MECÁNICA CLÁSICA

efecto Efimov es un efecto en la mecánica cuántica de sistemas de pocos cuerpos predichos por el físico teórico ruso V. N. Efimov ^[1] [2] en 1970. El efecto de Efimov es donde tres bosones idénticos interactúan, con la predicción de una serie infinita de emociones. niveles de energía de tres cuerpos cuando un estado de dos cuerpos se encuentra exactamente en el umbral de disociación. Un corolario es que existen estados unidos (llamados estados de Efimov ) de tres bosones, incluso si la atracción de dos partículas es demasiado débil para permitir que dos bosones formen un par. Un estado de Efimov (de tres partículas), donde los subsistemas (de dos cuerpos) no están unidos, a menudo se representan simbólicamente por elAnillos borromeos . Esto significa que si se elimina una de las partículas, las dos restantes se deshacen. En este caso, el estado de Efimov también se conoce como estado borromeo.

Teoría [ editar ]

Efecto halo (ojalá cerca de la escala). Efimov predijo este estado de equilibrio y "muñecas rusas de anidación".

Efimov predijo que, a medida que las interacciones entre tres bosones idénticos se aproximan a la resonancia, es decir, a medida que la energía de enlace de algún estado unido de dos cuerpos se acerca a cero o la longitud de dispersión de dicho estado se vuelve infinita, el espectro de tres cuerpos exhibe un infinito secuencia de estados unidos$${\ displaystyle N = 0,1,2, \ ldots} cuyas longitudes de dispersión $${\ displaystyle a_ {N}} y las energías de enlace $${\ displaystyle E_ {N}}cada uno forma una progresión geométrica

$${\ displaystyle a_ {N} = a_ {0} \ lambda ^ {N}}

$${\ displaystyle E_ {N} = E_ {0} \ lambda ^ {- 2N}}

donde la razón común

$${\ displaystyle \ lambda = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {\ pi} /s_{0}}=22.69438\ldots}

Es una constante universal (OEIS OEIS :  A242978 ). ^[1] Aquí

$${\ displaystyle s_ {0} = 1.0062378 \ ldots}

es el orden de la función Bessel modificada de orden imaginario del segundo tipo$${\ displaystyle {\ tilde {K}} _ {s_ {0}} (r / a)}que describe la dependencia radial de la función de onda. En virtud de las condiciones de frontera determinadas por resonancia, es el único valor positivo de$${\ displaystyle s} satisfaciendo la ecuación trascendental

$${\ displaystyle -s \ cosh \ left. {\ tfrac {\ mathrm {\ pi} s} {2}} \ right. + {\ tfrac {8} {\ sqrt {3}}} \ sinh \ left. { \ tfrac {\ mathrm {\ pi} s} {6}} \ right. = 0}.

Resultados experimentales [ editar ]

En 2005, por primera vez, el grupo de investigación de Rudolf Grimm y Hanns-Christoph Nägerl del Instituto de Física Experimental (Universidad de Innsbruck, Austria) confirmó experimentalmente tal estado en un gas ultrafrío de átomos de cesio . En 2006, publicaron sus hallazgos en la revista científica Nature. ^[3] Pruebas experimentales adicionales de la existencia del estado de Efimov han sido entregadas recientemente por grupos independientes. ^[4] Casi 40 años después de la predicción puramente teórica de Efimov, se ha confirmado el comportamiento periódico característico de los estados. ^[5] [6]

El valor experimental más preciso del factor de escalamiento de los estados lo determinó el grupo experimental de Rudolf Grimm en la Universidad de Innsbruck como 21.0 (1.3), ^[7] muy cercano a la predicción original de Efimov.

El interés por los "fenómenos universales" de los gases atómicos fríos sigue creciendo, especialmente debido a los resultados experimentales tan esperados. ^[8] [9] La disciplina de universalidad en los gases atómicos fríos cerca de los estados de Efimov a veces se conoce como "física de Efimov".

En 2014, el grupo experimental de Cheng Chin de la Universidad de Chicago y el grupo de Matthias Weidemüller de la Universidad de Heidelberg observaron los estados de Efimov en una mezcla ultrafría de átomos de litio y cesio , ^[10] [11] que extiende la imagen original de Efimov de Tres bosones idénticos.

Un estado de Efimov existente como un estado excitado de un trímero de helio se observó en un experimento en 2015. ^[12]

Uso [ editar ]

Los estados de Efimov son independientes de la interacción física subyacente y, en principio, pueden observarse en todos los sistemas mecánicos cuánticos (es decir, moleculares, atómicos y nucleares). Los estados son muy especiales debido a su naturaleza "no clásica": el tamaño de cada estado de Efimov de tres partículas es mucho mayor que el rango de fuerza entre los pares de partículas individuales. Esto significa que el estado es puramente mecánico cuántico. Se observan fenómenos similares en los halo-núcleos de dos neutrones , como el litio-11 . (Los núcleos de Halo podrían verse como estados especiales de Efimov, según las definiciones sutiles).

Mientras la radiación de cuerpo negro (no mostrada) no escape a un sistema, los átomos en agitación térmica sufren colisiones esencialmente elásticas. En promedio, dos átomos rebotan entre sí con la misma energía cinética que antes de una colisión. Cinco átomos son de color rojo para que sus trayectorias de movimiento sean más fáciles de ver.

Una colisión elástica es un encuentro entre dos cuerpos en el que la energía cinética total de los dos cuerpos permanece igual. En una colisión ideal, perfectamente elástica, no hay conversión neta de energía cinética en otras formas, como calor, ruido o energía potencial.

Durante la colisión de objetos pequeños, la energía cinética se convierte primero en energía potencial asociada con una fuerza repulsiva entre las partículas (cuando las partículas se mueven contra esta fuerza, es decir, el ángulo entre la fuerza y ​​la velocidad relativa es obtusa), entonces esta energía potencial se convierte de nuevo a energía cinética (cuando las partículas se mueven con esta fuerza, es decir, el ángulo entre la fuerza y ​​la velocidad relativa es aguda).

Las colisiones de átomos son elásticas, por ejemplo, retrodispersión de Rutherford .

Las moléculas , a diferencia de los átomos, de un gas o líquido rara vez experimentan colisiones perfectamente elásticas porque la energía cinética se intercambia entre el movimiento de traslación de las moléculas y sus grados internos de libertad con cada colisión. En cualquier momento, la mitad de las colisiones son, en mayor o menor medida, colisiones inelásticas (el par posee menos energía cinética en sus movimientos de traslación después de la colisión que antes), y la mitad podría describirse como "superelástica" (poseyendo más energía cinética). después de la colisión que antes). Con un promedio de toda la muestra, las colisiones moleculares pueden considerarse esencialmente elásticas siempre queLa ley de Planck prohíbe que los fotones del cuerpo negro se lleven la energía del sistema.

En el caso de los cuerpos macroscópicos, las colisiones perfectamente elásticas son un ideal nunca realizado en su totalidad, pero se aproximan por las interacciones de objetos como las bolas de billar.

Al considerar las energías, la posible energía de rotación antes y / o después de una colisión también puede desempeñar un papel.

Ecuaciones [ editar ]

Newtoniano unidimensional [ editar ]

El profesor Walter Lewin explicando las colisiones elásticas unidimensionales.

Considere las partículas 1 y 2 con masas m ₁ , m ₂ y velocidades u ₁ , u ₂antes de la colisión, v ₁ , v ₂ después de la colisión.

La conservación del impulso total antes y después de la colisión se expresa mediante:

$${\ displaystyle \, \! m_ {1} {\ vec {u}} _ {1} + m_ {2} {\ vec {u}} _ {2} \ = \ m_ {1} {\ vec {v }} _ {1} + m_ {2} {\ vec {v}} _ {2}.}

Asimismo, la conservación de la energía cinética total se expresa mediante:

$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} m_ {1} u_ {1} ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} m_ {2} u_ {2} ^ {2} \ = \ {\ tfrac {1} {2}} m_ {1} v_ {1} ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} m_ {2} v_ {2} ^ {2}.}

Estas ecuaciones se pueden resolver directamente para encontrar $${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}cuando $${\ displaystyle u_ {1}, u_ {2}} son conocidos:

{\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} v_ {1} & = & \ displaystyle {\ frac {m_ {1} -m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} u_ {1 } + {\ frac {2m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} u_ {2} \\ [. 5em] v_ {2} & = & \ displaystyle {\ frac {2m_ {1} } {m_ {1} + m_ {2}}} u_ {1} + {\ frac {m_ {2} -m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} u_ {2} \ fin {formación}}}

o

$${\ displaystyle \ v_ {1} = u_ {1}}

$${\ displaystyle \ v_ {2} = u_ {2}}.

Esta última es la solución trivial, correspondiente a los cuerpos que pasan sin colisión.

Como se puede esperar, la solución es invariante al agregar una constante a todas las velocidades, que es como usar un marco de referencia con una velocidad de traslación constante. De hecho, para derivar las ecuaciones, primero se puede cambiar el marco de referencia de modo que una de las velocidades conocidas sea cero, determinar las velocidades desconocidas en el nuevo marco de referencia y volver a convertir al marco de referencia original.

Ejemplos [ editar ]

Bola 1: masa = 3 kg, velocidad = 4 m / s

Bola 2: masa = 5 kg, velocidad = −6 m / s

Después de la colisión:

Bola 1: velocidad = −8.5 m / s

Bola 2: velocidad = 1.5 m / s

Otra situación:

Colisión elástica de masas desiguales.

Lo siguiente ilustra el caso de igual masa, $${\ displaystyle m_ {1} = m_ {2}}.

Colisión elástica de masas iguales.

Colisión elástica de masas en un sistema con un marco de referencia móvil.

En el caso límite donde $${\ displaystyle m_ {1}} es mucho más grande que $${\ displaystyle m_ {2}}, como una paleta de ping-pong que golpea una pelota de ping-pong o una SUV que golpea un bote de basura, la masa más pesada apenas cambia la velocidad, mientras que la masa más ligera rebota, invirtiendo su velocidad más aproximadamente el doble que la pesada.

En el caso de una gran $${\ displaystyle u_ {1}}, El valor de $${\ displaystyle v_ {1}}es pequeño si las masas son aproximadamente iguales: golpear una partícula mucho más ligera no cambia mucho la velocidad, golpear una partícula mucho más pesada hace que la partícula rápida se recupere a alta velocidad. Esta es la razón por la cual un moderador de neutrones (un medio que ralentiza los neutrones rápidos , convirtiéndolos así en neutrones térmicos capaces de sostener una reacción en cadena ) es un material lleno de átomos con núcleos ligeros que no absorben fácilmente los neutrones: los núcleos más ligeros tienen aproximadamente misma masa que un neutrón .

Derivación de la solución [ editar ]

Para derivar las ecuaciones anteriores para $${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}, reorganizar la energía cinética y las ecuaciones de momento:

$${\ displaystyle \ m_ {1} (v_ {1} ^ {2} -u_ {1} ^ {2}) = m_ {2} (u_ {2} ^ {2} -v_ {2} ^ {2} )}

$${\ displaystyle \ m_ {1} (v_ {1} -u_ {1}) = m_ {2} (u_ {2} -v_ {2})}

Dividiendo cada lado de la ecuación superior por cada lado de la ecuación inferior, y usando $${\ displaystyle {\ tfrac {a ^ {2} -b ^ {2}} {(ab)}} = a + b}, da:

$${\ displaystyle \ v_ {1} + u_ {1} = u_ {2} + v_ {2} \ quad \ Rightarrow \ quad v_ {1} -v_ {2} = u_ {2} -u_ {1}}.

Es decir, la colisión invierte la velocidad relativa de una partícula con respecto a la otra.

Ahora las fórmulas anteriores siguen de la resolución de un sistema de ecuaciones lineales para $${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}con respecto a $${\ displaystyle m_ {1}, m_ {2}, u_ {1}, u_ {2}} como constantes:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {rcrcc} v_ {1} & - & v_ {2} & = & u_ {2} -u_ {1} \\ m_ {1} v_ {1} & + & m_ {2} v_ {2} & = & m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2}. \ End {array}} \ right.}

Una vez $${\ displaystyle v_ {1}} está determinado, $${\ displaystyle v_ {2}} Se puede encontrar por simetría.

Centro de marco de masa [ editar ]

Con respecto al centro de masa, ambas velocidades se invierten por la colisión: una partícula pesada se mueve lentamente hacia el centro de la masa, retrocede con la misma velocidad baja, y una partícula ligera se mueve rápidamente hacia el centro de masa, y rebota Vuelve con la misma alta velocidad.

La velocidad del centro de masa no cambia por la colisión. Para ver esto, considera el centro de masa en el momento$${\ displaystyle \ t} antes de la colisión y el tiempo $${\ displaystyle \ t '} después de la colisión:

$${\ displaystyle {\ bar {x}} (t) = {\ frac {m_ {1} x_ {1} (t) + m_ {2} x_ {2} (t)} {m_ {1} + m_ { 2}}}}

$${\ displaystyle {\ bar {x}} (t ') = {\ frac {m_ {1} x_ {1} (t') + m_ {2} x_ {2} (t ')} {m_ {1} + m_ {2}}}}.

Por lo tanto, las velocidades del centro de masa antes y después de la colisión son:

$${\ displaystyle \ v _ {\ bar {x}} = {\ frac {m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

$${\ displaystyle \ v _ {\ bar {x}} '= {\ frac {m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}.

Los numeradores de $${\ displaystyle \ v _ {\ bar {x}}} y $${\ displaystyle \ v _ {\ bar {x}} '}Son los momentos totales antes y después de la colisión. Dado que se conserva el impulso, tenemos$${\ displaystyle \ v _ {\ bar {x}} = \ v _ {\ bar {x}} '}.

Unidimensional relativista [ editar ]

Según la relatividad especial ,

$${\ displaystyle p = {\ frac {mv} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}

Donde p denota el impulso de cualquier partícula con masa, v denota velocidad, y c es la velocidad de la luz.

En el centro del cuadro de momento donde el momento total es igual a cero,

$${\ displaystyle p_ {1} = - p_ {2}}

$${\ displaystyle p_ {1} ^ {2} = p_ {2} ^ {2}}

$${\ displaystyle {\ sqrt {m_ {1} ^ {2} c ^ {4} + p_ {1} ^ {2} c ^ {2}}} + {\ sqrt {m_ {2} ^ {2} c ^ {4} + p_ {2} ^ {2} c ^ {2}}} = E}

$${\ displaystyle p_ {1} = \ pm {\ frac {\ sqrt {E ^ {4} -2E ^ {2} m_ {1} ^ {2} c ^ {4} -2E ^ {2} m_ {2 } ^ {2} c ^ {4} + m_ {1} ^ {4} c ^ {8} -2m_ {1} ^ {2} m_ {2} ^ {2} c ^ {8} + m_ {2 } ^ {4} c ^ {8}}} {2cE}}}

$${\ displaystyle u_ {1} = - v_ {1}}.

aquí $${\ displaystyle m_ {1}, m_ {2}}Representar las masas en reposo de los dos cuerpos en colisión.$${\ displaystyle u_ {1}, u_ {2}}representar sus velocidades antes de la colisión, $${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}sus velocidades después de la colisión, $${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}}su momento $${\ displaystyle c}es la velocidad de la luzen el vacío, y$${\ displaystyle E} Denota la energía total, la suma de las masas en reposo y las energías cinéticas de los dos cuerpos.

Dado que la energía total y el impulso del sistema se conservan y sus masas en reposo no cambian, se muestra que el impulso del cuerpo en colisión es decidido por las masas en reposo de los cuerpos en colisión, la energía total y el impulso total. En relación con el centro del marco de impulso , el impulso de cada cuerpo en colisión no cambia de magnitud después de la colisión, sino que invierte su dirección de movimiento.

En comparación con la mecánica clásica, que proporciona resultados precisos en el manejo de objetos macroscópicos que se mueven mucho más lentamente que la velocidad de la luz , el impulso total de los dos cuerpos en colisión depende del cuadro. En el centro del marco de impulso , según la mecánica clásica,

$${\ displaystyle m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2} = m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2} = {0} \, \!}

$${\ displaystyle m_ {1} u_ {1} ^ {2} + m_ {2} u_ {2} ^ {2} = m_ {1} v_ {1} ^ {2} + m_ {2} v_ {2} ^ {2} \, \!}

$${\ displaystyle {\ frac {(m_ {2} u_ {2}) ^ {2}} {2m_ {1}}} + {\ frac {(m_ {2} u_ {2}) ^ {2}} { 2m_ {2}}} = {\ frac {(m_ {2} v_ {2}) ^ {2}} {2m_ {1}}} + {\ frac {(m_ {2} v_ {2}) ^ { 2}} {2m_ {2}}} \, \!}

$${\ displaystyle (m_ {1} + m_ {2}) (m_ {2} u_ {2}) ^ {2} = (m_ {1} + m_ {2}) (m_ {2} v_ {2}) ^ {2} \, \!}

$${\ displaystyle u_ {2} = - v_ {2} \, \!}

$${\ displaystyle {\ frac {(m_ {1} u_ {1}) ^ {2}} {2m_ {1}}} + {\ frac {(m_ {1} u_ {1}) ^ {2}} { 2m_ {2}}} = {\ frac {(m_ {1} v_ {1}) ^ {2}} {2m_ {1}}} + {\ frac {(m_ {1} v_ {1}) ^ { 2}} {2m_ {2}}} \, \!}

$${\ displaystyle (m_ {1} + m_ {2}) (m_ {1} u_ {1}) ^ {2} = (m_ {1} + m_ {2}) (m_ {1} v_ {1}) ^ {2} \, \!}

$${\ displaystyle u_ {1} = - v_ {1} \, \!}

Esto concuerda con el cálculo relativista. $${\ displaystyle u_ {1} = - v_ {1}}, a pesar de otras diferencias.

Uno de los postulados en la Relatividad Especial afirma que las leyes de la física, como la conservación del impulso, deben ser invariantes en todos los marcos de referencia inerciales. En un marco general de inercia donde el impulso total podría ser arbitrario,

$${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} \; u_ {1}} {\ sqrt {1-u_ {1} ^ {2} / c ^ {2}}}} + {\ frac {m_ {2} \; u_ {2}} {\ sqrt {1-u_ {2} ^ {2} / c ^ {2}}}} = {\ frac {m_ {1} \; v_ {1}} {\ sqrt { 1-v_ {1} ^ {2} / c ^ {2}}}} + {\ frac {m_ {2} \; v_ {2}} {\ sqrt {1-v_ {2} ^ {2} / c ^ {2}}}} = p_ {T}}

$${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} c ^ {2}} {\ sqrt {1-u_ {1} ^ {2} / c ^ {2}}}} + {\ frac {m_ {2} c ^ {2}} {\ sqrt {1-u_ {2} ^ {2} / c ^ {2}}}} = {\ frac {m_ {1} c ^ {2}} {\ sqrt {1-v_ {1} ^ {2} / c ^ {2}}}} + {\ frac {m_ {2} c ^ {2}} {\ sqrt {1-v_ {2} ^ {2} / c ^ {2 }}}} = E}

Podemos ver los dos cuerpos en movimiento como un sistema del cual el impulso total es $${\ displaystyle p_ {T}}, la energía total es $${\ displaystyle E} y su velocidad $${\ displaystyle v_ {c}}Es la velocidad de su centro de masa. En relación con el centro del cuadro de momento, el momento total es igual a cero. Se puede demostrar que$${\ displaystyle v_ {c}} es dado por:

$${\ displaystyle v_ {c} = {\ frac {p_ {T} c ^ {2}} {E}}}

Ahora las velocidades antes de la colisión en el centro del marco de momento $${\ displaystyle u_ {1} '} y $${\ displaystyle u_ {2} '} son:

$${\ displaystyle u_ {1} '= {\ frac {u_ {1} -v_ {c}} {1 - {\ frac {u_ {1} v_ {c}} {c ^ {2}}}}}}

$${\ displaystyle u_ {2} '= {\ frac {u_ {2} -v_ {c}} {1 - {\ frac {u_ {2} v_ {c}} {c ^ {2}}}}}}

$${\ displaystyle v_ {1} '= - u_ {1}'}

$${\ displaystyle v_ {2} '= - u_ {2}'}

$${\ displaystyle v_ {1} = {\ frac {v_ {1} '+ v_ {c}} {1 + {\ frac {v_ {1}' v_ {c}} {c ^ {2}}}}} }

$${\ displaystyle v_ {2} = {\ frac {v_ {2} '+ v_ {c}} {1 + {\ frac {v_ {2}' v_ {c}} {c ^ {2}}}}} }

Cuando $${\ displaystyle u_ {1} \ ll c} y $${\ displaystyle u_ {2} \ ll c},

$${\ displaystyle p_ {T}} ≈ $${\ displaystyle m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2}}

$${\ displaystyle v_ {c}} ≈ $${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

$${\ displaystyle u_ {1} '} ≈ $${\ displaystyle u_ {1} -v_ {c}} ≈ $${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {1} -m_ {1} u_ {1} -m_ {2} u_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} = {\ frac {m_ {2} (u_ {1} -u_ {2})} {m_ {1} + m_ {2}}}}

$${\ displaystyle u_ {2} '} ≈ $${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} (u_ {2} -u_ {1})} {m_ {1} + m_ {2}}}}

$${\ displaystyle v_ {1} '} ≈ $${\ displaystyle {\ frac {m_ {2} (u_ {2} -u_ {1})} {m_ {1} + m_ {2}}}}

$${\ displaystyle v_ {2} '} ≈ $${\ displaystyle {\ frac {m_ {1} (u_ {1} -u_ {2})} {m_ {1} + m_ {2}}}}

$${\ displaystyle v_ {1}} ≈ $${\ displaystyle v_ {1} '+ v_ {c}} ≈ $${\ displaystyle {\ frac {m_ {2} u_ {2} -m_ {2} u_ {1} + m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} = {\ frac {u_ {1} (m_ {1} -m_ {2}) + 2m_ {2} u_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

$${\ displaystyle v_ {2}} ≈ $${\ displaystyle {\ frac {u_ {2} (m_ {2} -m_ {1}) + 2m_ {1} u_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

Por lo tanto, el cálculo clásico es válido cuando la velocidad de ambos cuerpos en colisión es mucho menor que la velocidad de la luz (~ 300 millones de m / s).

Derivación relativista usando funciones hiperbólicas [ editar ]

Expresamos el llamado parámetro de velocidad. $${\ displaystyle s}:

$${\ displaystyle v / c = {\ mbox {tanh}} (s) = {\ frac {e ^ {s} -e ^ {- s}} {e ^ {s} + e ^ {- s}}} }

por lo tanto obtenemos

$${\ displaystyle e ^ {s} = {\ sqrt {\ frac {c + v} {cv}}}}

La energía y el impulso relativistas se expresan de la siguiente manera:

$${\ displaystyle E = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = mc ^ {2} {\ mbox {cosh}} (s)}

$${\ displaystyle p = {\ frac {mv} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = mc {\ mbox {sinh}} (s) }

Ecuaciones suma de energía y momento de masas en colisión. $${\ displaystyle {m_ {1}}} y $${\ displaystyle {m_ {2}}}, (velocidades$${\ displaystyle {v_ {1}}}, $${\ displaystyle {v_ {2}}}, $${\ displaystyle {u_ {1}}},$${\ displaystyle {u_ {2}}}Corresponden a los parámetros de velocidad. $${\ displaystyle {s_ {1}}}, $${\ displaystyle {s_ {2}}}, $${\ displaystyle {s_ {3}}}, $${\ displaystyle {s_ {4}}}), después de dividir por poder adecuado $${\ displaystyle {c}} son como sigue:

$${\ displaystyle m_ {1} {\ mbox {cosh}} (s_ {1}) + m_ {2} {\ mbox {cosh}} (s_ {2}) = m_ {1} {\ mbox {cosh}} (s_ {3}) + m_ {2} {\ mbox {cosh}} (s_ {4})}

$${\ displaystyle m_ {1} {\ mbox {sinh}} (s_ {1}) + m_ {2} {\ mbox {sinh}} (s_ {2}) = m_ {1} {\ mbox {sinh}} (s_ {3}) + m_ {2} {\ mbox {sinh}} (s_ {4})}

y ecuación dependiente, la suma de las ecuaciones anteriores:

$${\ displaystyle m_ {1} e ^ {s_ {1}} + m_ {2} e ^ {s_ {2}} = m_ {1} e ^ {s_ {3}} + m_ {2} e ^ {s_ {4}}}

restar cuadrados ecuaciones de ambos lados "impulso" de "energía" y usar la identidad $${\ displaystyle {\ mbox {cosh}} ^ {2} (s) - {\ mbox {sinh}} ^ {2} (s) = 1}, después de la simplicidad obtenemos:

$${\ displaystyle 2m_ {1} m_ {2} ({\ mbox {cosh}} (s_ {1}) {\ mbox {sinh}} (s_ {2}) - {\ mbox {cosh}} (s_ {2 }) {\ mbox {sinh}} (s_ {1})) = 2m_ {1} m_ {2} ({\ mbox {cosh}} (s_ {3}) {\ mbox {sinh}} (s_ {4 }) - {\ mbox {cosh}} (s_ {4}) {\ mbox {sinh}} (s_ {3}))}

Para la masa no cero, obtenemos:

$${\ displaystyle {\ mbox {cosh}} (s_ {1} -s_ {2}) = {\ mbox {cosh}} (s_ {3} -s_ {4})}

como funciones $${\ displaystyle {\ mbox {cosh}} (s)} Incluso es que tenemos dos soluciones:

$${\ displaystyle s_ {1} -s_ {2} = s_ {3} -s_ {4}}

$${\ displaystyle s_ {1} -s_ {2} = - s_ {3} + s_ {4}}

a partir de la última ecuación, lo que lleva a una solución no trivial, resolvemos $${\ displaystyle s_ {2}} Y sustituir en la ecuación dependiente, obtenemos $${\ displaystyle e ^ {s_ {1}}} y entonces $${\ displaystyle e ^ {s_ {2}}}, tenemos:

$${\ displaystyle e ^ {s_ {1}} = e ^ {s_ {4}} {\ frac {m_ {1} e ^ {s_ {3}} + m_ {2} e ^ {s_ {4}}} {m_ {1} e ^ {s_ {4}} + m_ {2} e ^ {s_ {3}}}}}

$${\ displaystyle e ^ {s_ {2}} = e ^ {s_ {3}} {\ frac {m_ {1} e ^ {s_ {3}} + m_ {2} e ^ {s_ {4}}} {m_ {1} e ^ {s_ {4}} + m_ {2} e ^ {s_ {3}}}}}

Es una solución al problema, pero expresada por los parámetros de velocidad. La sustitución de retorno para obtener la solución para las velocidades es:

$${\ displaystyle v_ {1} / c = {\ mbox {tanh}} (s_ {1}) = {\ frac {e ^ {s_ {1}} - e ^ {- s_ {1}}} {e ^ {s_ {1}} + e ^ {- s_ {1}}}}}

$${\ displaystyle v_ {2} / c = {\ mbox {tanh}} (s_ {2}) = {\ frac {e ^ {s_ {2}} - e ^ {- s_ {2}}} {e ^ {s_ {2}} + e ^ {- s_ {2}}}}}

Sustituye las soluciones anteriores y reemplaza: $${\ displaystyle e ^ {s_ {3}} = {\ sqrt {\ frac {c + u_ {1}} {c-u_ {1}}}}} y $${\ displaystyle e ^ {s_ {4}} = {\ sqrt {\ frac {c + u_ {2}} {c-u_ {2}}}}}Después de una larga transformación, sustituyendo: $${\ displaystyle Z = {\ sqrt {(1-u_ {1} ^ {2} / c ^ {2}) (1-u_ {2} ^ {2} / c ^ {2})}}} obtenemos:

$${\ displaystyle v_ {1} = {\ frac {2m_ {1} m_ {2} c ^ {2} u_ {2} Z + 2m_ {2} ^ {2} c ^ {2} u_ {2} - ( m_ {1} ^ {2} + m_ {2} ^ {2}) u_ {1} u_ {2} ^ {2} + (m_ {1} ^ {2} -m_ {2} ^ {2}) c ^ {2} u_ {1}} {2m_ {1} m_ {2} c ^ {2} Z-2m_ {2} ^ {2} u_ {1} u_ {2} - (m_ {1} ^ { 2} -m_ {2} ^ {2}) u_ {2} ^ {2} + (m_ {1} ^ {2} + m_ {2} ^ {2}) c ^ {2}}}}

$${\ displaystyle v_ {2} = {\ frac {2m_ {1} m_ {2} c ^ {2} u_ {1} Z + 2m_ {1} ^ {2} c ^ {2} u_ {1} - ( m_ {1} ^ {2} + m_ {2} ^ {2}) u_ {1} ^ {2} u_ {2} + (m_ {2} ^ {2} -m_ {1} ^ {2}) c ^ {2} u_ {2}} {2m_ {1} m_ {2} c ^ {2} Z-2m_ {1} ^ {2} u_ {1} u_ {2} - (m_ {2} ^ { 2} -m_ {1} ^ {2}) u_ {1} ^ {2} + (m_ {1} ^ {2} + m_ {2} ^ {2}) c ^ {2}}}}.

Bidimensional [ editar ]

Para el caso de dos cuerpos en colisión en dos dimensiones, la velocidad total de cada cuerpo debe dividirse en dos velocidades perpendiculares: una tangente a las superficies normales comunes de los cuerpos en colisión en el punto de contacto, la otra a lo largo de la línea de colisión. Dado que la colisión solo imparte fuerza a lo largo de la línea de colisión, las velocidades que son tangentes al punto de colisión no cambian. Las velocidades a lo largo de la línea de colisión pueden usarse en las mismas ecuaciones que una colisión unidimensional. Las velocidades finales se pueden calcular a partir de las dos nuevas velocidades de los componentes y dependerán del punto de colisión. Los estudios de colisiones bidimensionales se llevan a cabo para muchos cuerpos en el marco de un gas bidimensional .

Colisión elástica bidimensional.

En un marco de centro de impulso en cualquier momento, las velocidades de los dos cuerpos están en direcciones opuestas, con magnitudes inversamente proporcionales a las masas. En una colisión elástica estas magnitudes no cambian. Las direcciones pueden cambiar según las formas de los cuerpos y el punto de impacto. Por ejemplo, en el caso de las esferas, el ángulo depende de la distancia entre las trayectorias (paralelas) de los centros de los dos cuerpos. Cualquier cambio de dirección distinto de cero es posible: si esta distancia es cero, las velocidades se invierten en la colisión; si está cerca de la suma de los radios de las esferas, los dos cuerpos están ligeramente desviados.

Suponiendo que la segunda partícula está en reposo antes de la colisión, los ángulos de desviación de las dos partículas, $${\ displaystyle \ vartheta _ {1}} y $${\ displaystyle \ vartheta _ {2}}, se relacionan con el ángulo de desviación $${\ displaystyle \ theta}en el sistema del centro de masa por ^[1]

$${\ displaystyle \ tan \ vartheta _ {1} = {\ frac {m_ {2} \ sin \ theta} {m_ {1} + m_ {2} \ cos \ theta}}, \ qquad \ vartheta _ {2} = {\ frac {{\ pi} - {\ theta}} {2}}.}

Las magnitudes de las velocidades de las partículas después de la colisión son:

$${\ displaystyle v '_ {1} = v_ {1} {\ frac {\ sqrt {m_ {1} ^ {2} + m_ {2} ^ {2} + 2m_ {1} m_ {2} \ cos \ theta}} {m_ {1} + m_ {2}}}, \ qquad v '_ {2} = v_ {1} {\ frac {2m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ sin {\ frac {\ theta} {2}}.}

Colisión bidimensional con dos objetos en movimiento [ editar ]

Los componentes finales de las velocidades x e y de la primera bola se pueden calcular de la siguiente manera: ^[2]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} v '_ {1x} & = {\ frac {v_ {1} \ cos (\ theta _ {1} - \ varphi) (m_ {1} -m_ {2}) + 2m_ {2} v_ {2} \ cos (\ theta _ {2} - \ varphi)} {m_ {1} + m_ {2}}} \ cos (\ varphi) + v_ {1} \ sin (\ theta _ {1} - \ varphi) \ sin (\ varphi) \\ [0.8em] v '_ {1y} & = {\ frac {v_ {1} \ cos (\ theta _ {1} - \ varphi) ( m_ {1} -m_ {2}) + 2m_ {2} v_ {2} \ cos (\ theta _ {2} - \ varphi)} {m_ {1} + m_ {2}}} \ sin (\ varphi ) + v_ {1} \ sin (\ theta _ {1} - \ varphi) \ cos (\ varphi) \ end {alineado}}}

donde v ₁ y v ₂ son los tamaños escalares de las dos velocidades originales de los objetos, m ₁ y m ₂ son sus masas, θ ₁ y θ ₂ son sus ángulos de movimiento, es decir,$${\ displaystyle v_ {1x} = v_ {1} \ cos \ theta _ {1}, \; v_ {1y} = v_ {1} \ sin \ theta _ {1}}(lo que significa que moverse directamente hacia la derecha es un ángulo de -45 ° o un ángulo de 315 °), y phi en minúscula () es el ángulo de contacto. (Para obtener las velocidades x e y de la segunda bola, uno necesita intercambiar todos los subíndices '1' con subíndices '2').

Esta ecuación se deriva del hecho de que la interacción entre los dos cuerpos se calcula fácilmente a lo largo del ángulo de contacto, lo que significa que las velocidades de los objetos se pueden calcular en una dimensión girando los ejes x e y para que sean paralelos al ángulo de contacto del objetos, y luego giró de nuevo a la orientación original para obtener los verdaderos componentes x e y de las velocidades ^{[3] [4] [5] [6] [7] [8]}

En una representación sin ángulo, las velocidades cambiadas se calculan utilizando los centros x ₁ y x ₂ en el momento del contacto como

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {v} '_ {1} & = \ mathbf {v} _ {1} - {\ frac {2m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2} }} \ {\ frac {\ langle \ mathbf {v} _ {1} - \ mathbf {v} _ {2}, \, \ mathbf {x} _ {1} - \ mathbf {x} _ {2} \ rangle} {\ | \ mathbf {x} _ {1} - \ mathbf {x} _ {2} \ | ^ {2}}} \ (\ mathbf {x} _ {1} - \ mathbf {x} _ {2}), \\\ mathbf {v} '_ {2} & = \ mathbf {v} _ {2} - {\ frac {2m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}} } \ {\ frac {\ langle \ mathbf {v} _ {2} - \ mathbf {v} _ {1}, \, \ mathbf {x} _ {2} - \ mathbf {x} _ {1} \ rangle} {\ | \ mathbf {x} _ {2} - \ mathbf {x} _ {1} \ | ^ {2}}} \ (\ mathbf {x} _ {2} - \ mathbf {x} _ {1}) \ end {alineado}}}

donde los corchetes angulares indican el producto interno (o producto de puntos ) de dos vectores.