MECÁNICA CLÁSICA

 sistema de pocos cuerpos consiste en un pequeño número de estructuras bien definidas o partículas puntuales.

Mecánica cuántica [ editar ]

En la mecánica cuántica , los ejemplos de sistemas de pocos cuerpos incluyen sistemas nucleares ligeros (es decir, estados unidos a pocos nucleones y dispersos ), moléculas pequeñas , átomos ligeros (como el helio en un campo eléctrico externo ), colisiones atómicas y puntos cuánticos . Una dificultad fundamental para describir sistemas de pocos cuerpos es que la ecuación de Schrödingery las ecuaciones de movimiento clásicas no son solucionables analíticamente para más de dos partículas que interactúan entre sí, incluso cuando las fuerzas subyacentes son conocidas con precisión. Esto se conoce como el problema de pocos cuerpos. Para algunos sistemas de tres cuerpos se puede obtener iterativamente una solución exacta a través de las ecuaciones de Faddeev . Se puede demostrar que, bajo ciertas condiciones, las ecuaciones de Faddeev deberían llevar al efecto Efimov . Algunos casos especiales de sistemas de tres cuerpos son susceptibles de soluciones analíticas (o casi) mediante tratamientos especiales, como el ión molecular de hidrógeno, cuyas energías propias pueden darse en términos de una función de Lambert W generalizada o el átomo de helio.que se ha resuelto de manera muy precisa utilizando conjuntos básicos de funciones de Hylleraas o Frankowski-Pekeris (véanse las referencias del trabajo de GWF Drake y JD Morgan III en la sección de átomos de helio ).

En muchos casos, la teoría tiene que recurrir a aproximaciones para tratar sistemas de pocos cuerpos. Estas aproximaciones deben ser probadas por datos experimentales detallados. Las colisiones atómicas son particularmente adecuadas para tales pruebas. La fuerza fundamental que subyace a los sistemas atómicos, la fuerza electromagnética, se entiende esencialmente. Por lo tanto, cualquier discrepancia encontrada entre el experimento y la teoría puede relacionarse directamente con la descripción de los efectos de pocos cuerpos. En los sistemas nucleares, en contraste, la fuerza subyacente es mucho menos entendida. Además, en las colisiones atómicas, el número de partículas puede mantenerse lo suficientemente pequeño para que se pueda obtener experimentalmente información cinemática completa sobre cada partícula en el sistema. En sistemas con grandes números de partículas, en contraste,

Mecánica clásica [ editar ]

En la mecánica clásica , el problema de pocos cuerpos es un subconjunto del problema de N cuerpos .

fuerza ficticia (también llamada pseudo fuerza , ^[1] fuerza de d'Alembert , ^[2] [3] o fuerza de inercia ^[4] [5] ) es una fuerzaaparente que actúa sobre todas las masas cuyo movimiento se describe utilizando un no - Marco de referencia inercial , como un marco de referencia giratorio . Algunos ejemplos son las fuerzas que actúan sobre los pasajeros en un automóvil que acelera o frena, y la fuerza que empuja los objetos hacia el borde de una centrífuga.

La fuerza ficticia F se debe a la inercia de un objeto cuando el marco de referencia no se mueve inercialmente y, por lo tanto, comienza a acelerar en relación con el objeto libre. La fuerza ficticia por lo tanto no surge de cualquier interacción física entre dos objetos (es decir, que no es una "fuerza de contacto"), sino más bien de la aceleración a del sistema de referencia no inercial en sí, que desde el punto de vista de la trama ahora parece ser una aceleración del objeto, que requiere una "fuerza" para que esto suceda. Según lo declarado por Iro: ^[6] [7]

Tal fuerza adicional debida al movimiento relativo no uniforme de dos cuadros de referencia se denomina pseudo-fuerza .

-  H. Iro en Un enfoque moderno de la mecánica clásica p. 180

Asumiendo la segunda ley de Newton en la forma F  =  m a , las fuerzas ficticias son siempre proporcionales a la masa m .

La fuerza ficticia sobre un objeto surge como una influencia imaginaria, cuando el marco de referencia utilizado para describir el movimiento del objeto se está acelerando en comparación con un marco que no acelera. La fuerza ficticia "explica", usando la mecánica de Newton, por qué un objeto no sigue las leyes de Newton y "flota libremente" como si no tuviera peso. Como un marco puede acelerar de cualquier manera arbitraria, las fuerzas ficticias pueden ser tan arbitrarias (pero solo en respuesta directa a la aceleración del marco). Sin embargo, se definen cuatro fuerzas ficticias para marcos acelerados en formas comunes: una causada por cualquier aceleración relativa del origen en una línea recta ( aceleración rectilínea ); ^[8] dos que involucran rotación:; y una cuarta, llamada fuerza de Euler , causada por una velocidad de rotación variable, si eso ocurre.

La fuerza gravitacional también sería una fuerza ficticia basada en un modelo de campo en el que las partículas distorsionan el espacio-tiempo debido a su masa, como la Relatividad General .

Fondo [ editar ]

Ver también: Espacio y tiempo absolutos y Cuadro preferido.

Tonnelat describe el papel de las fuerzas ficticias en la mecánica newtoniana : ^[9]

Para Newton, la aparición de la aceleración siempre indica la existencia de un movimiento absoluto, un movimiento absoluto de la materia en lo que concierne a las fuerzas reales ; Movimiento absoluto del sistema de referencia, en lo que concierne a las llamadas fuerzas ficticias , como las fuerzas de inercia o las de Coriolis.

-  Marie-Antoinette Tonnelat en The Principles of Electromagnetic Theory and Relativity , p. 113

Las fuerzas ficticias surgen en la mecánica clásica y la relatividad especial en todos los marcos no inerciales. ^[10] : 10 Los marcos inerciales se privilegian sobre los marcos no inerciales porque no tienen física cuyas causas están fuera del sistema, mientras que los marcos inerciales sí lo tienen. ^[10] : 209 Las fuerzas ficticias, o físicas cuya causa está fuera del sistema, ya no son necesarias en la relatividad general , ^{[10] : 215–223} ya que estas físicas se explican con las geodésicas del espacio-tiempo . ^[11]

Fuerzas ficticias en la tierra [ editar ]

Ver también: fuerza centrífuga , fuerza de Coriolis y fuerza de Euler

La superficie de la Tierra es un marco de referencia giratorio . Para resolver los problemas mecánicos clásicosexactamente en un marco de referencia unido a la Tierra, se deben introducir tres fuerzas ficticias: la fuerza de Coriolis , la fuerza centrífuga (descrita a continuación) y la fuerza de Euler . La fuerza de Euler generalmente se ignora porque las variaciones en la velocidad angular de la superficie giratoria de la Tierra son generalmente insignificantes. Las otras dos fuerzas ficticias son débiles en comparación con la mayoría de las fuerzas típicas en la vida cotidiana, pero pueden detectarse en condiciones cuidadosas. Por ejemplo, Léon Foucault usó su péndulo de Foucault para mostrar que una fuerza de CoriolisLos resultados de la rotación de la Tierra. Si la Tierra girara veinte veces más rápido (haciendo que cada día durara aproximadamente 72 minutos), las personas podrían fácilmente tener la impresión de que esas fuerzas ficticias los estaban arrastrando, como en un carrusel giratorio; De hecho, las personas en latitudes templadas y tropicales necesitarían mantenerse para evitar ser lanzadas en órbita por la fuerza centrífuga.

Detección de marco de referencia no inercial [ editar ]

Ver también: Marco de referencia inercial.

Los observadores dentro de una caja cerrada que se mueve con una velocidad constante no pueden detectar su propio movimiento; sin embargo, los observadores dentro de un marco de referencia acelerado pueden detectar que están en un marco de referencia no inercial a partir de las fuerzas ficticias que surgen. Por ejemplo, para la aceleración en línea recta, Vladimir Arnold presenta el siguiente teorema: ^[12]

En un sistema de coordenadas K que se mueve por traslación en relación con un sistema inercial k , el movimiento de un sistema mecánico tiene lugar como si el sistema de coordenadas fuera inercial, pero en cada punto de masa m actuó una "fuerza inercial" adicional: F  = - m un , donde una es la aceleración del sistema K .

Otras aceleraciones también dan lugar a fuerzas ficticias, como se describe matemáticamente a continuación . La explicación física de los movimientos en un marco inercial es la más simple posible, no requiere fuerzas ficticias: las fuerzas ficticias son cero, lo que proporciona un medio para distinguir los marcos inerciales de otros. ^[13]

Un ejemplo de la detección de un marco de referencia rotativo no inercial es la precesión de un péndulo de Foucault . En el marco no inercial de la Tierra, la fuerza ficticia de Coriolis es necesaria para explicar las observaciones. En un marco inercial fuera de la Tierra, no es necesaria tal fuerza ficticia.

Ejemplos de fuerzas ficticias [ editar ]

Aceleración en línea recta [ editar ]

Figura 1: Panel superior : Coche acelerador de masa M con pasajero de masa m . La fuerza del eje es ( m + M ) a . En el marco de inercia, esta es la única fuerza en el automóvil y el pasajero. 
Panel central : una vista despiezada en el marco inercial. El pasajero está sujeto a la fuerza de aceleración m a . El asiento (supuestamente de una masa despreciable) se comprime entre la fuerza de reacción - m a y la fuerza aplicada desde el carro m a . El coche está sujeto a la fuerza de aceleración neta M aesa es la diferencia entre la fuerza aplicada ( m + M ) adesde el eje y la reacción desde el asiento - m a . 
Panel inferior : una vista despiezada en el marco no inercial. En el marco no inercial donde el automóvil no está acelerando, la fuerza del eje se equilibra con una fuerza hacia atrás ficticia - ( m + M ) a , una porción - M a aplicada al automóvil, y - m apara el pasajero . El automóvil está sujeto a la fuerza ficticia - M a y la fuerza ( m + M ) adesde el eje. La suma de estas fuerzas m a se aplica al asiento, que ejerce una reacción - m asobre el automóvil, por lo que se aplica una fuerza neta nula al automóvil. El asiento (sin masa asumida) transmite la fuerza m una al pasajero, que está sujeto también a la fuerza ficticia - m una , resultando en cero fuerza neta sobre el pasajero. El pasajero ejerce una fuerza de reacción - m a sobre el asiento, que por lo tanto se comprime. En todos los bastidores, la compresión del asiento es la misma, y ​​la fuerza entregada por el eje es la misma.

La figura 1 (arriba) muestra un coche acelerado. Cuando un automóvil acelera , un pasajero siente que está siendo empujado hacia atrás en el asiento. En un marco de referencia de inercia unido a la carretera, no hay fuerza física que mueva al jinete hacia atrás. Sin embargo, en sistema de referencia no inercial del conductor conectado al coche acelerar, no es una fuerza ficticia hacia atrás. Mencionamos dos posibles razones para que la fuerza aclare su existencia (la fuerza): ^[14]

1. Figura 1 (panel central). Para un observador en reposo en un marco de referencia inercial(como el suelo), el automóvil parecerá acelerar. Para que el pasajero permanezca dentro del automóvil, se debe ejercer una fuerza sobre el pasajero. Esta fuerza es ejercida por el asiento, que ha comenzado a avanzar con el automóvil y se comprime contra el pasajero hasta que transmite toda la fuerza para mantener al pasajero en movimiento con el automóvil. Por lo tanto, las fuerzas ejercidas por el asiento están desequilibradas, por lo que el pasajero está acelerando en este cuadro.
2. Figura 1 (panel inferior). Desde el punto de vista del interior del automóvil, un marco de referencia de aceleración, hay una fuerza ficticia que empuja al pasajero hacia atrás, con una magnitud igual a la masa del pasajero por la aceleración del automóvil. Esta fuerza empuja al pasajero hacia atrás en el asiento, hasta que el asiento se comprime y proporciona una fuerza igual y opuesta. A partir de entonces, el pasajero permanece estacionario en este marco, porque la fuerza ficticia y la fuerza real del asiento están equilibradas.

¿Cómo se puede descubrir que el marco de aceleración no es inercial? En el cuadro de aceleración, todo parece estar sujeto a fuerza neta cero, y nada se mueve. No obstante, la compresión del asiento se observa y se explica en el marco de aceleración (y en un marco de inercia) por la fuerza de aceleración en el asiento desde el automóvil en un lado, y la fuerza de reacción opuesta a la aceleración del pasajero en el asiento. otro. La identificación del marco de aceleración como no inercial no puede basarse simplemente en la compresión del asiento, lo que todos los observadores pueden explicar; más bien se basa en la simplicidad de la explicación física para esta compresión.

La explicación de la compresión del asiento en el bastidor de aceleración requiere no solo el empuje del eje del automóvil, sino también fuerzas adicionales (ficticias). En un marco de inercia, solo es necesario el empuje desde el eje. Por lo tanto, el marco inercial tiene una explicación física más simple (no necesariamente una formulación matemática más simple, sin embargo), lo que indica que el marco de aceleración es un marco de referencia no inercial. En otras palabras, en el marco inercial, las fuerzas ficticias son cero. Vea el marco inercial para más detalles.

Este ejemplo ilustra cómo surgen fuerzas ficticias al cambiar de un marco de referencia inercial a un marco no inercial. Los cálculos de cantidades físicas (compresión del asiento, fuerza requerida del eje) realizados en cualquier marco dan las mismas respuestas, pero en algunos casos los cálculos son más fáciles de realizar en un marco no inercial. (En este ejemplo simple, los cálculos son igualmente complejos para los dos cuadros descritos).

esconderAnimación: conduciendo de bloque a bloque.

Perspectivas del mapa y del cuadro del automóvil de las fuerzas físicas (rojas) y ficticias (azules) para conducir un automóvil de una señal de alto a la siguiente. En esta ilustración, el automóvil acelera después de una señal de paro hasta la mitad del tramo de la manzana, momento en el que el conductor se encuentra inmediatamente fuera del acelerador y sobre el freno para hacer la próxima parada.

Movimiento circular [ editar ]

Ver también: fuerza centrífuga y fuerza de Coriolis.

Un efecto similar ocurre en el movimiento circular , circular desde el punto de vista de un marco de referencia inercial unido a la carretera. Cuando se ve desde un marco de referencia no inercial unido al automóvil, aparece la fuerza ficticia llamada fuerza centrífuga . Si el automóvil se está moviendo a una velocidad constante alrededor de una sección circular de la carretera, los ocupantes se sentirán empujados hacia afuera por esta fuerza centrífuga, lejos del centro de la curva. De nuevo, la situación puede verse desde marcos inerciales o no inerciales:

1. Desde el punto de vista de un marco de referencia inercial estacionario con respecto a la carretera, el automóvil está acelerando hacia el centro del círculo. Esta aceleración es necesaria porque la direcciónde la velocidad está cambiando, a pesar de una velocidad constante. Esta aceleración hacia adentro se llama aceleración centrípeta y requiere una fuerza centrípeta para mantener el movimiento circular. Esta fuerza es ejercida por el suelo sobre las ruedas, en este caso gracias a la fricción entre las ruedas y la carretera. ^[15] El coche está acelerando, debido a la fuerza desequilibrada, lo que hace que se mueva en un círculo. (Ver también giro bancario ).
2. Desde el punto de vista de un bastidor giratorio, moviéndose con el automóvil, hay una fuerza centrífuga ficticia que tiende a empujar el automóvil hacia el exterior de la carretera (y para empujar a los ocupantes hacia el exterior del automóvil). La fuerza centrífuga equilibra la fricción entre las ruedas y la carretera, lo que hace que el automóvil sea estacionario en este marco no inercial.

Un ejemplo clásico de fuerza ficticia en movimiento circular es el experimento de esferas giratorias atadas por un cordón y girando alrededor de su centro de masa. En este caso, al igual que en el ejemplo de automóvil de aceleración lineal, la identificación de un marco de referencia no inercial rotativo puede basarse en la desaparición de fuerzas ficticias. En un marco inercial, las fuerzas ficticias no son necesarias para explicar la tensión en la cuerda que une las esferas. En un marco giratorio, deben introducirse Coriolis y fuerzas centrífugas para predecir la tensión observada.

Para considerar otro ejemplo, cuando un marco de referencia giratorio es muy natural para nosotros, a saber, la superficie de la Tierra giratoria, la fuerza centrífuga reduce la fuerza aparente de la gravedad en aproximadamente una parte en mil, según la latitud. Esta reducción es cero en los polos, máxima en el ecuador.

esconderAnimación: objeto lanzado desde un carrusel.

Mapear y girar las perspectivas del marco de las fuerzas físicas (rojas) y ficticias (azules) para un objeto lanzado desde un carrusel. Desde la perspectiva del marco del mapa, lo que es peligroso al perder la aceleración centrípeta puede ser su velocidad. Desde la perspectiva del cuadro de giro, el peligro puede estar en la aceleración geométrica que da lugar a esa fuerza ficticia. Nota:Con algunos navegadores, puede presionar [Esc] para congelar el movimiento para un análisis más detallado. Sin embargo, es posible que tenga que volver a cargar la página para reiniciar.

La fuerza ficticia de Coriolis , que se observa en los marcos de rotación, es generalmente visible solo en movimientos a gran escala como el movimiento de proyectiles de los cañones de largo alcance o la circulación de la atmósfera de la Tierra (ver número de Rossby ). Si se descuida la resistencia del aire, un objeto caído desde una torre de 50 metros de altura en el ecuador caerá 7,7 milímetros hacia el este del lugar debajo de donde se cae debido a la fuerza de Coriolis. ^[dieciséis]

En el caso de objetos distantes y un marco de referencia giratorio, lo que debe tenerse en cuenta es la fuerza resultante de la fuerza centrífuga y de Coriolis. Consideremos una estrella distante observada desde una nave espacial en rotación. En el marco de referencia que gira conjuntamente con la nave, la estrella distante parece moverse a lo largo de una trayectoria circular alrededor de la nave. El movimiento aparente de la estrella es una aparente aceleración centrípeta. Al igual que en el ejemplo anterior del automóvil en movimiento circular, la fuerza centrífuga tiene la misma magnitud que la fuerza centrípeta ficticia, pero se dirige en la dirección centrífuga opuesta. En este caso, la fuerza de Coriolis es el doble de la magnitud de la fuerza centrífuga y apunta en dirección centrípeta. La suma vectorial de la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis es la fuerza ficticia total,

Fuerzas ficticias y el trabajo [ editar ]

Se puede considerar que las fuerzas ficticias funcionan , siempre que muevan un objeto en una trayectoria que cambie su energía de potencial a cinética.. Por ejemplo, considere a una persona en una silla giratoria sosteniendo un peso en su mano extendida. Si empujan su mano hacia adentro hacia su cuerpo, desde la perspectiva del marco de referencia giratorio, han hecho un trabajo contra la fuerza centrífuga. Cuando se suelta el peso, vuela espontáneamente hacia afuera en relación con el marco de referencia giratorio, porque la fuerza centrífuga actúa sobre el objeto, convirtiendo su energía potencial en cinética. Desde un punto de vista inercial, por supuesto, el objeto se aleja de ellos porque de repente se le permite moverse en línea recta. Esto ilustra que el trabajo realizado, como el potencial total y la energía cinética de un objeto, puede ser diferente en un marco no inercial que en uno inercial.

La gravedad como una fuerza ficticia [ editar ]

Artículo principal: Relatividad general.

La noción de "fuerza ficticia" surge en la teoría general de la relatividad de Einstein. ^[17] [18] Todas las fuerzas ficticias son proporcionales a la masa del objeto sobre el que actúan, lo que también es cierto para la gravedad . ^[19] Esto llevó a Albert Einstein a preguntarse si la gravedad también era una fuerza ficticia. Señaló que un observador de caída libre en una caja cerrada no podría detectar la fuerza de la gravedad; por lo tanto, los marcos de referencia de caída libre son equivalentes a un marco de referencia inercial (el principio de equivalencia). Siguiendo esta idea, Einstein pudo formular una teoría con la gravedad como una fuerza ficticia y atribuir la aceleración aparente de la gravedad a la curvatura del espacio-tiempo . Esta idea subyace en la teoría de la relatividad general de Einstein . Ver el experimento de Eötvös .

esconderAnimación: bola que rueda por un acantilado.

Perspectivas de la lluvia y el marco de la cáscara de las fuerzas físicas (rojas) y ficticias (azules) para un objeto que rueda desde un acantilado. Nota: la perspectiva del cuadro de lluvia aquí, en lugar de ser una gota de lluvia, es más parecida a la de un saltador de trampolín cuya trayectoria se remata justo cuando la bola llega al borde del acantilado. La perspectiva del marco de la cubierta [20] puede ser familiar para los habitantes de los planetas que dependen minuto a minuto de las fuerzas físicas ascendentes de su entorno, para protegerlos de la aceleración geométrica debida al espacio-tiempo curvo.

Derivación matemática de fuerzas ficticias. [ editar ]

Figura 2: Un objeto situado en x _A en marco inercial A está situado en la posición x _B en la aceleración de marco B . El origen de la trama Bse encuentra en X _AB en marco A . La orientación del cuadro B está determinada por los vectores unitarios a lo largo de sus direcciones de coordenadas, u _j con j = 1, 2, 3. Usando estos ejes, las coordenadas del objeto según el cuadro B son x _B = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ).

Derivación general [ editar ]

Muchos problemas requieren el uso de marcos de referencia no inerciales, por ejemplo, aquellos que involucran satélites ^[21] [22] y aceleradores de partículas. ^{[23] La}Figura 2 muestra una partícula con masa my vector de posición x _A ( t ) en un marco inercial particular A. Considere un marco B no inercial cuyo origen relativo al inercial está dado por X _AB ( t ). Deje que la posición de la partícula en el marco B sea x _B ( t ). ¿Cuál es la fuerza sobre la partícula expresada en el sistema de coordenadas del cuadro B? ^[24] [25]

Para responder a esta pregunta, deje que el eje de coordenadas en B se represente mediante los vectores unitarios u _j con jcualquiera de {1, 2, 3} para los tres ejes de coordenadas. Entonces

$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}} = \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} \ mathbf {u} _ {j} \.}

La interpretación de esta ecuación es que x _B es el desplazamiento vectorial de la partícula tal como se expresa en términos de las coordenadas en el cuadro B en el tiempo t . Desde el cuadro A, la partícula se encuentra en:

$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {\ mathrm {A}} = \ mathbf {X} _ {\ mathrm {AB}} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} \ mathbf { u} _ {j} \.}

De manera aparte, los vectores unitarios {  u _j  } no pueden cambiar la magnitud, por lo que los derivados de estos vectores expresan solo la rotación del sistema de coordenadas B. Por otro lado, el vector X _AB simplemente localiza el origen del cuadro B en relación con el cuadro A, y por lo que no puede incluir rotación del cuadro B.

Tomando una derivada del tiempo, la velocidad de la partícula es:

$${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x} _ {\ mathrm {A}}} {dt}} = {\ frac {d \ mathbf {X} _ {\ mathrm {AB}}} {dt}} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} {\ frac {dx_ {j}} {dt}} \ mathbf {u} _ {j} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ { j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}} \.}

La suma del segundo término es la velocidad de la partícula, por ejemplo, v _B medida en el cuadro B. Eso es:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}=\mathbf {v} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {v} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.}$

La interpretación de esta ecuación es que la velocidad de la partícula visto por los observadores en marco A consiste en lo que los observadores en marco B llaman la velocidad, es decir, v _B , además de dos términos adicionales relacionados con la velocidad de cambio del marco-B ejes de coordenadas . Uno de estos es simplemente la velocidad del origen en movimiento v _AB . El otro es una contribución a la velocidad debido al hecho de que diferentes ubicaciones en el marco no inercial tienen diferentes velocidades aparentes debido a la rotación del marco; un punto visto desde un marco giratorio tiene un componente de velocidad de rotación que es mayor cuanto más lejos está el punto del origen.

Para encontrar la aceleración, otra diferenciación temporal proporciona:

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {x} _ {\ mathrm {A}}} {dt ^ {2}}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {AB}} + { \ frac {d \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}}} {dt}} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} {\ frac {dx_ {j}} {dt}} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {u} _ { j}} {dt ^ {2}}}.}

Usando la misma fórmula que ya se usó para la derivada temporal de x _B , la derivada de velocidad a la derecha es:

$${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}}} {dt}} = \ sum _ {j = 1} ^ {3} {\ frac {dv_ {j}} {dt }} \ mathbf {u} _ {j} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}}.}

Por consiguiente,

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {x} _ {\ mathrm {A}}} {dt ^ {2}}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {AB}} + \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} +2 \ \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {u} _ {j}} {dt ^ {2}}}.}

( 1 )

La interpretación de esta ecuación es la siguiente: la aceleración de la partícula en el fotograma A consiste en lo que los observadores en el fotograma B llaman aceleración de la partícula a _B , pero además hay tres términos de aceleración relacionados con el movimiento de los ejes de coordenadas del fotograma B : un término relacionado con la aceleración del origen del cuadro B, a saber, un _AB , y dos términos relacionados con la rotación del cuadro B. En consecuencia, los observadores en B verán que el movimiento de la partícula posee una aceleración "extra", que atribuirán a "fuerzas" que actúan sobre la partícula, pero que los observadores en A dicen que son fuerzas "ficticias" que surgen simplemente porque los observadores en B no reconocen la naturaleza no inercial del marco B.

El factor de dos en la fuerza de Coriolis se deriva de dos contribuciones iguales: (i) el cambio aparente de una velocidad de inercia constante con el tiempo porque la rotación hace que la dirección de la velocidad parezca cambiar (a d v _B / d t término) y ( ii) un cambio aparente en la velocidad de un objeto cuando cambia su posición, colocándolo más cerca o más lejos del eje de rotación (el cambio en$${\ displaystyle \ sum x_ {j} \, d \ mathbf {u} _ {j} / dt}Debido al cambio en x _j ).

Para poner las cosas en términos de fuerzas, las aceleraciones se multiplican por la masa de partículas:

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {A}} = \ mathbf {F} _ {\ mathrm {B}} + m \ mathbf {a} _ {\ mathrm {AB}} + 2m \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}} + m \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {u} _ {j}} {dt ^ {2}}} \.}

La fuerza observada en el cuadro B, F _B = m a _B está relacionada con la fuerza real sobre la partícula, F _A , por

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {B}} = \ mathbf {F} _ {\ mathrm {A}} + \ mathbf {F} _ {\ mathrm {ficticio}},}

dónde:

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {ficticio}} = - m \ mathbf {a} _ {\ mathrm {AB}} -2m \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}} - m \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {u } _ {j}} {dt ^ {2}}} \.}

Por lo tanto, podemos resolver problemas en el marco B suponiendo que la segunda ley de Newton se cumple (con respecto a las cantidades en ese marco) y tratando a F _ficticio como una fuerza adicional. ^{[12] [26] [27]}

A continuación hay una serie de ejemplos que aplican este resultado para fuerzas ficticias. Se pueden encontrar más ejemplos en el artículo sobre la fuerza centrífuga .

Sistemas de coordenadas rotativas [ editar ]

Una situación común en la que los marcos de referencia no inerciales son útiles es cuando el marco de referencia está girando. Debido a que dicho movimiento de rotación no es inercial, debido a la aceleración presente en cualquier movimiento de rotación, siempre se puede invocar una fuerza ficticia utilizando un marco de referencia de rotación. A pesar de esta complicación, el uso de fuerzas ficticias a menudo simplifica los cálculos involucrados.

Para derivar expresiones para las fuerzas ficticias, se necesitan derivadas para la tasa de cambio de tiempo aparente de los vectores que tienen en cuenta la variación en el tiempo de los ejes de coordenadas. Si la rotación del cuadro 'B' está representada por un vector Ω apuntado a lo largo del eje de rotación con la orientación dada por la regla de la mano derecha , y con la magnitud dada por

$${\ displaystyle | {\ boldsymbol {\ Omega}} | = {\ frac {d \ theta} {dt}} = \ omega (t),

entonces la derivada temporal de cualquiera de los tres vectores unitarios que describen el marco B es ^[26] [28]

$${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j} (t)} {dt}} = {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u} _ {j} (t),

y

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {u} _ {j} (t)} {dt ^ {2}}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt }} \ times \ mathbf {u} _ {j} + {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j} (t)} {dt}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ times \ mathbf {u} _ {j} + {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left [{\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u} _ {j} (t) \ right],}

Como se verifica utilizando las propiedades del vector cruzado del producto . Estas fórmulas derivadas ahora se aplican a la relación entre la aceleración en un marco inercial y en un marco de coordenadas que gira con una velocidad angular variable en el tiempo ω ( t ). De la sección anterior, donde el subíndice A se refiere al marco de inercia y B al marco giratorio, estableciendo un _AB = 0 para eliminar cualquier aceleración de la traducción y enfocándose solo en las propiedades de rotación (consulte la Ec. 1 ):

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {x} _ {\ mathrm {A}}} {dt ^ {2}}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} +2 \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} \ {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {u} _ {j}} {dt ^ {2}}},}

$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ mathrm {A}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} + \ 2 \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} { \ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u} _ {j} (t) + \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega} }} {dt}} \ times \ mathbf {u} _ {j} \ + \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left [{\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u} _ {j} (t) \ right]}

$${\ displaystyle = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} +2 {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} \ mathbf {u} _ {j} (t) + {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ times \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} \ mathbf {u} _ {j} + {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left [{\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} \ mathbf {u} _ { j} (t) \ right].}

Recopilando términos, el resultado es la llamada fórmula de transformación de aceleración : ^[29]

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {A} }=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }\right)\ .}$

La aceleración física a _A debido a lo que los observadores en el marco inercial A llaman fuerzas externas realessobre el objeto es, por lo tanto, no simplemente la aceleración a _B vista por los observadores en el marco rotacional B, sino que tiene varios términos de aceleración geométrica adicionales asociados con el rotación de B. Como se ve en el marco de rotación, la aceleración a _B de la partícula se da por reordenamiento de la ecuación anterior como:

$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {A}} -2 {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}} - {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}}) - {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ times \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}}.}

La fuerza neta sobre el objeto de acuerdo con observadores en el marco giratorio es F _B = m un _B . Si sus observaciones tienen como resultado la fuerza correcta sobre el objeto al usar las leyes de Newton, deben considerar que la fuerza adicional F _fict está presente, por lo que el resultado final es F _B = F _A + F _fict . Por lo tanto, la fuerza ficticia utilizada por los observadores en B para obtener el comportamiento correcto del objeto a partir de las leyes de Newton es igual a:

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {fict}} = - 2m {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}} -m {\ boldsymbol {\ Omega }} \ times ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}}) - m {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ veces \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}}.}

Aquí, el primer término es la fuerza de Coriolis , ^[30] el segundo término es la fuerza centrífuga , ^[31] y el tercer término es la fuerza de Euler . ^[32] [33]

Sistemas de coordenadas en órbita [ editar ]

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Figura 3: Un sistema de coordenadas B de orientación orbital pero fija , que se muestra en tres momentos diferentes. Los vectores unitarios u _j , j = 1, 2, 3 no no giran, pero mantienen una orientación fija, mientras que el origen del sistema de coordenadas B se mueve a velocidad angular constante ω alrededor del eje fijo Ω. Eje Ω pasa a través del origen de la trama inercial A , por lo que el origen de la trama Bes una distancia fija R desde el origen del sistema de referencia inercial A .

Como ejemplo relacionado, supongamos que el sistema de coordenadas B en movimiento gira en un círculo de radio Ralrededor del origen fijo del marco inercial A , pero mantiene sus ejes de coordenadas fijos en la orientación, como en la Figura 3. La aceleración de un cuerpo observado es ahora ( ver ecuación 1 ):

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {x} _ {A}} {dt ^ {2}}} = \ mathbf {a} _ {AB} + \ mathbf {a} _ {B} +2 \ \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} \ {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}}} $${\ displaystyle + \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} \ {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {u} _ {j}} {dt ^ {2}}} \. }

$${\ displaystyle = \ mathbf {a} _ {AB} \ + \ mathbf {a} _ {B} \,}

donde las sumas son cero en la medida en que los vectores unitarios no tienen dependencia del tiempo. El origen del sistema Bse ubica de acuerdo con el cuadro A en:

$${\ displaystyle \ mathbf {X} _ {AB} = R \ left (\ cos (\ omega t), \ \ sin (\ omega t) \ right) \,}

llevando a una velocidad del origen del cuadro B como:

$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {AB} = {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {X} _ {AB} = \ mathbf {\ Omega \ times X} _ {AB} \,}

Lo que lleva a una aceleración del origen de B dada por:

$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {AB} = {\ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} \ mathbf {X} _ {AB}} $${\ displaystyle = \ mathbf {\ Omega \ \ times} \ left (\ mathbf {\ Omega \ times X} _ {AB} \ right)} $${\ displaystyle = - \ omega ^ {2} \ mathbf {X} _ {AB} \.}

Porque el primer término, que es

$${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega \ \ times} \ left (\ mathbf {\ Omega \ times X} _ {AB} \ right) \,}

Es de la misma forma que la expresión de fuerza centrífuga normal:

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {B} \ right) \,}

es una extensión natural de la terminología estándar (aunque no existe una terminología estándar para este caso) llamar a este término una "fuerza centrífuga". Cualquiera que sea la terminología adoptada, los observadores en el cuadro B deben introducir una fuerza ficticia, esta vez debido a la aceleración del movimiento orbital de todo su cuadro de coordenadas, que está radialmente alejado del centro de rotación del origen de su sistema de coordenadas:

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {fict}} = m \ omega ^ {2} \ mathbf {X} _ {AB} \,}

y de magnitud:

$${\ displaystyle | \ mathbf {F} _ {\ mathrm {fict}} | = m \ omega ^ {2} R \.}

Observe que esta "fuerza centrífuga" tiene diferencias con el caso de un bastidor giratorio. En el marco giratorio, la fuerza centrífuga está relacionada con la distancia del objeto desde el origen del marco B , mientras que en el caso de un marco en órbita, la fuerza centrífuga es independiente de la distancia del objeto desde el origen del marco B , pero en vez depende de la distancia del origen de la trama B de su centro de rotación, dando como resultado la misma fuerza ficticia centrífugo para todos los objetos observados en marco B .

Orbitando y girando [ editar ]

Figura 4: Un sistema de coordenadas en órbita B similar a la Figura 3, pero en el que los vectores de unidad u _j , j = 1, 2, 3 giran para enfrentar el eje de rotación, mientras que el origen del sistema de coordenadas B se mueve a una velocidad angular constante ω aproximadamente El eje fijo Ω .

Como ejemplo de combinación, la Figura 4 muestra un sistema de coordenadas B que orbita el marco inercial A como en la Figura 3, pero los ejes de coordenadas en el cuadro B giran de manera que el vector unitario u ₁ siempre apunta hacia el centro de rotación. Este ejemplo podría aplicarse a un tubo de ensayo en una centrífuga, donde el vector u ₁ apunta a lo largo del eje del tubo hacia su abertura en su parte superior. También se asemeja al sistema Tierra-Luna, donde la Luna siempre presenta la misma cara a la Tierra. ^[34] En este ejemplo, el vector unitario u ₃ conserva una orientación fija, mientras que los vectores u ₁ , u ₂gire a la misma velocidad que el origen de las coordenadas. Es decir,

$${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {1} = (- \ cos \ omega t, \ - \ sin \ omega t) \; \} $${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {2} = (\ sin \ omega t, \ - \ cos \ omega t) \.}

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {u} _ {1} = \ mathbf {\ Omega \ times u_ {1}} = \ omega \ mathbf {u} _ {2} \;} $${\ displaystyle \ {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {u} _ {2} = \ mathbf {\ Omega \ times u_ {2}} = - \ omega \ mathbf {u} _ {1} \ \.}

Por lo tanto, la aceleración de un objeto en movimiento se expresa como (consulte la ecuación 1 ):

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {x} _ {A}} {dt ^ {2}}} = \ mathbf {a} _ {AB} + \ mathbf {a} _ {B} +2 \ \ sum _ {j = 1} ^ {3} v_ {j} \ {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}}} $${\ displaystyle + \ \ sum _ {j = 1} ^ {3} x_ {j} \ {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {u} _ {j}} {dt ^ {2}}} \ }

${\displaystyle =\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ \mathbf {\Omega \times u_{j}} }$ ${\displaystyle \ +\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}\right)\ }$

${\displaystyle =\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ }$ ${\displaystyle \ +\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\ }$

${\displaystyle =\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \ ,}$

donde el término de aceleración angular es cero para una velocidad de rotación constante. Porque el primer término, que es

$${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega \ \ times} \ left (\ mathbf {\ Omega \ times} (\ mathbf {X} _ {AB} + \ mathbf {x} _ {B}) \ right) \,}

Es de la misma forma que la expresión de fuerza centrífuga normal:

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {B} \ right) \,}

es una extensión natural de la terminología estándar (aunque no existe una terminología estándar para este caso) llamar a este término la "fuerza centrífuga". Aplicando esta terminología al ejemplo de un tubo en una centrífuga, si el tubo está lo suficientemente lejos del centro de rotación, | X _AB | = R ≫ | x _B |, toda la materia en el tubo de ensayo ve la misma aceleración (la misma fuerza centrífuga). Así, en este caso, la fuerza ficticia es principalmente una fuerza centrífuga uniforme a lo largo del eje del tubo, alejada del centro de rotación, con un valor | F _Fict | = ω ² R , donde Res la distancia de la materia en el tubo desde el centro de la centrífuga. Es una especificación estándar de una centrífuga utilizar el radio "efectivo" de la centrífuga para estimar su capacidad para proporcionar fuerza centrífuga. Por lo tanto, una primera estimación de la fuerza centrífuga en una centrífuga puede basarse en la distancia de los tubos desde el centro de rotación, y aplicar correcciones si es necesario. ^[35] [36]

Además, el tubo de ensayo limita el movimiento a la dirección hacia abajo a lo largo del tubo, de modo que v _B es opuesto a u ₁ y la fuerza de Coriolis es opuesta a u ₂ , es decir, contra la pared del tubo. Si el tubo se gira durante un tiempo suficientemente largo, la velocidad v _B cae a cero cuando la materia llega a una distribución de equilibrio. Para más detalles, vea los artículos sobre sedimentación y la ecuación de Lamm .

Un problema relacionado es el de las fuerzas centrífugas para el sistema Tierra-Luna-Sol, donde aparecen tres rotaciones: la rotación diaria de la Tierra sobre su eje, la rotación de mes lunar del sistema Tierra-Luna sobre su centro de masa, y La revolución anual del sistema Tierra-Luna sobre el sol. Estos tres movimientos influyen en las mareas . ^[37]

Cruzando un carrusel [ editar ]

Ver también: Efecto Coriolis § Cañón en plato giratorio y Efecto Coriolis § Bola lanzada en un carrusel giratorio

Figura 5: Cruzando un carrusel giratorio caminando a una velocidad constante desde el centro del carrusel hasta su borde, se traza una espiral en el marco inercial, mientras que en el marco del carrusel se ve una trayectoria radial recta simple.

La Figura 5 muestra otro ejemplo que compara las observaciones de un observador inercial con las de un observador en un carrusel giratorio . ^[38] El carrusel gira a una velocidad angular constante representada por el vector Ω con magnitud ω, apuntando hacia arriba de acuerdo con la regla de la mano derecha . Un ciclista en el carrusel camina radialmente a través de él a una velocidad constante, en lo que para el caminante parece ser la trayectoria de la línea recta inclinada a 45 ° en la Figura 5. Sin embargo, para el observador estacionario, el caminante recorre una trayectoria en espiral. Los puntos identificados en ambos recorridos en la Figura 5 corresponden a los mismos tiempos espaciados en intervalos de tiempo iguales. Preguntamos cómo dos observadores, uno en el carrusel y otro en un marco de inercia, formulan lo que ven usando las leyes de Newton.

Observador inercial [ editar ]

El observador en reposo describe el camino seguido por el caminante como una espiral. Adoptando el sistema de coordenadas que se muestra en la Figura 5, la trayectoria se describe mediante r ( t ):

$${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = R (t) \ mathbf {u} _ {R} = {\ begin {bmatrix} x (t) \\ y (t) \ end {bmatrix}} = { \ begin {bmatrix} R (t) \ cos (\ omega t + \ pi / 4) \\ R (t) \ sin (\ omega t + \ pi / 4) \ end {bmatrix}},}

donde el π / 4 agregado establece el ángulo del recorrido en 45 ° para comenzar (solo una elección de dirección arbitraria), u _R es un vector unitario en la dirección radial que apunta desde el centro del carrusel hasta el caminante en el momento t . La distancia radial R ( t ) aumenta constantemente con el tiempo según:

$${\ displaystyle R (t) = st,}

Con s la velocidad de la marcha. De acuerdo con la cinemática simple, la velocidad es entonces la primera derivada de la trayectoria:

$${\ displaystyle \ mathbf {v} (t) = {\ frac {dR} {dt}} {\ begin {bmatrix} \ cos (\ omega t + \ pi / 4) \\\ sin (\ omega t + \ pi / 4) \ end {bmatrix}} + \ omega R (t) {\ begin {bmatrix} - \ sin (\ omega t + \ pi / 4) \\ cos (\ omega t + \ pi / 4) \ end {bmatrix }}}

$${\ displaystyle = {\ frac {dR} {dt}} \ mathbf {u} _ {R} + \ omega R (t) \ mathbf {u} _ {\ theta},}

con u _θ un vector unitario perpendicular a u _R en el tiempo t (como puede verificarse notando que el producto del punto del vector con el vector radial es cero) y apuntando en la dirección de viaje. La aceleración es la primera derivada de la velocidad:

${\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+2{\frac {dR}{dt}}\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle =2s\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle =2s\ \omega \ \mathbf {u} _{\theta }-\omega ^{2}R(t)\ \mathbf {u} _{R}\ .}$

El último término en la aceleración es radialmente hacia adentro de magnitud ω ² R , que es por lo tanto la aceleración centrípeta instantánea del movimiento circular . ^[39] El primer término es perpendicular a la dirección radial, y apunta en la dirección de viaje. Su magnitud es de 2 s ω, y representa la aceleración del caminante a medida que se acerca el borde del carrusel, y aumenta el arco del círculo en un tiempo fijo, como puede verse por el mayor espacio entre los puntos para pasos de tiempo iguales en la espiral de la Figura 5 a medida que se acerca el borde exterior del carrusel.

Aplicando las leyes de Newton, multiplicando la aceleración por la masa del caminante, el observador inercial concluye que el caminante está sujeto a dos fuerzas: la fuerza centrípeta interna, radialmente dirigida, y otra fuerza perpendicular a la dirección radial que es proporcional a la velocidad de el caminante.

Observador rotativo [ editar ]

El observador giratorio ve que el caminante se desplaza en línea recta desde el centro del carrusel hasta la periferia, como se muestra en la Figura 5. Además, el observador giratorio ve que el caminante se mueve a una velocidad constante en la misma dirección, aplicando así la ley de Newton. la inercia, hay fuerza cero sobre el caminante. Estas conclusiones no concuerdan con el observador inercial. Para lograr un acuerdo, el observador rotatorio tiene que introducir fuerzas ficticias que parecen existir en el mundo rotativo, aunque no haya una razón aparente para ellas, ninguna masa gravitacional aparente, carga eléctrica o lo que sea, que podría explicar estas fuerzas ficticias. .

Para estar de acuerdo con el observador inercial, las fuerzas aplicadas al caminante deben ser exactamente las que se encuentran arriba. Pueden relacionarse con las fórmulas generales ya derivadas, a saber:

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {fict}} = - 2m {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}} -m {\ boldsymbol {\ Omega }} \ times ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}}) - m {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ veces \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}}.}

En este ejemplo, la velocidad vista en el cuadro giratorio es:

$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}} = s \ mathbf {u} _ {R},}

con u _R un vector unitario en la dirección radial. La posición del caminante como se ve en el carrusel es:

$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}} = R (t) \ mathbf {u} _ {R},}

y la derivada temporal de Ω es cero para una rotación angular uniforme. Notando que

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u} _ {R} = \ omega \ mathbf {u} _ {\ theta} \}

y

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u} _ {\ theta} = - \ omega \ mathbf {u} _ {R} \,}

encontramos:

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {fict}} = - 2m \ omega s \ mathbf {u} _ {\ theta} + m \ omega ^ {2} R (t) \ mathbf {u} _ {R}.}

Para obtener un movimiento en línea recta en el mundo giratorio, se debe aplicar una fuerza exactamente opuesta en signo a la fuerza ficticia para reducir la fuerza neta en el caminante a cero, por lo que la ley de inercia de Newton predecirá un movimiento en línea recta, de acuerdo Con lo que ve el observador rotativo. Las fuerzas ficticias que deben combatirse son la fuerza de Coriolis (primer término) y la fuerza centrífuga (segundo término). (Estos términos son aproximados. ^[40] ) Al aplicar fuerzas para contrarrestar estas dos fuerzas ficticias, el observador rotativo termina aplicando exactamente las mismas fuerzas sobre el caminante que el observador inercial predijo que eran necesarias.

Debido a que se diferencian solo por la velocidad de marcha constante, el caminante y el observador rotacional ven las mismas aceleraciones. Desde la perspectiva del caminante, la fuerza ficticia se experimenta como real, y combatir esta fuerza es necesario para permanecer en una línea recta de trayectoria radial manteniendo la velocidad constante. Es como luchar contra un viento cruzado mientras se tira al borde del carrusel.

Observación [ editar ]