Un elemento a en un magma ( M , ∗) tiene la propiedad de cancelación a la izquierda (o es cancelativo a la izquierda ) si para todos b y c en M , a ∗ b = a ∗ c siempre implica que b = c .
Un elemento a en un magma ( M , ∗) tiene la propiedad de cancelación correcta (o tiene el derecho cancelativo ) si para todos b y c en M , b ∗ a = c ∗ a siempre implica que b = c .
Un elemento a en un magma ( M , ∗) tiene la propiedad de cancelación de dos lados (o es cancellativo ) si es tanto cancelativo izquierdo como derecho.
Un magma ( M , *) tiene la propiedad de cancelación de izquierda (o se deja cancellative-) si todo una en el magma se dejan cancellative y definiciones similares se aplican para la cancellative derecha o propiedades cancellative a dos caras.
Un elemento que se puede invertir a la izquierda es un parlante a la izquierda, y de manera análoga a la derecha y a dos caras.
Interpretación [ editar ]
Decir que un elemento a en un magma ( M , ∗) tiene una relación de cancelación a la izquierda, es decir que la función g : x ↦ a ∗ x es inyectiva , entonces un monomorfismo establecido, pero como es un endomorfismoestablecido , es un conjunto sección , es decir, hay un conjunto de epimorfismo f tal f ( g ( x )) = f ( a ∗ x ) = x para todo x , entonces f es una retractación . Además, podemos ser "constructivos" con f tomando el inverso en el rango de g y enviando el resto precisamente a a .
Ejemplos de monoides y semigrupos cancellativos [ editar ]
Los enteros positivos (igualmente no negativos) forman un semigrupo cancelativo bajo adición. Los enteros no negativos forman un monoide cancellativo bajo adición.
De hecho, cualquier semigrupo o monoide libre obedece a la ley cancellativa, y en general, cualquier semigrupo o monoide incrustado en un grupo (como claramente lo hacen los ejemplos anteriores) obedecerá la ley cancellativa.
En una vena diferente, (un subgrupo de) el semigrupo multiplicativo de elementos de un anillo que no son divisores cero (que es solo el conjunto de todos los elementos distintos de cero si el anillo en cuestión es un dominio , como los enteros) tiene la propiedad de cancelación . Tenga en cuenta que esto sigue siendo válido incluso si el anillo en cuestión es no conmutativo y / o no unital.
Estructuras algebraicas no cancellative [ editar ]
Aunque la ley de cancelación se aplica a la suma, resta, multiplicación y división de números reales y complejos(con la única excepción de la multiplicación por cero y la división de cero por otro número), hay una serie de estructuras algebraicas en las que la ley de cancelación no es válida. .
El producto cruzado de dos vectores no obedece a la ley de cancelación. Si a × b = a × c , entonces no sigue que b = c, incluso si a ≠ 0 .
La multiplicación de matrices tampoco obedece necesariamente a la ley de cancelación. Si AB = AC y A ≠ 0 , entonces hay que muestran que la matriz A es invertible (es decir, tiene det ( A ) ≠ 0 ) antes de que uno puede concluir que B = C . Si det ( A ) = 0 , entonces B podría no ser igual a C , porque la ecuación matricial AX = B no tendrá una solución única para una matriz A no invertible .
Tenga en cuenta también que si AB = CA y A ≠ 0 y la matriz A es invertible (es decir, tiene det ( A ) ≠ 0 ), no es necesariamente cierto que B = C . La cancelación funciona solo para AB = AC y BA = CA (obviamente siempre que la matriz A sea invertible ) y no para AB = CA y BA = AC .
En matemáticas , una operación es un cálculo de cero o más valores de entrada (llamados operandos ) a un valor de salida. El número de operandos es la aridad de la operación. Las operaciones más comúnmente estudiadas son las operaciones binarias (es decir, las operaciones de aridad 2) como la suma y la multiplicación , y las operaciones unarias (operaciones de aridad 1), como la inversa aditiva y la inversa multiplicativa . Una operación de aridad cero, o operación nula, es una constante . El producto mixtoEs un ejemplo de una operación de arity 3, también llamada operación ternaria . Generalmente, la aridad se supone que es finita. Sin embargo, a veces se consideran operaciones infinitas , en cuyo contexto las operaciones "habituales" de aritmidadfinita se denominan operaciones finitarias .
Tipos de operación [ editar ]
Hay dos tipos comunes de operaciones: unaria y binaria . Las operaciones unarias implican solo un valor, como la negación y las funciones trigonométricas . Las operaciones binarias, por otro lado, toman dos valores e incluyen la suma , resta , multiplicación , división y exponenciación .
Las operaciones pueden involucrar objetos matemáticos distintos de los números. Los valores lógicos verdadero y falso se pueden combinar utilizando operaciones lógicas , como y , o, y no . Los vectores se pueden sumar y restar. Las rotaciones se pueden combinar utilizando la operación de composición de funciones, realizando la primera rotación y luego la segunda. Las operaciones en conjuntos incluyen la unión e intersección de operaciones binarias y la operación unaria de complementación . Las operaciones en funciones incluyenComposición y convolución .
Las operaciones pueden no estar definidas para cada valor posible. Por ejemplo, en los números reales uno no puede dividir por cero o tomar raíces cuadradas de números negativos. Los valores para los cuales se define una operación forman un conjunto llamado su dominio . El conjunto que contiene los valores producidos se denomina codominio , pero el conjunto de valores reales alcanzados por la operación es su rango . Por ejemplo, en los números reales, la operación de cuadratura solo produce números no negativos; El codominio es el conjunto de números reales, pero el rango son los números no negativos.
Las operaciones pueden involucrar objetos disímiles. Un vector se puede multiplicar por un escalar para formar otro vector. Y la operación interna del producto en dos vectores produce un escalar. Una operación puede tener o no ciertas propiedades, por ejemplo, puede ser asociativa , conmutativa , anticomutativa , idempotente , etc.
Los valores combinados se denominan operandos , argumentos o entradas , y el valor producido se denomina valor , resultado o salida . Las operaciones pueden tener menos o más de dos entradas.
Una operación es como un operador , pero el punto de vista es diferente. Por ejemplo, a menudo se habla de "operación de adición" o "operación de suma" cuando se enfoca en los operandos y el resultado, pero se dice "operador de suma" (rara vez "operador de adición") cuando se enfoca en el proceso, o desde el más el punto de vista abstracto, la función +: S × S → S .
Definición [ editar ]
Una operación ω es una función de la forma ω: V → Y , donde V ⊂ X 1 × ... × X k . Los conjuntos X k se denominan dominios de la operación, el conjunto Y se denomina el codominio de la operación y el entero fijo no negativo k (el número de argumentos) se denomina tipo o aridad de la operación. Así, una operación unaria tiene una aridad, y una operación binaria.tiene aridad dos. Una operación de aridad cero, llamado un nullary operación, es simplemente un elemento de la codomain Y . Una operación de arity k se llama una operación k -ary. Así, un koperación ary es un ( k 1) ary relación que es funcional en sus primeros k dominios.
Lo anterior describe lo que generalmente se llama una operación finita , refiriéndose al número finito de argumentos (el valor k ). Hay extensiones obvias en las que se considera que la aridad es un ordinal o cardinalinfinito , o incluso un conjunto arbitrario que indexa los argumentos.
A menudo, el uso del término operación implica que el dominio de la función es una potencia del codominio (es decir, el producto cartesiano de una o más copias del codominio), [1] aunque esto no es de ninguna manera universal, como en el ejemplo de multiplicar un vector por un escalar.
aridad / æ r ɪ t i / ( escucho )
de una función o la operaciónes el número de argumentos o operandos que la función de toma. La aridad de una relación (o predicado ) es la dimensión del dominio en el producto cartesiano correspondiente . (Una función de aridad n tiene aridad n+1 considerado como una relación.) El término proviene de palabras como unario, binario, ternario, etc. Las funciones o predicados unarios también pueden llamarse "monádicos"; De manera similar, las funciones binarias se pueden llamar "diádicas".
de una función o la operaciónes el número de argumentos o operandos que la función de toma. La aridad de una relación (o predicado ) es la dimensión del dominio en el producto cartesiano correspondiente . (Una función de aridad n tiene aridad n+1 considerado como una relación.) El término proviene de palabras como unario, binario, ternario, etc. Las funciones o predicados unarios también pueden llamarse "monádicos"; De manera similar, las funciones binarias se pueden llamar "diádicas".
En matemáticas, arity también se puede denominar rango , [1] [2] pero esta palabra puede tener muchos otros significados en matemáticas. En lógica y filosofía, la aridad también se llama adicidad y grado . [3] [4] En lingüística , arity generalmente se llama valencia . [5]
En la programación de computadoras , a menudo hay una distinción sintáctica entre operadores y funciones ; Los operadores sintácticos generalmente tienen aridad 0, 1 o 2 (¿el operador ternario ?: también es común). Las funciones varían ampliamente en la cantidad de argumentos, aunque grandes números pueden volverse difíciles de manejar. Algunos lenguajes de programación también ofrecen soporte para funciones variadas , es decir, funciones que aceptan sintácticamente un número variable de argumentos.
El término "aridad" rara vez se emplea en el uso diario. Por ejemplo, en lugar de decir "la aridad de la operación de adición es 2" o "la adición es una operación de aridad 2", por lo general, se dice que "la adición es una operación binaria". En general, la denominación de funciones u operadores con una aridad dada sigue una convención similar a la utilizada para los sistemas de numeración basados en n , como binario y hexadecimal . Uno combina un prefijo latino con el final -ary; por ejemplo:
- Una función nula no toma argumentos.
- Ejemplo:
- Una función unaria toma un argumento.
- Ejemplo:
- Una función binaria toma dos argumentos.
- Ejemplo:
- Una función ternaria toma tres argumentos.
- Ejemplo:
- Un n función ary toma n argumentos.
- Ejemplo:
Nullary [ editar ]
A veces es útil considerar que una constante es una operación de aridad 0 y, por lo tanto, llamarlo nulo .
Además, en la programación no funcional , una función sin argumentos puede ser significativa y no necesariamente constante (debido a los efectos secundarios ). A menudo, tales funciones tienen, de hecho, alguna entrada oculta que puede ser una variable global , incluido todo el estado del sistema (tiempo, memoria libre, ...). Los últimos son ejemplos importantes que generalmente también existen en lenguajes de programación "puramente funcionales".
Unario [ editar ]
Los ejemplos de operadores unarios en matemáticas y en programación incluyen el unario menos y más, los operadores de incremento y decremento en lenguajes de estilo C (no en lenguajes lógicos), y el sucesor , factorial , recíproco , piso , techo , parte fraccionaria , signo , valor absoluto , raíz cuadrada (la raíz cuadrada principal), conjugado complejo (unario de "un" número complejo, que sin embargo tiene dos partes en un nivel inferior de abstracción), y funciones de norma en matemáticas. El complemento de los dos, la referencia de direcciones y los operadores lógicos NO son ejemplos de operadores únicos en matemáticas y programación.
Todas las funciones en el cálculo lambda y en algunos lenguajes de programación funcionales (especialmente los descendientes de ML ) son técnicamente unitarias, pero consulte la n-aría a continuación.
Según Quine , los distributivos latinos son singuli, bini, terni, etc., el término "singulary" es el adjetivo correcto, en lugar de "unario". [6] Abraham Robinson sigue el uso de Quine. [7]
Binario [ editar ]
La mayoría de los operadores encontrados en la programación y las matemáticas son de forma binaria . Tanto para la programación como para las matemáticas, pueden ser el operador de multiplicación , el operador de radix, el operador de exponenciación a menudo omitido , el operador de logaritmo , el operador de suma, el operador de división. Los predicados lógicos como OR , XOR , AND , IMP se utilizan normalmente como operadores binarios con dos operandos distintos. En las arquitecturas CISC , es común tener dos operandos de origen (y almacenar el resultado en uno de ellos).
Ternario [ editar ]
Las operaciones ternarias comunes, además de la función genérica en mathemathics, son sumativas y productivas, aunque puede implicarse alguna otra operación n-aria.
El lenguaje de programación de computadora C y sus diversos descendientes (incluyendo C ++ , C # , Java , Julia , Perl y otros) proporciona el operador ternario
?: , también conocido como operador condicional , que toma tres operandos. El primer operando (la condición) se evalúa, y si es verdadero, el resultado de toda la expresión es el valor del segundo operando, de lo contrario, es el valor del tercer operando. El lenguaje Forthtambién contiene un operador ternario,*/, que multiplica los primeros dos números (una celda), dividiéndose por el tercero, con el resultado intermedio siendo un número de celda doble. Esto se usa cuando el resultado intermedio desbordaría una sola celda. El Python lenguaje tiene una expresión condicional ternario, x if C else y. La calculadora Unix dc tiene varios operadores ternarios, como por ejemplo |, que sacarán tres valores de la pila y calcularán de manera eficienteCon precisión arbitraria . Además, muchas instrucciones en lenguaje ensamblador ( RISC ) son ternarias (a diferencia de solo dos operandos especificados en CISC); o superior, como por ejemplo , que cargará (MOV) en el registro AX el contenido de una ubicación de memoria calculada que es la suma (paréntesis) de los registros BX y CX . 
MOV %AX, (%BX, %CX)n -a [ editar ]
Desde un punto de vista matemático, una función de n argumentos siempre puede considerarse como una función de un solo argumento que es un elemento de algún espacio de producto . Sin embargo, puede ser conveniente para la notación a considerar n funciones ary, como por ejemplo mapas multilineales (que no son mapas lineales en el espacio de producto, si n ≠ 1).
Lo mismo se aplica a los lenguajes de programación, donde las funciones que toman varios argumentos siempre se pueden definir como funciones que toman un solo argumento de algún tipo compuesto , como una tupla , o en lenguajes con funciones de orden superior , mediante curry .
Aridad variable [ editar ]
En informática, una función que acepta un número variable de argumentos se llama variadic . En lógica y filosofía, los predicados o las relaciones que aceptan un número variable de argumentos se denominan multigrado , anádico o variadamente poládico. [8]
Otros nombres [ editar ]
Hay nombres en latín para aridades específicas, principalmente basadas en números distributivos latinos quesignifican "en grupo de n ", aunque algunos se basan en números cardinales o números ordinales . Solo los binarios y los ternarios se usan comúnmente y se derivan de números distributivos.
- Nullary significa 0-ary (de nūllus ).
- Unario significa 1-ario (de cardinal unus , en lugar de singular de distributivo singulī ).
- Binario significa 2-ary.
- Ternario significa 3-ario.
- Cuaternario significa 4-ario.
- Quinario significa 5-ario.
- Senary significa 6-ary.
- Septenario significa 7-ario.
- Octonario significa 8-ario (alternativamente octario ).
- Noveno significa 9-ario (alternativamente , no ordinario , de ordinal).
- Denary significa 10-ary (alternativamente decenario )
- Polyadic , multary y multiary significa 2 o más operandos (o parámetros).
- n - aria significa n operandos (o parámetros), pero a menudo se usa como un sinónimo de "poládica".
Así que podemos utilizar cualquier decimal prefijo unidad de ampliar el concepto de yotta nario (10 24 ary) o googolplex anary (10 10 100 ary), pero no se ha encontrado uso para esto todavía.
Una nomenclatura alternativa se deriva de manera similar de las raíces griegas correspondientes ; por ejemplo, niladic (o medádico ), monádico , diádico , triádico , poládico , etc. De ahí se derivan los términos alternativos adicity y adinity para el derivado de América aridad .
Estas palabras se usan a menudo para describir cualquier cosa relacionada con ese número (por ejemplo, ajedrez innegativo es una variante de ajedrez con un tablero de 11 × 11, o la Petición Milenaria de 1603).
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