MECÁNICA CLÁSICA

Energía potencial de una molécula diatómica en función del espaciado atómico . Cuando las moléculas están demasiado cerca o demasiado lejos, experimentan una fuerza restauradorahacia u ₀ . (Imagine una canica rodando hacia adelante y hacia atrás en la depresión). La curva azul tiene una forma parecida al pozo potencialreal de la molécula , mientras que la parábola roja es una buena aproximación para pequeñas oscilaciones. La aproximación roja trata a la molécula como un oscilador armónico, porque la fuerza restauradora, -V '(u) , es lineal con respecto al desplazamiento u .

En la mecánica clásica , la anarmonicidad es la desviación de un sistema de ser un oscilador armónico . Un oscilador que no está oscilando en movimiento armónico se conoce como un oscilador anarmónico donde el sistema se puede aproximar a un oscilador armónico y la anarmonicidad se puede calcular utilizando la teoría de la perturbación . Si la anarmonicidad es grande, entonces deben usarse otras técnicas numéricas .

Como resultado, oscilaciones con frecuencias. $${\ displaystyle 2 \ omega} y $${\ displaystyle 3 \ omega} etc., donde $${\ displaystyle \ omega}Es la frecuencia fundamental del oscilador, aparecen. Además, la frecuencia$${\ displaystyle \ omega} se desvía de la frecuencia $${\ displaystyle \ omega _ {0}}De las oscilaciones armónicas. Como primera aproximación, el cambio de frecuencia.$${\ displaystyle \ Delta \ omega = \ omega - \ omega _ {0}}Es proporcional al cuadrado de la amplitud de oscilación. $${\ displaystyle A}:

$${\ displaystyle \ Delta \ omega \ propto A ^ {2}}

En un sistema de osciladores con frecuencias naturales. $${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}, $${\ displaystyle \ omega _ {\ beta}}, ... la anarmonicidad da como resultado oscilaciones adicionales con las frecuencias $${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha} \ pm \ omega _ {\ beta}}.

La anarmonicidad también modifica el perfil de energía de la curva de resonancia, lo que lleva a fenómenos interesantes como el efecto plegador y la resonancia superarmónica .

Principio general [ editar ]

2 DOF péndulo elástico que exhibe comportamiento anarmónico.

Armónicos contra osciladores anarmónicos

El "bloque en un resorte" es un ejemplo clásico de oscilación armónica. Dependiendo de la ubicación del bloque, x , experimentará una fuerza de restauración hacia el centro. La fuerza de restauración es proporcional a x, por lo que el sistema muestra un movimiento armónico simple.

Un péndulo es un simple un oscilador armónico. Dependiendo de la posición angular de la masa θ , una fuerza restauradora empuja la coordenada θ hacia el centro. Este oscilador es anarmónico porque la fuerza restauradora no es proporcional a θ , sino a sin (θ) . Debido a que la función lineal y = θ se aproxima a la función no lineal y = sin (θ) cuando θ es pequeña, el sistema puede modelarsecomo un oscilador armónico para pequeñas oscilaciones.

Un oscilador es un sistema físico caracterizado por un movimiento periódico, como un péndulo, un diapasón o una molécula diatómicavibrante . Hablando matemáticamente, la característica esencial de un oscilador es que para alguna coordenada x del sistema, una fuerza cuya magnitud depende de x empujará x lejos de los valores extremos y regresará hacia algún valor central x ₀ , lo que hará que x oscile entre los extremos. Por ejemplo, x puede representar la posición angular de un péndulo. Cuando x es demasiado positivo o demasiado negativo, la gravedad lo empuja hacia su punto más bajo.

En los osciladores armónicos, la fuerza restauradora es proporcional en magnitud (y opuesta en dirección) al desplazamiento de x desde su posición natural x ₀ . La ecuación diferencial resultante implica que x debe oscilar de forma sinusoidal a lo largo del tiempo, con un período de oscilación que es inherente al sistema. x puede oscilar con cualquier amplitud, pero siempre tendrá el mismo período.

Sin embargo, los osciladores anarmónicos se caracterizan por la dependencia no lineal de la fuerza restauradora del desplazamiento x. En consecuencia, el período de oscilación del oscilador anarmónico puede depender de su amplitud de oscilación.

Como resultado de la no linealidad de los osciladores anarmónicos, la frecuencia de vibración puede cambiar, dependiendo del desplazamiento del sistema. Estos cambios en la frecuencia de vibración hacen que la energía se acople de la frecuencia de vibración fundamental a otras frecuencias a través de un proceso conocido como acoplamiento paramétrico. ^{[ aclaración necesaria ]}

Tratando la fuerza restauradora no lineal como una función F (xx ₀ ) del desplazamiento de x desde su posición natural, podemos reemplazar F por su aproximación lineal F ₁ = F '(0) * (xx ₀ ) en el desplazamiento cero. La función de aproximación F ₁ es lineal, por lo que describirá un movimiento armónico simple. Además, esta función F ₁ es precisa cuando xx ₀ es pequeño. Por esta razón, el movimiento anarmónico se puede aproximar como movimiento armónico siempre que las oscilaciones sean pequeñas.

Ejemplos en física [ editar ]

Hay muchos sistemas en todo el mundo físico que se pueden modelar como osciladores anarmónicos además del sistema no lineal de resorte en masa. Por ejemplo, un átomo, que consiste en un núcleo cargado positivamente rodeado por una nube electrónica cargada negativamente, experimenta un desplazamiento entre el centro de masa del núcleo y la nube electrónica cuando un campo eléctrico está presente. La cantidad de ese desplazamiento, llamado momento dipolo eléctrico, se relaciona linealmente con el campo aplicado para campos pequeños, pero a medida que aumenta la magnitud del campo, la relación de momento dipolo campo se vuelve no lineal, al igual que en el sistema mecánico.

Otros ejemplos de osciladores anarmónicos incluyen el péndulo de ángulo grande; semiconductores de no equilibrio que poseen una gran población de portadores calientes, que exhiben comportamientos no lineales de varios tipos relacionados con la masa efectiva de los portadores; y plasmas ionosféricos, que también exhiben un comportamiento no lineal basado en la anarmonicidad del plasma. De hecho, prácticamente todos los osciladores se vuelven anarmónicos cuando su amplitud de bombeo aumenta más allá de algún umbral, y como resultado es necesario usar ecuaciones de movimiento no lineales para describir su comportamiento.

La anarmonicidad desempeña un papel en la red y las vibraciones moleculares, en las oscilaciones cuánticas ^[1]y en la acústica . Los átomos en una molécula o un sólido vibran sobre sus posiciones de equilibrio. Cuando estas vibraciones tienen pequeñas amplitudes, pueden ser descritas por osciladores armónicos . Sin embargo, cuando las amplitudes de vibración son grandes, por ejemplo a altas temperaturas, la anarmonicidad se vuelve importante. Un ejemplo de los efectos de la anarmonicidad es la expansión térmica de los sólidos, que generalmente se estudia dentro de la aproximación cuasi-armónica.. Estudiar sistemas anarmónicos de vibración usando mecánica cuántica es una tarea computacionalmente exigente porque la falta de armonía no solo hace que el potencial experimentado por cada oscilador sea más complicado, sino que también introduce el acoplamiento entre los osciladores. Es posible utilizar los métodos de los primeros principios, como la teoría de la densidad funcional, para mapear el potencial anharmónico experimentado por los átomos en ambas moléculas ^[2]y sólidos. ^{[3] Las} energías vibracionales anharmónicas precisas se pueden obtener resolviendo las ecuaciones vibracionales anharmónicas para los átomos dentro de una teoría de campo medio . Finalmente, es posible utilizar la teoría de la perturbación de Møller-Plesset para ir más allá del formalismo de campo medio.

Energía potencial a partir del periodo de oscilaciones [ editar ]

Consideremos un pozo potencial $${\ displaystyle U (x)}. Suponiendo que la curva$${\ displaystyle U = U (x)} es simétrico sobre el $${\ displaystyle U}-axis, la forma de la curva se puede determinar implícitamente a partir del período $${\ displaystyle T (E)} De las oscilaciones de partículas con energía. $${\ displaystyle E}De acuerdo con la fórmula: ^{[ cita requerida ]}

$${\ displaystyle U (x) = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {2m}}}} \ int _ {0} ^ {U} {\ frac {T (E) \, dE} { \ sqrt {U (x) -E}}}}.

A la inversa, el período de oscilación puede ser derivado ^[4]

$${\ displaystyle T = {\ sqrt {2m}} \ int _ {x _ {-}} ^ {x _ {+}} {\ frac {dx} {\ sqrt {EU}}}}

Oscilaciones anarmónicas

Oscilaciones

Osciladores (II) Oscilador no lineal (I) Oscilador no lineal (II) El péndulo Oscilaciones anarmónicas Molécula diatómica El oscilador Morse Oscilaciones de un cilindro que rueda. Movimiento de un pistón Máquina de Atwood		Partícula unida a un muelle no idealActividades Solución analítica. Dilatación de los sólidos
		La energía potencial de un muelle real no tiene por que ser simétrica, Ep=kx2/2, tal como hemos estudiado. De hecho en la página "Movimiento Armónico Simple" comparamos el movimiento de una partícula en dicho potencial simétrico con otra partícula que se mueve en el potencial de Morse. El objetivo era que el lector diferenciase entre un M.A.S. de un movimiento oscilatorio en general. En esta página estudiamos el oscilador anarmónico y explicaremos cualitativamente el fenómeno de la dilatación de los sólidos cuando se calientan. Partícula unida a un muelle no ideal Vamos a estudiar el movimiento de una partícula a lo largo del eje X cuando su energía potencial está definida por la función Donde s se denomina constante de anarmonicidad. Cuando s=0, tenemos el conocido potencial simétrico de una partícula unida a un muelle ideal de constante k. Energía La energía total de la partícula en una posición x es la suma de la energía cinética y potencial E=Ek+Ep(x) En la figura el segmento AC representa la energía total E, el segmento AB la energía potencial y el BC la energía cinética.Como la energía cinética no puede ser negativa, las abscisas de los dos puntos de intersección entre la recta horizontal (color negro) que señala la energía total constante E con la función Ep(x) (en color azul) marca los límites del movimiento de la partícula. La energía potencial de la partícula es máxima en los dos puntos más alejados del origen, y es mínima en x=0, (posición de equilibrio). Lo contrario le ocurre a la energía cinética que es mínima (cero) en los dos puntos más alejados del origen y es máxima en el origen. Fuerza La fuerza sobre la partícula debida al muelle no ideal será A la izquierda del origen x<0 de="" funci="" i="" la="" n="" nbsp="" pendiente="">E

_p es negativa, la fuerza es positiva (hacia la derecha). A la derecha del origen x>0 la pendiente de la curva es positiva, la fuerza es negativa (hacia la izquierda).Las posiciones de equilibrio en las que F=0 son x=0, y x=1/s la función E_p(x) presenta un mínimo y un máximo respectivamente.
La derivada segunda de la función energía potencial es

• Cuando x=0, la derivada segunda es positiva, tenemos un mínimo en la función energía potencial E_p(x) o posición de equilibrio estable.
• Cuando x=1/s, la derivada segunda es negativa, tenemos un máximo relativo en la función energía potencial E_p(x) o posición de equilibrio inestable. El valor del máximo es

Vamos a estudiar las oscilaciones de una partícula unida a un muelle no ideal en torno a la posición de equilibrio estable x=0.

Ecuación del movimiento

La ecuación del movimiento es
ma=-kx+skx²o en forma de ecuación diferencial
           (1)
w₀ es la frecuencia angular propia de una partícula de masa m unida al muelle ideal de constante k.
Se ha resuelto la ecuación diferencial mediante el procedimiento numérico de Runge-Kutta, con las siguientes condiciones iniciales. En el instante t=0, la posición inicial de la partícula es x₀ (a la derecha del origen) y su velocidad inicial es v₀=0.
En la posición inicial, la energía cinética de la partícula es cero y por tanto, la energía potencial es igual a la energía total E. Dada la energía total E de la partícula, podemos hallar la posición inicial x₀. Para ello, hay que resolver la ecuación cúbica.
E=kx²/2-skx³/3
Si el valor de E es menor que el máximo, la raíz de la ecuación cúbica se encuentra en el intervalo comprendido entre x=0 y x=1/s. Podemos emplear el procedimiento del punto medio para hallar rápidamente esta raíz.

Posición media

Si la energía potencial fuese simétrica, la partícula describiría una elipse en el espacio de las fases (x, v). Debido a que ya no es simétrica la trayectoria de la partícula en el espacio de las fases está deformada, tal como podemos ver en la parte superior izquierda del applet.
Cuando la energía total es próxima al mínimo, la partícula describe aproximadamente un M.A.S. La trayectoria en el espacio de las fases es aproximadamente una elipse. Si la energía total de la partícula es próxima a su valor máximo, se observa una trayectoria en el espacio de las fases que se asemeja a una elipse deformada. La partícula pasa gran parte del tiempo que emplea en completar la trayectoria en la región x>0.
La posición media <x> de una partícula que describe un M.A.S. viene dada por la integral

que como puede comprobarse fácilmente vale cero <x>=0. En el caso de una partícula unida a un muelle no ideal <x>¹0. La posición media <x> estará situada a la derecha del origen ya que la partícula pasa más tiempo a la derecha que a la izquierda del origen.

La curva de color rojo representa la energía potencial E_p(x)=kx²/2 (parábola), y la curva en color azul la energía potencial E_p(x)=kx²/2-skx³/3.

Una partícula cuya energía total es E, oscila entre las abscisas de los puntos de intersección de la recta E_p(x)=E y la curva de energía potencial.

Para el potencial armónico (curva de color rojo), como ya hemos demostrado, la posición media de la partícula es el origen <x>=0, al ser la curva simétrica. Para el potencial descrito por la curva de color azul, la posición media está desviada δx hacia la derecha tal como se ve en la figura.

Podemos calcular δx, fijándonos en la parte derecha de la figura en la que se ha amplificado la parte izquierda.

Como la energía E=kx²/2 es del orden de k_BT. Siendo k_B la constante de Boltzmann (no confundir con la constante k del potencial armónico) y T la temperatura absoluta, llegamos a la expresión para δx

 

El valor medio de la posición x de una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza cuya energía potencial es de la forma E_p(x)=kx²/2-skx³/3 es proporcional a la temperatura T, y depende del cociente s/k. El valor medio es cero para las oscilaciones armónicas, s=0.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/anarmonico/anarmonico.htm