MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

En el contexto de álgebra abstracta o álgebra universal , un monomorfismo es un homomorfismo inyectivo . A monomorphism de Xa Y a menudo se denota con la notación X  ↪ Y .

En la configuración más general de la teoría de categorías , una monomorphism (también llamado un morfismo mónico o un mono ) es una izquierda-cancellative morfismo , es decir, una flecha f  : X → Y tal que, para todos los morfismos g ₁ , g ₂  : Z → X ,

$${\ displaystyle f \ circ g_ {1} = f \ circ g_ {2} \ Rightarrow g_ {1} = g_ {2}.}

Los monomorfismos son una generalización categórica de las funciones inyectivas (también llamadas "funciones uno a uno"); en algunas categorías las nociones coinciden, pero los monomorfismos son más generales, como en los ejemplos a continuación .

El dual categórico de un monomorfismo es un epimorfismo , es decir, un monomorfismo en una categoría C es un epimorfismo en la categoría dual C ^op . Cada sección es un monomorfismo, y cada retracción es un epimorfismo.

Relación con la invertibilidad [ editar ]

Los morfismos invertibles a la izquierda son necesariamente monicos: si l es un inverso a la izquierda para f (lo que significa que l es un morfismo y$${\ displaystyle l \ circ f = \ operatorname {id} _ {X}}), entonces f es monic, como

$${\ displaystyle f \ circ g_ {1} = f \ circ g_ {2} \ Rightarrow l \ circ f \ circ g_ {1} = l \ circ f \ circ g_ {2} \ Rightarrow g_ {1} = g_ { 2}.}

Un morfismo invertido a la izquierda se llama división mono o sección .

Sin embargo, un monomorfismo no necesita dejarse invertible. Por ejemplo, en la categoría Grupo de todos los grupos y morfismos de grupo entre ellos, si H es un subgrupo de G , la inclusión f  : H → G es siempre un monomorfismo; pero f tiene una inversa por la izquierda en la categoría si y sólo si H tiene un complemento normal en G .

Un morfismo f  : X → Y es monico si y solo si el mapa inducido f _∗  : Hom ( Z , X ) → Hom ( Z , Y ) , definido por f _∗ ( h ) = f ∘ h para todos los morfismos h  : Z → X , es inyectiva para todo Z .

Ejemplos [ editar ]

Todo morfismo en una categoría concreta cuya función subyacente es inyectiva es un monomorfismo; en otras palabras, si los morfismos son en realidad funciones entre conjuntos, entonces cualquier morfismo que sea una función de uno a uno será necesariamente un monomorfismo en el sentido categórico. En la categoría de conjuntos, lo contrario también es válido, por lo que los monomorfismos son exactamente los morfismos inyectivos . Lo contrario también se mantiene en la mayoría de las categorías naturales de álgebras debido a la existencia de un objeto libre en un generador. En particular, es cierto en las categorías de todos los grupos, de todos los anillos y en cualquier categoría abeliana .

Sin embargo, no es cierto en general que todos los monomorfismos deben ser inyectivos en otras categorías; es decir, hay configuraciones en las que los morfismos son funciones entre conjuntos, pero uno puede tener una función que no es inyectiva y, sin embargo, es un monomorfismo en el sentido categórico. Por ejemplo, en la categoría Div de grupos divisibles (abelianos) y homomorfismos de grupo entre ellos hay monomorfismos que no son inyectivos: considere, por ejemplo, el mapa de cociente q  : Q → Q / Z , donde Q es los racionales que se suman, Z los enteros (también considerados un grupo bajo adición), y Q/ Z es el grupo de cocientecorrespondiente . Este no es un mapa inyectivo, ya que, por ejemplo, cada entero se asigna a 0. Sin embargo, es un monomorfismo en esta categoría. Esto se deduce de la implicación q ∘ h = 0 ⇒ h = 0 , que ahora probaremos. Si h  : G → Q , donde G es algún grupo divisible, y q ∘ h = 0 , entonces h ( x ) ∈ Z , ∀ x ∈ G . Ahora arregla un poco x ∈ G. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que h ( x ) ≥ 0 (de lo contrario, elija - x en su lugar). Luego, dejando que n = h ( x ) + 1 , dado que G es un grupo divisible, existe algo y ∈ G tal que x = ny , entonces h ( x ) = n h ( y ) . A partir de esto, y 0 ≤ h ( x ) < h ( x ) + 1 = n, resulta que

{\ displaystyle 0 \ leq {\ frac {h (x)} {h (x) +1}} = h (y) <1 font="">

Desde h ( y ) ∈ Z , se deduce que h ( y ) = 0 , y por lo tanto h ( x ) = 0 = h (- x ), ∀ x ∈ G . Esto dice que h = 0 , como se desee.

Para pasar de esa implicación al hecho de que q es un monomorfismo, suponga que q ∘ f = q ∘ g para algunos morfismos f , g  : G → Q , donde G es un grupo divisible. Entonces q ∘ ( f - g ) = 0 , donde ( f - g ): x ↦ f ( x ) - g ( x ) . (Desde ( f - g) (0) = 0 , y ( f - g ) ( x + y ) = ( f - g ) ( x ) + ( f - g ) ( y ) , se deduce que ( f - g ) ∈ Hom ( G , Q ) ). De la implicación que se acaba de demostrar, q ∘ ( f - g ) = 0 ⇒ f - g = 0 ⇔ ∀ x ∈ G , f (x ) = g ( x ) ⇔ f = g . Por lo tanto q es un monomorfismo, como se reivindica.

Propiedades [ editar ]

• En un topos , cada monic es un ecualizador, y cualquier mapa que sea a la vez monic y epic es un isomorfismo .
• Todo isomorfismo es monico.

Conceptos relacionados [ editar ]

También hay conceptos útiles de monomorfismo regular , monomorfismo fuerte y monomorfismo extremo . Un monomorfismo regular iguala algunos pares de morfismos paralelos. Un monomorphism extremal es un monomorphism que no puede ser factorizado no trivial a través de un epimorfismo: Precisamente, si m = g ∘ econ e un epimorfismo, a continuación, e es un isomorfismo. Un fuerte monomorfismo satisface una cierta propiedad de elevación con respecto a los cuadrados conmutativos que implican un epimorfismo.

Terminología [ editar ]

Los términos complementarios monomorfismo y epimorfismo fueron introducidos originalmente por Nicolas Bourbaki ; Bourbaki usa el monomorfismo como una abreviatura para una función inyectiva. Los primeros teóricos de la categoría creían que la generalización correcta de la inyectividad en el contexto de las categorías era la propiedad de cancelación indicada anteriormente. Si bien esto no es exactamente cierto para los mapas monicos, está muy cerca, por lo que ha causado pocos problemas, a diferencia del caso de los epimorfismos.Saunders Mac Lane intentó hacer una distinción entre lo que él llamó monomorfismos , que eran mapas en una categoría concreta cuyos mapas subyacentes de conjuntos eran inyectivos, y mapas monicos, que son monomorfismos en el sentido categórico de la palabra. Esta distinción nunca llegó a ser de uso general.

Otro nombre para el monomorfismo es la extensión , aunque también tiene otros usos.

El grupo de quintas raíces de la unidad bajo multiplicación es isomorfo al grupo de rotaciones del pentágono regular bajo composición.

En matemáticas , un isomorfismo (del griego antiguo : ἴσος isos "igual", y μορφή morphe "forma" o "forma") es un homomorfismo o morfismo (es decir, un mapeo matemático ) que puede revertirse con un morfismo inverso . Dos objetos matemáticos son isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos. Un automorfismoEs un isomorfismo cuyo origen y destino coinciden. El interés de los isomorfismos radica en el hecho de que dos objetos isomorfos no se pueden distinguir utilizando solo las propiedades utilizadas para definir morfismos; por lo tanto, los objetos isomorfos pueden considerarse iguales siempre y cuando uno considere solo estas propiedades y sus consecuencias.

Para la mayoría de las estructuras algebraicas , incluidos grupos y anillos , un homomorfismo es un isomorfismo si y solo si es biyectivo .

En la topología , donde los morfismos son funciones continuas , los isomorfismos también se denominan homeomorfismos o funciones bicontinuas . En el análisis matemático , donde los morfismos son funciones diferenciables , los isomorfismos también se denominan difeomorfismos .

Un isomorfismo canónico es un mapa canónico que es un isomorfismo. Se dice que dos objetos son isomorfos canónicamente si hay un isomorfismo canónico entre ellos. Por ejemplo, el mapa canónico de un espacio vectorial de dimensión finita V a su segundo espacio dual es un isomorfismo canónico; por otro lado, Ves isomorfo a su espacio dual pero no canónicamente en general.

Los isomorfismos se formalizan utilizando la teoría de categorías . Un morfismo f  : X → Y en una categoría es un isomorfismo si admite un inverso de dos caras, lo que significa que hay otro morfismo g  : Y → X en esa categoría tal que gf = 1 _X y fg = 1 _Y , donde 1 _X y 1 _Y son los morfismos de identidad de X e Y , respectivamente. 

Ejemplos [ editar ]

Logaritmo y exponencial [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}ser el grupo multiplicativo de números reales positivos , y dejar$${\ displaystyle \ mathbb {R}} Ser el grupo aditivo de los números reales.

La función logaritmo. $${\ displaystyle \ log \ colon \ mathbb {R} ^ {+} \ to \ mathbb {R}} satisface $${\ displaystyle \ log (xy) = \ log x + \ log y} para todos $${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R} ^ {+}}, por eso es un homomorfismo grupal . La función exponencial. $${\ displaystyle \ exp \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {+}} satisface $${\ displaystyle \ exp (x + y) = (\ exp x) (\ exp y)} para todos $${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}, por lo que también es un homomorfismo.

Las identidades $${\ displaystyle \ log \ exp x = x} y $${\ displaystyle \ exp \ log y = y} muestra esa $${\ displaystyle \ log} y $${\ displaystyle \ exp}Son inversos el uno del otro. Ya que$${\ displaystyle \ log}es un homomorfismo que tiene un inverso que también es un homomorfismo, $${\ displaystyle \ log} Es un isomorfismo de grupos.

Porque $${\ displaystyle \ log}es un isomorfismo, se traduce la multiplicación de números reales positivos en la suma de números reales. Esta facilidad hace posible multiplicar números reales usando una regla y una tabla de logaritmos , o usando una regla de cálculo con una escala logarítmica.

Enteros modulo 6 [ editar ]

Considerar el grupo $${\ displaystyle (\ mathbb {Z} _ {6}, +)}, los enteros de 0 a 5 con módulo de suma  6. También considere el grupo$${\ displaystyle (\ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {3}, +)}, los pares ordenados donde las coordenadas x pueden ser 0 o 1, y las coordenadas y pueden ser 0, 1 o 2, donde la adición en la coordenada x es módulo 2 y la adición en la coordenada y es módulo 3.

Estas estructuras son isomorfas bajo adición, bajo el siguiente esquema:

(0,0) ↦ 0

(1,1) ↦ 1

(0,2) ↦ 2

(1,0) ↦ 3

(0,1) ↦ 4

(1,2) ↦ 5

o en general ( a , b ) ↦ (3 a + 4 b ) mod 6.

Por ejemplo, (1,1) + (1,0) = (0,1) , que se traduce en el otro sistema como 1 + 3 = 4 .

Aunque estos dos grupos "se ven" diferentes en que los conjuntos contienen elementos diferentes, en realidad son isomorfos : sus estructuras son exactamente iguales. Más en general, el producto directo de dos grupos cíclicos. $${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {m}} y $${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}} es isomorfo a $${\ displaystyle (\ mathbb {Z} _ {mn}, +)}si y sólo si m y n son primos entre sí , por el teorema chino del resto .

Relación de preservación de isomorfismo [ editar ]

Si un objeto consiste en un conjunto X con una relación binaria R y el otro objeto consiste en un conjunto Y con una relación binaria S, entonces un isomorfismo de X a Y es una función biyectiva ƒ: X → Y tal que: ^[2]

$${\ displaystyle \ operatorname {S} (f (u), f (v)) \ iff \ operatorname {R} (u, v)}

S es reflexivo , irreflexivo , simétrico , antisimétrico , asimétrico , transitivo , total , tricotómico , un orden parcial , orden total , bien orden , orden débil estricto , preorden total (orden débil), una relación de equivalencia , o una relación con cualquier otro Propiedades especiales, si y solo si R es.

Por ejemplo, R es una ordenación ≤ y S una ordenación$${\ displaystyle \ scriptstyle \ sqsubseteq}, entonces un isomorfismo de X a Y es una función biyectiva ƒ: X → Y tal que

$${\ displaystyle f (u) \ sqsubseteq f (v) \ iff u \ leq v.}

Tal isomorfismo se denomina isomorfismo de orden o (con menos frecuencia) isomorfismo isotónico .

Si X = Y , entonces este es un automorfismo que preserva la relación .

Isomorfismo vs. morfismo biyectivo [ editar ]

En una categoría concreta (es decir, en términos generales, una categoría cuyos objetos son conjuntos y los morfismos son asignaciones entre conjuntos), como la categoría de espacios topológicos o categorías de objetos algebraicos como grupos, anillos y módulos, un isomorfismo debe ser biyectivo en los conjuntos subyacentes. En categorías algebraicas (específicamente, categorías de variedades en el sentido de álgebra universal ), un isomorfismo es lo mismo que un homomorfismo que es biyectivo en conjuntos subyacentes. Sin embargo, hay categorías concretas en las que los morfismos biyectivos no son necesariamente isomorfismos (como la categoría de espacios topológicos), y hay categorías en las que cada objeto admite un conjunto subyacente, pero en las que los isomorfismos no necesitan ser biyectivos (como la categoría homotopía). de complejos CW).

Aplicaciones [ editar ]

En álgebra abstracta , se definen dos isomorfismos básicos:

• Isomorfismo grupal , un isomorfismo entre grupos.
• Isomorfismo de anillo , un isomorfismo entre anillos . (Los isomorfismos entre campos son en realidad isomorfismos en anillo)

Así como los automorfismos de una estructura algebraica forman un grupo , los isomorfismos entre dos álgebras que comparten una estructura común forman un montón . Dejar que un isomorfismo particular identifique las dos estructuras convierte este montón en un grupo.

En el análisis matemático , la transformada de Laplace es un isomorfismo que mapea ecuaciones diferencialesduras en ecuaciones algebraicas más fáciles .

En teoría de categorías , la categoría C consiste en dos clases , una de objetos y otra de morfismos . Entonces, una definición general de isomorfismo que cubre el anterior y muchos otros casos es: un isomorfismo es un morfismo ƒ: a → b que tiene un inverso, es decir, existe un morfismo g : b → a con ƒg = 1 _b y gƒ = 1 _una . Por ejemplo, un mapa lineal biyectivo es un isomorfismo entre espacios vectorialesY una función biyectiva continuacuya inversa también es continua es un isomorfismo entre espacios topológicos , llamado homeomorfismo .

En la teoría de gráficos , un isomorfismo entre dos gráficos G y H es un mapa biyectivo f desde los vértices de Ga los vértices de H que preservan la "estructura de borde" en el sentido de que hay un borde del vértice u al vértice v en G si y sólo si hay un borde de ƒ ( u ) a f ( v ) en H . Ver gráfico isomorfismo .

En el análisis matemático, un isomorfismo entre dos espacios de Hilbert es una suma que conserva la pieza, la multiplicación escalar y el producto interno.

En las primeras teorías del atomismo lógico , la relación formal entre los hechos y las proposiciones verdaderas fue teorizada por Bertrand Russell y Ludwig Wittgenstein para que fuera isomorfo. Un ejemplo de esta línea de pensamiento se puede encontrar en Introducción a la filosofía matemática de Russell .

En la cibernética , el buen regulador o el teorema de Conant-Ashby se afirma "Todo buen regulador de un sistema debe ser un modelo de ese sistema". Ya sea regulado o autorregulado, se requiere un isomorfismo entre el regulador y las partes procesadoras del sistema.

Relación con la igualdad [ editar ]

Ver también: Igualdad (Matemáticas).

En ciertas áreas de las matemáticas, especialmente en la teoría de categorías , es valioso distinguir entre la igualdad por un lado y el isomorfismo por el otro. ^{[3] La} igualdad es cuando dos objetos son exactamente iguales, y todo lo que es cierto acerca de un objeto es cierto acerca del otro, mientras que un isomorfismo implica que todo lo que es verdad sobre una parte designada de la estructura de un objeto es cierto sobre el otro. Por ejemplo, los conjuntos.

{\ displaystyle A = \ {x \ in \ mathbb {Z} \ mid x ^ {2} <2 font=""> y $${\ displaystyle B = \ {- 1,0,1 \} \,}

son iguales ; son simplemente representaciones diferentes: la primera intensional (en notación del creador de conjuntos ) y la segunda extensional (por enumeración explícita) del mismo subconjunto de los enteros. Por el contrario, los conjuntos { A , B , C } y {1,2,3} no son iguales: el primero tiene elementos que son letras, mientras que el segundo tiene elementos que son números. Estos son isomorfos como conjuntos, ya que los conjuntos finitos están determinados hasta el isomorfismo por su cardinalidad (número de elementos) y ambos tienen tres elementos, pero hay muchas opciones de isomorfismo: un isomorfismo es

$${\ displaystyle {\ text {A}} \ mapsto 1, {\ text {B}} \ mapsto 2, {\ text {C}} \ mapsto 3,} mientras que otro es $${\ displaystyle {\ text {A}} \ mapsto 3, {\ text {B}} \ mapsto 2, {\ text {C}} \ mapsto 1,}

y ningún isomorfismo es intrínsecamente mejor que otro. ^{[nota 1] [nota 2]} En esta vista y en este sentido, estos dos conjuntos no son iguales porque uno no puede considerarlos idénticos : uno puede elegir un isomorfismo entre ellos, pero es un reclamo más débil que la identidad, y solo es válido en El contexto del isomorfismo elegido.

A veces, los isomorfismos pueden parecer obvios y convincentes, pero todavía no son igualdades. Como un simple ejemplo, las relaciones genealógicas entre Joe , John y Bobby Kennedy son, en un sentido real, las mismas que las de los mariscales de campo de fútbol americano de la familia Manning: Archie , Peyton y Eli . Las parejas de padre e hijo y las parejas de hermano mayor y hermano menor corresponden perfectamente. Esa similitud entre las dos estructuras familiares ilustra el origen de la palabra isomorfismo (griego iso -, "igual" y - morfo, "forma" o "forma"). Pero como los Kennedy no son las mismas personas que los Manning, las dos estructuras genealógicas son simplemente isomorfas y no iguales.

Otro ejemplo es más formal e ilustra más directamente la motivación para distinguir la igualdad del isomorfismo: la distinción entre un espacio vectorial V de dimensión finita y su espacio dual V * = {φ: V → K } de mapas lineales desde V hasta su campo de escalares k . Estos espacios tienen la misma dimensión y, por lo tanto, son isomorfos como espacios vectoriales abstractos (ya que algebraicamente, los espacios vectoriales se clasifican por dimensión, al igual que los conjuntos se clasifican por cardinalidad), pero no existe una elección "natural" de isomorfismo$${\ displaystyle \ scriptstyle V \, {\ overset {\ sim} {\ to}} \, V ^ {*}}. Si uno elige una base para V , entonces esto produce un isomorfismo: Para todo u . v ∈ V ,

$${\ displaystyle v \ {\ overset {\ sim} {\ mapsto}} \ \ phi _ {v} \ in V ^ {*} \ quad {\ text {tal que}} \ quad \ phi _ {v} ( u) = v ^ {\ mathrm {T}} u}.

Esto corresponde a transformar un vector de columna (elemento de V ) a un vector de fila (elemento de V *) mediante transposición , pero una elección diferente de la base da un isomorfismo diferente: el isomorfismo "depende de la elección de la base". De manera más sutil, no es un mapa de un espacio vectorial V a su doble doble V ** = { x : V * → K } que no depende de la elección de la base: Para todo v ∈ V y φ ∈ V *,

$${\ displaystyle v \ {\ overset {\ sim} {\ mapsto}} \ x_ {v} \ in V ^ {**} \ quad {\ text {tal que}} \ quad x_ {v} (\ phi) = \ phi (v)}.

Esto conduce a una tercera noción, la de un isomorfismo natural : mientras que V y V ** son conjuntos diferentes, existe una elección "natural" de isomorfismo entre ellos. Esta noción intuitiva de "un isomorfismo que no depende de una elección arbitraria" se formaliza en la noción de una transformación natural ; brevemente, uno puede identificar de manera consistente , o de manera más general, un mapa desde un espacio vectorial de dimensión finita a su doble doble,$${\ displaystyle \ scriptstyle V \, {\ overset {\ sim} {\ to}} \, V ^ {**}}, para cualquier espacio vectorial de forma consistente. Formalizar esta intuición es una motivación para el desarrollo de la teoría de categorías.

Sin embargo, hay un caso en el que la distinción entre isomorfismo natural e igualdad generalmente no se hace. Eso es para los objetos que pueden caracterizarse por una propiedad universal . De hecho, existe un isomorfismo único, necesariamente natural, entre dos objetos que comparten la misma propiedad universal. Un ejemplo típico es el conjunto de números reales , que se pueden definir a través de la expansión decimal infinita, la expansión binaria infinita, las secuencias de Cauchy , los cortes de Dedekindy muchas otras formas. Formalmente, estas construcciones definen diferentes objetos, todos los cuales son soluciones de la misma propiedad universal. Como estos objetos tienen exactamente las mismas propiedades, uno puede olvidar el método de construcción y considerarlos como iguales. Esto es lo que hace todo el mundo cuando se habla de " elconjunto de los números reales". Lo mismo ocurre con los espacios de cociente : comúnmente se construyen como conjuntos de clases de equivalencia . Sin embargo, hablar de un conjunto de conjuntos puede ser contraintuitivo, y los espacios de cociente se consideran comúnmente como un par de un conjunto de objetos no determinados, a menudo llamados "puntos", y un mapa surjective en este conjunto.

Si uno desea hacer una distinción entre un isomorfismo arbitrario (uno que depende de una elección) y un isomorfismo natural (uno que puede hacerse de manera consistente), uno puede escribir ≈ para un isomorfismo no natural y ≅ para un isomorfismo natural, como en V ≈ V * y V ≅ V **. Esta convención no se sigue universalmente, y los autores que deseen distinguir entre isomorfismos antinaturales e isomorfismos naturales generalmente declararán explícitamente la distinción.

En general, decir que dos objetos son iguales se reserva para cuando hay una noción de un espacio más grande (ambiente) en el que viven estos objetos. En la mayoría de los casos, se habla de la igualdad de dos subconjuntos de un conjunto dado (como en el ejemplo de conjunto de enteros arriba), pero no de dos objetos presentados de manera abstracta. Por ejemplo, la esfera unitaria bidimensional en el espacio tridimensional.

$${\ displaystyle S ^ {2}: = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 \}}y la esfera de Riemann $${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}}}

que se puede presentar como la compactación de un punto del plano complejo C ∪ {∞ } o como la línea proyectiva compleja (un espacio de cociente )

$${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {\ mathbb {C}} ^ {1}: = (\ mathbb {C} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) \}) / (\ mathbb {C } ^ {*})}

hay tres descripciones diferentes para un objeto matemático, todas isomorfas, pero no iguales porque no son todos subconjuntos de un solo espacio: la primera es un subconjunto de R ³ , la segunda es C ≅ R ^{2 [nota 3]} más un punto adicional, y el tercero es un subcotiente de C ²

En el contexto de la teoría de categorías, los objetos usualmente son a lo sumo isomorfos; de hecho, una motivación para el desarrollo de la teoría de categorías estaba demostrando que diferentes construcciones en la teoría de homología producían grupos equivalentes (isomorfos). Sin embargo, dados los mapas entre dos objetos X e Y , uno pregunta si son iguales o no (ambos son elementos del conjunto Hom ( X ,  Y ), por lo tanto, la igualdad es la relación adecuada), particularmente en diagramas conmutativos .