MECÁNICA CLÁSICA

En la mecánica clásica , las leyes de movimiento de Euler son ecuaciones de movimiento que extienden las leyes de movimiento de Newton para las partículas puntuales al movimiento rígido del cuerpo . ^[1] Fueron formulados por Leonhard Euleraproximadamente 50 años después de que Isaac Newton formuló sus leyes.

Descripción general [ editar ]

De Euler primera ley [ editar ]

La primera ley de Euler establece que el momento lineal de un cuerpo, p (también denotado como G ) es igual al producto de la masa del cuerpo m y la velocidad de su centro de masa v _cm : ^{[1] [2] [3]}

$${\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v} _ {\ rm {cm}}}.

Las fuerzas internas entre las partículas que forman un cuerpo no contribuyen a cambiar el impulso total del cuerpo, ya que existe una fuerza igual y opuesta que no produce un efecto neto. ^[4] La ley también se establece como: ^[4]

$${\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a} _ {\ rm {cm}}}.

donde a _cm = d v _cm/dt es la aceleración del centro de masa y F = d p/dt es la fuerza total aplicada sobre el cuerpo. Esta es solo la derivada temporal de la ecuación anterior ( m es una constante).

De Euler segunda ley [ editar ]

La segunda ley de Euler establece que la tasa de cambio del momento angular L (a veces denotado H ) sobre un punto que se fija en un marco de referencia inercial (a menudo el centro de masa del cuerpo), es igual a la suma de los momentos externos de fuerza ( pares ) que actúan sobre ese cuerpo M (también denotado como τo Γ ) sobre ese punto: ^{[1] [2] [3]}

$${\ displaystyle \ mathbf {M} = {d \ mathbf {L} \ over dt}}.

Tenga en cuenta que la fórmula anterior se mantiene solo si tanto M como L se calculan con respecto a un marco de inercia fijo o un marco paralelo al marco de inercia pero fijo en el centro de masa. Para cuerpos rígidos que se traducen y giran solo en 2D, esto se puede expresar como: ^[5]

$${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {r} _ {\ rm {cm}} \ times \ mathbf {a} _ {\ rm {cm}} m + I {\ boldsymbol {\ alpha}}},

donde r _cm es el vector de posición del centro de masa con respecto al punto sobre el cual se suman los momentos, α es la aceleración angular del cuerpo sobre su centro de masa, e I es el momento de inercia del cuerpo sobre su centro de masa. Ver también las ecuaciones de Euler (dinámica de cuerpos rígidos) .

Explicación y derivación [ editar ]

La distribución de las fuerzas internas en un cuerpo deformable no es necesariamente igual en todas partes, es decir, las tensiones varían de un punto a otro. Esta variación de las fuerzas internas en todo el cuerpo se rige por la segunda ley de movimiento de Newton de la conservación del momento lineal y el momento angular , que para su uso más simple se aplican a una partícula de masa pero se extienden en mecánica continua a un cuerpo de masa continuamente distribuida. Para cuerpos continuos estas leyes se llaman leyes de movimiento de Euler.. Si un cuerpo se representa como un conjunto de partículas discretas, cada una gobernada por las leyes de movimiento de Newton, entonces las ecuaciones de Euler pueden derivarse de las leyes de Newton. Sin embargo, las ecuaciones de Euler pueden tomarse como axiomas que describen las leyes del movimiento para cuerpos extendidos, independientemente de cualquier distribución de partículas. ^[6]

La fuerza corporal total aplicada a un cuerpo continuo con masa m , densidad de masa ρ y volumen V , es la integral de volumen integrada sobre el volumen del cuerpo:

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {B} = \ int _ {V} \ mathbf {b} \, dm = \ int _ {V} \ mathbf {b} \ rho \, dV}

donde b es la fuerza que actúa sobre el cuerpo por unidad de masa ( dimensiones de la aceleración, erróneamente llamada "fuerza del cuerpo"), y dm = ρ dV es un elemento de masa infinitesimal del cuerpo.

Las fuerzas del cuerpo y las fuerzas de contacto que actúan sobre el cuerpo conducen a los momentos correspondientes ( pares ) de esas fuerzas en relación con un punto dado. Por lo tanto, el par total aplicado Msobre el origen está dado por

$${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {M} _ {B} + \ mathbf {M} _ {C}}

donde M _B y M _C indican respectivamente los momentos causados ​​por el cuerpo y las fuerzas de contacto.

Por lo tanto, la suma de todas las fuerzas y pares aplicados (con respecto al origen del sistema de coordenadas) que actúan sobre el cuerpo puede darse como la suma de un volumen y una integral de superficie :

$${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ int _ {V} \ mathbf {a} \, dm = \ int _ {V} \ mathbf {a} \ rho \, dV = \ int _ {S} \ mathbf { t} dS + \ int _ {V} \ mathbf {b} \ rho \, dV}

$${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {M} _ {B} + \ mathbf {M} _ {C} = \ int _ {S} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {t} dS + \ int _ {V} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {b} \ rho \, dV.}

donde t = t ( n ) se llama la tracción superficie , integrado sobre la superficie del cuerpo, a su vez, n denota un vector unidad normal y dirigida hacia el exterior a la superficie S .

Sea el sistema de coordenadas ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) un marco de referencia inercial , r el vector de posición de una partícula puntual en el cuerpo continuo con respecto al origen del sistema de coordenadas y v = d r/dt ser el vector de velocidad de dicho punto.

El primer axioma o ley de Euler (ley de equilibrio del momento lineal o equilibrio de fuerzas) establece que, en un marco inercial, la tasa de tiempo de cambio del momento lineal p de una parte arbitraria de un cuerpo continuo es igual a la fuerza F total aplicada que actúa esa porción, y se expresa como

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} & = \ mathbf {F} \\ {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V} \ rho \ mathbf {v} \, dV & = \ int _ {S} \ mathbf {t} dS + \ int _ {V} \ mathbf {b} \ rho \, dV. \\\ end {alineado}}}

El segundo axioma o ley de Euler (ley de equilibrio del momento angular o equilibrio de pares) establece que, en un marco inercial, la tasa de tiempo de cambio del momento angular L de una parte arbitraria de un cuerpo continuo es igual al par motor total aplicado M que actúa sobre esa porción, y se expresa como

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} & = \ mathbf {M} \\ {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V} \ mathbf {r} \ times \ rho \ mathbf {v} \, dV & = \ int _ {S} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {t} dS + \ int _ {V} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {b} \ rho \, dV. \\\ end {alineado}}}

Dónde $${\ displaystyle \ mathbf {v}} es la velocidad, $${\ displaystyle V}El volumen y los derivados de p y L son derivados materiales .

En el problema clásico de la fuerza central de la mecánica clásica , algunas funciones de energía potencial V ( r ) producen movimientos u órbitas que pueden expresarse en términos de funciones bien conocidas, como las funciones trigonométricas y las funciones elípticas . Este artículo describe estas funciones y las soluciones correspondientes para las órbitas.

Problema general [ editar ]

La ecuación de Binet para u (φ) se puede resolver numéricamente para casi cualquier fuerza central F (1 / u ). Sin embargo, solo unas pocas fuerzas dan como resultado fórmulas para u en términos de funciones conocidas. La solución para φ se puede expresar como una integral sobre u

$${\ displaystyle \ varphi = \ varphi _ {0} + {\ frac {L} {\ sqrt {2m}}} \ int ^ {u} {\ frac {du} {\ sqrt {E _ {\ mathrm {tot} } -V (1 / u) - {\ frac {L ^ {2} u ^ {2}} {2m}}}}}}

Se dice que un problema de fuerza central es "integrable" si esta integración se puede resolver en términos de funciones conocidas.

Si la fuerza es una ley de potencia, es decir, si F ( r ) = α r ⁿ , entonces u puede expresarse en términos de funciones circulares y / o funciones elípticas si n es igual a 1, -2, -3 (funciones circulares) y -7, -5, -4, 0, 3, 5, -3/2, -5/2, -1/3, -5/3 y -7/3 (funciones elípticas). ^[1]

Si la fuerza es la suma de una ley cuadrática inversa y un término lineal, es decir, si F ( r ) = α r ^-2 + cr, el problema también se resuelve explícitamente en términos de funciones elípticas de Weierstrass.

Un gato caído modelado como dos partes que giran independientemente gira mientras mantiene un momento angular neto nulo

El problema de la caída del gato es un problema que consiste en explicar la físicasubyacente detrás de la observación del reflejo de enderezamiento del gato : es decir, cómo un cuerpo en caída libre ( gato ) puede cambiar su orientación de manera que pueda enderezarse a sí mismo mientras cae. aterrizar de pie, independientemente de su orientación inicial, y sin violar la ley de conservación del momento angular .

Aunque es divertido y trivial de plantear, la solución del problema no es tan sencilla como su declaración sugiere. La aparente contradicción con la ley de conservación del momento angular se resuelve porque el gato no es un cuerpo rígido , sino que se le permite cambiar su forma durante la caída debido a la espina dorsal flexible del gato y la clavícula no funcional . El comportamiento del gato es, por lo tanto, típico de la mecánica de cuerpos deformables .

Historia [ editar ]

El problema de la caída del gato ha despertado el interés de científicos famosos como George Gabriel Stokes , James Clerk Maxwell y Étienne-Jules Marey . En una carta a su esposa, Katherine Mary Clerk Maxwell, Maxwell escribió: "Hay una tradición en Trinity que, cuando estuve aquí, descubrí un método para arrojar un gato para que no se encienda y que solía arrojar Los gatos salieron de las ventanas. Tuve que explicar que el objeto adecuado de la investigación era encontrar qué tan rápido se daría la vuelta y que el método adecuado era dejar que el gato cayera sobre una mesa o cama de aproximadamente dos pulgadas, y que incluso Entonces el gato se ilumina sobre sus pies ". ^[1]Se estimó que el interés de Maxwell y otros científicos con el llamado "giro de gato" causó la muerte de muchos gatos después de ser arrojado desde ventanas de edificios de varios pisos. ^{[ cita requerida ]} Maxwell, en particular, estaba interesado en descubrir la altura precisa de la que era necesario dejar caer a un gato para que el gato fuera incapaz de utilizar su reflejo de enderezamiento para aterrizar, un esfuerzo en el que finalmente tuvo éxito.

Mientras que el problema de la caída del gato fue considerado como una simple curiosidad por Maxwell, Stokes y otros, Étienne-Jules Marey realizó un estudio más riguroso del problema y aplicó la cronofotografía para capturar el descenso del gato en una película con una pistola cronofotográfica. El arma, capaz de capturar 12 cuadros por segundo, produjo imágenes a partir de las cuales Marey dedujo que, como el gato no tenía un movimiento de rotación al comienzo de su descenso, el gato no estaba "haciendo trampa" al usar la mano del cuidador del gato como un punto de apoyo . Esto en sí mismo planteaba un problema, ya que implicaba que era posible que un cuerpo en caída libre adquiriera momento angular. Marey también mostró que la resistencia del aire. No jugó ningún papel en facilitar el enderezamiento del cuerpo del gato.

Cat Falling : imágenes que aparecieron en la revistaNature en 1894, capturadas por una pistola cronofotográfica, un dispositivo delpropio inventodeMarey . El editor de Nature escribió: "La expresión de dignidad ofendida mostrada por el gato al final de la primera serie indica una falta de interés en la investigación científica".

Sus investigaciones se publicaron posteriormente en Comptes Rendus , ^[2] y un resumen de sus hallazgos se publicó en la revista Nature . ^[3] El resumen del artículo en Nature apareció así:

M. Marey cree que es la inercia de su propia masa que el gato utiliza para enderezarse. La pareja de torsión que produce la acción de los músculos de la vértebra actúa primero sobre las patas delanteras que tienen un movimiento de inercia muy pequeño debido a que las patas delanteras están acortadas y presionadas contra el cuello. Sin embargo, las patas traseras, estiradas y casi perpendiculares al eje del cuerpo, poseen un momento de inercia que se opone al movimiento en la dirección opuesta a la que tiende a producir la pareja de torsión. En la segunda fase de la acción, la actitud de los pies se invierte, y es la inercia de la parte delantera que proporciona un punto de apoyo para la rotación de la parte trasera.

A pesar de la publicación de las imágenes, muchos físicos en el momento sostuvieron que el gato todavía estaba "haciendo trampa" al usar la mano del operario desde su posición inicial hacia la derecha, ya que el movimiento del gato de lo contrario implicaría que un cuerpo rígido adquiriera un momento angular. ^[4]

Solución [ editar ]

La solución del problema, originalmente debido a Kane & Scher (1969) , modela al gato como un par de cilindros (las mitades delantera y trasera del gato) capaces de cambiar sus orientaciones relativas. Montgomery (1993)más tarde describió el modelo de Kane-Scher en términos de una conexión en el espacio de configuración que encapsula los movimientos relativos de las dos partes del gato permitidas por la física. Enmarcado de esta manera, la dinámica del problema del gato que cae es un ejemplo prototípico de un sistema no holonómico ( Batterman 2003 ), cuyo estudio se encuentra entre las preocupaciones centrales de la teoría del control . Una solución al problema del gato que cae es una curva en el espacio de configuración que estáhorizontal con respecto a la conexión (es decir, es admisible por la física) con configuraciones iniciales y finales prescritas. Encontrar una solución óptima es un ejemplo de planificación de movimiento óptima ( Arbyan & Tsai 1998 ; Ge & Chen 2007 ).

En el lenguaje de la física, la conexión de Montgomery es un cierto campo Yang-Mills en el espacio de configuración, y es un caso especial de una aproximación más general a la dinámica de cuerpos deformables representada por campos de calibración ( Montgomery 1993 ; Batterman 2003 ), siguiendo La obra de Shapere & Wilczek (1987) .