MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

En matemáticas , el producto tensorial V ⊗ W de dos espacios vectoriales V y W (sobre el mismo campo ) es en sí mismo un espacio vectorial, dotado con la operación de composición bilineal , indicada por ⊗ , de pares ordenados en el producto cartesiano V × W en V ⊗ W de una manera que generaliza el producto exterior . El producto tensorial de V y W es el espacio vectorial generado por los símbolos v ⊗ w , conv ∈ V y w ∈ W , en el que las relaciones de bilinealidad se imponen para la operación del producto ⊗ , y no se supone que ninguna otra relación se mantenga. El espacio de producto tensorial es, por lo tanto, elespacio vectorial" más libre " (o más general), en el sentido de tener las menos restricciones.

El producto tensorial de los espacios vectoriales (dimensión finita) tiene una dimensión igual al producto de las dimensiones de los dos factores:

$${\ displaystyle \ dim (V \ otimes W) = \ dim V \ times \ dim W.}

En particular, esto distingue el producto tensorial del espacio del vector de suma directa , cuya dimensión es la suma de las dimensiones de los dos sumandos:

$${\ displaystyle \ dim (V \ oplus W) = \ dim V + \ dim W.}

Más generalmente, el producto tensorial puede extenderse a otras categorías de objetos matemáticos, además de espacios vectoriales, como matrices , tensores , álgebras , espacios vectoriales topológicos y módulos . En cada caso, el producto tensorial se caracteriza por una propiedad universal similar : es la operación bilineal más libre . El concepto general de un "producto tensorial" es capturado por categorías monoidales ; es decir, la clase de todas las cosas que tienen un producto tensorial es una categoría monoidal.

Motivación intuitiva y el producto tensor de hormigón [ editar ]

La motivación intuitiva para el producto tensorial se basa en el concepto de tensores en general. En particular, un tensor es un objeto que puede considerarse un tipo especial de mapa multilineal , que toma un cierto número de vectores (su orden ) y genera un escalar. Tales objetos son útiles en un número de áreas de aplicación, tales como la geometría de Riemann , famoso por su uso en Albert Einstein 's teoría general de la relatividad de la física moderna , donde el tensor métricoes un concepto fundamental: en particular, el tensor métrico toma dos vectores, concebidos aproximadamente como pequeñas flechas que emanan de un punto específico dentro de un espacio curvo, o múltiple , y devuelve un producto de punto local de ellos con relación a ese punto en particular: un operación que codifica aproximadamente las longitudes de los vectores, así como el ángulo entre ellos. Como el producto puntual es un escalar, se ve que el tensor métrico merece su nombre. Hay un tensor métrico en cada punto de la variedad, y la variación en el tensor métrico codifica cómo los conceptos de distancia y ángulo, y por lo tanto las leyes de la geometría analítica , varían a lo largo de la variedad.

Uno puede pensar en el producto tensorial de dos espacios vectoriales, $${\ displaystyle V} y $${\ displaystyle W} como representando el conjunto de todos los tensores que toman un vector de $${\ displaystyle V} y $${\ displaystyle W}y genera un escalar dentro de su campo base común (y, por lo tanto, solo puede definirse si tienen dicho campo base). Los dos espacios pueden ser iguales: en lo que antecede, hay vectores en el espacio tangente en un punto: aproximadamente en el espacio, una pequeña parte de la variedad que más "parece" cuando se acerca muy, muy cerca de un punto en particular, y así el tensor métrico vive en el producto tensorial de ese espacio consigo mismo. Pero también pueden ser diferentes.

Si tenemos una base para los espacios vectoriales, y el espacio vectorial es finito-dimensional, podemos representar los vectores en términos de componentes bajo esos vectores base:

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \\\ vdots \\ v_ {n} \ end {bmatrix}}, \ \ mathbf {w} = { \ begin {bmatrix} w_ {1} \\ w_ {2} \\\ vdots \\ w_ {m} \ end {bmatrix}}}.

donde cada notación representa la suma $${\ displaystyle \ mathbf {v} = v_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + v_ {2} \ mathbf {e} _ {2} + \ cdots + v_ {n} \ mathbf {e} _ {norte}}.

Un tensor es entonces un mapa. $${\ displaystyle T (\ mathbf {v}, \ mathbf {w})}que funciona como antes, devolviendo un escalar y es lineal en sus dos argumentos. Dicho tensor se puede representar utilizando una multiplicación de matriz:

$${\ displaystyle T (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = \ mathbf {v} ^ {T} \ mathbf {T} \ mathbf {w}}

donde la superíndice T denota la transposición de la matriz que envía el vector$${\ displaystyle \ mathbf {v}}a su doble vector .

Dados dos vectores, podemos formar un tensor propio a partir de ellos de forma bastante natural utilizando el producto externo , que se denota$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}} y es igual $${\ displaystyle \ mathbf {v} \ mathbf {w} ^ {T}}. Este tensor sale como la matriz.

{\ displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w} = {\ begin {bmatrix} v_ {1} w_ {1} && v_ {1} w_ {2} && \ cdots && v_ {1} w_ {m} \ \ v_ {2} w_ {1} && v_ {2} w_ {2} && \ cdots && v_ {2} w_ {m} \\\ vdots && \ vdots && \ ddots && \ vdots \\ v_ {n} w_ {1 } && v_ {n} w_ {2} && \ cdots && v_ {n} w_ {m} \ end {bmatrix}}}

y esta matriz corresponde al tensor por la construcción anterior, que recuerda a cómo corresponde a un mapa lineal (al multiplicarse en un solo lado). Estos mismos tensores generan un espacio vectorial al sumarlos y multiplicarlos por los escalares de la manera habitual que hacemos para las matrices y las funciones, y la colección de todos los tensores así formados es el producto tensorial. $${\ displaystyle V \ otimes W}de los dos espacios vectoriales mismos. De hecho, este espacio es equivalente al espacio de los mapas representados por cada matriz posible del tamaño anterior, como se puede observar al observar que los productos tensoriales simples$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {f} _ {j}} (aquí $${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {j}}es la base del otro espacio vectorial, $${\ displaystyle W}) tiene un "1" en el $${\ displaystyle (i, j)}-La posición y "0" están en todas partes, lo que permite que se multipliquen por cualquier número y luego se sumen para obtener una matriz con entradas arbitrarias.

El propósito de las siguientes secciones es encontrar una definición que sea equivalente a esta donde sea aplicable pero que no requiera una elección específica de la base y que también se pueda aplicar más fácilmente a configuraciones de dimensión infinita donde los conceptos de base habituales ( Hamel base ) puede ser de mal comportamiento. No es necesario que una base específica sea útil desde un punto de vista teórico, ya que si bien cada espacio vectorial tiene una base, no todas las bases son necesariamente construibles, y además ese resultado en sí mismo depende de la aceptación del axioma de elección que puede ser rechazado en algunos sistemas. de las matematicas. Además, es útil encontrar una construcción abstracta para el análisis desde el punto de vista de la teoría de categorías., la teoría del "panorama general de las matemáticas" muy ampliada y cómo todos los objetos matemáticos se relacionan entre sí en un sentido muy general. Un uso muy importante de la vida real para tener tal definición se puede encontrar en otro campo de la física moderna llamado mecánica cuántica : el producto tensor en esta forma nos permite hablar de la función de onda de un sistema de dos partículas como un espacio abstracto de Hilbert. Vector sin necesidad de especificar una base específica de observables .

Paso del bebé hacia el producto tensor abstracto: el espacio vectorial libre [ editar ]

El primer paso que consideraremos consiste en introducir algo que se denomina " espacio vectorial libre " en un conjunto determinado. El empuje detrás de esta idea consiste básicamente en lo que dijimos en el último punto: desde un tensor$${\ displaystyle T} Se puede escribir por la doble suma.

$${\ displaystyle T = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {m} (v_ {i} w_ {j}) (\ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {f} _ {j})}

La forma más natural de abordar este problema es, de alguna manera, descubrir cómo podemos "olvidar" la elección específica de las bases. $${\ displaystyle \ mathbf {e}} y $${\ displaystyle \ mathbf {f}}que se utilizan aquí. En matemáticas, la forma en que "olvidamos" los detalles representativos de algo es establecer una identificación que nos diga que dos cosas diferentes que deben considerarse representaciones de la misma cosa son de hecho tales, es decir, que, dadas esas palabras, dicen "sí , son "o" no, no son ", y luego" agrupan "todas las representaciones como" cosas representadas "sin hacer referencia a ninguna en particular, empaquetándolas todas en un solo conjunto. En términos formales, primero construimos una relación de equivalencia y luego tomamos el cociente establecido por esa relación.

Pero antes de que podamos hacer eso, primero debemos desarrollar lo que vamos a tomar sobre la relación de equivalencia. La forma en que lo hacemos es enfocar esto al revés, desde la base "hacia arriba": dado que no se nos garantiza una base, al menos construible, al comenzar desde espacios vectoriales arbitrarios, en lugar de eso, podemos intentar comenzar garantizando que tenemos uno, es decir, comenzaremos primero considerando una "base", por sí sola, como se indica, y luego construyendo el espacio vectorial en la parte superior. Para ello, logramos lo siguiente: supongamos que$${\ displaystyle B}Es un conjunto, que podríamos llamar un conjunto de base abstracta . Ahora consideremos todas las expresiones formales de la forma.

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = a_ {1} \ beta _ {1} + a_ {2} \ beta _ {2} + \ cdots + a_ {n} \ beta _ {n}}

De longitud arbitraria, pero finita. $${\ displaystyle n} y para que $${\ displaystyle a_ {j}} son escalares y $${\ displaystyle \ beta _ {j}} son miembros de $${\ displaystyle B}. Intuitivamente, esta es una combinación lineal de los vectores base en el sentido habitual de expandir un elemento de un espacio vectorial. Llamamos a esto una "expresión formal" porque técnicamente es ilegal multiplicar$${\ displaystyle a_ {j} \ beta _ {j}}ya que no hay una operación de multiplicación definida por defecto en un conjunto arbitrario y un campo arbitrario de escalares. En cambio, "simularemos" (de manera similar a la definición de los números imaginarios ) que esto se refiere a algo, y luego lo manipularemos de acuerdo con las reglas que esperamos para un espacio vectorial, por ejemplo, la suma de dos cadenas de ese tipo de longitud. es

$${\ displaystyle (a_ {1} \ beta _ {1} + a_ {2} \ beta _ {2} + \ cdots + a_ {n} \ beta _ {n}) + (b_ {1} \ beta _ { 1} + b_ {2} \ beta _ {2} + \ cdots + b_ {n} \ beta _ {n}) = (a_ {1} + b_ {1}) \ beta _ {1} + (a_ { 2} + b_ {2}) \ beta _ {2} + \ cdots + (a_ {n} + b_ {n}) \ beta _ {n}}

donde hemos utilizado las leyes asociativas , conmutativas y distributivas para reorganizar la primera suma en la segunda. Continuar de esta manera para los múltiplos escalares y todas las combinaciones de vectores de diferente longitud nos permite crear una suma de vectores y una multiplicación escalar en este conjunto de expresiones formales, y lo llamamos el espacio vectorial libre sobre$${\ displaystyle B}, escritura $${\ displaystyle F (B)}. Tenga en cuenta que los elementos de$${\ displaystyle B}, consideradas como longitud, una expresión formal con el coeficiente 1 al frente, forman una base de Hamel para este espacio.

La expresión del producto tensorial se abstrae considerando que si $${\ displaystyle \ beta _ {j}} y $${\ displaystyle \ gamma _ {j}} Representa "vectores de base abstracta" de dos conjuntos $${\ displaystyle B} y $${\ displaystyle G}es decir que$${\ displaystyle \ beta _ {j} = \ mathbf {e} _ {j}}"y"$${\ displaystyle \ gamma _ {j} = \ mathbf {f} _ {j}}", luego pares de estos en el producto cartesiano. $${\ displaystyle B \ veces G}es decir $${\ displaystyle (\ beta _ {i}, \ gamma _ {j})} Se toman como soporte para los productos tensoriales. $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {f} _ {j}}. (Tenga en cuenta que los productos tensoriales en la expresión son en cierto sentido " atómicos ", es decir, las adiciones y las multiplicaciones escalares no los dividen en otra cosa, por lo que podemos reemplazarlos con algo diferente sin alterar la estructura matemática). Con tal identificación , así podemos definir el producto tensorial de dos espacios vectoriales libres.$${\ displaystyle F (B)} y $${\ displaystyle F (G)} como algo (aún por decidir) que es isomorfo para $${\ displaystyle F (B \ times G)}.

Uso del espacio vectorial libre para "olvidar" la base [ editar ]

La definición anterior realmente funcionará para cualquier espacio vectorial en el que podemos especificar una base, ya que sólo podemos reconstruir como el espacio vectorial libre sobre esa base: la construcción anterior refleja exactamente cómo usted representa vectores a través de la construcción de base de Hamel por diseño. En efecto, no hemos ganado nada ... hasta que hacemos esto.

Ya que asumimos que en realidad no tenemos acceso a una base para cada espacio vectorial $${\ displaystyle V} y $${\ displaystyle W} Que en general queremos formar el producto tensorial. $${\ displaystyle V \ otimes W}de, en lugar vamos a hacer lo siguiente mejor cosa y en cierto sentido, lo único que estamos garantizados capaz de hacer, independientemente de cualquier inquietud o problemática en la búsqueda de una base específica: tomar todo de$${\ displaystyle V} y $${\ displaystyle W} como "base" para construir los tensores, lo que corresponde a lo que hicimos en la última parte de la sección "Motivación intuitiva", en la que consideramos la posibilidad de agregar productos externos arbitrarios $${\ displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}}de vectores arbitrarios tomados de los dos espacios. La única diferencia aquí es que si usamos la construcción de espacio vectorial libre y formamos lo obvio$${\ displaystyle F (V) \ otimes F (W) = F (V \ times W)} Tendrá muchas versiones redundantes de lo que debería ser el mismo tensor, es decir, volviendo a nuestro caso base si consideramos el ejemplo muy específico donde $${\ displaystyle V = W = \ mathbb {R} ^ {2}}En la base estándar, que es manejable pequeña pero no trivial, podemos considerar que el tensor formado por los vectores {\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} 0 && 3 \ end {bmatrix}} ^ {T} y {\ displaystyle \ mathbf {w} = {\ begin {bmatrix} 5 && - 3 \ end {bmatrix}} ^ {T}es decir

{\ displaystyle T: = \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w} = {\ begin {bmatrix} 0 && 0 \\ 15 && - 9 \ end {bmatrix}}}

podría también ser representado por otras sumas, tales como la suma utilizando tensores básicos individuales$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {j}}, p.ej

$${\ displaystyle T = 0 (\ mathbf {e} _ {1} \ otimes \ mathbf {e} _ {1}) + 0 (\ mathbf {e} _ {1} \ otimes \ mathbf {e} _ {2 }) + 15 (\ mathbf {e} _ {2} \ otimes \ mathbf {e} _ {1}) - 9 (\ mathbf {e} _ {2} \ otimes \ mathbf {e} _ {2}) .}

Estas, aunque son expresiones iguales en el caso concreto, corresponderían a elementos distintos del espacio vectorial libre. $${\ displaystyle F (V \ times W)}a saber

$${\ displaystyle T = (v, w)}

en el primer caso y

$${\ displaystyle T = 0 (e_ {1}, e_ {1}) + 0 (e_ {1}, e_ {2}) + 15 (e_ {2}, e_ {1}) - 9 (e_ {2} , e_ {2})}

En el segundo caso. Por lo tanto, debemos condensarlos: aquí es donde entra en juego la relación de equivalencia. El truco para construirlo es notar que dado cualquier vector$${\ displaystyle \ mathbf {v}} en un espacio vectorial, siempre es posible representarlo como la suma de otros dos vectores $${\ displaystyle \ mathbf {a}} y $${\ displaystyle \ mathbf {b}}No es igual al original. Si nada más, vamos$${\ displaystyle \ mathbf {a}} ser cualquier vector y luego tomar $${\ displaystyle \ mathbf {b}: = \ mathbf {v} - \ mathbf {a}}—Que también muestra que si se nos da un vector y luego un segundo vector, podemos escribir el primer vector en términos del segundo junto con un tercer vector adecuado (de hecho, de muchas maneras), simplemente considere los múltiplos escalares del segundo vector en el misma resta).

Esto es útil para nosotros porque el producto externo satisface las siguientes propiedades de linealidad, que se pueden probar con un álgebra simple en las expresiones matriciales correspondientes (los vectores a continuación son genéricos, no los ejemplos anteriores):

$${\ displaystyle (\ mathbf {v} + \ mathbf {w}) \ otimes \ mathbf {u} = \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {u} + \ mathbf {w} \ otimes \ mathbf {u}}

$${\ displaystyle \ mathbf {u} \ otimes (\ mathbf {v} + \ mathbf {w}) = \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} + \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {w}}

$${\ displaystyle c (\ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {u}) = (c \ mathbf {v}) \ otimes \ mathbf {u} = \ mathbf {v} \ otimes (c \ mathbf {u}) }

Si queremos relacionar el producto exterior. $${\ displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}} decir, $${\ displaystyle \ mathbf {e_ {1}} \ otimes \ mathbf {w}}, podemos usar la primera relación anterior junto con una expresión adecuada de $${\ displaystyle \ mathbf {v}} como suma de algún vector y algún múltiplo escalar de $${\ displaystyle \ mathbf {e_ {1}}}.

Entonces se obtiene la igualdad entre dos tensores de hormigón si el uso de las reglas anteriores nos permitirá reorganizar una suma de productos externos en el otro mediante la adecuada descomposición de los vectores, independientemente de si tenemos un conjunto de vectores de base reales. Aplicando eso a nuestro ejemplo anterior, vemos que, por supuesto, tenemos

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = 0 \ mathbf {e} _ {1} +3 \ mathbf {e} _ {2}}

$${\ displaystyle \ mathbf {w} = 5 \ mathbf {e} _ {1} -3 \ mathbf {e} _ {2}}

para lo cual la sustitución en

$${\ displaystyle T = \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}}

Nos da

$${\ displaystyle T = (0 \ mathbf {e} _ {1} +3 \ mathbf {e} _ {2}) \ otimes (5 \ mathbf {e} _ {1} -3 \ mathbf {e} _ { 2})}

y el uso juicioso de las propiedades de distribución nos permite reorganizar a la forma deseada. Del mismo modo, existe una correspondiente manipulación de "espejo" en términos de los elementos del espacio vectorial libre$${\ displaystyle (v, w)} y $${\ displaystyle (e_ {1}, e_ {1})}, $${\ displaystyle (e_ {1}, e_ {2})}, etc., y esto nos lleva finalmente a la definición formal del producto tensorial.

La definición del producto tensorial abstracto [ editar ]

El tensor abstracto producto de dos espacios vectoriales.$${\ displaystyle V} y $${\ displaystyle W}sobre un campo base común es el espacio vectorial cociente

$${\ displaystyle V \ otimes W: = F (V \ times W) / \ sim}

dónde $${\ displaystyle \ sim}es la relación de equivalencia de igualdad formal que se genera al asumir que para cada$${\ displaystyle (v, w)} y $${\ displaystyle (v ', w')} tomadas como expresiones formales en el espacio de vector libre se mantienen las siguientes:

Identidad .$${\ displaystyle (v, w) \ sim (v, w)}.

Distributividad. $${\ displaystyle (v, w) + (v ', w) \ sim (v + v', w)} y $${\ displaystyle (v, w) + (v, w ') \ sim (v, w + w')}.

Múltiples escalares. $${\ displaystyle c (v, w) \ sim (cv, w)} y $${\ displaystyle c (v, w) \ sim (v, cw)}

y luego probar la equivalencia de las expresiones formales genéricas a través de manipulaciones adecuadas basadas en ellas. La aritmética se define en el producto tensorial eligiendo elementos representativos, aplicando las reglas aritméticas y, finalmente, tomando la clase de equivalencia. Además, dado cualquiera de los dos vectores.$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ en V} y $${\ displaystyle \ mathbf {w} \ en W}, la clase de equivalencia $${\ displaystyle [(v, w)]} se denota $${\ displaystyle \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}}.

Propiedades [ editar ]

Notación [ editar ]

Los elementos de V ⊗ W a menudo se denominan tensores , aunque este término también se refiere a muchos otros conceptos relacionados. ^[1] Si v pertenece a V y w pertenece a W , entonces la clase de equivalencia de ( v , w ) se denota por v ⊗ w , que se llama el producto tensorial de v con w . En física e ingeniería, este uso del símbolo "" se refiere específicamente a la operación externa del producto ; El resultado del producto exterior.v ⊗ w es una de las formas estándar de representar la clase de equivalencia v ⊗ w . ^[2] Un elemento de V ⊗ W que puede escribirse en la forma v ⊗ w se llama tensor puro o simple . En general, un elemento del espacio del producto tensorial no es un tensor puro, sino una combinación lineal finita de tensores puros. Por ejemplo, si v ₁ y v ₂ son linealmente independientes , y w ₁ y w ₂también son linealmente independientes, entonces v ₁ ⊗ w ₁ + v ₂ ⊗ w ₂ no puede escribirse como un tensor puro. El número de tensores simples requeridos para expresar un elemento de un producto tensorial se denomina rango tensorial (no debe confundirse con el orden tensorial , que es el número de espacios en que se ha tomado el producto, en este caso 2; en notación, el número de índices), y para operadores lineales o matrices, considerados como (1, 1) tensores (elementos del espacio V ⊗ V ^∗ ), concuerda con el rango de la matriz .

Dimensión [ editar ]

Bases Dadas { v _i } y { w _j } para V y W , respectivamente, los tensores { V _i ⊗ w _j } forman una base para V ⊗ W . Por lo tanto, si V y W son de dimensión finita, la dimensión del producto tensorial es el producto de las dimensiones de los espacios originales; por ejemplo, R ^m ⊗ R ⁿ es isomorfo a R ^mn .

Producto tensorial de mapas lineales [ editar ]

El producto tensorial también opera en mapas lineales entre espacios vectoriales. Específicamente, dados dos mapas lineales S  : V → X y T  : W → Y entre espacios vectoriales, el producto tensorial de los dos mapas lineales S y T es un mapa lineal

$${\ displaystyle S \ otimes T: V \ otimes W \ a X \ otimes Y}

definido por

$${\ displaystyle (S \ otimes T) (v \ otimes w) = S (v) \ otimes T (w).}

De esta manera, el producto tensorial se convierte en un bifuncional desde la categoría de espacios vectoriales a sí mismo, covariante en ambos argumentos. ^[3]

Si S y T son ambos inyectivos, suryectivos o continuos, entonces S ⊗ T es, respectivamente, inyectivos, suryectivos, continuos.

Al elegir las bases de todos los espacios vectoriales involucrados, los mapas lineales S y T pueden representarse mediante matrices . Luego, la matriz que describe el producto tensorial S ⊗ T es el producto Kronecker de las dos matrices. Por ejemplo, si V , X , W e Y anteriores son todos bidimensionales y las bases se han corregido para todos ellos, y S y T están dados por las matrices

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} \\\ end {bmatrix}}, \ qquad {\ begin { bmatrix} b_ {1,1} & b_ {1,2} \\ b_ {2,1} & b_ {2,2} \\\ end {bmatrix}},}

respectivamente, entonces el producto tensorial de estas dos matrices es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\&\\a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}.}$

El rango resultante es a lo sumo 4, y por lo tanto la dimensión resultante es 4. Aquí rango denota el rango tensorial (número de índices requeridos), mientras que el rango matricial cuenta el número de grados de libertad en la matriz resultante.

Un producto diádico es el caso especial del producto tensorial entre dos vectores de la misma dimensión.

Propiedad universal [ editar ]

Este diagrama conmutativopresenta la propiedad universal del producto tensorial. aquí$${\ displaystyle \ varphi} y $${\ displaystyle h} son bilineales, mientras que $${\ displaystyle {\ tilde {h}}} es lineal

En el contexto de los espacios vectoriales, el producto tensorial. $${\ displaystyle V \ otimes W} y el mapa bilineal asociado. $${\ displaystyle \ varphi: V \ times W \ to V \ otimes W}Se caracterizan hasta el isomorfismo por una propiedad universal con respecto a los mapas bilineales . (Recuerde que un mapa bilineal es una función que es lineal por separado en cada uno de sus argumentos). Informalmente,$${\ displaystyle \ varphi} es el mapa bilineal más general de $${\ displaystyle V \ times W}.

El espacio vectorial $${\ displaystyle V \ otimes W} y el mapa bilineal asociado. $${\ displaystyle \ varphi: V \ times W \ to V \ otimes W} Tener la propiedad de cualquier mapa bilineal. $${\ displaystyle h: V \ times W \ to Z} desde $${\ displaystyle V \ times W} a cualquier espacio vectorial $${\ displaystyle Z} factores a través de $${\ displaystyle \ varphi}singularmente Diciendo "$${\ displaystyle h}factores a través de $${\ displaystyle \ varphi} únicamente "queremos decir que hay un mapa lineal único $${\ displaystyle {\ tilde {h}}: V \ otimes W \ to Z} tal que $${\ displaystyle h = {\ tilde {h}} \ circ \ varphi}.

Esta caracterización puede simplificar las pruebas sobre el producto tensorial. Por ejemplo, el producto tensorial es simétrico, lo que significa que hay un isomorfismo canónico :

$${\ displaystyle V \ otimes W \ cong W \ otimes V.}

Para construir, digamos, un mapa de $${\ displaystyle V \ otimes W} a $${\ displaystyle W \ otimes V}, basta con dar un mapa bilineal. $${\ displaystyle h: V \ times W \ to W \ otimes V} que mapas $${\ displaystyle (v, w)} a $${\ displaystyle w \ otimes v}. Entonces la propiedad universal de$${\ displaystyle V \ otimes W} medio $${\ displaystyle h}factores en un mapa $${\ displaystyle {\ tilde {h}}: V \ otimes W \ a W \ otimes V}. Un mapa$${\ displaystyle {\ tilde {g}}: W \ otimes V \ a V \ otimes W} en la dirección opuesta se define de manera similar, y uno verifica que los dos mapas lineales $${\ displaystyle {\ tilde {h}}} y $${\ displaystyle {\ tilde {g}}} son inversos entre sí utilizando nuevamente sus propiedades universales.

Se puede usar un razonamiento similar para mostrar que el producto tensorial es asociativo, es decir, hay isomorfismos naturales

$${\ displaystyle V_ {1} \ otimes (V_ {2} \ otimes V_ {3}) \ cong (V_ {1} \ otimes V_ {2}) \ otimes V_ {3}.}

Por lo tanto, es costumbre omitir los paréntesis y escribir $${\ displaystyle V_ {1} \ otimes V_ {2} \ otimes V_ {3}}.

La categoría de espacios vectoriales con producto tensorial es un ejemplo de una categoría monoidal simétrica .

La definición de propiedad universal de un producto tensorial es válida en más categorías que solo la categoría de espacios vectoriales. En lugar de utilizar mapas multilineales (bilineales), la definición general del producto tensorial utiliza multimorfismos. ^[4]

Tensor de potencia y trenzado [ editar ]

Sea n un entero no negativo. La potencia de tensor n th del espacio vectorial V es el producto tensorial multiplicado por n de V consigo mismo. Es decir

$${\ displaystyle V ^ {\ otimes n} \; {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \; \ underbrace {V \ otimes \ cdots \ otimes V} _ {n}.}

Una permutación σ del conjunto {1, 2, ..., n } determina un mapeo de la n ésima potencia cartesiano de V como sigue:

$${\ displaystyle {\ begin {cases} \ sigma \ colon V ^ {n} \ to V ^ {n} \\\ sigma (v_ {1}, v_ {2}, \ cdots, v_ {n}) = \ izquierda (v _ {\ sigma (1)}, v _ {\ sigma (2)}, \ cdots, v _ {\ sigma (n)} \ right) \ end {cases}}}

Dejar

$${\ displaystyle \ varphi \ colon V ^ {n} \ to V ^ {\ otimes n}}

ser la incrustación multilineal natural de la potencia cartesiana de V en la fuente de tensor de V . Luego, por la propiedad universal, existe un isomorfismo único.

$${\ displaystyle \ tau _ {\ sigma} \ colon V ^ {\ otimes n} \ to V ^ {\ otimes n}}

tal que

$${\ displaystyle \ varphi \ circ \ sigma = \ tau _ {\ sigma} \ circ \ varphi.}

El isomorfismo τ _σ se denomina mapa de trenzado asociado a la permutación σ .

Producto de tensores [ editar ]

Ver también: Tratamiento clásico de tensores.

Para enteros no negativos r y s, un tensor de tipo ( r , s ) en un espacio vectorial V es un elemento de

$${\ displaystyle T_ {s} ^ {r} (V) = \ underbrace {V \ otimes \ dots \ otimes V} _ {r} \ otimes \ underbrace {V ^ {*} \ otimes \ dots \ otimes V ^ { *}} _ {s} = V ^ {\ otimes r} \ otimes V ^ {* \ otimes s}.}

Aquí V ^∗ es el espacio vectorial dual (que consiste en todos los mapas lineales f desde V hasta el campo de tierra K ).

Hay un mapa del producto, llamado el producto (tensor) de los tensores ^[5]

$${\ displaystyle T_ {s} ^ {r} (V) \ otimes _ {K} T_ {s '} ^ {r'} (V) \ to T_ {s + s '} ^ {r + r'} ( V).

Se define agrupando todos los "factores" que ocurren V juntos: escribiendo v _i para un elemento de V y f _i para elementos del espacio dual,

$${\ displaystyle (v_ {1} \ otimes f_ {1}) \ otimes (v '_ {1}) = v_ {1} \ otimes v' _ {1} \ otimes f_ {1}.}

Elegir una base de V y la correspondiente base dual de V ^∗ naturalmente induce una base para T r 
s ( V ) (esta base se describe en el artículo sobre los productos de Kronecker ). En términos de estas bases, se pueden calcular los componentes de un (tensor) producto de dos (o más) tensores . Por ejemplo, si F y G son dos tensores covariantes de rango m y n respectivamente (es decir, F ∈ T  0 
m , y G∈ T  0 
n ), entonces los componentes de su producto tensorial están dados por

$${\ displaystyle (F \ otimes G) _ {i_ {1} i_ {2} \ ldots i_ {m + n}} = F_ {i_ {1} i_ {2} \ ldots i_ {m}} G_ {i_ { m + 1} i_ {m + 2} i_ {m + 3} \ ldots i_ {m + n}}.

^[6] Por lo tanto, los componentes del producto tensorial de dos tensores son el producto ordinario de los componentes de cada tensor. Otro ejemplo: sea U un tensor de tipo (1, 1) con componentes U ^α _β , y sea V un tensor de tipo (1, 0) con componentes V  ^γ . Entonces

$${\ displaystyle U ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} V ^ {\ gamma} = (U \ otimes V) ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} {} ^ {\ gamma}}

y

$${\ displaystyle V ^ {\ mu} U ^ {\ nu} {} _ {\ sigma} = (V \ otimes U) ^ {\ mu \ nu} {} _ {\ sigma}.}

Los productos de los tensores forman un álgebra , llamada álgebra tensorial .

Relación con el espacio dual [ editar ]

Un ejemplo particular es el producto tensorial de algún espacio vectorial V con su espacio vectorial dual V ^∗ (que consiste en todos los mapas lineales f desde V hasta el campo de tierra K ). En este caso, hay un mapa de evaluación canónico.

$${\ displaystyle V \ otimes V ^ {*} \ a K}

el cual en tensores elementales se define por

$${\ displaystyle v \ otimes f \ mapsto f (v).}

El mapa resultante

$${\ displaystyle T_ {s} ^ {r} (V) \ a T_ {s-1} ^ {r-1} (V)}

Se llama contracción tensorial (para r , s > 0 ).

Por otro lado, si V es de dimensión finita , hay un mapa canónico en la otra dirección (llamado mapa de coevaluación )

$${\ displaystyle K \ to V \ otimes V ^ {*}, \ lambda \ mapsto \ sum _ {i} \ lambda v_ {i} \ otimes v_ {i} ^ {*}.}

donde v ₁ , ..., v _n es cualquier base de V , y v _i ^∗ es su base dual. Sorprendentemente, este mapa no depende de nuestra elección de base. ^[7]

La interacción del mapa de evaluación y coevaluación se puede usar para caracterizar espacios vectoriales de dimensión finita sin referirse a las bases. ^[8]

Producto tensorial vs. Hom [ editar ]

Dados dos espacios vectoriales dimensionales finitos U , V sobre el mismo campo K , denota el espacio dual de U como U * , y el espacio K- vector de todos los mapas lineales de U a V como Hom ( U , V ) . Tenemos la siguiente relación:

$${\ displaystyle U ^ {*} \ otimes V \ cong \ mathrm {Hom} (U, V),}

Un isomorfismo puede ser definido por $${\ displaystyle \ alpha: U ^ {*} \ otimes V \ rightarrow \ mathrm {Hom} (U, V)}, al actuar sobre tensores puros.

$${\ displaystyle u ^ {*} \ otimes v \ mapsto (u ^ {*} \ otimes v) (u) = u ^ {*} (u) v,}

su "inverso" se puede definir de una manera similar a la anterior (Relación con el espacio dual) usando doble base $${\ displaystyle \ {u_ {i} ^ {*} \}},

$${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (U, V) \ a U ^ {*} \ otimes V, \ quad f (\ cdot) \ mapsto \ sum _ {i} u_ {i} ^ {*} \ otimes f (u_ {i}).}

Este resultado implica

$${\ displaystyle \ dim (U \ otimes V) = \ dim (U) \ dim (V)}

lo que da automáticamente el hecho importante de que $${\ displaystyle \ {u_ {i} \ otimes v_ {j} \}} forma una base para $${\ displaystyle U \ otimes V} dónde $${\ displaystyle \ {u_ {i} \}, \ {v_ {j} \}}son bases de U y V .

Además, dados los tres espacios vectoriales U , V , W , el producto tensorial está vinculado al espacio vectorial de todos los mapas lineales, de la siguiente manera:

$${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (U \ otimes V, W) \ cong \ mathrm {Hom} (U, \ mathrm {Hom} (V, W)).}

Este es un ejemplo de los funtores adjuntos : el producto tensorial es "izquierdo adjunto" a Hom.

Representación adjunta [ editar ]

El tensor $${\ displaystyle \ scriptstyle T_ {s} ^ {r} (V)}puede verse naturalmente como un módulo para el álgebra final ( V ) por medio de la acción diagonal: por simplicidad, asumamos que r = s = 1 , luego, para cada u ∈ final ( V ) ,

$${\ displaystyle u (a \ otimes b) = u (a) \ otimes ba \ otimes u ^ {*} (b),}

donde u ^∗ en Fin ( V ^∗ ) es la transposición de u , es decir, en términos del apareamiento obvio en V ⊗ V ^∗ ,

$${\ displaystyle \ langle u (a), b \ rangle = \ langle a, u ^ {*} (b) \ rangle}.

Hay un isomorfismo canónico. $${\ displaystyle \ scriptstyle T_ {1} ^ {1} (V) \ rightarrow \ mathrm {Fin} (V)} dada por

$${\ displaystyle (a \ otimes b) (x) = \ langle x, b \ rangle a.}

Bajo este isomorfismo, cada u en el extremo ( V ) puede verse primero como un endomorfismo de$${\ displaystyle \ scriptstyle T_ {1} ^ {1} (V)}y luego visto como un endomorfismo de Fin ( V ) . De hecho, es el anuncio de representación adjunto ( u ) de End ( V ).

Productos de tensor de módulos sobre un anillo [ editar ]

Artículo principal: Producto tensorial de módulos.

El producto tensorial de dos módulos A y B sobre un anillo conmutativo R se define exactamente de la misma manera que el producto tensorial de espacios vectoriales sobre un campo: 

$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B: = F (A \ veces B) / G}

donde ahora F ( A × B ) es el módulo R libre generado por el producto cartesiano y G es el módulo R generado por las mismas relaciones que arriba .

Más generalmente, el producto tensorial se puede definir incluso si el anillo no es conmutativo ( ab ≠ ba ). En este caso, A tiene que ser un módulo R derecho y B es un módulo R izquierdo , y en lugar de las dos últimas relaciones anteriores, la relación

$${\ displaystyle (ar, b) - (a, rb)}

es impuesto. Si R no es conmutativo, esto ya no es un módulo R , sino solo un grupo abeliano .

La propiedad universal también lleva encima, ligeramente modificado: el mapa φ  : A × B → A ⊗ _R B definido por ( un , b ) ↦ un ⊗ b es un mapa lineal media (referido como "el mapa lineal media canónica". ^[9] ); es decir, ^[10] satisface:

$${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ phi (a + a ', b) = \ phi (a, b) + \ phi (a', b) \\\ phi (a, b + b ') = \ phi (a, b) + \ phi (a, b ') \\\ phi (ar, b) = \ phi (a, rb) \ end {alineado}}}

Las dos primeras propiedades hacen φ un mapa bilineal del grupo abeliano A × B . Para cualquier mapa lineal medio ψ de A × B , un homomorfismo de grupo único f de A ⊗ _R B satisface ψ = f ∘ φ , y esta propiedad determina$${\ displaystyle \ phi}Dentro del grupo isomorfismo. Vea el artículo principal para más detalles.

Producto tensorial de módulos sobre un anillo no conmutativo [ editar ]

Sea A un módulo R derecho y B un módulo R izquierdo B. Entonces, el producto tensorial de A y B es un grupo abeliano definido por

$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B: = F (A \ veces B) / G}

dónde $${\ displaystyle F (A \ veces B)}es un grupo abeliano libre sobre$${\ displaystyle A \ times B} y G es un subgrupo de $${\ displaystyle F (A \ veces B)} generado por las relaciones

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & \ forall a, a_ {1}, a_ {2} \ in A, \ forall b, b_ {1}, b_ {2} \ in B, \ forall r \ in R : \\ & (a_ {1}, b) + (a_ {2}, b) - (a_ {1} + a_ {2}, b), \\ & (a, b_ {1}) + (a , b_ {2}) - (a, b_ {1} + b_ {2}), \\ & (ar, b) - (a, rb). \\\ end {alineado}}}

La propiedad universal se puede establecer de la siguiente manera. Sea G un grupo abeliano con un mapa.$${\ displaystyle q: A \ times B \ rightarrow G} que es bilineal, en el sentido de que

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & q (a_ {1} + a_ {2}, b) = q (a_ {1}, b) + q (a_ {2}, b), \\ & q (a, b_ {1} + b_ {2}) = q (a, b_ {1}) + q (a, b_ {2}), \\ & q (ar, b) = q (a, rb). \ end { alineado}}}

Entonces hay un mapa único $${\ displaystyle {\ overline {q}}: A \ otimes B \ rightarrow G} tal que $${\ displaystyle {\ overline {q}} (a \ otimes b) = q (a, b)} para cada $${\ displaystyle a \ en A, b \ en B}.

Además, podemos dar $${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B} Una estructura de módulo bajo algunas condiciones adicionales.

1) Si A era un bimódulo (S, R), entonces $${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B} es un módulo S izquierdo donde $${\ displaystyle s (a \ otimes b): = (sa) \ otimes b}.

2) Si B era un bimódulo (R, S), entonces $${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B} Es un módulo S correcto donde $${\ displaystyle (a \ otimes b) s: = a \ otimes (bs)}.

3) Si R era un anillo conmutativo, entonces A y B son (R, R) -bimódulos donde $${\ displaystyle ra: = ar} y $${\ displaystyle br: = rb}. Por 1),$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}Es un módulo R izquierdo. Por 2),$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}Es un módulo R correcto. Así podemos concluir$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}es un (R, R) -bimódulo.

Cálculo del producto tensorial [ editar ]

Para los espacios vectoriales, el producto tensorial V ⊗ W se calcula rápidamente ya que las bases de V de Wdeterminan inmediatamente una base de V ⊗ W , como se mencionó anteriormente. Para módulos sobre un anillo general (conmutativo), no todos los módulos son gratuitos. Por ejemplo, Z / n Z no es un grupo abeliano libre (= módulo Z ). El producto tensorial con Z / n Z viene dado por

$${\ displaystyle M \ otimes _ {\ mathbf {Z}} \ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z} = M / nM.}

Más en general, dada una presentación de algunas R -módulo M , es decir, un número de generadores de m _i ∈ M , i ∈ I junto con las relaciones$${\ displaystyle \ sum _ {j \ en J} a_ {ji} m_ {i} = 0}, con un _ji ∈ R , el producto tensorial se puede calcular como el siguiente cokernel :

$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N = \ operatorname {coker} (N ^ {J} \ rightarrow N ^ {I})}

Aquí N ^J  : = ⨁ _j ∈ J N y el mapa se determina enviando algunos n ∈ N en la j ª copia de N ^J a un _ji n (en N ^I ). Coloquialmente, esto puede ser reformulada diciendo que una presentación de M da lugar a una presentación de M ⊗ _R N . Se hace referencia a esto diciendo que el producto tensorial es un functor exacto correcto . En general, no es exacto, es decir, dado un mapa inyectivo de R -módulos M₁ → M ₂ , el producto tensorial

$${\ displaystyle M_ {1} \ otimes _ {R} N \ a M_ {2} \ otimes _ {R} N}

No suele ser inyectivo. Por ejemplo, al tensar el mapa (inyectivo) dado por la multiplicación con n , n  : Z → Zcon Z / n Z, se obtiene el mapa cero 0: Z / n Z → Z / n Z , que no es inyectivo. Los funtores Tor más altos miden que el defecto del producto tensorial no se deja exacto. Todos los funtores Tor superiores se ensamblan en el producto tensor derivado .

Producto tensorial de álgebras [ editar ]

Artículo principal: Producto tensorial de álgebras.

Sea R un anillo conmutativo. El producto tensorial de los módulos R se aplica, en particular, si A y B son R -algebras . En este caso, el producto tensorial A ⊗ _R B es una propia R -algebra al poner

$${\ displaystyle (a_ {1} \ otimes b_ {1}) \ cdot (a_ {2} \ otimes b_ {2}) = (a_ {1} \ cdot a_ {2}) \ otimes (b_ {1} \ cdot b_ {2}).}

Por ejemplo,

$${\ displaystyle R [x] \ otimes _ {R} R [y] \ cong R [x, y].}

Un ejemplo particular es cuando A y B son campos que contienen un subcampo R común . El producto tensorial de los campos está estrechamente relacionado con la teoría de Galois : si, por ejemplo, A = R [ x ] / f ( x ) , donde f es un polinomio irreductible con coeficientes en R , el producto tensorial se puede calcular como

$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B \ cong B [x] / f (x)}

donde ahora f se interpreta como el mismo polinomio, pero con sus coeficientes de considerarse como elementos de B . En el campo B más grande , el polinomio puede convertirse en reducible, lo que introduce la teoría de Galois. Por ejemplo, si A = B es una extensión de Galois de R , entonces

$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} A \ cong A [x] / f (x)}

es isomorfo (como una álgebra A ) a la A ^{deg ( f )} .

Eigenconfiguraciones de tensores [ editar ]

Las matrices cuadradas A con entradas en un campo K representan mapas lineales de espacios vectoriales , por ejemplo$${\ displaystyle K ^ {n} \ to K ^ {n}}, y por lo tanto mapas lineales. $${\ displaystyle \ psi: \ mathbb {P} ^ {n-1} \ to \ mathbb {P} ^ {n-1}}de espacios proyectivos sobre$${\ displaystyle K}. Si A noes singular entonces$${\ displaystyle \ psi}está bien definido en todas partes, y los vectores propios de$${\ displaystyle A} corresponden a los puntos fijos de $${\ displaystyle \ psi}. La eigenconfiguración de A consiste en$${\ displaystyle n} puntos en $${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n-1}}, previsto $${\ displaystyle A}Es genérico y K está algebraicamente cerrado . Los puntos fijos de los mapas no lineales son los vectores propios de los tensores. Dejar$${\ displaystyle A = (a_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {d}})} ser un $${\ displaystyle d}Tensor tridimensional del formato. $${\ displaystyle n \ times n \ times \ cdots \ times n} con entradas $${\ displaystyle (a_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {d}})}acostado en un campo algebraicamente cerrado $${\ displaystyle K}de caracteristicas cero. Tal tensor$${\ displaystyle A \ in (K ^ {n}) ^ {\ otimes d}}define mapas polinomiales $${\ displaystyle K ^ {n} \ to K ^ {n}} y $${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n-1} \ to \ mathbb {P} ^ {n-1} con coordenadas

$${\ displaystyle \ psi _ {i} (x_ {1}, ..., x_ {n}) = \ sum _ {j_ {2} = 1} ^ {n} \ sum _ {j_ {3} = 1 } ^ {n} \ cdots \ sum _ {j_ {d} = 1} ^ {n} a_ {ij_ {2} j_ {3} \ cdots j_ {d}} x_ {j_ {2}} x_ {j_ { 3}} \ cdots x_ {j_ {d}} \; \; {\ mbox {for}} i = 1, ..., n}

Así cada uno de los $${\ displaystyle n} coordenadas de $${\ displaystyle \ psi}es un polinomio homogéneo $${\ displaystyle \ psi _ {i}} de grado $${\ displaystyle d-1} en $${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, ..., x_ {n})}. Los vectores propios de$${\ displaystyle A} Son las soluciones de la restricción.

{\ displaystyle {\ mbox {rank}} {\ begin {pmatrix} x_ {1} & x_ {2} & \ cdots & x_ {n} \\\ psi _ {1} (\ mathbf {x}) & \ psi _ {2} (\ mathbf {x}) & \ cdots & \ psi _ {n} (\ mathbf {x}) \ end {pmatrix}} \ leq 1}

y la eigenconfiguración está dada por la variedad de la$${\ displaystyle 2 \ times 2} Menores de esta matriz. ^[11]

Otros ejemplos de productos tensoriales [ editar ]

Producto tensorial de espacios de Hilbert [ editar ]

Artículo principal: Producto tensorial de los espacios de Hilbert.

Los espacios de Hilbert generalizan los espacios vectoriales de dimensión finita a dimensiones infinitamente contables . El producto tensorial todavía está definido; Es el producto tensorial de los espacios de Hilbert .

Producto tensorial topológico [ editar ]

Artículo principal: Producto tensorial topológico.

Cuando la base para un espacio vectorial ya no es contable, entonces la formalización axiomática apropiada para el espacio vectorial es la de un espacio vectorial topológico . El producto tensorial aún está definido, es el producto tensorial topológico .

Producto tensorial de espacios vectoriales graduados [ editar ]

Artículo principal: Espacio de vector graduado § Operaciones en espacios de vector graduado

Algunos espacios vectoriales pueden descomponerse en sumas directas de subespacios. En tales casos, el producto tensorial de dos espacios se puede descomponer en sumas de productos de los subespacios (en analogía con la forma en que la multiplicación se distribuye sobre la suma).

Producto Tensor de representaciones [ editar ]

Artículo principal: Producto tensorial de representaciones.

Los espacios vectoriales dotados de una estructura multiplicativa adicional se denominan álgebras . El producto tensorial de tales álgebras se describe en la regla de Littlewood-Richardson .

Producto tensorial de formas cuadráticas [ editar ]

Artículo principal: Producto tensorial de formas cuadráticas.

Producto tensorial de forma multilineal [ editar ]

Dadas dos formas multilineales. $${\ displaystyle \ scriptstyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {k})} y $${\ displaystyle \ scriptstyle g (x_ {1}, \ dots, x_ {m})} en un espacio vectorial $${\ displaystyle V} sobre el campo $${\ displaystyle K} Su producto tensorial es la forma multilineal.

$${\ displaystyle (f \ otimes g) (x_ {1}, \ dots, x_ {k + m}) = f (x_ {1}, \ dots, x_ {k}) g (x_ {k + 1}, \ dots, x_ {k + m}).}^[12]

Este es un caso especial del producto de los tensores si se ven como mapas multilineales (vea también los tensores como mapas multilineales ). Por lo tanto, los componentes del producto tensorial de formas multilineales pueden ser computados por el producto Kronecker .

Producto tensorial de poleas de modulos [ editar ]

Artículo principal: Gavilla de módulos.

Producto tensorial de los paquetes de líneas [ editar ]

Artículo principal: Vector bundle § Operaciones sobre paquetes vectoriales

Ver también: paquete de producto tensor.

Producto de tensor de campos [ editar ]

Artículo principal: Producto tensor de campos.

Producto tensor de grafos [ editar ]

Artículo principal: Producto tensorial de grafos.

Debe mencionarse que, aunque se denomina "producto tensorial", este no es un producto tensorial de gráficos en el sentido anterior; en realidad es el producto de la categoría teórica en la categoría de gráficos y homomorfismos de gráficos . Sin embargo, en realidad es el producto tensor de Kronecker de las matrices de adyacencia de los gráficos. Compara también la sección Tensor del producto de los mapas lineales de arriba.

Categorías monoides [ editar ]

El ajuste más general para el producto tensorial es la categoría monoidal . Captura la esencia algebraica de la tensoría, sin hacer ninguna referencia específica a lo que se está tensando. Por lo tanto, todos los productos tensoriales pueden expresarse como una aplicación de la categoría monoidal a algún entorno particular, actuando sobre algunos objetos particulares.

Álgebras de cociente [ editar ]

Se pueden construir varios subespacios importantes del álgebra tensorial como cocientes : estos incluyen el álgebra exterior , el álgebra simétrica , el álgebra de Clifford , el álgebra de Weyl y el álgebra universal envolventeen general.

El álgebra exterior se construye a partir del producto exterior . Dado un espacio vectorial V , el producto exterior.$${\ displaystyle V \ wedge V} Se define como

$${\ displaystyle V \ wedge V: = V \ otimes V / (v \ otimes v {\ text {para todos}} v \ en V).}

Tenga en cuenta que cuando el campo subyacente de V no tiene la característica 2, esta definición es equivalente a

$${\ displaystyle V \ wedge V: = V \ otimes V / (v_ {1} \ otimes v_ {2} + v_ {2} \ otimes v_ {1} {\ text {para todos}} v_ {1}, v_ {2} \ en V).}

La imagen de $${\ displaystyle v_ {1} \ otimes v_ {2}} En el producto exterior se suele denotar. $${\ displaystyle v_ {1} \ wedge v_ {2}} y satisface, por construcción, $${\ displaystyle v_ {1} \ wedge v_ {2} = - v_ {2} \ wedge v_ {1}}. Construcciones similares son posibles para$${\ displaystyle V \ otimes \ dots \ otimes V}( n factores), dando lugar a$${\ displaystyle \ Lambda ^ {n} V}, El n º potencia exterior de V . La última noción es la base de las n formas diferenciales .

El álgebra simétrica se construye de manera similar, a partir del producto simétrico.

$${\ displaystyle V \ odot V: = V \ otimes V / (v_ {1} \ otimes v_ {2} -v_ {2} \ otimes v_ {1} {\ text {para todos}} v_ {1}, v_ {2} \ en V).}

Más generalmente

$${\ displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {n} V: = \ underbrace {V \ otimes \ dots \ otimes V} _ {n} / (\ dots \ otimes v_ {i} \ otimes v_ {i + 1} \ otimes \ dots - \ dots \ otimes v_ {i + 1} \ otimes v_ {i} \ otimes \ dots)}

Es decir, en el álgebra simétrica se pueden intercambiar dos vectores adyacentes (y, por lo tanto, todos). Los objetos resultantes se denominan tensores simétricos .

Los álgebras adicionales resultan de la cocción por otros polinomios; El caso general viene dado por las álgebras envolventes universales .

Producto tensorial en programación [ editar ]

Lenguajes de programación de matrices [ editar ]

Los lenguajes de programación de arrays pueden tener este patrón incorporado. Por ejemplo, en APL el producto tensorial se expresa como ○.×(por ejemplo A ○.× Bo A ○.× B ○.× C). En J, el producto tensorial es la forma diádica de */(por ejemplo a */ bo a */ b */ c).

Tenga en cuenta que el tratamiento de J también permite la representación de algunos campos de tensor, como ay bpuede ser funciones en lugar de constantes. Este producto de dos funciones es una función derivada, y si ay bson diferenciables , entonces a */ bes diferenciable.

Sin embargo, este tipo de notación no está universalmente presente en los lenguajes de matriz. Otros lenguajes de matriz pueden requerir un tratamiento explícito de los índices (por ejemplo, MATLAB ) y / o pueden no admitir funciones de orden superior , como el derivado jacobiano (por ejemplo, Fortran / APL).