MECÁNICA CLÁSICA

La energía elástica es la energía mecánica potencial almacenada en la configuración de un material o sistema físico a medida que se realiza el trabajo para distorsionar su volumen o forma. ^{[ cita requerida ]} La energía elástica ocurre cuando los objetos se comprimen y estiran, o generalmente se deforman de cualquier manera. La teoría de la elasticidad desarrolla principalmente formalismos para la mecánica de cuerpos sólidos y materiales. ^[1] (Sin embargo, tenga en cuenta que el trabajo realizado por una banda elástica no es un ejemplo de energía elástica. Es un ejemplo de elasticidad entrópica ). La ecuación de energía potencial elástica se utiliza en los cálculos de posiciones de equilibrio mecánico.. La energía es potencial, ya que se convertirá en la segunda forma de energía, como la cinética .

$${\ displaystyle U = {\ frac {1} {2}} k \ Delta x ^ {2} \,}

La esencia de la elasticidad es la reversibilidad. Las fuerzas aplicadas a un material elástico transfieren energía al material que, al ceder esa energía a su entorno, puede recuperar su forma original. Sin embargo, todos los materiales tienen límites al grado de distorsión que pueden soportar sin romperse o alterar irreversiblemente su estructura interna. Por lo tanto, las caracterizaciones de los materiales sólidos incluyen la especificación, generalmente en términos de deformaciones, de sus límites elásticos. Más allá del límite elástico, un material ya no almacena toda la energía del trabajo mecánico realizado en él en forma de energía elástica.

La energía elástica de o dentro de una sustancia es la energía estática de configuración. Corresponde a la energía almacenada principalmente al cambiar las distancias interatómicas entre los núcleos. La energía térmicaes la distribución aleatoria de la energía cinética dentro del material, lo que resulta en fluctuaciones estadísticas del material sobre la configuración de equilibrio. Sin embargo, hay cierta interacción. Por ejemplo, para algunos objetos sólidos, la torsión, la flexión y otras distorsiones pueden generar energía térmica, haciendo que la temperatura del material aumente. La energía térmica en sólidos a menudo es transportada por ondas elásticas internas, llamadas fonones.. Las ondas elásticas que son grandes en la escala de un objeto aislado generalmente producen vibraciones macroscópicas que carecen de la aleatorización suficiente para que sus oscilaciones sean simplemente el intercambio repetitivo entre la energía potencial (elástica) dentro del objeto y la energía cinética del movimiento del objeto como un todo.

Aunque la elasticidad se asocia más comúnmente con la mecánica de cuerpos sólidos o materiales, incluso la literatura antigua sobre termodinámica clásica define y usa la "elasticidad de un fluido" de maneras compatibles con la definición amplia que se proporciona en la Introducción anterior. ^{[2] : 107 y ss.}

Los sólidos incluyen materiales cristalinos complejos con un comportamiento a veces complicado. Por el contrario, el comportamiento de los fluidos compresibles, y especialmente de los gases, demuestra la esencia de la energía elástica con una complicación insignificante. La fórmula termodinámica simple:$${\ displaystyle dU = -P \, dV \,}donde dU es un cambio infinitesimal en la energía interna recuperable U , P es la presión uniforme (una fuerza por unidad de área) aplicada a la muestra de interés del material, y dV es el cambio infinitesimal en el volumen que corresponde al cambio en la energía interna. El signo menos aparece porque dV es negativo bajo compresión por una presión aplicada positiva que también aumenta la energía interna. Tras la inversión, el trabajo que se realiza mediante un sistema es el negativo de la variación de su energía interna que corresponde a la positiva dVde un volumen creciente. En otras palabras, el sistema pierde energía interna almacenada cuando realiza trabajos en su entorno. La presión es estrés y el cambio volumétrico corresponde al cambio del espaciado relativo de los puntos dentro del material. La relación de tensión-tensión-energía interna de la fórmula anterior se repite en formulaciones para energía elástica de materiales sólidos con estructura cristalina complicada.

Energía potencial elástica en los sistemas mecánicos [ editar ]

Los componentes de los sistemas mecánicos almacenan energía potencial elástica si se deforman cuando se aplican fuerzas al sistema. La energía se transfiere a un objeto por trabajo cuando una fuerza externa desplaza o deforma el objeto. La cantidad de energía transferida es el producto vectorial punto de la fuerza y ​​el desplazamiento del objeto. A medida que las fuerzas se aplican al sistema, se distribuyen internamente a sus componentes. Mientras que parte de la energía transferida puede terminar almacenada como energía cinética de la velocidad adquirida, la deformación de los objetos componentes resulta en energía elástica almacenada.

Un componente prototípico elástico es un resorte en espiral. El rendimiento elástico lineal de un resorte está parametrizado por una constante de proporcionalidad, llamada constante de resorte. Esta constante suele denotarse como k (véase también la Ley de Hooke ) y depende de la geometría, el área de la sección transversal, la longitud no deformada y la naturaleza del material a partir del cual se forma la bobina. Dentro de un cierto rango de deformación, k permanece constante y se define como la relación negativa de desplazamiento a la magnitud de la fuerza de restauración producida por el resorte en ese desplazamiento.

$${\ displaystyle k = - {\ tfrac {F_ {r}} {L-L_ {o}}}}

La longitud deformada, L , puede ser mayor o menor que L _o , la longitud no deformada, por lo que para mantener k positivo, F _r debe darse como un componente vectorial de la fuerza restauradora cuyo signo es negativo para L > L _o y positivo para L < L _o . Si el desplazamiento es abreviado como

$${\ displaystyle (L-L_ {o}) \ rightarrow x \,}

entonces la ley de Hooke se puede escribir en la forma habitual

$${\ displaystyle F_ {r} = \, - k \, x}.

La energía absorbida y almacenada en el resorte puede derivarse utilizando la Ley de Hooke para calcular la fuerza de restauración como una medida de la fuerza aplicada. Esto requiere el supuesto, suficientemente correcto en la mayoría de las circunstancias, de que, en un momento dado, la magnitud de la fuerza aplicada, F _aes igual a la magnitud de la fuerza de restauración resultante, pero su dirección y, por lo tanto, el signo es diferente. En otras palabras, suponga que en cada punto del desplazamiento F _a = k x , donde F _a es el componente de la fuerza aplicada a lo largo de la dirección x

$${\ displaystyle {\ vec {F_ {a}}} \ cdot {\ vec {x}} = F_ {a} \, x.}

Para cada desplazamiento infinitesimal dx , la fuerza aplicada es simplemente kx y el producto de estos es la transferencia infinitesimal de energía al resorte dU . La energía elástica total colocada en el resorte desde el desplazamiento cero hasta la longitud final L es, por lo tanto, la integral

$${\ displaystyle U = \ int _ {0} ^ {L-L_ {o}} {k \ x \ dx} = {\ tfrac {1} {2}} k (L-L_ {o}) ^ {2 }}

Para un material de módulo de Young, Y (igual que el módulo de elasticidad λ ), área de sección transversal, A ₀ , longitud inicial, l ₀ , que se estira por una longitud,$${\ displaystyle \ Delta l}:

$${\ displaystyle U_ {e} = \ int {\ frac {YA_ {0} \ Delta l} {l_ {0}}} \, d \ left (\ Delta l \ right) = {\ frac {YA_ {0} {\ Delta l} ^ {2}} {2l_ {0}}}}

donde U _e es la energía potencial elástica.

La energía potencial elástica por unidad de volumen viene dada por:

$${\ displaystyle {\ frac {U_ {e}} {A_ {0} l_ {0}}} = {\ frac {Y {\ Delta l} ^ {2}} {2l_ {0} ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}} Y {\ varepsilon} ^ {2}}

dónde $${\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ Delta l} {l_ {0}}}} Es la tensión en el material.

En el caso general, la energía elástica viene dada por la energía libre por unidad de volumen f en función de los componentes del tensor de tensión ε _ij

$${\ displaystyle f (\ varepsilon _ {ij}) = {\ frac {1} {2}} \ lambda \ varepsilon _ {ii} ^ {2} + \ mu \ varepsilon _ {ij} ^ {2}}

donde λ y μ son los coeficientes elásticos de Lamé y utilizamos la convención de suma de Einstein . Observando la conexión termodinámica entre los componentes del tensor de tensión y los componentes del tensor de tensión, ^[1]

$${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial \ varepsilon _ {ij}}} \ right) _ {T},}

donde el subíndice T indica que la temperatura se mantiene constante, entonces encontramos que si la ley de Hooke es válida, podemos escribir la densidad de energía elástica como

$${\ displaystyle f = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {ij} \ sigma _ {ij}.}

Sistemas continuos [ editar ]

Un material a granel se puede distorsionar de muchas maneras diferentes: estiramiento, corte, flexión, torsión, etc. Cada tipo de distorsión contribuye a la energía elástica de un material deformado. En coordenadas ortogonales , la energía elástica por unidad de volumen debido a la tensión es, por lo tanto, una suma de contribuciones:

$${\ displaystyle U = {\ frac {1} {2}} C_ {ijkl} \ varepsilon _ {ij} \ varepsilon _ {kl}} ,

dónde $${\ displaystyle C_ {ijkl}}es un tensor de 4º rango , denominado tensor elástico, o a veces de rigidez, que es una generalización de los módulos elásticos de los sistemas mecánicos, y$${\ displaystyle \ varepsilon _ {ij}}es el tensor de tensión ( la notación de suma de Einstein se ha utilizado para implicar la suma sobre índices repetidos). Los valores de$${\ displaystyle C_ {ijkl}}Depende de la estructura cristalina del material. Para un material isotrópico ,$${\ displaystyle C_ {ijkl} = \ lambda \ delta _ {ij} \ delta _ {kl} + \ mu (\ delta _ {ik} \ delta _ {jl} + \ delta _ {il} \ delta _ {jk })}, dónde $${\ displaystyle \ lambda}y $${\ displaystyle \ mu}son las constantes de Lamé , y$${\ displaystyle \ delta _ {ij}}es el delta de Kronecker .

El tensor de tensión en sí mismo se puede definir para reflejar la distorsión de cualquier manera que resulte en invariabilidad en la rotación total, pero la definición más común con respecto a qué tensores elásticos se expresan generalmente define la tensión como la parte simétrica del gradiente de desplazamiento con todos los términos no lineales suprimido

$${\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} = {\ frac {1} {2}} (\ partial _ {i} u_ {j} + \ partial _ {j} u_ {i})}

dónde $${\ displaystyle u_ {i}} es el desplazamiento en un punto de la $${\ displaystyle i ^ {th}} dirección y $${\ displaystyle \ parcial _ {j}} es la derivada parcial en el $${\ displaystyle j ^ {th}}dirección. Tenga en cuenta que:

$${\ displaystyle \ varepsilon _ {jj} = \ parcial _ {j} u_ {j}}

donde no se pretende sumar. Aunque la notación completa de Einstein suma pares de índices elevados y bajos, los valores de los componentes elásticos y del tensor de tensión generalmente se expresan con todos los índices bajos. Por lo tanto, tenga cuidado (como aquí) que en algunos contextos un índice repetido no implica una suma sobre los valores de ese índice ($${\ displaystyle j} en este caso), pero simplemente un componente único de un tensor.

 las ecuaciones de movimiento son ecuaciones que describen el comportamiento de un sistema físico en términos de su movimiento en función del tiempo. ^[1] Más específicamente, las ecuaciones de movimiento describen el comportamiento de un sistema físico como un conjunto de funciones matemáticas en términos de variables dinámicas: normalmente se utilizan coordenadas espaciales y tiempo, pero también son posibles otras, como componentes de momento y tiempo. La elección más general son las coordenadas generalizadas, que pueden ser cualquier variable conveniente característica del sistema físico. ^[2] Las funciones se definen en unaEspacio euclidiano en la mecánica clásica , pero son reemplazados por espacios curvos en la relatividad . Si se conoce la dinámica de un sistema, las ecuaciones son las soluciones a las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de la dinámica.

Hay dos descripciones principales de movimiento: dinámica y cinemática . Dinámica es general, desde momentos, fuerzas y la energía de las partículas se tienen en cuenta. En este caso, a veces el término se refiere a las ecuaciones diferenciales que satisface el sistema (por ejemplo, la segunda ley de Newton o las ecuaciones de Euler-Lagrange ) y, en ocasiones, a las soluciones de esas ecuaciones.

Sin embargo, la cinemática es más sencilla ya que se refiere solo a las variables derivadas de las posiciones de los objetos y el tiempo. En circunstancias de aceleración constante, estas ecuaciones de movimiento más simples se suelen denominar ecuaciones SUVAT , que surgen de las definiciones de cantidades cinemáticas: desplazamiento ( s ), velocidad inicial ( u ), velocidad final ( v ), aceleración ( a ), y el tiempo ( t ).

Las ecuaciones de movimiento pueden, por lo tanto, agruparse bajo estos clasificadores principales de movimiento. En todos los casos, los principales tipos de movimiento son traslaciones , rotaciones , oscilaciones o cualquier combinación de éstas.

Una ecuación diferencial de movimiento, usualmente identificada como alguna ley física y aplicando definicionesde cantidades físicas , se usa para establecer una ecuación para el problema. Resolver la ecuación diferencial conducirá a una solución general con constantes arbitrarias, la arbitrariedad correspondiente a una familia de soluciones. Se puede obtener una solución particular estableciendo los valores iniciales , que corrigen los valores de las constantes.

Para declarar esto formalmente, en general, una ecuación de movimiento M es una función de la posición r del objeto, su velocidad (la primera derivada de r , v = d r/dt ) y su aceleración (la segunda derivada de r , a = d ² r/dt ² ), y tiempo t . Los vectores euclidianos en 3D se indican en negrita. Esto es equivalente a decir una ecuación de movimiento en res una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden (EDO) en r ,

$${\ displaystyle M \ left [\ mathbf {r} (t), \ mathbf {\ dot {r}} (t), \ mathbf {\ ddot {r}} (t), t \ right] = 0 \, ,}

donde t es el tiempo, y cada punto excesivo denota una derivada de tiempo . Las condiciones iniciales están dadas por los valores constantes en t = 0 ,

$${\ displaystyle \ mathbf {r} (0) \ ,, \ quad \ mathbf {\ dot {r}} (0) \ ,.}

La solución r ( t ) a la ecuación de movimiento, con valores iniciales especificados, describe el sistema para todos los tiempos t después de t = 0 . Otras variables dinámicas como el momento p del objeto, o las cantidades derivadas de r y p como el momento angular , pueden usarse en lugar de r como la cantidad a resolver a partir de alguna ecuación de movimiento, aunque la posición del objeto en el tiempo t es, con mucho, la cantidad más buscada.

A veces, la ecuación será lineal y es más probable que sea exactamente solucionable. En general, la ecuación no será lineal y no se podrá resolver exactamente, por lo que se deben usar diversas aproximaciones. Las soluciones a las ecuaciones no lineales pueden mostrar un comportamiento caótico dependiendo de la sensibilidad del sistema a las condiciones iniciales.

Historia [ editar ]

Históricamente, las ecuaciones de movimiento aparecieron por primera vez en la mecánica clásica para describir el movimiento de objetos masivos , una aplicación notable fue la mecánica celeste para predecir el movimiento de los planetas como si orbitaran como un reloj (así fue como se predijo Neptuno antes de su descubrimiento), Y también investigar la estabilidad del sistema solar .

Es importante observar que la gran cantidad de trabajos relacionados con la cinemática, la dinámica y los modelos matemáticos del universo se desarrollaron en pasos pequeños, vacilando, levantándose y corrigiéndose a sí mismos, durante más de tres milenios e incluyeron contribuciones de nombres conocidos y otros que desde entonces se desvaneció de los anales de la historia.

En la antigüedad, a pesar del éxito de los sacerdotes , astrólogos y astrónomos en la predicción de eclipsessolares y lunares , los solsticios y los equinoccios del Sol y el período de la Luna , no había nada más que un conjunto de algoritmos para ayudarlos. A pesar de los grandes avances logrados en el desarrollo de la geometría realizada por los antiguos griegos y los estudios en Roma, tuvimos que esperar otros mil años antes de que llegaran las primeras ecuaciones de movimiento.

La exposición de Europa a las obras recopiladas por los musulmanes de los griegos, los indios y los eruditos islámicos, como los Elementos de Euclides , las obras de Arquímedes y los tratados de Al-Khwārizmī ^[3] comenzó en España y los eruditos De toda Europa fueron a España, leyeron, copiaron y tradujeron el aprendizaje al latín. La exposición de Europa a los números arábigos y su facilidad en los cálculos alentaron primero a los académicos a aprenderlos y luego a los comerciantes, y fortalecieron la difusión del conocimiento en toda Europa.

En el siglo XIII, las universidades de Oxford y París habían llegado, y los académicos estudiaban matemáticas y filosofía con menos preocupaciones sobre las tareas cotidianas de la vida: los campos no estaban tan claramente demarcados como lo están en los tiempos modernos. De estos, compendios y redacciones, como los de Johannes Campanus , de Euclid y Aristóteles, confrontaron a los académicos con ideas sobre el infinito y la teoría de la proporción de elementos como un medio para expresar relaciones entre varias cantidades involucradas con cuerpos en movimiento. Estos estudios llevaron a un nuevo cuerpo de conocimiento que ahora se conoce como física.

De estos institutos, el Merton College albergó a un grupo de académicos dedicados a las ciencias naturales, principalmente física, astronomía y matemáticas, de estatura similar a los intelectuales de la Universidad de París. Thomas Bradwardine , uno de esos estudiosos, extendió cantidades aristotélicas como la distancia y la velocidad, y les asignó intensidad y extensión. Bradwardine sugirió una ley exponencial que involucra fuerza, resistencia, distancia, velocidad y tiempo. Nicholas Oresme extendió los argumentos de Bradwardine. La escuela de Merton demostró que la cantidad de movimiento de un cuerpo que experimenta un movimiento uniformemente acelerado es igual a la cantidad de un movimiento uniforme a la velocidad alcanzada en la mitad del movimiento acelerado.

Para los escritores sobre cinemática anteriores a Galileo , dado que los pequeños intervalos de tiempo no se podían medir, la afinidad entre el tiempo y el movimiento era oscura. Utilizaron el tiempo como una función de la distancia, y en caída libre, mayor velocidad como resultado de una mayor elevación. Sólo Domingo de Soto , teólogo español, en su comentario sobre la física de Aristóteles .publicado en 1545, después de definir el movimiento de "difform uniforme" (que es el movimiento acelerado uniformemente) - la palabra velocidad no se usó - como proporcional al tiempo, declaró correctamente que este tipo de movimiento era identificable con cuerpos y proyectiles que caían libremente, sin su demostrando estas proposiciones o sugiriendo una fórmula que relacione el tiempo, la velocidad y la distancia. Los comentarios de De Soto son sorprendentemente correctos con respecto a las definiciones de aceleración (la aceleración fue una velocidad de cambio de movimiento (velocidad) en el tiempo) y la observación de que durante el movimiento violento de la aceleración de ascenso sería negativa.

Discursos como estos se extendieron por toda Europa y definitivamente influyeron en Galileo y otros, y ayudaron a sentar las bases de la cinemática. ^[4] Galileo dedujo la ecuación s = 1/2 gt ² en su trabajo geométricamente, ^[5] el uso de la regla de Merton , ahora conocido como un caso especial de una de las ecuaciones de la cinemática. No podía usar el razonamiento matemático ahora familiar. Las relaciones entre velocidad, distancia, tiempo y aceleración no se conocían en ese momento.

Galileo fue el primero en mostrar que la trayectoria de un proyectil es una parábola . Galileo entendió la fuerza centrífuga y dio una definición correcta del momento . Este énfasis del impulso como una cantidad fundamental en la dinámica es de primordial importancia. Midió el momento por el producto de la velocidad y el peso; La masa es un concepto posterior, desarrollado por Huygens y Newton. En el balanceo de un péndulo simple, Galileo dice en Discursos ^[6]que "cada impulso adquirido en el descenso a lo largo de un arco es igual al que hace que el mismo cuerpo en movimiento ascienda a través del mismo arco". Su análisis sobre proyectiles indica que Galileo había captado la primera ley y la segunda ley del movimiento. No generalizó ni los hizo aplicables a cuerpos que no están sujetos a la gravitación de la tierra. Ese paso fue la contribución de Newton.

El término "inercia" fue utilizado por Kepler, quien lo aplicó a los cuerpos en reposo. (La primera ley de movimiento ahora se suele llamar ley de inercia).

Galileo no comprendió completamente la tercera ley del movimiento, la ley de la igualdad de acción y reacción, aunque corrigió algunos errores de Aristóteles. Con Stevin y otros, Galileo también escribió sobre estadísticas. Formuló el principio del paralelogramo de fuerzas, pero no reconoció completamente su alcance.

Galileo también se interesó por las leyes del péndulo, cuyas primeras observaciones fueron cuando era joven. En 1583, mientras oraba en la catedral de Pisa, su atención se detuvo con el movimiento de la gran lámpara encendida y se dejó columpiando, haciendo referencia a su propio pulso para controlar el tiempo. Para él, el período parecía el mismo, incluso después de que el movimiento había disminuido enormemente, descubriendo el isocronismo del péndulo.

Experimentos más cuidadosos realizados por él más tarde, y descritos en sus Discursos, revelaron que el período de oscilación varía con la raíz cuadrada de la longitud, pero es independiente de la masa del péndulo.

Así llegamos a René Descartes , Isaac Newton , Gottfried Leibniz , y otros; y las formas evolucionadas de las ecuaciones de movimiento que comienzan a ser reconocidas como las modernas.

Más tarde, las ecuaciones de movimiento también aparecieron en la electrodinámica , al describir el movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos, la fuerza de Lorentz es la ecuación general que sirve como definición de lo que se entiende por campo eléctrico y campo magnético . Con el advenimiento de la relatividad especial y la relatividad general , las modificaciones teóricas del espacio-tiempo significaron que las ecuaciones clásicas del movimiento también se modificaron para tener en cuenta la velocidad finita de la luz y la curvatura del espacio-tiempo.. En todos estos casos, las ecuaciones diferenciales se realizaron en términos de una función que describe la trayectoria de la partícula en términos de coordenadas de espacio y tiempo, según la influencia de las fuerzas o las transformaciones de energía. ^[7]

Sin embargo, las ecuaciones de la mecánica cuántica también pueden considerarse "ecuaciones de movimiento", ya que son ecuaciones diferenciales de la función de onda , que describe cómo se comporta un estado cuántico de manera análoga utilizando las coordenadas de espacio y tiempo de las partículas. Existen análogos de ecuaciones de movimiento en otras áreas de la física, para colecciones de fenómenos físicos que pueden considerarse ondas, fluidos o campos.

Ecuaciones cinemáticas para una partícula [ editar ]

Cantidades cinemáticas [ editar ]

Cantidades cinemáticas de una partícula clásica de masa m : posición r , velocidad v , aceleración a .

Desde la posición instantánea r = r ( t ) , el significado instantáneo en un valor instantáneo del tiempo t , la velocidad instantánea v = v ( t ) y la aceleración a = a ( t )tienen las definiciones generales independientes de coordenadas; ^[8]

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} \ ,, \ quad \ mathbf {a} = {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} \, \!}

Observe que la velocidad siempre apunta en la dirección del movimiento, en otras palabras, para una trayectoria curva es el vector tangente . En términos generales, los derivados de primer orden están relacionados con tangentes de curvas. Aún para caminos curvos, la aceleración se dirige hacia el centro de curvatura del camino. De nuevo, en términos generales, los derivados de segundo orden están relacionados con la curvatura.

Los análogos de rotación son el "vector angular" (ángulo de la partícula que gira alrededor de un eje) θ = θ ( t ) , velocidad angular ω = ω ( t ) y aceleración angular α = α ( t ) :

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}} = \ theta {\ hat {\ mathbf {n}}} \ ,, \ quad {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ theta }}} {dt}} \ ,, \ quad {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ omega}}} {dt}} \ ,,}

donde n̂ es un vector unitario en la dirección del eje de rotación, y θ es el ángulo por el que gira el objeto sobre el eje.

La siguiente relación es válida para una partícula similar a un punto, que orbita alrededor de un eje con velocidad angular ω : ^[9]

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \, \!}

donde r es el vector de posición de la partícula (radial desde el eje de rotación) y v la velocidad tangencial de la partícula. Para un cuerpo rígido con rotación continua , estas relaciones se mantienen para cada punto del cuerpo rígido.

Aceleración uniforme [ editar ]

La ecuación diferencial de movimiento para una partícula de aceleración constante o uniforme en una línea recta es simple: la aceleración es constante, por lo que la segunda derivada de la posición del objeto es constante. Los resultados de este caso se resumen a continuación.

Aceleración translacional constante en línea recta [ editar ]

Estas ecuaciones se aplican a una partícula que se mueve linealmente, en tres dimensiones en una línea recta con aceleración constante . ^[10] Dado que la posición, la velocidad y la aceleración son colineales (paralelas y se encuentran en la misma línea), solo son necesarias las magnitudes de estos vectores, y debido a que el movimiento es a lo largo de una línea recta, el problema se reduce efectivamente de tres dimensiones a uno.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} v & = at + v_ {0} \ quad [1] \\\ end {alineado}}}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} r & = r_ {0} + v_ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} {a} t ^ {2} \ quad [2] \\\ end {alineado }}}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} r & = r_ {0} + {\ tfrac {1} {2}} \ left (v + v_ {0} \ right) t \ quad [3] \\ v ^ {2 } & = v_ {0} ^ {2} + 2a \ left (r-r_ {0} \ right) \ quad [4] \\ r & = r_ {0} + vt - {\ tfrac {1} {2} } {a} t ^ {2} \ quad [5] \\\ end {alineado}}}

dónde:

• r ₀ es la posición inicial de la partícula
• r es la posición final de la partícula
• v ₀ es la velocidad inicial de la partícula
• v es la velocidad final de la partícula
• a es la aceleración de la partícula
• t es el intervalo de tiempo

espectáculo

Derivación

Aquí a es una aceleración constante , o en el caso de cuerpos que se mueven bajo la influencia de la gravedad , se usa la gravedad estándar g . Tenga en cuenta que cada una de las ecuaciones contiene cuatro de las cinco variables, por lo que en esta situación es suficiente conocer tres de las cinco variables para calcular las dos restantes.

En la física elemental, las mismas fórmulas se escriben con frecuencia en diferentes notaciones como:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} v & = u + at \ quad [1] \\ s & = ut + {\ tfrac {1} {2}} at ^ {2} \ quad [2] \\ s & = {\ tfrac {1} {2}} (u + v) t \ quad [3] \\ v ^ {2} & = u ^ {2} + 2as \ quad [4] \\ s & = vt - {\ tfrac { 1} {2}} en ^ {2} \ quad [5] \\\ end {alineado}}}

donde u ha reemplazado v ₀ , s reemplaza r , y s ₀ = 0 . A menudo se les conoce como las ecuaciones SUVAT , donde "SUVAT" es un acrónimo de las variables: s = desplazamiento ( s ₀ = desplazamiento inicial), u = velocidad inicial, v = velocidad final, a = aceleración, t = tiempo. ^[11] [12]

Aceleración lineal constante en cualquier dirección [ editar ]

Trayectoria de una partícula con el vector de posición inicial r ₀ y la velocidad v ₀ , sujetas a una aceleración constante a , las tres cantidades en cualquier dirección, y la posición r ( t ) y la velocidad v ( t ) después del tiempo t .

La posición inicial, la velocidad inicial y los vectores de aceleración no necesitan ser colineales, y toman una forma casi idéntica. La única diferencia es que las magnitudes cuadradas de las velocidades requieren el producto de puntos . Las derivaciones son esencialmente las mismas que en el caso colineal.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {v} & = \ mathbf {a} t + \ mathbf {v} _ {0} \ quad [1] \\\ mathbf {r} & = \ mathbf {r} _ {0} + \ mathbf {v} _ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} \ mathbf {a} t ^ {2} \ quad [2] \\\ mathbf {r} & = \ mathbf {r} _ {0} + {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ mathbf {v} + \ mathbf {v} _ {0} \ right) t \ quad [3] \\ v ^ {2} & = v_ {0} ^ {2} +2 \ mathbf {a} \ cdot \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right) \ quad [4] \\ \ mathbf {r} & = \ mathbf {r} _ {0} + \ mathbf {v} t - {\ tfrac {1} {2}} \ mathbf {a} t ^ {2} \ quad [5] \ \\ end {alineado}}}

aunque la ecuación de Torricelli [4] se puede derivar usando la propiedad distributiva del producto punto como sigue:

$${\ displaystyle v ^ {2} = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} = (\ mathbf {v} _ {0} + \ mathbf {a} t) \ cdot (\ mathbf {v} _ { 0} + \ mathbf {a} t) = v_ {0} ^ {2} + 2t (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {v} _ {0}) + a ^ {2} t ^ {2} }

$${\ displaystyle (2 \ mathbf {a}) \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}) = (2 \ mathbf {a}) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {0} t + {\ tfrac {1} {2}} \ mathbf {a} t ^ {2} \ right) = 2t (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {v} _ {0}) + a ^ {2} t ^ {2} = v ^ {2} -v_ {0} ^ {2}}

$${\ displaystyle \ por lo tanto v ^ {2} = v_ {0} ^ {2} +2 (\ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}))}

Aplicaciones [ editar ]

Los ejemplos elementales y frecuentes en cinemática involucran proyectiles , por ejemplo, una pelota lanzada hacia arriba en el aire. Dada la velocidad inicial u , uno puede calcular qué tan alto viajará la bola antes de que comience a caer. La aceleración es la aceleración local de la gravedad g . En este punto, uno debe recordar que mientras estas cantidades parecen ser escalares , la dirección del desplazamiento, la velocidad y la aceleración son importantes. De hecho, podrían considerarse como vectores unidireccionales. La elección de s estar a la altura de la planta, la aceleración de un debe ser, de hecho, -g , ya que la fuerza de la gravedad Actúa hacia abajo y por lo tanto también la aceleración en el balón debido a ello.

En el punto más alto, la bola estará en reposo: por lo tanto v = 0 . Usando la ecuación [4] en el conjunto anterior, tenemos:

$${\ displaystyle s = {\ frac {v ^ {2} -u ^ {2}} {- 2g}}.

Sustituir y cancelar signos menos da:

$${\ displaystyle s = {\ frac {u ^ {2}} {2g}}.}

Aceleración circular constante [ editar ]

Los análogos de las ecuaciones anteriores se pueden escribir para rotación . De nuevo, todos estos vectores axiales deben ser paralelos al eje de rotación, por lo que solo son necesarias las magnitudes de los vectores,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ omega & = \ omega _ {0} + \ alpha t \\\ theta & = \ theta _ {0} + \ omega _ {0} t + {\ tfrac {1} { 2}} \ alpha t ^ {2} \\\ theta & = \ theta _ {0} + {\ tfrac {1} {2}} (\ omega _ {0} + \ omega) t \\\ omega ^ {2} & = \ omega _ {0} ^ {2} +2 \ alpha (\ theta - \ theta _ {0}) \\ theta & = \ theta _ {0} + \ omega t - {\ tfrac {1} {2}} \ alpha t ^ {2} \\\ end {alineado}}}

donde α es la aceleración angular constante , ω es la velocidad angular , ω ₀ es la velocidad angular inicial, θ es el ángulo girado ( desplazamiento angular ), θ ₀ es el ángulo inicial, y t es el tiempo necesario para rotar desde Estado inicial al estado final.

Movimiento planar general [ editar ]

Artículo principal: Movimiento planar general.

El vector de posición r , siempre apunta radialmente desde el origen.

Vector de velocidad v , siempre tangente a la trayectoria del movimiento.

El vector de aceleración a no es paralelo al movimiento radial, sino que se desplaza por las aceleraciones angular y de Coriolis, no es tangente a la trayectoria, sino que se desplaza por las aceleraciones centrípeta y radial.

Vectores cinemáticos en coordenadas polares planas. Observe que la configuración no está restringida al espacio 2D, sino a un plano en cualquier dimensión superior.

Estas son las ecuaciones cinemáticas de una partícula que atraviesa una trayectoria en un plano, descritas por la posición r = r ( t ) . ^[13] Son simplemente las derivadas de tiempo del vector de posición en coordenadas polares planas que usan las definiciones de cantidades físicas anteriores para la velocidad angular ω y la aceleración angular α . Estas son cantidades instantáneas que cambian con el tiempo.

La posición de la partícula es

$${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} \ left (r (t), \ theta (t) \ right) = r \ mathbf {\ hat {e}} _ {r}}

donde ê _r y ê _θ son los vectores de unidades polares . La diferenciación con respecto al tiempo da la velocidad.

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} {\ frac {dr} {dt}} + r \ omega \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ theta} }

con componente radial dr/dt y un componente adicional rω debido a la rotación. La diferenciación con respecto al tiempo vuelve a obtener la aceleración.

$${\ displaystyle \ mathbf {a} = \ left ({\ frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2}}} - r \ omega ^ {2} \ right) \ mathbf {\ hat {e} } _ {r} + \ left (r \ alpha +2 \ omega {\ frac {dr} {dt}} \ right) \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ theta}}

que irrumpe en la aceleración radial d ² r/dt ² , aceleración centrípeta - rω ² , aceleración de Coriolis 2 ω dr/dt y aceleración angular rα .

Los casos especiales de movimiento descritos en estas ecuaciones se resumen cualitativamente en la tabla a continuación. Dos ya se han discutido anteriormente, en los casos en que los componentes radiales o los componentes angulares son cero, y el componente de movimiento que no es cero describe una aceleración uniforme.

Estado de movimiento	Constante r	r lineal en t	r cuadrática en t	r no lineal en t
Constante θ	Estacionario	Traducción uniforme (velocidad de traducción constante)	Aceleración translacional uniforme	Traducción no uniforme
θ lineal en t	Movimiento angular uniforme en un círculo (velocidad angular constante)	Movimiento angular uniforme en espiral, velocidad radial constante.	Movimiento angular en espiral, aceleración radial constante.	Movimiento angular en espiral, variando la aceleración radial.
θ cuadrática en t	Aceleración angular uniforme en un círculo.	Aceleración angular uniforme en espiral, velocidad radial constante.	Aceleración angular uniforme en espiral, aceleración radial constante.	Aceleración angular uniforme en espiral, aceleración radial variable.
θ no lineal en t	Aceleración angular no uniforme en un círculo.	Aceleración angular no uniforme en espiral, velocidad radial constante.	Aceleración angular no uniforme en espiral, aceleración radial constante.	Aceleración angular no uniforme en espiral, aceleración radial variable.

Movimiento 3D general [ editar ]

Artículo principal: Sistema de coordenadas esféricas.

En el espacio 3D, las ecuaciones en coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) con los correspondientes vectores unitarios ê _r , ê _θ y ê _φ , la posición, la velocidad y la aceleración se generalizan respectivamente a

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} \left(t\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}\\\mathbf {v} &=v\mathbf {\hat {e}} _{r}+r\,{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{\theta }+r\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta \mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\\\mathbf {a} &=\left(a-r\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{r}\\&+\left(r{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+2v{\frac {d\theta }{dt}}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }\\&+\left(r{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,\sin \theta +2v\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta +2r\,{\frac {d\theta }{dt}}\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\end{aligned}}\,\!}$

En el caso de una constante φ, esto se reduce a las ecuaciones planas anteriores.

Ecuaciones dinámicas de movimiento [ editar ]

La mecánica de Newton [ editar ]

Artículo principal: Mecánica newtoniana.

La primera ecuación general de movimiento desarrollada fue la segunda ley de movimiento de Newton, en su forma más general indica la tasa de cambio del momento p = p ( t ) = m v ( t ) de un objeto es igual a la fuerza F = F ( x ( t ), v ( t ), t ) actuando sobre él, ^[14]

$${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}}}

La fuerza en la ecuación no es la fuerza que ejerce el objeto. Reemplazando el impulso por la velocidad de los tiempos de masa, la ley también se escribe de manera más famosa como

$${\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}

ya que m es una constante en la mecánica newtoniana .

La segunda ley de Newton se aplica a las partículas puntuales y a todos los puntos de un cuerpo rígido . También se aplican a cada punto en una masa continua, como sólidos o fluidos deformables, pero el movimiento del sistema debe tenerse en cuenta, ver el material derivado . En el caso de que la masa no sea constante, no es suficiente usar la regla del producto para el tiempo derivado de la masa y la velocidad, y la segunda ley de Newton requiere alguna modificación consistente con la conservación del momento , ver sistema de masa variable .

Puede ser sencillo anotar las ecuaciones de movimiento en forma vectorial utilizando las leyes de movimiento de Newton, pero los componentes pueden variar en formas complicadas con las coordenadas espaciales y el tiempo, y resolverlas no es fácil. A menudo hay un exceso de variables para resolver el problema por completo, por lo que las leyes de Newton no siempre son la forma más eficiente de determinar el movimiento de un sistema. En casos simples de geometría rectangular, las leyes de Newton funcionan bien en las coordenadas cartesianas, pero en otros sistemas de coordenadas pueden llegar a ser dramáticamente complejos.

La forma de impulso es preferible, ya que se generaliza fácilmente a sistemas más complejos, generaliza a la relatividad especial y general (ver cuatro momentos ). ^[14] También se puede utilizar con la conservación del impulso. Sin embargo, las leyes de Newton no son más fundamentales que la conservación del impulso, porque las leyes de Newton son simplemente consistentes con el hecho de que la fuerza resultante cero que actúa sobre un objeto implica un impulso constante, mientras que una fuerza resultante implica que el impulso no es constante. La conservación del momento es siempre cierta para un sistema aislado que no está sujeto a fuerzas resultantes.

Para varias partículas (ver muchos problemas del cuerpo ), la ecuación de movimiento para una partícula iinfluenciada por otras partículas es ^[8] [15]

$${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {p} _ {i}} {dt}} = \ mathbf {F} _ {E} + \ sum _ {i \ neq j} \ mathbf {F} _ {ij } \, \!}

donde p _i es el impulso de la partícula i , F _ij es la fuerza sobre la partícula i por la partícula j , y F _E es la fuerza externa resultante debido a cualquier agente que no forma parte del sistema. La partícula i no ejerce una fuerza sobre sí misma.

Las leyes de movimiento de Euler son similares a las leyes de Newton, pero se aplican específicamente al movimiento de cuerpos rígidos . Las ecuaciones de Newton-Euler combinan las fuerzas y los pares que actúan sobre un cuerpo rígido en una sola ecuación.

La segunda ley de Newton para la rotación toma una forma similar al caso de traslación, ^[16]

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} \ ,,}

igualando la par que actúa sobre el cuerpo a la velocidad de cambio de su momento angular L . De manera análoga a la aceleración de los tiempos de masa, el momento del tensor de inercia I depende de la distribución de la masa alrededor del eje de rotación, y la aceleración angular es la velocidad de cambio de la velocidad angular,

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}}.}

De nuevo, estas ecuaciones se aplican a puntos como partículas, o en cada punto de un cuerpo rígido.

Del mismo modo, para una serie de partículas, la ecuación de movimiento para una partícula i es ^[17]

$${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L} _ {i}} {dt}} = {\ boldsymbol {\ tau}} _ {E} + \ sum _ {i \ neq j} {\ boldsymbol {\ tau}} _ {ij} \ ,,}

donde L _i es el momento angular de la partícula i , τ _ij el torque en la partícula i por la partícula j , y τ _E es el torque externo resultante (debido a cualquier agente que no es parte del sistema). La partícula i no ejerce un par sobre sí misma.

Aplicaciones [ editar ]

Algunos ejemplos ^[18] de la ley de Newton incluyen describir el movimiento de un péndulo simple ,

$${\ displaystyle -mg \ sin \ theta = m {\ frac {d ^ {2} (l \ theta)} {dt ^ {2}}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} = - {\ frac {g} {l}} \ sin \ theta \ ,,}

y un oscilador armónico accionado sinusoidalmente, amortiguado ,

$${\ displaystyle F_ {0} \ sin (\ omega t) = m \ left ({\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {0} {\ frac {dx} {dt}} + \ omega _ {0} ^ {2} x \ right) \ ,.}

Para describir el movimiento de las masas debido a la gravedad, la ley de la gravedad de Newton se puede combinar con la segunda ley de Newton. Por dos ejemplos, una bola de masa m lanzada en el aire, en corrientes de aire (como el viento) descrita por un campo vectorial de fuerzas resistivas R = R ( r , t ) ,

$${\ displaystyle - {\ frac {GmM} {| \ mathbf {r} | ^ {2}}} \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} + \ mathbf {R} = m {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} + 0 \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} = - {\ frac {GM} {| \ mathbf {r} | ^ {2}}} \ mathbf {\ hat {e}} _ {r} + \ mathbf {A} \, \!}

donde G es la constante gravitacional , M la masa de la Tierra y A = R/m es la aceleración del proyectil debido a las corrientes de aire en la posición r y el tiempo t .

El problema clásico de N- body para N partículas que interactúan entre sí debido a la gravedad es un conjunto de N ED no acopladas no lineales de segundo orden.

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r} _ {i}} {dt ^ {2}}} = G \ sum _ {i \ neq j} {\ frac {m_ {i} m_ {j}} {| \ mathbf {r} _ {j} - \ mathbf {r} _ {i} | ^ {3}}} (\ mathbf {r} _ {j} - \ mathbf {r} _ { yo})}

donde i = 1, 2, ..., N marca las cantidades (masa, posición, etc.) asociadas con cada partícula.

Mecánica analítica [ editar ]

Artículos principales: Mecánica analítica , mecánica lagrangiana y mecánica hamiltoniana.

A medida que el sistema evoluciona, qtraza un camino a través del espacio de configuración (solo se muestran algunos). La ruta tomada por el sistema (rojo) tiene una acción estacionaria ( δS = 0 ) bajo pequeños cambios en la configuración del sistema ( δ q ). ^[19]

Usar las tres coordenadas del espacio 3D no es necesario si hay restricciones en el sistema. Si el sistema tiene N grados de libertad , entonces se puede usar un conjunto de N coordenadas generalizadas q ( t ) = [ q ₁ ( t ), q ₂ ( t ) ... q _N ( t )] , para definir la configuración del sistema. Pueden ser en forma de longitudes de arco o ángulos.. Son una simplificación considerable para describir el movimiento, ya que aprovechan las restricciones intrínsecas que limitan el movimiento del sistema y el número de coordenadas se reduce al mínimo. Las derivadas temporales de las coordenadas generalizadas son las velocidades generalizadas.

$${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {q}} = {\ frac {d \ mathbf {q}} {dt}} \ ,.}

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son ^[2] [20]

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}}}} \ right) = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {q}}} \ ,,}

donde el Lagrangiano es una función de la configuración q y su tasa de cambio de tiempo d q/dt (y posiblemente el tiempo t )

$${\ displaystyle L = L \ left [\ mathbf {q} (t), \ mathbf {\ dot {q}} (t), t \ right] \ ,.}

Configurando el Lagrangiano del sistema, luego sustituyendo en las ecuaciones y evaluando las derivadas parciales y simplificando, se obtiene un conjunto de N ED de segundo orden acoplado en las coordenadas.

Las ecuaciones de Hamilton son ^[2] [20]

$${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {p}} = - {\ frac {\ partial H} {\ partial \ mathbf {q}}} \ ,, \ quad \ mathbf {\ dot {q}} = + {\ frac {\ partial H} {\ partial \ mathbf {p}}} \ ,,}

donde el hamiltoniano

$${\ displaystyle H = H \ left [\ mathbf {q} (t), \ mathbf {p} (t), t \ right] \ ,,}

Es una función de la configuración qy el conjugado de los momentos "generalizados".

$${\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {\ dot {q}}}} \ ,,}

en la que ∂/∂ q = ( ∂/∂ q ₁ , ∂/∂ q ₂ ,…, ∂/∂ q _N ) es una notación abreviada de un vector de derivadas parciales con respecto a las variables indicadas (ver, por ejemplo , cálculo de matriz para esta notación de denominador), y posiblemente el tiempo t ,

Configurando el Hamiltoniano del sistema, luego sustituyendo en las ecuaciones y evaluando las derivadas parciales y simplificando, se obtiene un conjunto de EDO de 2 N de primer orden acopladas en las coordenadas q _i y momenta p _i .

La ecuación de Hamilton-Jacobi es ^[2]

$${\ displaystyle - {\ frac {\ partial S (\ mathbf {q}, t)} {\ partial t}} = H \ left (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t \ right) \, .}

dónde

$${\ displaystyle S [\ mathbf {q}, t] = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}}, t) \, dt \ ,,}

es la función principal de Hamilton , también llamada la acción clásica es un funcional de L . En este caso, los momentos son dados por

$${\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ partial S} {\ partial \ mathbf {q}}} \ ,.}

Aunque la ecuación tiene una forma general simple, para un Hamiltoniano dado es en realidad una PDE no lineal de primer orden , en N + 1 variables. La acción S permite la identificación de cantidades conservadas para sistemas mecánicos, incluso cuando el propio problema mecánico no se puede resolver completamente, porque cualquier simetría diferenciable de la acción de un sistema físico tiene una ley de conservación correspondiente , un teorema de Emmy Noether .

Todas las ecuaciones clásicas de movimiento pueden derivarse del principio variacional conocido como el principio de acción mínima de Hamilton.

$${\ displaystyle \ delta S = 0 \ ,,}

indicando el camino que el sistema lleva a través del espacio de configuración es la que tiene la menor acción S .

Electrodinámica [ editar ]

Fuerza de Lorentz f sobre una partícula cargada (de carga q ) en movimiento (velocidad instantánea v ). La E de campo y B campovarían en el espacio y el tiempo.

En electrodinámica, la fuerza sobre una partícula cargada de carga q es la fuerza de Lorentz : ^[21]

$${\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) \, \!}

Combinando con la segunda ley de Newton se obtiene una ecuación diferencial de movimiento de primer orden, en términos de posición de la partícula:

$${\ displaystyle m {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}} = q \ left (\ mathbf {E} + {\ frac {d \ mathbf {r}} { dt}} \ times \ mathbf {B} \ right) \, \!}

o su impulso:

$${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} = q \ left (\ mathbf {E} + {\ frac {\ mathbf {p} \ times \ mathbf {B}} {m}} \Correcto)\,\!}

La misma ecuación se puede obtener usando el Lagrangiano (y aplicando las ecuaciones de Lagrange anteriores) para una partícula cargada de masa my carga q : ^[22]

$${\ displaystyle L = {\ tfrac {1} {2}} m \ mathbf {\ dot {r}} \ cdot \ mathbf {\ dot {r}} + q \ mathbf {A} \ cdot {\ dot {\ mathbf {r}}} - q \ phi}

donde A y ϕ son los campos de potencial escalar y vectorial electromagnéticos . El lagrangiano indica un detalle adicional: el impulso canónico en la mecánica lagrangiana está dado por:

$${\ displaystyle \ mathbf {P} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {r}}}}} = m {\ dot {\ mathbf {r}}} + q \ mathbf {UNA} }

en lugar de solo m v , lo que implica que el movimiento de una partícula cargada está fundamentalmente determinado por la masa y la carga de la partícula. La expresión lagrangiana se utilizó por primera vez para derivar la ecuación de fuerza.

Alternativamente el hamiltoniano (y sustituyendo en las ecuaciones): ^[20]

$${\ displaystyle H = {\ frac {\ left (\ mathbf {P} -q \ mathbf {A} \ right) ^ {2}} {2m}} + q \ phi \, \!}

Puede derivar la ecuación de fuerza de Lorentz.

La relatividad general [ editar ]

Ecuación geodésica del movimiento [ editar ]

Las geodésicas en una esferason arcos de grandes círculos(curva amarilla). En un 2D - colector (tales como la esfera se muestra), la dirección de la línea geodésica aceleración se fija únicamente si el vector de separación ξ es ortogonal a la "geodésica fiducial" (curva verde). Cuando el vector de separación ξ ₀cambia a ξ después de una distancia s , las geodésicas no son paralelas (desviación geodésica). ^[23]

Artículos principales: Geodésica en relatividad general y ecuación geodésica.

Las ecuaciones anteriores son válidas en el espaciotiempo plano. En el espacio - espacio espacio curvo , las cosas se vuelven matemáticamente más complicadas ya que no hay una línea recta; esto se generaliza y se reemplaza por una geodésica del espacio-tiempo curvo (la longitud de curva más corta entre dos puntos). Para los colectores curvados con un tensor métrico g , la métrica proporciona la noción de la longitud del arco (vea el elemento de línea para obtener más detalles), la longitud del arco diferencialviene dada por: ^[24]

$${\ displaystyle ds = {\ sqrt {g _ {\ alpha \ beta} dx ^ {\ alpha} dx ^ {\ beta}}}}

y la ecuación geodésica es una ecuación diferencial de segundo orden en las coordenadas, la solución general es una familia de geodésicas: ^[25]

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ mu}} {ds ^ {2}}} = - \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {\ alpha \ beta} {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {ds}} {\ frac {dx ^ {\ beta}} {ds}}}

donde Γ  ^μ _αβ es un símbolo de Christoffel del segundo tipo , que contiene la métrica (con respecto al sistema de coordenadas).

Dada la distribución masa-energía proporcionada por el tensor de tensión-energía T  ^αβ , las ecuaciones de campo de Einstein son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales de segundo orden en la métrica, e implican que la curvatura del espacio-tiempo es equivalente a un campo gravitacional (Ver principio de equivalencia ). La masa que cae en el espacio-tiempo curvo es equivalente a una masa que cae en un campo gravitatorio, porque la gravedad es una fuerza ficticia . La aceleración relativa de una geodésica a otra en el espacio-tiempo curvo viene dada por la ecuación de desviación geodésica :

${\displaystyle {\frac {D^{2}\xi ^{\alpha }}{ds^{2}}}=-R^{\alpha }{}_{\beta \gamma \delta }{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}\xi ^{\gamma }{\frac {dx^{\delta }}{ds}}}$

donde ξ ^α = x ₂ ^α - x ₁ ^α es el vector de separación entre dos geodésicas, D/ds ( no solo d/ds ) es la derivada covariante , y R ^α _βγγ es el tensor de curvatura de Riemann , que contiene los símbolos de Christoffel. En otras palabras, la ecuación de desviación geodésica es la ecuación de movimiento para masas en el espacio-tiempo curvo, análoga a la ecuación de fuerza de Lorentz para cargas en un campo electromagnético. ^[26]

Para el espacio-tiempo plano, la métrica es un tensor constante por lo que los símbolos de Christoffel desaparecen, y la ecuación geodésica tiene las soluciones de líneas rectas. Este es también el caso límite cuando las masas se mueven de acuerdo con la ley de gravedad de Newton .

Objetos giratorios [ editar ]

En la relatividad general, el movimiento de rotación se describe mediante el tensor de momento angular relativista , incluido el tensor de espín , que ingresa en las ecuaciones de movimiento bajo derivadas covariantescon respecto al tiempo apropiado . Las ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon describen el movimiento de los objetos giratorios que se mueven en un campo gravitatorio .

Análogos de ondas y campos [ editar ]

A diferencia de las ecuaciones de movimiento para describir la mecánica de partículas, que son sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas, las ecuaciones análogas que gobiernan la dinámica de las ondasy los campos son siempre ecuaciones diferenciales parciales , ya que las ondas o los campos son funciones del espacio y el tiempo. Para una solución particular, se deben especificar las condiciones de contorno junto con las condiciones iniciales.

A veces, en los contextos siguientes, las ecuaciones de onda o campo también se denominan "ecuaciones de movimiento".

Ecuaciones de campo [ editar ]

Las ecuaciones que describen la dependencia espacial y la evolución temporal de los campos se denominan ecuaciones de campo . Éstos incluyen

• Las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético ,
• La ecuación de Poisson para los potenciales de campo gravitacional o electrostático de Newton .
• la ecuación del campo de Einstein para la gravitación ( la ley de la gravedad de Newton es un caso especial para los campos gravitacionales débiles y las bajas velocidades de las partículas).

Esta terminología no es universal: por ejemplo, aunque las ecuaciones de Navier-Stokes gobiernan el campo de velocidad de un fluido , generalmente no se llaman "ecuaciones de campo", ya que en este contexto representan el momento del fluido y se denominan "ecuaciones de momento". "en cambio.

Ecuaciones de onda [ editar ]

Las ecuaciones de movimiento de onda se llaman ecuaciones de onda . Las soluciones a una ecuación de onda dan la evolución temporal y la dependencia espacial de la amplitud . Las condiciones de frontera determinan si las soluciones describen ondas viajeras u ondas estacionarias .

A partir de ecuaciones clásicas de movimiento y ecuaciones de campo; Se pueden derivar ecuaciones mecánicas, de ondas gravitacionales y de ondas electromagnéticas . La ecuación de onda lineal general en 3D es:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} X} {\ parcial t ^ {2}}} = \ nabla ^ {2} X}

donde X = X ( r , t ) es cualquier amplitud de campo mecánico o electromagnético, digamos: ^[27]

• el desplazamiento transversal o longitudinal de una varilla vibrante, cable, cable, membrana, etc.,
• La presión fluctuante de un medio, la presión del sonido ,
• los campos eléctricos E o D , o los campos magnéticos B o H ,
• la tensión V o la corriente I en un circuito de corriente alterna ,

y v es la velocidad de fase . Las ecuaciones no lineales modelan la dependencia de la velocidad de fase en la amplitud, reemplazando v por v ( X ) . Existen otras ecuaciones de onda lineales y no lineales para aplicaciones muy específicas, consulte, por ejemplo, la ecuación de Korteweg – de Vries .

La teoría cuántica [ editar ]

En la teoría cuántica, aparecen los conceptos de onda y campo.

En la mecánica cuántica , en la que las partículas también tienen propiedades de onda según la dualidad onda-partícula , el análogo de las ecuaciones clásicas del movimiento (ley de Newton, ecuación de Euler-Lagrange, ecuación de Hamilton-Jacobi, etc.) es la ecuación de Schrödinger en Su forma más general:

$${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} = {\ hat {H}} \ Psi \ ,,}

donde Ψ es la función de onda del sistema, Ĥ es el operador hamiltoniano cuántico , en lugar de una función como en la mecánica clásica, y ħ es la constante de Planck dividida por 2 π . Al configurar el Hamiltoniano e insertarlo en la ecuación se obtiene una ecuación de onda, la solución es la función de onda en función del espacio y el tiempo. La ecuación de Schrödinger se reduce a la ecuación de Hamilton-Jacobi cuando se considera el principio de correspondencia , en el límite de que ħ se convierte en cero.

A lo largo de todos los aspectos de la teoría cuántica, relativista o no relativista, existen varias formulacionesalternativas a la ecuación de Schrödinger que rigen la evolución temporal y el comportamiento de un sistema cuántico, por ejemplo:

• la ecuación de movimiento de Heisenberg se asemeja a la evolución temporal de los observables clásicos como funciones de posición, momento y movimiento, si uno reemplaza los observables dinámicos por sus operadores cuánticos y el soporte de Poisson clásico por el conmutador ,
• la formulación del espacio de fase sigue de cerca la mecánica hamiltoniana clásica, colocando la posición y el momento en igualdad de condiciones,
• La formulación integral de la trayectoria de Feynman extiende el principio de acción mínima a la mecánica cuántica y la teoría de campo, poniendo énfasis en el uso de los lagrangianos en lugar de los hamiltonianos.