matemáticas que caen bajo el encabezado de álgebra abstracta , el núcleo de un homomorfismo mide el grado en que el homomorfismo no es inyectivo . [1] Un caso especial importante es el núcleo de un mapa lineal . El núcleo de una matriz , también llamado espacio nulo , es el núcleo del mapa lineal definido por la matriz.
La definición de kernel toma varias formas en varios contextos. Pero en todos ellos, el núcleo de un homomorfismo es trivial (en un sentido relevante para ese contexto) si y solo si el homomorfismo es inyectivo . El teorema fundamental sobre los homomorfismos (o el primer teorema del isomorfismo ) es un teorema, que también adopta varias formas, que se aplica al álgebra de cocientes definido por el núcleo.
En este artículo, primero examinamos los núcleos para algunos tipos importantes de estructuras algebraicas ; luego damos definiciones generales de álgebra universal para estructuras algebraicas genéricas.
Encuesta de ejemplos [ editar ]
Mapas lineales [ editar ]
Deje que V y W sean espacios vectoriales más de un campo (o más generalmente, los módulos de más de un anillo ) y dejar que T sea un mapa lineal de V a W . Si 0 W es el vector cero de W , entonces el núcleo de T es la preimagen del subespacio cero { 0 W }; es decir, el subconjunto de V que consiste en todos aquellos elementos de V que están mapeados porT al elemento 0 W . El núcleo suele denotarse como ker T , o alguna variación del mismo:
Como un mapa lineal conserva los vectores cero, el vector cero 0 V de V debe pertenecer al núcleo. La transformación T es inyectiva si y solo si su núcleo se reduce al subespacio cero.
El núcleo ker T es siempre un subespacio lineal de V . Por lo tanto, tiene sentido hablar del espacio cociente V / (ker T ). El primer teorema de isomorfismo para espacios vectoriales indica que este espacio cociente es naturalmente isomórfico a la imagen de T (que es un subespacio de W ). Como consecuencia, la dimensión de Ves igual a la dimensión del kernel más la dimensión de la imagen.
Si V y W son de dimensión finita y se han elegido las bases , entonces T puede describirse mediante una matriz M , y el núcleo puede calcularse resolviendo el sistema homogéneo de ecuaciones lineales M v = 0 . En este caso, el núcleo de T puede ser identificado para el núcleo de la matriz M , también llamado "espacio nulo" de M . La dimensión del espacio nulo, llamada nulidad de M , está dada por el número de columnas de M menos el rango de M, como consecuencia del teorema de rango-nulidad .
Resolver ecuaciones diferenciales homogéneas a menudo equivale a calcular el núcleo de ciertos operadores diferenciales . Por ejemplo, para encontrar todas las funciones f diferenciables dos veces de la línea real a sí misma de tal manera que
sea V el espacio de todas las funciones dos veces diferenciables, sea W el espacio de todas las funciones y defina un operador lineal T de V a W mediante
para f en V y x un arbitrario número real . Entonces todas las soluciones a la ecuación diferencial están en ker T .
Uno puede definir núcleos para homomorfismos entre módulos sobre un anillo de una manera análoga. Esto incluye núcleos para homomorfismos entre grupos abelianos como un caso especial. Este ejemplo captura la esencia de los núcleos en categorías abelianas generales ; Ver Kernel (teoría de la categoría) .
Homomorfismo de grupos [ editar ]
Deje G y H sea grupos y dejar que f sea un homomorfismo de grupos de G a H . Si e H es el elemento de identidad de H , entonces el núcleo de f es la preimagen del conjunto de singleton { e H }; es decir, el subconjunto de G que consiste en todos los elementos de G que se asignan por f al elemento e H . El núcleo suele denotarse ker f(o una variación). En simbolos:
Dado que un homomorfismo de grupo conserva elementos de identidad, el elemento de identidad e G de G debe pertenecer al núcleo. El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su núcleo es solo el conjunto de singleton { e G }. Esto es cierto porque si el homomorfismo f no es inyectivo, entonces existe con tal que . Esto significa que, lo que equivale a afirmar que ya que los homomorfismos de grupo llevan inversos a inversos y desde . En otras palabras,. A la inversa, si existe un elemento., entonces Por lo tanto, f no es inyectivo.
Resulta que ker f no es solo un subgrupo de G sino que, de hecho, es un subgrupo normal . Por lo tanto, tiene sentido hablar del grupo cociente G / (ker f ). El primer teorema de isomorfismo para grupos establece que este grupo cociente es naturalmente isomórfico a la imagen de f (que es un subgrupo de H ).
En el caso especial de los grupos abelianos , esto funciona exactamente de la misma manera que en la sección anterior.
Anillo de homomorfismos [ editar ]
Deje R y S sean anillos (que se supone unital ) y dejar que f sea un homomorfismo de anillo de R a S . Si 0 S es el elemento cero de S , entonces el núcleo de f es su núcleo como mapa lineal sobre los enteros, o, equivalentemente, como grupos aditivos. Es la preimagen del cero ideal {0 S }, que es el subconjunto de R queconsiste en todos aquellos elementos de R que se asignan por f al elemento 0S . El núcleo suele denotarse ker f(o una variación). En simbolos:
Como un homomorfismo en anillo conserva cero elementos, el elemento cero 0 R de R debe pertenecer al núcleo. El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su núcleo es solo el conjunto de singleton {0 R }. Este es siempre el caso si R es un campo y S no es el anillo cero .
Desde ker f contiene la identidad multiplicativa sólo cuando S es el anillo de cero, resulta que el núcleo generalmente no es un subanillo de R. El núcleo es un sub rng , y, más precisamente, una de dos caras idealesde R . Por lo tanto, tiene sentido hablar del anillo cociente R / (ker f ). El primer teorema de isomorfismo para anillos indica que este anillo cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de f (que es una subring de S ). (tenga en cuenta que los anillos no necesitan ser unitales para la definición del kernel).
Hasta cierto punto, esto se puede considerar como un caso especial de la situación de los módulos, ya que estos son todos bimódulos sobre un anillo R :
- R en sí;
- cualquier ideal bilateral de R (como ker f );
- cualquier anillo de cociente de R (como R / (ker f )); y
- el codominio de cualquier homomorfismo en anillo cuyo dominio es R (como S , el codominio de f ).
Sin embargo, el teorema de isomorfismo da un resultado más fuerte, porque los isomorfismos de anillo conservan la multiplicación, mientras que los isomorfismos de módulo (incluso entre anillos) en general no lo hacen.
Homomorfismos monoides [ editar ]
Deje que M y N sea monoides y dejar que f sea un homomorfismo monoid de M a N . A continuación, el kernel de f es el subconjunto de la producto directo M × M que consta de todos esos pares ordenados de elementos de Mcuyas componentes son tanto mapeado por f para el mismo elemento en N . El núcleo suele denotarse ker f (o una variación). En simbolos:
Dado que f es una función , los elementos de la forma ( m , m ) deben pertenecer al kernel. El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su núcleo es solo el conjunto diagonal {(m, m): m en M }.
Resulta que ker f es una relación de equivalencia en M y, de hecho, una relación de congruencia . Por lo tanto, tiene sentido hablar del cociente monoide M / (ker f ). El primer teorema de isomorfismo para los monoides indica que este cociente monoide es naturalmente isomórfico a la imagen de f (que es un submonoide de N ), (para la relación de congruencia).
Esto es muy diferente en sabor de los ejemplos anteriores. En particular, la imagen previa del elemento de identidad de N no es suficiente para determinar el núcleo de f .
Álgebra universal [ editar ]
Caso general [ editar ]
Deje A y B sea estructuras algebraicas de un tipo determinado y dejar que f sea un homomorfismo de ese tipo de un a B . A continuación, el kernel de f es el subconjunto de la producto directo A × A que consta de todos esos pares ordenados de elementos de A cuyos componentes son tanto mapeado por f para el mismo elemento en B . El núcleo suele denotarse ker f (o una variación). En simbolos:
El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su núcleo es exactamente el conjunto diagonal {( a , a ): a ∈ A }.
Es fácil ver que ker f es una relación de equivalencia en A y, de hecho, una relación de congruencia . Por lo tanto, tiene sentido hablar del álgebra cociente A / (ker f ). El primer teorema de isomorfismo en el álgebra universal general establece que este álgebra de cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de f (que es una subalgebra de B ).
Tenga en cuenta que la definición de kernel aquí (como en el ejemplo monoide) no depende de la estructura algebraica; Es un concepto teórico puramente establecido . Para obtener más información sobre este concepto general, fuera del álgebra abstracta, consulte el núcleo de una función .
Álgebra de Mal'cev [ editar ]
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Esta sección puede ser confusa o poco clara para los lectores . En particular, esta sección no se puede entender, ya que se refiere a una estructura que es diferente del álgebra de Malcev y no está definida ni vinculada. ( Diciembre de 2016 ) ( Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )
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En el caso de las álgebras de Mal'cev, esta construcción puede simplificarse. Cada álgebra de Mal'cev tiene un elemento neutro especial (el vector cero en el caso de espacios vectoriales , el elemento de identidad en el caso de grupos conmutativos y el elemento cero en el caso de anillos o módulos). El rasgo característico de un álgebra de Mal'cev es que podemos recuperar toda la relación de equivalencia ker f de la clase de equivalenciadel elemento neutro.
Para ser específico, permitir que A y B sea estructuras algebraicas Mal'cev de un tipo dado y dejar que f sea un homomorfismo de ese tipo de A a B . Si e B es el elemento neutro de B , entonces el núcleo de f es la preimagendel conjunto de singleton { e B }; es decir, el subconjunto de A que consiste en todos los elementos de A que se asignan por f al elemento e B . El núcleo suele denotarseker f (o una variación). En simbolos:
Dado que un homomorfismo de álgebra de Mal'cev conserva elementos neutros, el elemento de identidad e A de A debe pertenecer al núcleo. El homomorfismo f es inyectiva si y sólo si su núcleo es sólo el conjunto unitario { e A }.
La noción de ideal se generaliza a cualquier álgebra de Mal'cev (como subespacio lineal en el caso de espacios vectoriales, subgrupo normal en el caso de grupos, ideales bilaterales en el caso de anillos y submódulo en el caso de módulos ). Resulta que ker f no es una subalgebra de A , pero es un ideal. Entonces tiene sentido hablar del álgebra cociente G / (ker f ). El primer teorema de isomorfismo para las álgebras de Mal'cev establece que este álgebra de cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de f (que es una subalgebra de B ).
La conexión entre esto y la relación de congruencia para tipos más generales de álgebras es la siguiente. Primero, el núcleo como un ideal es la clase de equivalencia del elemento neutro e A bajo el núcleo como una congruencia. Para la dirección inversa, necesitamos la noción de cociente en el álgebra de Mal'cev (que es la división en cada lado para los grupos y la resta para espacios vectoriales, módulos y anillos). Usando esto, los elementos a y b de A son equivalentes bajo la congruencia kernel-as-a si y solo si su cociente a / b es un elemento del kernel-as-an-ideal.
Algebras con estructura no algebraica [ editar ]
Algunas veces, las álgebras están equipadas con una estructura no algebraica además de sus operaciones algebraicas. Por ejemplo, uno puede considerar grupos topológicos o espacios vectoriales topológicos , con están equipados con una topología . En este caso, esperaríamos que el homomorfismo f preservara esta estructura adicional; en los ejemplos topológicos, quisiéramos que f fuera un mapa continuo . El proceso puede toparse con un obstáculo con las álgebras de cociente, que pueden no ser de buen comportamiento. En los ejemplos topológicos, podemos evitar problemas al requerir que las estructuras algebraicas topológicas sean Hausdorff (como se suele hacer); entonces el kernel (sin embargo está construido) será unEl conjunto cerrado y el espacio del cociente funcionarán bien (y también será Hausdorff).
Los núcleos en la teoría de la categoría [ editar ]
La noción de núcleo en la teoría de categorías es una generalización de los núcleos de álgebras abelianas; Ver Kernel (teoría de la categoría) . La generalización categórica del kernel como una relación de congruencia es el par de kernel . (También existe la noción de diferencia de kernel , o ecualizador binario ).
En matemáticas , el núcleo de un mapeo lineal de espacios vectoriales f : X → Y es el espacio cociente Y / im ( f) del codominio de f por la imagen de f . La dimensión del cokernel se llama el corank de f .
Los cokernels son duales a los núcleos de la teoría de categorías , de ahí el nombre: el kernel es un subobjetodel dominio (se asigna al dominio), mientras que el cokernel es un objeto cociente del codominio (se asigna desde el codominio).
Intuitivamente, dada una ecuación f ( x ) = y que uno está tratando de resolver, el cokernel mide las restriccionesque y debe cumplir para que esta ecuación tenga una solución, las obstrucciones a una solución, mientras que el núcleo mide los grados de libertad en Una solución, si existe una. Esto se elabora en la intuición , a continuación.
Más generalmente, el núcleo de un morfismo f : X → Y en alguna categoría (por ejemplo, un homomorfismoentre grupos o un operador lineal acotado entre espacios de Hilbert ) es un objeto Q y un morfismo q : Y → Q, de modo que la composición qf es la cero morfismo de la categoría, y además q es universal con respecto a esta propiedad. A menudo se entiende el mapa q , y qEn sí se llama el cokernel de f .
En muchas situaciones en álgebra abstracta , como para grupos abelianos , espacios vectoriales o módulos , el núcleo del homomorfismo f : X → Y es el cociente de Y por la imagen de f . En las configuraciones topológicas , como con los operadores lineales acotados entre los espacios de Hilbert, uno tiene que cerrar la imagen antes de pasar al cociente.
Definición formal [ editar ]
Uno puede definir el cokernel en el marco general de la teoría de categorías . Para que la definición tenga sentido, la categoría en cuestión debe tener cero morfismos . El conúcleo de un morfismo f : X → Y se define como la coequalizer de f y el cero morfismo 0 XY : X → Y .
Explícitamente, esto significa lo siguiente. El cokernel de f : X → Y es un objeto Q junto con un morfismo q : Y→ Q tal que el diagrama
desplazamientos . Además, el morfismo q debe ser universal para este diagrama, es decir, cualquier otro q ′: Y → Q ′ se puede obtener al componer q con un morfismo único u : Q → Q ′:
Como con todas las construcciones universales, el cokernel, si existe, es único hasta un isomorfismo único , o más precisamente: si q : Y → Q y q ' : Y → Q' son dos cokernels de f : X → Y , entonces hay existe un isomorfismo único u : Q → Q ' con q' = u q .
Como todos los coequalizadores, el cokernel q : Y → Q es necesariamente un epimorfismo . A la inversa, un epimorfismo se llama normal (o normal ) si es el núcleo de algún morfismo. Una categoría se llama normal si cada epimorfismo es normal (por ejemplo, la categoría de grupos es normal).
Ejemplos [ editar ]
En la categoría de grupos , el núcleo de un homomorfismo de grupo f : G → H es el cociente de H por el cierre normal de la imagen de f . En el caso de los grupos abelianos , dado que cada subgrupo es normal, el cokernel es solo H módulo de la imagen de f :
- Coker ( f ) = H / im ( f ).
Casos especiales [ editar ]
En una categoría preaditiva , tiene sentido sumar y restar morfismos. En tal categoría, el coequalizador de dos morfismos f y g (si existe) es solo el cokernel de su diferencia:
En una categoría abeliana (un tipo especial de categoría preaditiva) la imagen y coimage de un morfismo f están dadas por
En particular, cada categoría abeliana es normal (y también es normal). Es decir, cada monomorfismo m puede escribirse como el núcleo de algún morfismo. Específicamente, m es el núcleo de su propio cokernel:
Intuición [ editar ]
Se puede pensar en el cokernel como el espacio de restricciones que una ecuación debe satisfacer, como el espacio de obstrucciones, así como el núcleo es el espacio de soluciones.
Formalmente, uno puede conectar el kernel y el cokernel de un mapa T : V → W por la secuencia exacta
Estos se pueden interpretar así: dada una ecuación lineal T ( v ) = w para resolver,
- el núcleo es el espacio de soluciones para la ecuación homogénea T ( v ) = 0 , y su dimensión es el número de grados de libertad en una solución, si existe;
- el cokernel es el espacio de restricciones que se debe cumplir para que la ecuación tenga una solución, y su dimensión es el número de restricciones que se deben cumplir para que la ecuación tenga una solución.
La dimensión del cokernel más la dimensión de la imagen (el rango) se suman a la dimensión del espacio objetivo, como la dimensión del espacio del cociente es simplemente la dimensión del espacio menosla dimensión de la imagen.
Como ejemplo simple, considere el mapa T : R 2 → R 2 , dado por T ( x , y ) = (0, y ). Luego, para que una ecuación T ( x , y ) = ( a , b ) tenga una solución, debemos tener a = 0 (una restricción), y en ese caso el espacio de la solución es ( x , b ), o de manera equivalente, ( 0, b ) + ( x , 0) , (un grado de libertad). El núcleo puede expresarse como el subespacio ( x, 0) ⊆ V : el valor de x es la libertad en una solución. El cokernel se puede expresar a través del mapa de valor real W : ( a , b ) → ( a ): dado un vector ( a , b ), el valor de a es la obstrucción para que exista una solución.
Además, se puede pensar en el cokernel como algo que "detecta" las supresiones de la misma manera que el núcleo "detecta" las inyecciones. Un mapa es inyectivo si y solo si su kernel es trivial, y un mapa es superyectivo si y solo si su cokernel es trivial, o en otras palabras, si W = im ( T ) .
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