MECÁNICA CLÁSICA

la espiral de Cotes (también escrita espiral de Cotes y espiral de Cotes ) es una familia de espirales que lleva el nombre de Roger Cotes .

Cotes espirales correspondientes a k igual a 2/3 (rojo), 1.0 (negro), 1.5 (verde), 3.0 (cian) y 6.0 (azul)

La forma de las espirales en la familia depende de los parámetros, y la ecuación de la curva en coordenadas polares puede tomar una de cinco formas:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {r}} = {\ begin {cases} A \ cos (k \ theta + \ varepsilon) \\ A \ cosh (k \ theta + \ varepsilon) \\ A \ theta + \ varepsilon \\ A \ exp (k \ theta + \ varepsilon) \\ A \ sinh (\ varepsilon -k \ theta) \ end {cases}}}

A , k y ε son constantes de números reales arbitrarias . A determina el tamaño, kdetermina la forma y ε determina la posición angular de la espiral.

Cotes se refiere a las diferentes formas como "casos". Las curvas anteriores corresponden a sus casos 1, 5, 4, 2, 3 respectivamente.

La primera forma es una epispiral ; el segundo es una espiral de poinsot ; la tercera forma es una espiral hiperbólica , que puede verse como el caso límite entre una espiral epispiral y una espiral de Poinsot; El cuarto es la espiral equiangular .

Mecánica clásica [ editar ]

Las espirales de Cotes aparecen en la mecánica clásica , como la familia de soluciones para el movimiento de una partícula que se mueve bajo una fuerza central de cubo inverso . Considera una fuerza central.

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ({\ boldsymbol {r}}) = - {\ frac {\ mu} {r ^ {3}}} {\ hat {\ boldsymbol {r}}},}

donde μ es la fuerza de atracción. Considere una partícula que se mueve bajo la influencia de la fuerza central, y sea h su momento angular específico , luego la partícula se mueve a lo largo de una espiral de Cotes, con la constante k de la espiral dada por

$${\ displaystyle k = {\ sqrt {1 - {\ frac {\ mu} {h ^ {2}}}}}

cuando μ < h ² ( forma coseno de la espiral), o

$${\ displaystyle k = {\ sqrt {{\ frac {\ mu} {h ^ {2}}} - 1}}}

Cuando μ > h ² , forma poinsot de la espiral. Cuando μ = h ² , la partícula sigue una espiral hiperbólica. La derivación se puede encontrar en las referencias. ^[1] [2]

Historia [ editar ]

En Harmonia Mensurarum (1722), Roger Cotes analizó varias espirales y otras curvas, como la Lituus . Describió las posibles trayectorias de una partícula en un campo de fuerza central de cubo inverso, que son las espirales de los Cotes. El análisis se basa en el método del Libro 1 de Principia , Proposición 42, donde la trayectoria de un cuerpo se determina bajo una fuerza central, velocidad inicial y dirección arbitrarias.

Dependiendo de la velocidad y la dirección iniciales, determina que hay 5 "casos" diferentes (excluyendo los triviales, el círculo y la línea recta a través del centro).

Señala que de los 5, "el primero y el último están descritos por Newton , mediante la cuadratura (es decir, la integración) de la hipérbola y la elipse".

El caso 2 es la espiral equiangular, que es la espiral por excelencia . Esto tiene un gran significado histórico como en la Proposición 9 del Libro 1 de Principia, Newton prueba que si un cuerpo se mueve a lo largo de una espiral equiangular, bajo la acción de una fuerza central, esa fuerza debe ser como la inversa del cubo del radio (incluso antes de su prueba, en la Proposición 11, ese movimiento en una elipse dirigida a un foco requiere una fuerza cuadrada inversa).

Hay que admitir que no todas las curvas se ajustan a la definición habitual de una espiral. Por ejemplo, cuando la fuerza del cubo inverso es centrífuga (dirigida hacia el exterior), de modo que μ <0 alrededor="" centro.="" curva="" del="" font="" gira="" la="" nbsp="" ni="" siquiera="" una="" vez="">Esto está representado por el caso 5, la primera de las ecuaciones polares mostradas arriba, con k > 1 en este caso.

Samuel Earnshaw, en un libro publicado en 1826, usaba el término "espirales de Cotes", por lo que la terminología estaba en uso en ese momento. ^[3]

Earnshaw describe claramente los 5 casos de Cotes y agrega innecesariamente un 6, que es cuando la fuerza es centrífuga (repulsiva). Como se señaló anteriormente, Cotes incluyó esto con el caso 5.

La opinión errónea de que solo hay 3 espirales de Cotes parece haberse originado en el "Tratado de la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos" de Whittaker, publicado por primera vez en 1904.

Su "espiral recíproca" tiene una nota al pie, que se refiere a la "Harmonia Mensurarum" de Cotes y la Proposición 9 de Newton. Sin embargo, es una especie de aullador, ya que la espiral de la Proposición 9 es la espiral equiangular, que no reconoce como una espiral. La espiral de Cotes en absoluto.

Desafortunadamente, todos los autores posteriores han seguido el ejemplo de Whittaker sin tomarse la molestia de verificar su exactitud.

El principio de D'Alembert , también conocido como el principio de Lagrange-d'Alembert , es una declaración de las leyes clásicasfundamentales del movimiento. Lleva el nombre de su descubridor, el físico y matemático francés Jean le Rond d'Alembert . Es el análogo dinámico del principio de trabajo virtual para fuerzas aplicadas en un sistema estático y, de hecho, es más general que el principio de Hamilton , evitando la restricción a los sistemas holonómicos . ^[1] Una restricción holonómica depende solo de las coordenadas y el tiempo. No depende de las velocidades. Si los términos negativos en las aceleraciones se reconocen como fuerzas inerciales , la declaración del principio de d'Alembert se convierte en El trabajo virtual total de las fuerzas impresas más las fuerzas inerciales se desvanecen para los desplazamientos reversibles . ^[2] El principio no se aplica a los desplazamientos irreversibles, como la fricción por deslizamiento , y se requiere una especificación más general de la irreversibilidad. ^[3]

El principio establece que la suma de las diferencias entre las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas de masa y las derivadas de tiempo de los momentos del sistema proyectado en cualquier desplazamiento virtual consistente con las restricciones del sistema es cero. Así, en el principio de d'Alembert de los símbolos se escribe lo siguiente,

$${\ displaystyle \ sum _ {i} (\ mathbf {F} _ {i} -m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i} = 0, }

dónde :

$${\ displaystyle i}	es un número entero que se utiliza para indicar (mediante un subíndice) una variable correspondiente a una partícula particular en el sistema,
$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i}}	es la fuerza total aplicada (excluyendo las fuerzas de restricción) en el $${\ displaystyle i}-th partícula,
$${\ displaystyle m_ {i} \ scriptstyle}	es la masa de la $${\ displaystyle i}-th partícula,
$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {i}}	es la aceleración de la $${\ displaystyle i}-th partícula,
$${\ displaystyle m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}}	juntos como producto representa el tiempo derivado del impulso de la $${\ displaystyle i}-th partícula si las masas no cambian con el tiempo, y
$${\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {i}}	Es el desplazamiento virtual de la $${\ displaystyle i}-th partícula, consistente con las restricciones.

Esta ecuación anterior a menudo se llama principio de d'Alembert, pero fue escrita por primera vez en esta forma variacional por Joseph Louis Lagrange . ^[4] La contribución de D'Alembert fue demostrar que en la totalidad de un sistema dinámico las fuerzas de restricción desaparecen. Es decir que las fuerzas generalizadas $${\ displaystyle {\ mathbf {Q}} _ {j}}No es necesario incluir fuerzas de restricción. Es equivalente al principio de menor restricción de Gauss, algo más engorroso .

Caso general con masas cambiantes [ editar ]

La declaración general del principio de d'Alembert menciona "los derivados del tiempo de los momentos del sistema". El impulso de la i -ésima masa es el producto de su masa y velocidad:

$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i} = m_ {i} \ mathbf {v} _ {i}}

y su derivado del tiempo es

$${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {p} _ {i}}} = {\ dot {m}} _ {i} \ mathbf {v} _ {i} + m_ {i} {\ dot {\ mathbf {v}}} _ {i}}.

En muchas aplicaciones, las masas son constantes y esta ecuación se reduce a

$${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {p} _ {i}}} = m_ {i} {\ dot {\ mathbf {v}}} _ {i} = m_ {i} \ mathbf {a} _ { yo}},

que aparece en la fórmula dada anteriormente. Sin embargo, algunas aplicaciones implican cambios de masa (por ejemplo, cadenas enrolladas o desenrolladas) y en esos casos ambos términos$${\ displaystyle {\ dot {m}} _ {i} \ mathbf {v} _ {i}} y $${\ displaystyle m_ {i} {\ dot {\ mathbf {v}}} _ {i}} Hay que permanecer presente, dando.

$${\ displaystyle \ sum _ {i} (\ mathbf {F} _ {i} -m_ {i} \ mathbf {a} _ {i} - {\ dot {m}} _ {i} \ mathbf {v} _ {i}) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i} = 0.}

Derivación para casos especiales [ editar ]

Hasta la fecha, nadie ha demostrado que el principio de D'Alembert sea equivalente a la Segunda Ley de Newton. El principio de D'Alembert es un caso más general. Y es cierto solo para algunos casos muy especiales, por ejemplo, restricciones rígidas del cuerpo. Sin embargo, existe una solución aproximada a este problema. ^[5]

Considere la ley de Newton para un sistema de partículas, i. La fuerza total sobre cada partícula es ^[6]

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} ^ {(T)} = m_ {i} \ mathbf {a} _ {i},}

dónde

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} ^ {(T)}}	son las fuerzas totales que actúan sobre las partículas del sistema,
$${\ displaystyle m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}}	Son las fuerzas inerciales que resultan de las fuerzas totales.

Mover las fuerzas inerciales hacia la izquierda da una expresión que puede considerarse que representa un equilibrio casi estático, pero que en realidad es solo una pequeña manipulación algebraica de la ley de Newton: ^[6]

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} ^ {(T)} - m_ {i} \ mathbf {a} _ {i} = \ mathbf {0}.}

Teniendo en cuenta el trabajo virtual ,$${\ displaystyle \ delta W}, hecho por las fuerzas totales e inerciales juntas a través de un desplazamiento virtual arbitrario, $${\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {i}}, del sistema conduce a una identidad cero, ya que las fuerzas involucradas suman cero para cada partícula. ^[6]

$${\ displaystyle \ delta W = \ sum _ {i} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(T)} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i} - \ sum _ {i} m_ { i} \ mathbf {a} _ {i} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i} = 0}

La ecuación original del vector podría recuperarse reconociendo que la expresión de trabajo debe mantenerse para desplazamientos arbitrarios. Separando las fuerzas totales en fuerzas aplicadas,$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i}}, y fuerzas de restricción, $${\ displaystyle \ mathbf {C} _ {i}}, rendimientos ^[6]

$${\ displaystyle \ delta W = \ sum _ {i} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i} + \ sum _ {i} \ mathbf {C} _ {i } \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i} - \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {a} _ {i} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i} = 0. }

Si se supone que los desplazamientos virtuales arbitrarios están en direcciones ortogonales a las fuerzas de restricción (lo que no suele ser el caso, por lo que esta derivación solo funciona en casos especiales), las fuerzas de restricción no funcionan. Se dice que tales desplazamientos son consistentes con las restricciones. ^[7] Esto conduce a la formulación del principio de d'Alembert , que establece que la diferencia de fuerzas aplicadas y fuerzas de inercia para un sistema dinámico no realiza un trabajo virtual: ^[6]

$${\ displaystyle \ delta W = \ sum _ {i} (\ mathbf {F} _ {i} -m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i } = 0.}

También hay un principio correspondiente para sistemas estáticos denominado principio de trabajo virtual para fuerzas aplicadas .

El principio de las fuerzas inerciales de D'Alembert [ editar ]

D'Alembert demostró que se puede transformar un cuerpo rígido acelerado en un sistema estático equivalente al agregar la llamada " fuerza de inercia " y el " torque inercial ""o momento. La fuerza inercial debe actuar a través del centro de masa y el par inercial puede actuar en cualquier lugar. El sistema puede analizarse exactamente como un sistema estático sometido a esta" fuerza y ​​momento inercial "y las fuerzas externas. La ventaja es que, en el sistema estático equivalente, se pueden tomar momentos sobre cualquier punto (no solo el centro de masa). Esto a menudo conduce a cálculos más simples porque cualquier fuerza (a su vez) puede eliminarse de las ecuaciones del momento al elegir el punto apropiado sobre el cual para aplicar la ecuación de momento (suma de momentos = cero). Incluso en el curso de Fundamentos de Dinámica y Cinemática de máquinas, este principio ayuda a analizar las fuerzas que actúan en un enlace de un mecanismo cuando está en movimiento. dinámica de ingeniería esto a veces se conoce comoEl principio de d'Alembert .

Ejemplo para 1D movimiento de un cuerpo rígido [ editar ]

Diagrama de cuerpo libre de un alambre que tira de una masa con peso W, que muestra la inercia de d'Alembert "fuerza" ma.

Para ilustrar el concepto del principio de d'Alembert , usemos un modelo simple con un peso $${\ displaystyle W}, suspendido de un alambre. El peso está sometido a una fuerza gravitacional,$${\ displaystyle W = mg}, y una fuerza de tension $${\ displaystyle T} en el alambre La masa se acelera hacia arriba con una aceleración.$${\ displaystyle a}. La segunda ley de Newton se convierte$${\ displaystyle TW = ma} o $${\ displaystyle T = W + ma}. Como observador con los pies plantados firmemente en el suelo, vemos que la fuerza$${\ displaystyle T} acelera el peso, $${\ displaystyle W}, pero, si nos estamos moviendo con el cable, no vemos la aceleración, lo sentimos. La tensión en el cable parece contrarrestar una aceleración "fuerza"$${\ displaystyle ma} o $${\ displaystyle (W / g) a}.

Diagrama de cuerpo libre que representa un momento de inercia y una fuerza de inercia en un cuerpo rígido en caída libre con una velocidad angular.

Ejemplo para el movimiento 2D plano de un cuerpo rígido [ editar ]

Para un cuerpo rígido planar, moviéndose en el plano del cuerpo (el plano x - y ), y sometido a fuerzas y pares de torsión que causan rotación solo en este plano, la fuerza inercial es

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} = - m {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {c}}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {c}} es el vector de posición del centro de masa del cuerpo, y $${\ displaystyle m}Es la masa del cuerpo. El par inercial (o momento) es

$${\ displaystyle T_ {i} = - I {\ ddot {\ theta}}}

dónde $${\ displaystyle I}Es el momento de inercia del cuerpo. Si, además de las fuerzas externas y los pares de torsión que actúan sobre el cuerpo, se agrega la fuerza de inercia que actúa a través del centro de masa y se agrega el par de inercia (que actúa alrededor del centro de masa es tan bueno como en cualquier lugar) el sistema es equivalente a Uno en equilibrio estático. Así las ecuaciones de equilibrio estático.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sum F_ {x} & = 0, \\\ sum F_ {y} & = 0, \\\ sum T & = 0 \ end {alineado}}}

sostener. Lo importante es que$${\ displaystyle \ sum T}es la suma de los momentos de torsión (o momentos, incluidos el momento de inercia y el momento de la fuerza de inercia) tomados sobre cualquier punto. La aplicación directa de las leyes de Newton requiere que la ecuación de aceleración angular se aplique solo sobre el centro de masa.

Equilibrio dinámico [ editar ]

La forma de D'Alembert del principio de trabajo virtual establece que un sistema de cuerpos rígidos se encuentra en equilibrio dinámico cuando el trabajo virtual de la suma de las fuerzas aplicadas y las fuerzas de inercia es cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Por lo tanto, el equilibrio dinámico de un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas requiere que haya que

$${\ displaystyle \ delta W = (Q_ {1} + Q_ {1} ^ {*}) \ delta q_ {1} + \ ldots + (Q_ {m} + Q_ {m} ^ {*}) \ delta q_ {m} = 0,}

para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales δq _j . Esta condición produce m ecuaciones,

$${\ displaystyle Q_ {j} + Q_ {j} ^ {*} = 0, \ quad j = 1, \ ldots, m,}

que también se puede escribir como

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ parcial T} {\ parcial {\ punto {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ parcial T} {\ parcial q_ {j}}} = Q_ {j}, \ quad j = 1, \ ldots, m.}

El resultado es un conjunto de m ecuaciones de movimiento que definen la dinámica del sistema de cuerpo rígido.

 matriz de amortiguamiento es una matriz que corresponde a cualquiera de ciertos sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

Una matriz de amortiguación se define de la siguiente manera. Si el sistema tiene n grados de libertad u _n y sea objeto de solicitud de m amortiguación de fuerzas .

Cada fuerza se puede expresar de la siguiente manera:

$${\ displaystyle f_ {Di} = c_ {i1} {\ dot {u_ {1}}} + c_ {i2} {\ dot {u_ {2}}} + \ cdots + c_ {in} {\ dot {u_ {n}}} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} c_ {i, j} {\ dot {u_ {j}}}}

Produce en forma matricial ;

$${\ displaystyle F_ {D} = C {\ punto {U}}}

donde C es la matriz de amortiguamiento compuesta por los coeficientes de amortiguamiento:

$${\ displaystyle C = (c_ {i, j}) _ {1 \ leq i \ leq n, 1 \ leq j \ leq m}}