ {- 1} [B] = \ {\, x \ en X \, | \, f (x) \ en B \}}

La imagen inversa de un singleton , denotada por f  ⁻¹ [{ y }] o por f  ⁻¹ [ y ], también se llama la fibra sobre y o el conjunto de niveles de y . El conjunto de todas las fibras más de los elementos de Y es una familia de conjuntos indexados por Y .

Por ejemplo, para la función f ( x ) = x ² , la imagen inversa de {4} sería {−2, 2}. De nuevo, si no existe ningún riesgo de confusión, podemos denotamos f  ^-1 [ B ] por f  ^-1 ( B ), y pienso en f  ^-1 como una función del conjunto de alimentación de Y para el conjunto potencia de X . La notación f  ⁻¹ no debe confundirse con la de la función inversa . La notación coincide con la habitual, sin embargo, para bijections, en el sentido de que la imagen inversa de B bajo fEs la imagen de B debajo de f  ⁻¹ .

Notación para imagen e imagen inversa [ editar ]

Las notaciones tradicionales utilizadas en la sección anterior pueden ser confusas. Una alternativa ^[1] es dar nombres explícitos para la imagen y preimagen como funciones entre powersets:

Notación de flecha [ editar ]

• $${\ displaystyle f ^ {\ rightarrow}: {\ mathcal {P}} (X) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (Y)} con $${\ displaystyle f ^ {\ rightarrow} (A) = \ {f (a) \; | \; a \ in A \}}
• $${\ displaystyle f ^ {\ leftarrow}: {\ mathcal {P}} (Y) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (X)} con $${\ displaystyle f ^ {\ leftarrow} (B) = \ {a \ en X \; | \; f (a) \ en B \}}

Notación estrella [ editar ]

• $${\ displaystyle f _ {\ star}: {\ mathcal {P}} (X) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (Y)} en lugar de $${\ displaystyle f ^ {\ rightarrow}}
• $${\ displaystyle f ^ {\ star}: {\ mathcal {P}} (Y) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (X)} en lugar de $${\ displaystyle f ^ {\ leftarrow}}

Otra terminología [ editar ]

• Una notación alternativa para f [ A ] utilizado en la lógica matemática y la teoría de conjuntos es f  " A . ^[2] [3]
• Algunos textos se refieren a la imagen de f como el rango de f , pero este uso debe evitarse porque la palabra "rango" también se usa comúnmente para referirse al codominio de f .

Ejemplos [ editar ]

1. f : {1, 2, 3} → { a, b, c, d } definido por{\ displaystyle f (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} a, & {\ mbox {if}} x = 1 \\ a, & {\ mbox {if}} x = 2 \\ c, & {\ mbox {if}} x = 3. \ end {matrix}} \ right.}
   La imagen del conjunto {2, 3} bajo f es f ({2, 3}) = { a, c }. La imagen de la función f es { a, c }. La preimagen de a es f  ⁻¹ ({ a }) = {1, 2}. La preimagen de { a, b } también es {1, 2}. La preimagen de { b , d } es el conjunto vacío {}.
2. f : R → R definido por f ( x ) = x ² .
   La imagen de {−2, 3} debajo de f es f ({−2, 3}) = {4, 9}, y la imagen de f es R ⁺ . La preimagen de {4, 9} bajo f es f  ⁻¹ ({4, 9}) = {−3, −2, 2, 3}. La preimagen del conjunto N = { n ∈ R | n <0 bajo="" font="" nbsp="">f es el conjunto vacío, porque los números negativos no tienen raíces cuadradas en el conjunto de reales.
3. f : R ² → R definido por f ( x , y ) = x ² + y ² .
   Las fibras f  ⁻¹ ({ a }) son círculos concéntricos sobre el origen , el origen mismo y el conjunto vacío , dependiendo de si a > 0, a = 0 o a <0 font="" respectivamente.="">
4. Si M es un colector y π : TM → M es la canónica proyección desde el fibrado tangente TM a M , entonces las fibras de π son los espacios tangentes T _x ( M ) para x ∈ M . Este es también un ejemplo de un paquete de fibra .
5. Un grupo cociente es una imagen homomórfica.

Consecuencias [ editar ]

Dada una función f  : X → Y , para todos los subconjuntos A , A ₁ y A ₂ de X y todos los subconjuntos B , B ₁ y B ₂ de Y tenemos:

• f ( A ₁  ∪  A ₂ ) = f ( A ₁ ) ∪  f ( A ₂ ) ^[4]
• f ( A ₁  ∩  A ₂ ) ⊆ f ( A ₁ ) ∩  f ( A ₂ ) ^[4]
• f  ⁻¹ ( B ₁  ∪  B ₂ ) = f  ⁻¹ ( B ₁ ) ∪  f  ⁻¹ ( B ₂ )
• f  ⁻¹ ( B ₁  ∩  B ₂ ) = f  ⁻¹ ( B ₁ ) ∩  f  ⁻¹ ( B ₂ )
• f (A) ⊆  B ⇔ A  ⊆  f  ⁻¹ ( B )
• f ( f  ⁻¹ ( B )) ⊆  B ^[5]
• f  ⁻¹ ( f ( A )) ⊇  A ^[6]
• A ₁ ⊆ A ₂ ⇒ f ( A ₁ ) ⊆ f ( A ₂ )
• B ₁ ⊆ B ₂ ⇒ f  ⁻¹ ( B ₁ ) ⊆ f  ⁻¹ ( B ₂ )
• f  ⁻¹ ( B ^C ) = ( f  ⁻¹ ( B )) ^C
• ( f  | _A ) ⁻¹ ( B ) = A ∩ f  ⁻¹ ( B ).

Los resultados relacionan imágenes y preimágenes al álgebra ( booleana ) de intersección y trabajo de uniónpara cualquier colección de subconjuntos, no solo para pares de subconjuntos:

• $${\ displaystyle f \ left (\ bigcup _ {s \ en S} A_ {s} \ right) = \ bigcup _ {s \ en S} f (A_ {s})}
• $${\ displaystyle f \ left (\ bigcap _ {s \ en S} A_ {s} \ right) \ subseteq \ bigcap _ {s \ en S} f (A_ {s})}
• $${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcup _ {s \ en S} B_ {s} \ right) = \ bigcup _ {s \ en S} f ^ {- 1} (B_ {s}) }
• $${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcap _ {s \ en S} B_ {s} \ right) = \ bigcap _ {s \ en S} f ^ {- 1} (B_ {s}) }

(Aquí, S puede ser infinito, incluso infinitamente incontable .)

Con respecto al álgebra de subconjuntos, por lo anterior vemos que la función de imagen inversa es un homomorfismo de red, mientras que la función de imagen es solo un homomorfismo de semilatticio (no siempre conserva las intersecciones).

En álgebra , la coimagen de un homomorfismo.

f :  A  → B

es el cociente

Coim f = A / ker f

del dominio por el kernel . El coimage es canónicamente isomorfo a la imagen por el primer teorema de isomorfismo , cuando ese teorema se aplica.

Más generalmente, en teoría de categorías , el coimage de un morfismo es la noción dual de la imagen de un morfismo . Si f  : X → Y , entonces una coimagen de f (si existe) es un epimorfismo c  : X → C tal que

1. hay un mapa f _c  : C → Y con f = f _c ∘ c ,
2. para cualquier epimorfismo z  : X → Z para el que hay un mapa f _z : Z → Y con f = f _z ∘ z , existe un mapa único π: Z → C tal que tanto c = π ∘ z y f _z = f _c ∘ π.

epimorfismo (también llamado morfismo épico o, coloquialmente, un epi ) es un morfismo f  : X → Y que es recto-relativo en el sentido de que, para todos los morfismos g ₁ , g ₂  : Y → Z ,

$${\ displaystyle g_ {1} \ circ f = g_ {2} \ circ f \ Rightarrow g_ {1} = g_ {2}.}

Los epimorfismos son análogos categóricos de funciones sobreyectivas (y en la categoría de conjuntos el concepto corresponde a las funciones sobreyectivas), pero puede no coincidir exactamente en todos los contextos; por ejemplo, la inclusión$${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Q}}Es un anillo-epimorfismo. El dual de un epimorfismo es un monomorfismo (es decir, un epimorfismo en una categoría C es un monomorfismo en la categoría dual C ^op ).

Muchos autores en álgebra abstracta y álgebra universal definen un epimorfismo simplemente como un homomorfismo sobre o sobreyectivo . Todo epimorfismo en este sentido algebraico es un epimorfismo en el sentido de la teoría de categorías, pero lo contrario no es cierto en todas las categorías. En este artículo, el término "epimorfismo" se usará en el sentido de la teoría de categorías antes mencionada. Para más información sobre esto, vea la sección sobre terminología a continuación.

Ejemplos [ editar ]

Cada morfismo en una categoría concreta cuyo subyacente función es sobreyectiva es un epimorfismo. En muchas categorías concretas de interés, lo contrario también es cierto. Por ejemplo, en las siguientes categorías, los epimorfismos son exactamente aquellos morfismos que son sobreyectivos en los conjuntos subyacentes:

• Conjunto , conjuntos y funciones. Para probar que cada epimorfismo f : X → Y en Set es suprayectivo, lo componemos con la función característica g ₁ : Y → {0,1} de la imagen f ( X ) y el mapa g ₂ : Y → {0 , 1} que es constante 1.
• Rel , conjuntos con relaciones binarias y funciones de preservación de relaciones. Aquí podemos usar la misma prueba que para Set , equipando {0,1} con la relación completa {0,1} × {0,1}.
• Pos , conjuntos parcialmente ordenados y funciones monótonas . Si f  : ( X , ≤) → ( Y , ≤) no es superyectivo, elija y ₀ en Y \ f ( X ) y sea g ₁  : Y → {0,1} la función característica de { y | y ₀ ≤ y } y g ₂  : Y → {0,1} la función característica de { y | y ₀ < y}. Estos mapas son monótonos si {0,1} recibe el orden estándar 0 <1 .="" font="">
• Grp , grupos y homomorfismos de grupo . El resultado de que cada epimorfismo en Grp es un aporte se debe a Otto Schreier (en realidad demostró más, lo que demuestra que cada subgrupo es un ecualizador que usa el producto gratuito con un subgrupo amalgamado); Se puede encontrar una prueba elemental en (Linderholm 1970).
• FinGrp , grupos finitos y homomorfismos grupales. También debido a Schreier; La prueba dada en (Linderholm 1970) también establece este caso.
• Ab , grupos abelianos y homomorfismos grupales.
• K -Vect ,espacios vectorialessobre uncampo Ky K -transformaciones lineales.
• Mod - R , módulos a la derecha sobre un anillo R y homomorfismos de módulo . Esto generaliza los dos ejemplos anteriores; para probar que cada epimorfismo f : X → Y en Mod - R es suprayectivo, lo componemos con el mapa de cociente canónico g ₁ : Y → Y / f ( X ) y el mapa de cero g ₂ : Y → Y / f ( X ).
• Top , espacios topológicos y funciones continuas . Para probar que cada epimorfismo en Top es superyectivo, procedemos exactamente como en Set , dando a {0,1} la topología indiscreta que garantiza que todos los mapas considerados sean continuos.
• HComp , espacios compactos de Hausdorff y funciones continuas. Si f : X → Y no es superyectivo, permita y ∈  Y  -  fX . Dado que fX está cerrado, por el Lema de Urysohn hay una función continua g ₁ : Y → [0,1] de manera que g ₁ es 0 en fX y 1 en y . Componemos f con g ₁ y la función cero g ₂ : Y → [0,1].

Sin embargo, también hay muchas categorías concretas de interés donde los epimorfismos no pueden ser sobreyectivos. Algunos ejemplos son:

• En la categoría de monoides , Mon , el mapa de inclusión N → Z es un epimorfismo no subjetivo. Para ver esto, supongamos que g ₁ y g ₂ son dos mapas distintos de Z a algunos monoid M . Luego para algunos n en Z , g ₁ ( n ) ≠ g ₂ ( n ), entonces g ₁ ( -n ) ≠ g ₂ (- n ). O n o - nestá en N , por lo que las restricciones de g ₁ y g ₂ a N son desiguales.
• En la categoría de álgebras sobre el anillo conmutativo R , tome R [ N ] → R [ Z ], donde R [ G ] es el anillo de grupo del grupo G y el morfismo es inducido por la inclusión N → Z como en el ejemplo anterior . Esto se deduce de la observación de que 1 genera el álgebra R [ Z ] (tenga en cuenta que la unidad en R [ Z ] está dada por 0 de Z ), y la inversa del elemento representado por nen Z es solo el elemento representado por - n. Así, cualquier homomorfismo de R [ Z ] se determina de forma única por su valor en el elemento representado por 1 de Z .
• En la categoría de anillos , Anillo , el mapa de inclusión Z → Q es un epimorfismo no subjetivo; para ver esto, tenga en cuenta que cualquier homomorfismo de anillo en Q se determina completamente por su acción en Z, similar al ejemplo anterior. Un argumento similar muestra que el homomorfismo de anillo natural de cualquier anillo conmutativo R a cualquiera de sus localizaciones es un epimorfismo.
• En la categoría de anillos conmutativos , un homomorfismo finamente generado de los anillos f  : R → S es un epimorfismo si y solo si para todos los ideales primos P de R , el Q ideal generado por f ( P ) es S o es primo, y si Q no es S , el mapa inducido Frac ( R / P ) → Frac ( S / Q ) es un isomorfismo ( EGA IV 17.2.6).
• En la categoría de espacios de Hausdorff , Haus , los epimorfismos son precisamente las funciones continuas con imágenes densas . Por ejemplo, el mapa de inclusión Q → R , es un epimorfismo no subjetivo.

Lo anterior difiere del caso de los monomorfismos, donde es más frecuente que los monomorfismos sean precisamente aquellos cuyas funciones subyacentes son inyectivas .

En cuanto a ejemplos de epimorfismos en categorías no concretas:

• Si un monoide o anillo se considera como una categoría con un solo objeto (composición de los morfismos dados por multiplicación), los epimorfismos son precisamente los elementos cancelables a la derecha.
• Si un gráfico dirigido se considera como una categoría (los objetos son los vértices, los morfismos son los caminos, la composición de los morfismos es la concatenación de los caminos), entonces todo morfismo es un epimorfismo.

Propiedades [ editar ]

Todo isomorfismo es un epimorfismo; de hecho, solo se necesita una inversa del lado derecho: si existe un morfismo j  : Y → X tal que fj = id _Y , entonces f : X → Y se ve fácilmente como un epimorfismo. Un mapa con tal inverso del lado derecho se llama epi dividido . En un topos , un mapa que es tanto un morfismo monico como un epimorfismo es un isomorfismo.

La composición de dos epimorfismos es nuevamente un epimorfismo. Si la composición fg de dos morfismos es un epimorfismo, entonces f debe ser un epimorfismo.

Como muestran algunos de los ejemplos anteriores, la propiedad de ser un epimorfismo no está determinada solo por el morfismo, sino también por la categoría de contexto. Si D es una subcategoría de C , entonces cada morfismo en D que es un epimorfismo cuando se considera como un morfismo en C es también un epimorfismo en D ; lo contrario, sin embargo, no necesita sostenerse; la categoría más pequeña puede (y con frecuencia tendrá) más epimorfismos.

Como para la mayoría de conceptos en la teoría de categorías, epimorfismos se conservan bajo equivalencias de categorías : dada una equivalencia F  : C → D , entonces un morfismo f es un epimorfismo en la categoría C si y sólo si F ( f ) es un epimorfismo en D . Una dualidad entre dos categorías convierte los epimorfismos en monomorfismos, y viceversa.

La definición de epimorfismo se puede reformular para establecer que f  : X → Y es un epimorfismo si y solo si los mapas inducidos

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Hom} (Y, Z) & \ rightarrow & \ operatorname {Hom} (X, Z) \\ g & \ mapsto & gf \ end {matrix}}}

son inyectiva para cada elección de Z . Esto a su vez es equivalente a la transformación natural inducida.

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Hom} (Y, -) & \ rightarrow & \ operatorname {Hom} (X, -) \ end {matrix}}}

ser un monomorphism en la categoría funtor Conjunto ^C .

Cada coequalizador es un epimorfismo, una consecuencia del requisito de singularidad en la definición de coequalizadores. De ello se deduce, en particular, que cada cokernel es un epimorfismo. Lo contrario, a saber, que cada epimorfismo sea un coequalizador, no es cierto en todas las categorías.

En muchas categorías es posible escribir cada morfismo como la composición de un epimorfismo seguido de un monomorfismo. Por ejemplo, dado un homomorfismo de grupo f  : G → H , podemos definir el grupo K = im ( f ) = f ( G ) y luego escribir f como la composición del homomorfismo superyectivo G → K que se define como f , seguido de por el homomorfismo inyectivo K → Hque envía cada elemento a sí mismo. Tal factorización de un morfismo arbitrario en un epimorfismo seguido de un monomorfismo puede llevarse a cabo en todas las categorías abelianas y también en todas las categorías concretas mencionadas anteriormente en la sección de Ejemplos (aunque no en todas las categorías concretas).

Conceptos relacionados [ editar ]

Entre otros conceptos útiles se encuentran el epimorfismo regular , el epimorfismo extremo , el epimorfismo fuerte y el epimorfismo dividido . Un epimorfismo regular iguala algunos pares de morfismos paralelos. Un epimorfismo extremo es un epimorfismo que no tiene monomorfismo como segundo factor, a menos que ese monomorfismo sea un isomorfismo . Un fuerte epimorfismo satisface una cierta propiedad de elevación con respecto a los cuadrados conmutativos que implican un monomorfismo. Un epimorfismo dividido es un morfismo que tiene una inversa del lado derecho.

También existe la noción de epimorfismo homológico en la teoría de anillos. Un morfismo f : A → B de anillos es un epimorfismo homológico si es un epimorfismo e induce un functor completo y fiel en las categorías derivadas: D ( f ): D ( B ) → D ( A ).

Un morfismo que es tanto un monomorfismo como un epimorfismo se llama bimorfismo . Todo isomorfismo es un bimorfismo, pero lo contrario no es cierto en general. Por ejemplo, el mapa desde el intervalo medio abierto [0,1) hasta el círculo unitario S ¹ (pensado como un subespacio del plano complejo ) que envía x a exp (2πi x ) (consulte la fórmula de Euler ) es continuo y biyectivo, pero no un homeomorfismo, ya que el mapa inverso no es continuo en 1, por lo que es una instancia de un bimorfismo que no es un isomorfismo en la categoría Superior . Otro ejemplo es la incrustación Q → R en la categoría Haus ; como se señaló anteriormente, es un bimorfismo, pero no es biyectivo y, por lo tanto, no es un isomorfismo. De manera similar, en la categoría de anillos , el mapa Z  → Q es un bimorfismo pero no un isomorfismo.

Los epimorfismos se utilizan para definir objetos de cociente abstracto en categorías generales: dos epimorfismos f ₁  : X → Y ₁ y f ₂  : X → Y ₂ se dice que son equivalentes si existe un isomorfismo j  : Y ₁ → Y ₂con j  f ₁ = f ₂ . Esto es una relación de equivalencia , y las clases de equivalencia se define como el cociente de objetos X .

Terminología [ editar ]

Los términos complementarios epimorfismo y monomorfismo fueron introducidos por primera vez por Bourbaki . Bourbaki usa el epimorfismo como una abreviatura para una función suprayectiva . Los primeros teóricos de la categoría creían que los epimorfismos eran el análogo correcto de las suposiciones en una categoría arbitraria, similar a la forma en que los monomorfismos son casi un análogo exacto de las inyecciones. Desafortunadamente esto es incorrecto; Los epimorfismos fuertes o regulares se comportan mucho más cerca de las suposiciones que los epimorfismos ordinarios. Saunders Mac Lane intentó crear una distinción entre los epimorfismos , que eran mapas en una categoría concreta cuyos mapas de conjuntos subyacentes eran superyectivos, yLos morfismos épicos , que son epimorfismos en el sentido moderno. Sin embargo, esta distinción nunca se prendió.

Es un error común creer que los epimorfismos son idénticos a las suposiciones o que son un mejor concepto. Por desgracia, esto no suele ser el caso; Los epimorfismos pueden ser muy misteriosos y tener un comportamiento inesperado. Es muy difícil, por ejemplo, clasificar todos los epimorfismos de los anillos. En general, los epimorfismos son su propio concepto único, relacionado con las suposiciones pero fundamentalmente diferente.