MATEMÁTICAS - LISTA DE TEMAS DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

álgebra abstracta , un anillo de cociente , también conocido como anillo de factor , anillo de diferencia ^[1] o anillo de clase de residuo , es una construcción bastante similar a los grupos de cociente de la teoría de grupos y los espacios de cociente del álgebra lineal . ^[2] [3] Uno comienza con un anillo R y un ideal bilateral de I en R , y construye un nuevo anillo, el anillo cociente R / I, cuyos elementos son los cosets de I en R sujetos a operaciones especiales + y ⋅ .

Los anillos de cociente son distintos del denominado "campo de cociente", o campo de fracciones , de un dominio integral , así como de los "anillos de cocientes" más generales obtenidos por localización .

Construcción de anillo cociente Formal [ editar ]

Dado un anillo R y una ideales de dos caras que en R , podemos definir una relación de equivalencia ~ en R de la siguiente manera:

un ~ b si y sólo si un - b se encuentra en I .

Usando las propiedades ideales, no es difícil verificar que ~ es una relación de congruencia . En el caso a ~ b , decimos que a y b son módulo I congruente . La clase de equivalencia del elemento a en R está dada por

[ a ] = a + I  : = { a + r  : r en I }.

Esta clase de equivalencia también se escribe a veces como un mod I y llamó a la "clase de residuos de unmódulo I ".

El conjunto de todas estas clases de equivalencia se denota por R / I ; se convierte en un anillo, el anillo factorial o anillo cociente de R módulo I , si se define

• ( a + I ) + ( b + I ) = ( a + b ) + I ;
• ( Un + I ) ( b + I ) = ( un b ) + I .

(Aquí hay que verificar que estas definiciones estén bien definidas . Compare el grupo de coset y cociente ). El elemento cero de R / I es (0 + I ) = I , y la identidad multiplicativa es (1 + I ) .

El mapa p de R a R / I definido por p ( a ) = a + I es un homomorfismo de anillo suprayectivo , a veces denominado mapa del cociente natural o homomorfismo canónico .

Ejemplos [ editar ]

• El anillo cociente R / {0 } es naturalmente isomorfo a R , y R / R es el anillo cero {0}, ya que, según nuestra definición, para cualquier r en R , tenemos que [ r ] = r + {0} : = { r + b  : b ∈ {0 }} (donde {0} es el anillo cero), que es isomorfo para R en sí. Esto se ajusta a la regla general que cuanto mayor sea el ideal que , cuanto menor sea el anillo cociente R / I . Si yoes un ideal propio de R , es decir, I ≠ R , entonces R / I no es el anillo cero.
• Considere el anillo de los enteros Z y el ideal de los números pares , denotado por 2 Z . Luego, el anillo cociente Z / 2 Z tiene solo dos elementos, cero para los números pares y uno para los números impares; aplicando la definición, [ z ] = z + 2 Z  : = { z + 2 y : 2 y Z 2 Z } , donde 2 Z es el ideal de los números pares. Es naturalmente isomorfo al campo finito con dos elementos, F ₂. Intuitivamente: si piensa que todos los números pares son 0, entonces cada número entero es 0 (si es par) o 1 (si es impar y, por lo tanto, difiere de un número par en 1). La aritmética modular es esencialmente aritmética en el anillo cociente Z / n Z (que tiene n elementos).
• Ahora considere el anillo R [ X ] de los polinomios en la variable X con coeficientes reales , y el ideal I = ( X ² + 1) que consiste en todos los múltiplos del polinomio X ² + 1 . El cociente anillo R [ X ] / ( X ² + 1) es naturalmente isomorfo al campo de los números complejos C , con la clase [ X ] que desempeña el papel de la unidad imaginaria i . El motivo: "forzamos" a X ^2.+ 1 = 0 , es decir, X ² = −1 , que es la propiedad definitoria de i .
• Generalizando el ejemplo anterior, los anillos de cociente se usan a menudo para construir extensiones de campo . Supongamos que K es algún campo y f es un polinomio irreducible en K [ X ]. Entonces L = K [ X ] / ( f ) es un campo cuyo polinomio mínimo sobre K es f , que contiene K , así como un elemento x = X + ( f ) .
• Un ejemplo importante del ejemplo anterior es la construcción de los campos finitos. Considere, por ejemplo, el campo F ₃ = Z / 3 Z con tres elementos. El polinomio f ( X ) = X ² + 1 es irreducible sobre F ₃ (ya que no tiene raíz), y podemos construir el anillo cociente F ₃ [ X ] / ( f ) . Este es un campo con 3 ² = 9 elementos, denotado por F ₉ . Los otros campos finitos pueden construirse de manera similar.
• Los anillos de coordenadas de las variedades algebraicas son ejemplos importantes de anillos cocientes en geometría algebraica . Como un caso simple, considere la variedad real V = {( x , y ) | x ² = y ³ } como un subconjunto del plano real R ² . El anillo de funciones polinomiales de valor real definidas en V puede identificarse con el anillo cociente R [ X , Y ] / ( X ² - Y ³ ) , y este es el anillo de coordenadas deV . La variedad V se investiga ahora estudiando su anillo de coordenadas.
• Supongamos que M es un C ^∞ - colector , y p es un punto de M . Considere el anillo R = C ^∞ ( M ) de todos los C ^∞ -Funciones definidos en M y dejar que ser el ideal en R que consiste en aquellas funciones f que son idénticamente cero en algunos vecindad U de p (donde U puede depender f ) . Entonces el cociente anillo R / I es el anillo de gérmenes.de C ^∞ -Funciones en M en p .
• Considere el anillo F de elementos finitos de un hyperreal campo * R . Consiste en todos los números hiperrealistas que se diferencian de un real estándar por una cantidad infinitesimal, o equivalente: de todos los números hiperrealistas x para los cuales existe un entero estándar n con - n < x < n . El conjunto I de todos los números infinitesimales en * R , junto con 0, es un ideal en F , y el anillo cociente F / I es isomorfo a los números reales R . El isomorfismo se induce asociándose a cada elemento.x de F es la parte estándar de x , es decir, el número real único que difiere de x en un infinitesimal. De hecho, se obtiene el mismo resultado, es decir, R , si se comienza con el anillo F de hiperracionales finitos (es decir, la relación de un par de hiperintegrados ), vea la construcción de los números reales .

Planos complejos alternativos [ editar ]

Los cocientes R [ X ] / ( X ) , R [X] / ( X + 1) y R [ X ] / ( X - 1) son todos isomorfos a R y ganan poco interés al principio. Pero tenga en cuenta que R [ X ] / ( X ² ) se denomina plano numérico dual en álgebra geométrica. Consiste solo en binomios lineales como "restos" después de reducir un elemento de R [ X ] en X ² . Este plano complejo alternativo surge como unsubalgebra siempre que el álgebra contenga una línea real y un nilpotente .

Además, el cociente de anillo R [ X ] / ( X ² - 1) se divide en R [ X ] / ( X + 1) y R [ X ] / ( X - 1) , por lo que este anillo se ve a menudo como el directo Resumiendo R ⊕ R . Sin embargo, un número complejo alternativo z = x + y j es sugerido por j como una raíz de X ² - 1 , en comparación con i como la raíz de X ² + 1 = 0 . Este plano delos números de complejo dividido normalizan la suma directa R ' ⊕ R al proporcionar una base {1, j}para 2 espacios donde la identidad del álgebra se encuentra a una distancia unitaria de la unidad. Con esta base, una hipérbola unidad puede compararse con el círculo unitario del plano complejo ordinario .

Cuaterniones y las alternativas [ editar ]

Supongamos que X y Y son dos, no los desplazamientos, indeterminados y formar el álgebra libre R ⟨ X , Y ⟩ . Entonces los cuaterniones de Hamilton de 1843 se pueden lanzar como

$${\ displaystyle \ mathbf {R} \ langle X, Y \ rangle / (X ^ {2} + 1, Y ^ {2} + 1, XY + YX).}

Si Y ² - 1 se sustituye por Y ² + 1 , entonces se obtiene el anillo de cuaterniones divididos . La sustitución de menos por más en ambos binomios cuadráticos también da como resultado quaterniones divididos. La propiedad anti-conmutativa YX = - XY implica que XY tiene como su cuadrado

( XY ) ( XY ) = X ( YX ) Y = - X ( XY ) Y = - XXYY = −1.

Los tres tipos de biquaternions también pueden escribirse como cocientes mediante el uso del álgebra libre con tres indeterminados R ⟨ X , Y , Z ⟩ y construyendo ideales apropiados.

Propiedades [ editar ]

Claramente, si R es un anillo conmutativo , entonces también lo es R / I ; Lo contrario, sin embargo, no es cierto en general.

El mapa del cociente natural p tiene I como su núcleo ; Ya que el núcleo de cada anillo homomorfismo es un ideal de dos caras, podemos afirmar que los ideales bilaterales son precisamente los núcleos de los homomorfismos de anillo.

La relación íntima entre homomorfismos de anillo, granos y anillo cociente se puede resumir como sigue: los homomorfismos anillo definido en R / I son esencialmente los mismos que los homomorfismos anillo definido en R que se desvanecen (es decir, son cero) en la I . Más precisamente: dado un ideal bilateral de I en R y un homomorfismo de anillo f  : R → S cuyo núcleo contiene I , entonces existe precisamente un homomorfismo de anillo g  : R / I → S con gp = f (donde pEs el mapa del cociente natural). El mapa g aquí está dada por la regla bien definida g ([ una ]) = f ( un ) para todos una en R . De hecho, esta propiedad universal se puede utilizar para definir anillos de cociente y sus mapas de cociente natural.

Como consecuencia de lo anterior, uno obtiene la declaración fundamental: cada homomorfismo de anillo f  : R → S induce un isomorfismo de anillo entre el anillo cociente R / ker ( f ) y la imagen im ( f ). (Ver también: teorema fundamental sobre homomorfismos ).

Los ideales de R y R / I están estrechamente relacionados: el mapa del cociente natural proporciona una bijección entre los ideales bilaterales de R que contienen I y los ideales bilaterales de R / I (lo mismo es cierto para la izquierda y para la derecha). ideales). Esta relación entre el ideal de dos lados se extiende a una relación entre los anillos de cociente correspondientes: si M es un ideal de dos lados en R que contiene I , y escribimos M / I para el ideal correspondiente en R / I (es decir,M / I = p ( M ) ), el cociente de los anillos de R / M y( R / I ) / ( M / I ) son naturalmente isomorfo a través de la (bien definidos!) Mapear un + M ↦ ( un + I ) + M / I .

En álgebra conmutativa y geometría algebraica , a menudo se usa la siguiente declaración: si R ≠ {0} es un anillo conmutativo e I es un ideal máximo , entonces el anillo cociente R / I es un campo ; Si I es solo un ideal principal , entonces R / I es solo un dominio integral . Un número de declaraciones similares se refieren propiedades del ideal I a las propiedades del anillo cociente R / I .

El teorema del resto chino establece que, si el ideal I es la intersección (o equivalente, el producto) de los ideales de coprima por pares I ₁ , ..., I _k , entonces el anillo cociente R / I es isomorfo al producto del cociente anillos R / I _p , p = 1, ..., k .

En álgebra , dado un módulo y un submódulo , uno puede construir su módulo cociente . ^[1] [2] Esta construcción, que se describe a continuación, es análoga a cómo se obtiene el anillo de números enteros módulo a número entero n , ver aritmética modular . Es la misma construcción utilizada para grupos de cocientes y anillos de cocientes .

Dado un módulo A sobre un anillo R y un submódulo B de A , el espacio cociente A / B se define por la relación de equivalencia

a ~ b si y solo si b - a está en B ,

para cualquier una y b en A . Los elementos de A / B son las clases de equivalencia [ a ] = { a + b  : b en B }.

La operación de adición en A / B se define para dos clases de equivalencia como la clase de equivalencia de la suma de dos representantes de estas clases; y de la misma manera para la multiplicación por elementos de R . De esta manera, A / B se convierte en un módulo sobre R , denominado módulo cociente . En los símbolos, [ a ] + [ b ] = [ a + b ], y r · [ a ] = [ r · a ], para todos a , b en Ay r en R .

Ejemplos [ editar ]

Considere el anillo R de los números reales , y el R -módulo A = R [ X ], que es el anillo de polinomios con coeficientes reales. Considera el submódulo

B = ( X ² + 1) R [ X ]

de A , es decir, el submódulo de todos los polinomios divisibles por X ² +1. De ello se deduce que la relación de equivalencia determinada por este módulo será

P ( X ) ~ Q ( X ) si y solo si P ( X ) y Q ( X ) dan el mismo resto cuando se divide por X ²  + 1.

Por lo tanto, en el módulo de cociente A / B , X ²  + 1 es igual a 0; lo que uno puede ver A / B como se obtiene deR [ X ] mediante el establecimiento de X ²  módulo + 1 = 0. Este cociente es isomorfo a los números complejos , visto como un módulo sobre los números reales R .