MECÁNICA CLÁSICA

 se llama invariante adiabático . Con esto se quiere decir que si un sistema varía entre dos puntos finales, ya que el tiempo para la variación entre los puntos finales se incrementa hasta el infinito, la variación de un invariante adiabático entre los dos puntos finales se pone a cero.

En termodinámica , un proceso adiabático es un cambio que se produce sin flujo de calor; Puede ser lento o rápido. Un proceso adiabático reversible es un proceso adiabático que ocurre lentamente en comparación con el tiempo para alcanzar el equilibrio. En un proceso adiabático reversible, el sistema está en equilibrio en todas las etapas y la entropía es constante. En la primera mitad del siglo XX, los científicos que trabajaron en física cuántica utilizaron el término "adiabático" para procesos adiabáticos reversibles y, posteriormente, para cualquier cambio gradual de las condiciones que permita al sistema adaptar su configuración. La definición de la mecánica cuántica está más cerca del concepto termodinámico de un proceso cuasiestático y no tiene relación directa con los procesos adiabáticos en la termodinámica.

En mecánica , un cambio adiabático es una deformación lenta del hamiltoniano , donde la tasa de cambio fraccional de la energía es mucho más lenta que la frecuencia orbital. El área encerrada por los diferentes movimientos en el espacio de fase son los invariantes adiabáticos .

En mecánica cuántica , un cambio adiabático es uno que se produce a una velocidad mucho más lenta que la diferencia en la frecuencia entre estados propios de energía. En este caso, los estados de energía del sistema no hacen transiciones, por lo que el número cuántico es un invariante adiabático.

La antigua teoría cuántica se formuló al equiparar el número cuántico de un sistema con su invariante adiabático clásico. Esto determinó la forma de la regla de cuantización de Bohr-Sommerfeld : el número cuántico es el área en el espacio de fase de la órbita clásica.

Termodinámica [ editar ]

En termodinámica, los cambios adiabáticos son aquellos que no aumentan la entropía. Ocurren lentamente en comparación con otras escalas de tiempo características del sistema de interés, ^[1] y permiten el flujo de calor solo entre objetos a la misma temperatura. Para sistemas aislados, un cambio adiabático no permite que el calor fluya hacia adentro o hacia afuera.

Expansión adiabática de un gas ideal [ editar ]

Si un recipiente con un gas ideal se expande instantáneamente, la temperatura del gas no cambia en absoluto, porque ninguna de las moléculas disminuye la velocidad. Las moléculas conservan su energía cinética, pero ahora el gas ocupa un volumen mayor. Sin embargo, si el contenedor se expande lentamente, de modo que la ley de presión del gas ideal se mantenga en cualquier momento, las moléculas de gas pierden energía a la velocidad que funcionan en la pared en expansión. La cantidad de trabajo que realizan es la presión por el área de la pared por el desplazamiento hacia el exterior, que es la presión por el cambio en el volumen del gas:

$${\ displaystyle dW = PdV = {Nk_ {B} T \ over V} dV}

Si no entra calor en el gas, la energía en las moléculas de gas disminuye en la misma cantidad. Por definición, un gas es ideal cuando su temperatura es solo una función de la energía interna por partícula, no del volumen. Asi que

$${\ displaystyle dT = {1 \ sobre NC_ {v}} dE}

Dónde $${\ displaystyle C_ {v}}Es el calor específico a volumen constante. Cuando el cambio de energía se debe completamente al trabajo realizado en la pared, el cambio de temperatura viene dado por:

$${\ displaystyle NC_ {v} dT = -dW = - {N {k_ {B}} T \ over V} dV}

Esto proporciona una relación diferencial entre los cambios de temperatura y volumen, que se pueden integrar para encontrar lo invariante. El constante$${\ displaystyle k_ {B}}es solo un factor de conversión de unidad , que se puede establecer igual a uno:

$${\ displaystyle \, d (C_ {v} N \ log T) = - d (N \ log V)}

Asi que

$${\ displaystyle \, C_ {v} N \ log T + N \ log V}

Es un invariante adiabático, que está relacionado con la entropía.

$${\ displaystyle \, S = C_ {v} N \ log T + N \ log VN \ log N = N \ log (T ^ {C_ {v}} V / N)}

Así que la entropía es un invariante adiabático. El término N  log ( N ) hace que la entropía sea aditiva, por lo que la entropía de dos volúmenes de gas es la suma de las entropías de cada uno.

En una interpretación molecular, S es el logaritmo del volumen de espacio de fase de todos los estados de gas con energía E ( T ) y el volumen V .

Para un gas ideal monoatómico, esto puede verse fácilmente anotando la energía,

$${\ displaystyle E = {1 \ sobre 2m} \ sum _ {k} p_ {k1} ^ {2} + p_ {k2} ^ {2} + p_ {k3} ^ {2}}

Los diferentes movimientos internos del gas con energía total E definen una esfera, la superficie de una bola 3 N-dimensional con radio$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2mE}}}. El volumen de la esfera es.

$${\ displaystyle {2 \ pi ^ {3N / 2} (2mE) ^ {{3N-1} \ sobre 2}} \ sobre {\ Gamma (3N / 2)}},

dónde $${\ displaystyle \ Gamma}Es la función gamma .

Dado que cada molécula de gas puede estar en cualquier lugar dentro del volumen V , el volumen en el espacio de fase ocupado por los estados de gas con energía E es

$${\ displaystyle {2 \ pi ^ {3N / 2} (2mE) ^ {{3N-1} \ sobre 2}} V ^ {N} \ sobre {\ Gamma (3N / 2)}}.

Como las moléculas de gas N son indistinguibles, el volumen del espacio de fase se divide por$${\ displaystyle N! = \ Gamma (N + 1)}, el número de permutaciones de N moléculas.

Usando la aproximación de Stirling para la función gamma, e ignorando los factores que desaparecen en el logaritmo después de tomar N grande,

$${\ displaystyle S = N {\ big (} 3/2 \ log (E) -3/2 \ log (3N / 2) + \ log (V) - \ log (N) {\ big)}}

$${\ displaystyle = N {\ big (} 3/2 \ log (\ scriptstyle {\ frac {2} {3}} \ displaystyle E / N) + \ log (V / N) {\ big)}}

Dado que el calor específico de un gas monoatómico es 3/2, esta es la misma fórmula termodinámica para la entropía.

La ley de Wien: expansión adiabática de una caja de luz [ editar ]

Para una caja de radiación, haciendo caso omiso de la mecánica cuántica, la energía de un campo clásico en equilibrio térmico es infinita , ya que la equipartición exige que cada modo de campo tenga una energía igual en promedio y haya infinitos modos. Esto es físicamente ridículo, ya que significa que toda la energía se filtra en las ondas electromagnéticas de alta frecuencia con el tiempo.

Sin embargo, sin la mecánica cuántica, hay algunas cosas que se pueden decir acerca de la distribución de equilibrio solo de la termodinámica, porque todavía hay una noción de invariancia adiabática que relaciona cajas de diferentes tamaños.

Cuando una caja se expande lentamente, la frecuencia del retroceso de la luz desde la pared se puede calcular a partir del desplazamiento Doppler . Si la pared no se mueve, la luz retrocede a la misma frecuencia. Si la pared se mueve lentamente, la frecuencia de retroceso solo es igual en el marco donde la pared está estacionaria. En el marco donde la pared se está alejando de la luz, la luz que entra es más azul que la luz que sale dos veces el factor de desplazamiento Doppler v / c .

$${\ displaystyle \ Delta f = {2v \ over c} f}

Por otro lado, la energía en la luz también disminuye cuando la pared se está alejando, porque la luz está haciendo un trabajo en la pared por la presión de radiación. Debido a que la luz se refleja, la presión es igual al doble del impulso transportado por la luz, que es E / c . La velocidad a la que trabaja la presión en la pared se encuentra multiplicando por la velocidad:

$${\ displaystyle \, \ Delta E = v {2E \ over c}}

Esto significa que el cambio en la frecuencia de la luz es igual al trabajo realizado en la pared por la presión de radiación. La luz reflejada se cambia tanto en frecuencia como en energía en la misma cantidad:

$${\ displaystyle {\ Delta f \ over f} = {\ Delta E \ over E}}

Dado que mover la pared lentamente debe mantener una distribución térmica fija, la probabilidad de que la luz tenga energía E en la frecuencia f solo debe ser una función de E / f .

Esta función no se puede determinar a partir del razonamiento termodinámico solo, y Wien adivinó la forma que era válida a alta frecuencia. Supuso que la energía promedio en los modos de alta frecuencia fue suprimida por un factor similar a Boltzmann. Esta no es la energía clásica esperada en el modo, que es$${\ displaystyle 1/2 \ beta} por equipartición, pero una suposición nueva e injustificada que se ajusta a los datos de alta frecuencia.

$${\ displaystyle \, \ langle E_ {f} \ rangle = e ^ {- \ beta hf}}

Cuando se agrega el valor esperado en todos los modos en una cavidad, esta es la distribución de Wien , y describe la distribución termodinámica de la energía en un gas clásico de fotones. La Ley de Wien asume implícitamente que la luz está compuesta estadísticamente de paquetes que cambian la energía y la frecuencia de la misma manera. La entropía de un gas Wien se escala como el volumen a la potencia N , donde N es el número de paquetes. Esto llevó a Einstein a sugerir que la luz está compuesta de partículas localizables con energía proporcional a la frecuencia. Luego, a la entropía del gas de Wien se le puede dar una interpretación estadística como el número de posiciones posibles en que pueden estar los fotones.

Mecánica clásica - variables de acción [ editar ]

Supongamos que un hamiltoniano varía lentamente en el tiempo, por ejemplo, un oscilador armónico unidimensional con una frecuencia variable.

$${\ displaystyle H_ {t} (p, x) = {p ^ {2} \ sobre 2m} + {m \ omega (t) ^ {2} x ^ {2} \ sobre 2} \,}

La acción J de una órbita clásica es el área encerrada por la órbita en el espacio de fase.

$${\ displaystyle J = \ int _ {0} ^ {T} p (t) {dx \ over dt} dt \,}

Como J es una integral durante un período completo, es solo una función de la energía. Cuando el Hamiltoniano es constante en el tiempo y J es constante en el tiempo, la variable conjugada canónicamente$${\ displaystyle \ theta} aumenta en el tiempo a un ritmo constante.

$${\ displaystyle {d \ theta \ over dt} = {\ partial H \ over \ partial J} = H \, '(J) \,}

Entonces la constante $${\ displaystyle H \, '} se puede utilizar para cambiar las derivadas de tiempo a lo largo de la órbita a derivadas parciales con respecto a $${\ displaystyle \ theta}en constante J . La diferenciación de la integral para J con respecto a J da una identidad que corrige$${\ displaystyle H \, ':}

$${\ displaystyle {dJ \ over dJ} = 1 = \ int _ {0} ^ {T} {\ bigg (} {\ partial p \ over \ partial J} {dx \ over dt} + p {\ partial \ over \ partial J} {dx \ over dt} {\ bigg)} dt = H \, '\ int _ {0} ^ {T} {\ bigg (} {\ partial p \ over \ partial J} {\ partial x \ over \ partial \ theta} - {\ partial p \ over \ partial \ theta} {\ partial x \ over \ partial J} {\ bigg)} dt \,}

El integrando es el corchete de Poisson de x y p . El corchete de Poisson de dos cantidades conjugadas canónicamente como x y p es igual a 1 en cualquier sistema de coordenadas canónicas. Asi que

$${\ displaystyle 1 = H \, '\ int _ {0} ^ {T} \ {x, p \} \, dt = H \,' \, T \,}

y $${\ displaystyle H \, '}Es el periodo inverso. La variable$${\ displaystyle \ theta}aumenta en una cantidad igual en cada período para todos los valores de J , es una variable de ángulo.

Invariancia adiabática de j

El Hamiltoniano es una función de J solamente, y en el caso simple del oscilador armónico.

$${\ displaystyle \, H = \ omega J \,}

Cuando H no tiene dependencia del tiempo, J es constante. Cuando H varía lentamente en el tiempo, la tasa de cambio de J puede calcularse reexpresando la integral para J

$${\ displaystyle J = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} p {\ partial x \ over \ partial \ theta} d \ theta \,}

El tiempo derivado de esta cantidad es

$${\ displaystyle {dJ \ over dt} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ bigg (} {dp \ over dt} {\ partial x \ over \ partial \ theta} + p {d \ over dt} {\ partial x \ over \ partial \ theta} {\ bigg)} d \ theta \,}

Reemplazo de derivados del tiempo con derivados theta, usando $${\ displaystyle d \ theta = \ omega dt \,} y configuración $${\ displaystyle \ omega: = 1 \,} sin pérdida de generalidad ($${\ displaystyle \ omega} siendo una constante multiplicativa global en el tiempo derivado de la acción), los rendimientos

$${\ displaystyle {dJ \ over dt} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ bigg (} {\ partial p \ over \ partial \ theta} {\ partial x \ over \ partial \ theta} + p {\ partial \ over \ partial \ theta} {\ partial x \ over \ partial \ theta} {\ bigg)} d \ theta \,}

Así que mientras las coordenadas J ,$${\ displaystyle \ theta}no cambian apreciablemente en un período, esta expresión se puede integrar por partes para dar cero. Esto significa que para variaciones lentas, no hay cambio de orden más bajo en el área encerrada por la órbita. Este es el teorema de invariancia adiabática: las variables de acción son invariantes adiabáticas.

Para un oscilador armónico, el área en el espacio de fase de una órbita en la energía E es el área de la elipse de energía constante,

$${\ displaystyle E = {p ^ {2} \ sobre 2m} + {m \ omega ^ {2} x ^ {2} \ sobre 2} \,}

El radio- x de esta elipse es$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2E / \ omega ^ {2} m}}}, Mientras que el p -radius de la elipse es$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2mE}}}. Multiplicando, el área es$${\ displaystyle 2 \ pi E / \ omega}. Entonces, si un péndulo se introduce lentamente, de modo que la frecuencia cambia, la energía cambia en una cantidad proporcional.

Vieja teoría cuántica [ editar ]

Después de que Planck identificó que la ley de Wien puede extenderse a todas las frecuencias, incluso las muy bajas, mediante la interpolación con la ley de equipartición clásica para la radiación, los físicos querían comprender el comportamiento cuántico de otros sistemas.

La ley de radiación de Planck cuantificó el movimiento de los osciladores de campo en unidades de energía proporcionales a la frecuencia:

$${\ displaystyle E = hf = \ hbar \ omega \,}

El cuanto solo puede depender de la energía / frecuencia por invariancia adiabática, y dado que la energía debe ser aditiva al poner las cajas de un extremo a otro, los niveles deben estar espaciados por igual.

Einstein, seguido por Debye, extendió el dominio de la mecánica cuántica considerando los modos de sonido en un sólido como osciladores cuantificados . Este modelo explica por qué el calor específico de los sólidos se acercó a cero a bajas temperaturas, en lugar de permanecer fijo en$${\ displaystyle 3k_ {B}}Según lo predicho por la equiparticiónclásica .

En la conferencia de Solvay , se planteó la cuestión de cuantificar otros movimientos, y Lorentz señaló un problema, conocido como péndulo de Rayleigh-Lorentz . Si considera un péndulo cuántico cuya cuerda se acorta muy lentamente, el número cuántico del péndulo no puede cambiar porque en ningún punto hay una frecuencia lo suficientemente alta como para causar una transición entre los estados. Pero la frecuencia del péndulo cambia cuando la cuerda es más corta, por lo que los estados cuánticos cambian de energía.

Einstein respondió que para una tracción lenta, la frecuencia y la energía del péndulo cambian, pero la proporción se mantiene fija. Esto es análogo a la observación de Wien de que, a cámara lenta de la pared, la relación de energía a frecuencia de las ondas reflejadas es constante. La conclusión fue que las cantidades a cuantificar deben ser invariantes adiabáticos.

Sommerfeld extendió esta línea de argumentación a una teoría general: el número cuántico de un sistema mecánico arbitrario viene dado por la variable de acción adiabática. Como la variable de acción en el oscilador armónico es un número entero, la condición general es:

$${\ displaystyle \ int pdq = nh \,}

Esta condición fue la base de la antigua teoría cuántica , que fue capaz de predecir el comportamiento cualitativo de los sistemas atómicos. La teoría es inexacta para números cuánticos pequeños, ya que mezcla conceptos clásicos y cuánticos. Pero fue un paso medio útil a la nueva teoría cuántica .

Física del plasma [ editar ]

En la física del plasma hay tres invariantes adiabáticos del movimiento de partículas cargadas.

El primer invariante adiabático, μ [ editar ]

El momento magnético de una partícula giratoria,

$${\ displaystyle \ mu = {\ frac {mv _ {\ perp} ^ {2}} {2B}}}

Es una constante del movimiento a todas las órdenes en una expansión en $${\ displaystyle \ omega / \ omega _ {c}}, dónde $${\ displaystyle \ omega}es la velocidad de cualquier cambio experimentado por la partícula, por ejemplo, debido a colisiones o debido a variaciones temporales o espaciales en el campo magnético. En consecuencia, el momento magnético permanece casi constante incluso para cambios a velocidades cercanas a la girofrecuencia. Cuando μ es constante, la energía de las partículas perpendiculares es proporcional a B , por lo que las partículas pueden calentarse aumentando B , pero esto es un reparto de "un disparo" porque el campo no se puede aumentar indefinidamente. Encuentra aplicaciones en espejos magnéticos y botellas magnéticas .

Hay algunas situaciones importantes en las que el momento magnético no es invariante:

• Bombeo magnético : si la frecuencia de colisión es mayor que la frecuencia de bombeo, μ ya no se conserva. En particular, las colisiones permiten un calentamiento neto al transferir parte de la energía perpendicular a la energía paralela.
• Calentamiento del ciclotrón : si B oscila a la frecuencia del ciclotrón, se viola la condición de invariancia adiabática y es posible el calentamiento. En particular, el campo eléctrico inducido gira en fase con algunas de las partículas y las acelera continuamente.
• Cúspides magnéticas : el campo magnético en el centro de una cúspide se desvanece, por lo que la frecuencia del ciclotrón es automáticamente menor que la tasa de cualquier cambio. Por lo tanto, el momento magnético no se conserva y las partículas se dispersan con relativa facilidad en el cono de pérdida .

El segundo invariante adiabático, J [ editar ]

El invariante longitudinal de una partícula atrapada en un espejo magnético ,

$${\ displaystyle J = \ int _ {a} ^ {b} p _ {\ parallel} ds}

donde la integral está entre los dos puntos de inflexión, es también un invariante adiabático. Esto garantiza, por ejemplo, que una partícula en la magnetosfera que se mueve alrededor de la Tierra siempre vuelve a la misma línea de fuerza. La condición adiabática se viola en el bombeo magnético de tiempo de tránsito , donde la longitud de un espejo magnético se oscila a la frecuencia de rebote, lo que resulta en un calentamiento neto.

El tercer invariante adiabático, Φ [ editar ]

El flujo magnético total Φ encerrado por una superficie de deriva es el tercer invariante adiabático, asociado con el movimiento periódico de partículas atrapadas en el espejo que se desplazan alrededor del eje del sistema. Debido a que este movimiento de deriva es relativamente lento, Φ a menudo no se conserva en aplicaciones prácticas.

En la mecánica clásica , la dinámica de análisis , o más brevemente dinámica , se refiere a la relación entre el movimientode los cuerpos y sus causas, es decir, las fuerzas que actúan sobre los cuerpos y las propiedades de los órganos, en particular de masay momento de inercia . La base de la dinámica moderna es la mecánica newtoniana y su reformulación como mecánica lagrangiana y mecánica hamiltoniana .

Historia [ editar ]

El campo tiene una larga e importante historia, como señaló Hamilton : "El desarrollo teórico de las leyes del movimiento de los cuerpos es un problema de tal interés e importancia que ha llamado la atención de todos los eminentes matemáticos desde la invención de la dinámica. como una ciencia matemática de Galileo , y especialmente desde la maravillosa extensión que Newton le dio a esa ciencia ". William Rowan Hamilton, 1834 (Transcrito en Mecánica Clásica por JR Taylor, pág. 237 ^[3] )

Algunos autores (por ejemplo, Taylor (2005) ^[3] y Greenwood (1997) ^[4] ) incluyen la relatividad especial dentro de la dinámica clásica.

Relación con la estática, cinética y la cinemática [ editar ]

Históricamente, hubo tres ramas de la mecánica clásica :

• " Estática " (el estudio del equilibrio y su relación con las fuerzas)
• " Cinética " (el estudio del movimiento y su relación con las fuerzas). ^[5]
• " cinemática " (que trata de las implicaciones de los movimientos observados sin tener en cuenta las circunstancias que los causan). ^[6]

Estos tres temas han sido conectados a la dinámica de varias maneras. Un enfoque combinó la estática y la cinética con el nombre de dinámica, que se convirtió en la rama que trataba con la determinación del movimiento de los cuerpos como resultado de la acción de fuerzas específicas; ^[7] otro enfoque separó las estáticas, y combinó cinética y cinemática bajo la dinámica de la rúbrica. ^[8] [9] Este enfoque es común en los libros de ingeniería sobre mecánica, y todavía es de uso generalizado entre los mecánicos.

Importancia fundamental en ingeniería, disminuyendo el énfasis en física [ editar ]

Hoy en día, la dinámica y la cinemática continúan siendo consideradas los dos pilares de la mecánica clásica. La dinámica aún se incluye en los currículos de ingeniería mecánica, aeroespacial y de otros tipos de ingeniería debido a su importancia en el diseño de máquinas, el diseño de vehículos terrestres, marítimos, aéreos y espaciales y otras aplicaciones. Sin embargo, pocos físicos modernos se preocupan por un tratamiento independiente de "dinámica" o "cinemática", "no importa" estadística "o" cinética ". En cambio, todo el sujeto indiferenciado se conoce como mecánica clásica . De hecho, muchos libros de texto de pregrado y posgrado desde mediados del siglo XX sobre "mecánica clásica" carecen de capítulos titulados "dinámica" o "cinemática".^{[14] [15] [16] [17]} En estos libros, aunque la palabra "dinámica" se usa cuando la aceleración se atribuye a una fuerza, la palabra "cinética" nunca se menciona. Sin embargo, existen excepciones claras. Los ejemplos destacados incluyen las conferencias de Feynman sobre física . ^[18]

Lista de principios de dinámica fundamental

• Las leyes del movimiento de Newton.
  • Inercia
  • Aceleración
  • Impulso
  • Reacción
• La ley de Newton de la gravitación universal.
• Teoría especial de la relatividad.

Axiomas y tratamientos matemáticos [ editar ]

• Principios variacionales y mecánica lagrangiana.
• Mecánica hamiltoniana
• Transformaciones canónicas
• Hamilton – Jacobi Theory

Ramas de ingeniería relacionadas [ editar ]

• Dinámica de partículas
• Dinámica del cuerpo rígido
• Mecánica de deformación
• Dinámica de fluidos
  • Hidrodinamica
  • Dinámica de gas
  • Aerodinámica

Temas relacionados [ editar ]

• Estatica